弹性力学有限元第七章

1 E
y
z
x
xy
1 G
xy
yz
1 G
yz
z
1 E
z
x y
zx
1 G
zx
把公式
G
2
E
1
代入右端的虎克定律,
可得空间
问题的弹性方程
第七章 空间问题和空间轴对称问题
矩阵表达式如下:
1
1
1
x
y
1
1 1
xzy
1
E 1 1
2
0
0
0
1 2
21
yz
zx
0
00
0
0
e
uj wj
um
wm
7-4-1 三角形 环形单元的位移函数
u w
r, r,
z z
1 4
2r 5r
3z 6z
同理可求出 α1 , α2 , α3 , α4 ,α5 ,α6
z
rj
j
rm m
ri
i
o
r
z
j
m
i
o
r
第七章 空间问题和空间轴对称问题
因此三角形环形单元的位移模式为
xp yp zp
1 xj zj ci 1 xm zm
1 xp zp
1 yj zj bi 1 ym zm
1 yp zp
1 xj yj di 1 xm ym
1 xp yp
(i, j, m, p)
V为四面体的体积，可用下式表达: 1 xi yi zi
V 1 1 xj yj zj 6 1 xm ym zm 1 xp yp zp
Lj=Nj, Lm=Nm, Lp=Np
Lai Lbj
Lcm Ldp dxdydz
(a
a!b!c!d ! bcd
6V 3)!
第七章 空间问题和空间轴对称问题
§ 7- 3 弹性力学轴对称问题的研究对象 及其与平面问题的差异
7 -3-1 研究对象
当弹性体的几何形状，约束情况，以及所受的外 力都轴对称于某一轴，则这种弹性体的应力分析问题 称为轴对称应力分析问题，在工程中如活塞，压力容 器等。
第七章 空间问题和空间轴对称问题
ui 1 2 xi 3 yi 4 zi u j 1 2 x j 3 y j 4 z j um 1 2 xm 3 ym 4 zm up 1 2 xp 3 yp 4 zp 解方程组，求得 1,2,3,4 ，代入第一式，整理后得到
u Niui N ju j Nmum N pu p
第七章 空间问题和空间轴对称问题
▪ 等效节点力计算和载荷列阵
Re NT G NT qdxdy NT pdxdydz
由集中力引起的等效节点力 Ge N T G
由表面力引起的等效节点力
Qe N T qdxdy
由体积力引起的等效节点力
Pe N T pdxdydz
若结构物离散为n个节点，则载荷列阵 {F}3n*1={R}e+{F0}
{F0} 表示作用在各节点上的集中力
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-2-5 体积座标
p y
p
p
若四面体内部任取一点 Q，
x
Q
Vm Q
Q
z
i
mi
Vi m
分别连接Qi, Qj, Qm, Qp，
形成四个四面体
j
p
j
jQ
i
m
Vj
Vp
Q
i
m
j
令 i 节点所对面所组成的四面体 Qjmp ,其体积为 Vi 令 j 节点所对面所组成的四面体 Qpmi ,其体积为 Vj 令 m 节点所对面所组成的四面体 Qijp ,其体积为 Vm 令 p节点所对面所组成的四面体 Qjim ,其体积为 Vp
* eT Re * eT BT DBdxdydze
Ke BT DBdxdydz
由于积分号中都是常数
K e B T D B V
1212
126
66
612
[K]e可分成四行四列的子矩阵，其中每个子矩阵为三行三列
第七章 空间问题和空间轴对称问题
kii kij
K
e
k
ji
kkmpi i
61
xj xm
yj ym
zj zm
在顶点 p Lp=1, Li=0, Lj=0, Lm=0
1 xp yp zp
可以证明 Li=Ni ( i, j, m, p) 因为 Q点的座标为 (x,y,z ), 所以按第一行展开
第七章 空间问题和空间轴对称问题
体积 Vi可展开如下：
1
xj
yj
zj
1 yj
zj
7-2-2 四面体单元的应变
u
x
v
x y
y
w
z xy
z
u
v
B
e
Bi
Bj
Bm
Bp e
来自百度文库
yz
zx
y x
v
w
z y
w x
u z
第七章 空间问题和空间轴对称问题
其中
bi 0 0
0
ci
0
Bi
