第27章_相似_复习课件讲解
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数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 考点攻略 [解析] 根据勾股定理求得BE的长，然后利用相似三角形对
应边的比相等即可求出EF的长．
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 考点攻略
解：∵四边形 ABCD 是矩形，AB＝6， ∴∠A＝∠D＝90°，DC＝AB＝6. 又∵AE＝9， ∴在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 BE＝ AE2＋AB2＝ 92＋62 ＝ 117＝3 13. ∵△ABE∽△DEF， ∴ADBE＝BEEF，即62＝3EF13， ∴EF＝ 13.
课本48页例题
相似三角形应用举例
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用
“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。 （2） 测距（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三 角形求解。
第34课 图形的相似
延长线于点H，则图中的相似三角形共有
()
A．2对
B．3对
C．4对 D．5对
► 考点二 相似三角形的性质
【例题1】 (2012·衢州)如图，▱ABCD中， E是CD的延长线上一点，BE与AD交 于点F，CD＝2DE.若△DEF的面积 为a，则▱ABCD的面积为 ________(用a的代数式表示)．
(1)请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由； (2)若AD＝1，BC＝2，求AB的长．
解 (1)相似，理由如下： ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADE＋∠AED＝90°. ∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∠AED＋∠BEC＝90°， ∴∠ADE＝∠BEC. 又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 考点攻略
方法技巧 利用相似三角形的性质可以证明比例式、等积式及角相等，也 可以计算线段的长度．解题时要恰当地选择比例式，通常情况下待 求的边应该出现在选择的比例式中．
数学·新课标（RJ）
第34课 图形的相似
变式测试2 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E是AB的中点，且CE⊥DE.
分析 由▱ABCD，得AD∥BC，AB∥CD.进而得 △EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，由相似三角形面积比等 于相似比的平方，可得△ABF和四边形BCDF的面积，进 而得▱ABCD的面积．
第27章复习2 ┃ 考点攻略 例2 如图27－13所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在
边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求 EF的长．
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
[注意] (1)全等三角形是相似比为 1 的相似三角形；全等的两个 三角形一定相似；相似的两个三角形不一定全等．(2)相似比是有顺 序的，若△ABC 与△A′B′C′的相似比为 k，则△A′B′C′与 △ABC 的相似比为k1.
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
► 考点一 相似三角形的判定
考点巩固测试 1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与
△ABC相似的是 ( )
解析 分析可以看出图中△ABC是钝角三角形，其钝角为135°，且夹这个角的两边的比为 2∶ ＝ ∶1，只有A选项中的三角形符合条件．根据相似三角形的判定定理，它们 是相似三角形．
如 果 两 个 多 边 形 不 仅 相似
，而且对应顶点的连
线 交于一点 ，对应边 互相平行 ，那么这样的两个图形叫
做位似图形，这个点叫做 位似中心 .
[注意] (1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定 是位似图形．(2)两个位似图形的位似中心只有一个．
数学·新课标（RJ）
2. 位似图形的性质：
课本61页
✓ 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比。 ✓ 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位 似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky） 或（―kx，―ky）。
3. 位似图形的画法： 课本60页
✓ 画出基本图形。 ✓ 选取位似中心。 ✓ 根据条件确定对应点，并描出对应点。 ✓ 顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。
4．相似三角形的性质
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
(1)相似三角形的对应边 成比例 ，对应角 相等 .
(2) 相 似 三 角 形 的 对应高的比 对，应中线的比
与
对应角平分线的比 都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于 相似比 ，相似三角形面积 的比等于 相似比的平方.
5．位似图形
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．比例线段
对于四条线段 a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度
的比，与另两条线段的比) 相等 ，如 a∶b＝c∶d ，就称
这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
[注意]
黄金比为
5－1 2.
2．相似比
相似多边形 对应边的比
叫做相似比．
(2)∵△ADE∽△BEC，
∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝½AB，
∴AE2＝AD·BC＝1×2＝2，AE＝
∴AB＝2AE＝
答：AB的长为
胜券在握83页例5第34课 图形的相似
变式测试3 (2013·怀化) 如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC
感悟提高 此题考查相似三角形的判定知识及观察能力．
变式测试1 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC. 证明 ∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，∠A＝∠CEF， ∴△ADE∽△EFC.
