数学培优竞赛新方法(九年级)-第21讲 圆与圆.

第20讲 圆与圆

知识纵横

圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下二种方法：

1.通过两圆交点的个数确定；

2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。

为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。

例题求解

【例1】如图，相距cm 2的两点A 、B 在直线l 上，它们分别以s cm s cm /1,/2的速度在l 上同时向右平移，当点A 、B 分别平移到点1A 、1B 的位置时，半径为cm 1的1A Θ与半径为1BB 的B Θ相切，则点A 平移到点1A 所用的时间为__________s .

（2011年嵊州市中考题）

思路点拨 两个动圆，1A Θ移动圆心，B Θ的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。

【例2】如图，圆心为A 、B 、C 的三圆彼此相切，且均与直线l 相切。若C B A ΘΘΘ,,的半径分别为c b a ,,)0(b a c ，则c b a ,,一定满足的关系式为（ ）。

（天津市竞赛题）

c a b A +=2. c a B +=62. b a c C 1

11.+= b

a c D 111.

+= 思路点拨 从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线。

【例3】如图①，在矩形ABCD 中，cm BC cm AB 4,20==，点P 从A 开始沿折线

D C B A →→→一以s cm /4的速度移动，点M 从C 开始沿CD 边以s cm /1的速度移

动。如果点P 、M 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为)(s t 。

（1）t 为何值时，四边形APMD 为矩形？

（2）如图②，M P ΘΘ,的半径都是cm 2，那么t 为何值时，M P ΘΘ,相外切？ （南京市中考题）

思路点拨 对于（1），把相关线段用t 的式子表示，利用图形性质建立方程；对于（2），解题的关键是分情况讨论。

【例4】已知1O Θ与2O Θ相交于B A ,，且1O Θ的半径为cm 3，2O Θ的半径为.5cm （1）过点B 作AB CD ⊥分别交1O Θ和2O Θ于D C ,两点，连接AC AD ,，如图①，试求

AD

AC

的值； （2）过点B 任画一条直线分别交1O Θ与2O Θ于F E ,，连接AE 和AF ，如图②，试求AF

AE

的值。

（巴中市中考题）

思路点拨 对于（2），

AF

AE

应与两圆半径相关，需构造相似三角形，利用图①或构造直径或联想相交两圆的性质。

【例5】如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆1O 在OA 上并与弧AB 内切于点A ，半圆2O 的圆心在OB 上，并与弧AB 内切于B ，半圆1O 与半圆2O 相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y 。

（1）试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； （2）求函数y 的最小值。

（太原市竞赛题）

分析 设两圆1O 、2O 半径分别为R 、r ，对于（1）)(2

122r R y +=

π，

通过变性把2

2r R +用""r R x +=的代数式表示，作出辅助线；对于（2），因r R x +=，故是在约束条件下求

y 的最小值，解题的关键是求出r R +的取值范围。

化繁为简

【例6】如图，圆A 、B 的半径都为1，且相互外切。圆S R Q P ,,,的半径都为r ,且圆P 与圆A 、B 、Q 、S 都分别外切，圆Q 与圆R B P ,,都分别外切，圆R 与圆R A P ,,都分别外切，求r 的值。

（2011年青少年数学国际城市邀请赛试题）

分析与解 连接圆心、连接切点与圆心，关注由此生成的三角形。如图，连接SA PA PS ,,，设

A Θ、

B Θ相切于T

，则

2

2222ST PS PT AT PA -==-，即

2222)2()(1)1(+-+=-+r r r r ，解得2

17

3+=

r （负值已舍去）。 T

B

A

Q

R

S

P

学力训练

基础夯实

1、O Θ的半径为cm 3,点M 是O Θ外一点，,4cm OM =则以M 为圆心且与O Θ相切的圆的半径是 .cm

（长春市中考题）

2、如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A 、B 间的距离为 。

（绍兴市中考题）

3、如图，大圆O 的半径OC 是小圆1O 的直径，且有OC 垂直于圆O 的直径AB ，1o Θ的切线AD 交OC 的延长线于点E ，切点为D ，已知1o Θ的半径为r ，则1AO = ；

=DE 。

（杭州市中考题）

4、如图①，4321,,,O O O O 为四个等圆的圆心，D C B A ,,,为切点，请你在图中画出一条线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，

4321,,,O O O O 5,O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，

将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．

（天津市中考题）

5、如图，施工工地的水平面上，有三根外径都是m 1的水泥管两两摞在一起，则其最高点到地面的距离是 ．

2.A 221.+

B 231.+

C 2

31.+D

6、如图，1O Θ、2O Θ外切于A 点，半径分别为r 3、r ，P 为21O O 延长线上一点，作直线分别于1O Θ、2O Θ相切于D 、E 两点，则P ∠的度数为（ ）。

︒15.A ︒30.B ︒45.C ︒60.D

(武汉市高考题)

第4题 第5题