1 6V
0
ci
0 bi
di 0
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-4-2 三角形环形单元的应变
u
r
z
rz
r
u
r
w
z
u
w
1 2
bi
fi
0
ci
0 0 ci bi
bj fj 0 cj
0 0 cj bj
bm fm 0 cm
0
0 cm bm
e
z r
其中
u r
1 r
1 Niui r Niui N ju j Nmum
第七章 空间问题和空间轴对称问题
令
Li
Vi V
Lj
Vj V
Lm
Vm V
Lp
Vp V
为体积座标 ，可知 Li Lj Lm Lp 1
同理 在顶点i Li=1, Lj =0, Lm=0, Lp=0
1x y z
在顶点j Lj=1, Li=0, Lm=0, Lp=0
11
在顶点m
Lm=1,
Li=0, Lj=0, Lp=0 Vi
0
di
ci
di 0 bi
( i, j, m, p )
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-2-3 四面体单元的应力
D DBe Se Si S j Sm Sp e
bi A1ci A1di
A1bi
ci
A1di
Si
D Bi
6 A3 V
A1bi A2ci
A1ci A2bi
第七章 空间问题和空间轴对称问题
§ 7-1 弹性力学空间问题的基本方程
7-1-1 弹性力学空间问题的应力
用一个单元体表示空间任一点的应力,写成矩阵形式
x
y
xzy
yz
zx
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-1-2 弹性力学空间问题中一点的位移
u
f
v
w
7-1-3 弹性力学空间问题中一点的应变及应变与位移的关系
ui
wi
f
u v
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
uj wj
um
wm
其中形函数为 Ni r, z
Δ为截面三角形面积
1 2
ai
bi r
ci
z
( i , j, m )
1 11
2
ri rj
zi zj
1 rm zm
ai rj zm rm z j bi z j zm ci rm rj
平面问题
轴对称问题
x y
xy
r
z
rz
由于轴对称问题的研究对象是一个回转体，当它的
径向尺寸有变化时，必然它的圆周大小也有变化。 εθ
称为周向应变。
u r
第七章 空间问题和空间轴对称问题
§7- 4 三角形环形单元
环形单元在子午面（通过对称轴的平
截面）上的节点位移
ui
wi
第七章 空间问题和空间轴对称问题
同样，可以得到
v Nivi N jv j Nmvm N pvp w Niwi N j wj Nmwm N pwp
单元内任一点的位移可以写成如下形式：
f
Ni 0
0 Ni
0 Nj 0 0 0 Nj
0 0
Nm 0 0 Nm
0 0
Np 0 0 Np
0
0
di 0
( i, j, m, p )
其中
0
A2di
A2ci
A2di 0 A2bi
A1
1
A2
(1 2)
21
E 1 A3 361 1 2
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-2-4 四面体单元的刚度矩阵，等效节点力
单元上的节点力
Rxi
Ryi
Rzi Rxj
Ryj
其中
Ni
1 6V
ai
bi x ci y
di z
N j
1 6V
aj bjx cj y d jz
Nm
1 6V
am
bm x
cm
y
dmz
Np
1 6V
ap bp x cp y d p z
称为形函数，其系数是
第七章 空间问题和空间轴对称问题
xj yj zj ai xm ym zm
00
0
所以空间问题的弹性方程也可写成
1 2
21
0
1 2
21
D
第七章 空间问题和空间轴对称问题
§ 7-2 弹性力学空间问题的四面体常应变单元
ui
单元编号按右手法则 i, j, m, p
vi
z
p
wi uj
单元的节点位移 {δ}e
e
i j m
v
j
wj
um
[D],所以需根据虎克定律重新推导
r
1 E
r
z
1 E