【预测1】 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上
的点，连接BEwk.baidu.comAF，他们相交于G，延长BE交CD的
3．判定两个三角形相似的方法
(1) 平行 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似；
(2)如果两个三角形的三组对应边的比 个三角形相似；
(3)如果两个三角形的两组对应边的比 夹角 相等，那么这两个三角形相似；
相等 相等
，那么这两 ，并且相应
(4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角 对应 相等 ，那么这两个三角形相似．
第27章复习2 ┃ 考点攻略 [解析] 根据勾股定理求得BE的长，然后利用相似三角形对
应边的比相等即可求出EF的长．
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第27章复习2 ┃ 考点攻略
解：∵四边形 ABCD 是矩形，AB＝6， ∴∠A＝∠D＝90°，DC＝AB＝6. 又∵AE＝9， ∴在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 BE＝ AE2＋AB2＝ 92＋62 ＝ 117＝3 13. ∵△ABE∽△DEF， ∴ADBE＝BEEF，即62＝3EF13， ∴EF＝ 13.
课本48页例题
相似三角形应用举例
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用
“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。 （2） 测距（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三 角形求解。
第34课 图形的相似
延长线于点H，则图中的相似三角形共有
()
A．2对
B．3对
C．4对 D．5对
► 考点二 相似三角形的性质
【例题1】 (2012·衢州)如图，▱ABCD中， E是CD的延长线上一点，BE与AD交 于点F，CD＝2DE.若△DEF的面积 为a，则▱ABCD的面积为 ________(用a的代数式表示)．
(1)请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由； (2)若AD＝1，BC＝2，求AB的长．
解 (1)相似，理由如下： ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠ADE＋∠AED＝90°. ∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∠AED＋∠BEC＝90°， ∴∠ADE＝∠BEC. 又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.
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第27章复习2 ┃ 考点攻略
方法技巧 利用相似三角形的性质可以证明比例式、等积式及角相等，也 可以计算线段的长度．解题时要恰当地选择比例式，通常情况下待 求的边应该出现在选择的比例式中．
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第34课 图形的相似
变式测试2 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E是AB的中点，且CE⊥DE.
分析 由▱ABCD，得AD∥BC，AB∥CD.进而得 △EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，由相似三角形面积比等 于相似比的平方，可得△ABF和四边形BCDF的面积，进 而得▱ABCD的面积．
第27章复习2 ┃ 考点攻略 例2 如图27－13所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在
边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求 EF的长．
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
[注意] (1)全等三角形是相似比为 1 的相似三角形；全等的两个 三角形一定相似；相似的两个三角形不一定全等．(2)相似比是有顺 序的，若△ABC 与△A′B′C′的相似比为 k，则△A′B′C′与 △ABC 的相似比为k1.
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
► 考点一 相似三角形的判定
考点巩固测试 1.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与
△ABC相似的是 ( )
解析 分析可以看出图中△ABC是钝角三角形，其钝角为135°，且夹这个角的两边的比为 2∶ ＝ ∶1，只有A选项中的三角形符合条件．根据相似三角形的判定定理，它们 是相似三角形．
如 果 两 个 多 边 形 不 仅 相似
，而且对应顶点的连
线 交于一点 ，对应边 互相平行 ，那么这样的两个图形叫
做位似图形，这个点叫做 位似中心 .
[注意] (1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定 是位似图形．(2)两个位似图形的位似中心只有一个．
数学·新课标（RJ）
2. 位似图形的性质：
课本61页
✓ 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比。 ✓ 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位 似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky） 或（―kx，―ky）。
3. 位似图形的画法： 课本60页
✓ 画出基本图形。 ✓ 选取位似中心。 ✓ 根据条件确定对应点，并描出对应点。 ✓ 顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。
4．相似三角形的性质
数学·新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
(1)相似三角形的对应边 成比例 ，对应角 相等 .
(2) 相 似 三 角 形 的 对应高的比 对，应中线的比
与
对应角平分线的比 都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于 相似比 ，相似三角形面积 的比等于 相似比的平方.
5．位似图形
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第27章复习2 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．比例线段
对于四条线段 a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度
的比，与另两条线段的比) 相等 ，如 a∶b＝c∶d ，就称
这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
[注意]
黄金比为
5－1 2.
2．相似比
相似多边形 对应边的比
叫做相似比．
(2)∵△ADE∽△BEC，
∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝½AB，
∴AE2＝AD·BC＝1×2＝2，AE＝
∴AB＝2AE＝
答：AB的长为
胜券在握83页例5第34课 图形的相似
变式测试3 (2013·怀化) 如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC
感悟提高 此题考查相似三角形的判定知识及观察能力．
变式测试1 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC. 证明 ∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，∠A＝∠CEF， ∴△ADE∽△EFC.
【预测1】 如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上
的点，连接BEwk.baidu.comAF，他们相交于G，延长BE交CD的
3．判定两个三角形相似的方法
(1) 平行 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构 成的三角形与原三角形相似；
(2)如果两个三角形的三组对应边的比 个三角形相似；
(3)如果两个三角形的两组对应边的比 夹角 相等，那么这两个三角形相似；
相等 相等
，那么这两 ，并且相应
(4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角 对应 相等 ，那么这两个三角形相似．