z
r
z
1 E
z
r
rz
2(1 E
) rz
7-3-2 与平面问题的差异
轴对称问题采用极座标 r , θ, z
虽然物体上任一点用三个座标 r,θ，z 描述，但物体中无 论应力σ、位移 δ 都与θ无关，所以它只是 r ,z 的函数，
第七章 空间问题和空间轴对称问题
因此轴对称问题也象平面问题一样，作为二维问题求解
平面问题的应变{ε}与轴对称问题的应变 {ε}的不同
Re
Rzj
Rxm
Rym
Rzm
Rxp
Ryp
Rzp
y z
Ryp
p
Rzp
Rxp
x
Ryi
i Rxi
R zi
Rym
Rzm Ryj
m Rxm
Rzj j Rxj
第七章 空间问题和空间轴对称问题
▪ 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵
根据虚功原理可得
* eT Re * T dxdydz
f * N * e * B * e
1 2r
ai
bi r
ci
z ui
aj
bjr cjz
u j am
bmr cmz um
令
fi
ai r
bi
ci z r
第七章 空间问题和空间轴对称问题
则
1 2
fiui
f juj
fmum
Be Bi Bj Bm e
[B] 可以分块
bi 0
Bi
1 2
fi 0
c
0
ci bi
u
x
v
x y
y
w
z xy
z u
v
yz
zx
y x
v
w
z y
w x
u z
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-1-4 弹性力学空间问题的弹性方程
根据六个虎克定律的公式求出六个应力分量表达式
并用矩阵表示
x
1 E
x
y z
y
A1brcs A2crbs
crcs A2 drds brbs
A1drcs A2crds
A1brds A2drbs
A1crds A2drcs
drds A2 brbs crcs
(r=i, j,m,p) (s=i, j,m,p)
由于[K] =Σ[K]e, [Krs]=Σ[Krs]e, 就可形成整体刚度矩阵。
k jj kmj k pj
每个子矩阵按下式计算
kim k jm kmm k pm
kip
k jp
kmp k pp
krs e Br T DBs V (r=i, j,m,p) (s=i, j,m,p)
krs
e
A3 V
brbs A2 crcs drds
A1crbs A2brcs
A1drbs A2brds
(i, j, m )
7-4-3 三角形环形单元的应力
由于应变{ε} 中含有周向应变 εθ ，所以应力中也 含有周向应力 σθ
第七章 空间问题和空间轴对称问题
应力由下式表示
r
z
D DBe
Se
由此 [Si]=[D][Bi]
rz
Si S j Sm e
在轴对称问题中弹性矩阵[D]是不同于平面问题中的
i
m
p
vm
wm
j y
u
p
x
vp
wp
第七章 空间问题和空间轴对称问题
7-2-1 位移函数
单元内任一点的位移 {f }假定为座标的线性函数
u
f
v
N
e
w
u 1 2 x 3 y 4 z v 5 6x 7 y 8z w 9 10 x 11 y 12 z
节点i, j, m及 p的坐标分别为(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xm,ym,zm) 及 (xp,yp,zp)，把它们代入上式的第一式，得出各节点在x方 向的位移
e
0 0 Ni 0 0 N j 0 0 Nm 0 0 N p
形态矩阵[N]如下:
N Ni
Nj
Nm
N
p
Ni 0
0 Ni
0 0
Nj 0 0 Nj
0 0
Nm 0 0 Nm
0 0
Np 0 0 Np
0
0
0 0 Ni 0 0 N j 0 0 Nm 0 0 N p
第七章 空间问题和空间轴对称问题
1 xj zj
1 xj
yj
Vi
6
xm xp
ym yp
zm 1 ym zp 1 yp
zm x 1 xm zp 1 xp
zm y 1 xm zp 1 xp
ym z
yp
1 6
ai
bi
x
ci
y
di
z
所以
Li
Vi V
1 6V (ai bi x ci y di z) Ni
同理可得 因此也有