模糊数学

u∈U
Ac = ∫ (1 − A(u)) / u
u∈U
2014年2月26日
5
第一章 F集合
二、F集的运算
推广：设At∈ℑ(U )，t∈T，T为指标集，则：
1) 并集： ∪ At
t∈T
( ∪ At
t∈T
)(u)
=
∨
t∈T
At
(u)
=
sup
t∈T
At
(u)
2) 交集： ∩ At
t∈T
(∩
t∈T
At
)(u)
下条件： 1) 交换律 T(a,b)=T(b,a); 2) 结合律 T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c)); 3) 单调性 若a1≤a2,b1≤b2,则T (a1,b1)≤T(a2,b2); 4) 边界条件：T(1,a)=a; 则称为T三角模，也称为T范数；
• 常见T范数算子如：(∧, ,⊙)等；
t∈T
t∈T
t∈T
t∈T
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第一章 F集合
二、F集的运算
8) 证明：对∀u∈U，有： ( A ∪ B)c (u) = 1− ( A ∪ B)(u)
= 1− max{ A(u), B(u)} = min{ 1− A(u),1− B(u)}
= min{ Ac (u), Bc (u)} = ( Ac ∩ Bc )(u)
2014年2月26日
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第一章 F集合
三、模糊算子
性质1：设T是T范数，则∀a, b ∈[0,1]，有：
（1）0≤T(a,b)≤ a∧b； （2） T(a,0)＝0； （3）T(0,0)=0,T(1,1)=1;
性质2：设S是S范数，则 ∀a, b ∈[0,1]，有：
（1） a∨b ≤S(a,b)≤1； （2） S(a,1)＝1； （3）S(0,0)=0,S(1,1)=1;
u∈U
∫ ∫ ∫ = 1/ u +
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
25
⎟⎞
2
⎤ ⎥
−1
u+
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞−2
⎤ ⎥
−1
u
0≤u≤25
⎢⎣ 25<u≤u* ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ u*<u≤100 ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1 B(u) A(u)
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0 25 u* 100 50
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第一章 F集合
二、F集的运算
3
第一章 F集合
二、F集的运算
特别地，当U＝{u1,u2,…,un}时，令：
n
n
∑ ∑ A = A(ui ) / ui B = B(ui ) / ui
i =1
i =1
则：
∑ A ∪ B = n A(ui ) ∨ B(ui )
i =1
ui
∑ A ∩ B = n A(ui ) ∧ B(ui )
i =1
10
第一章 F集合
二、F集的运算
Ac = ∫ (1− A(u)) u
∫ ∫ u∈U
= 1u+
1
−
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
50
⎟⎞
−
2
⎤ ⎥
−1
u
0≤u≤50
50<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1
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0 25 u* 100 50
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第一章 F集合
二、F集的运算
Ac = ∫ (1− A(u)) u
则称为S三角模，也称为S范数；
+ˆ 常见S范数算子如：( ,∨, ⊕)等。
2014年2月26日
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第一章 F集合
三、模糊算子
T范数和S范数统称为三角范算子。 特别地：
Tc(ac,bc)=1-T(1-a,1-b)为S范数; Sc(ac,bc)=1-S(1-a,1-b)为T范数; 即：三角范算子T和S是对偶算子。
所以： ( A ∪ B)c = Ac ∩ B c
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第一章 F集合
二、F集的运算
9) 一般情形下：
A ∪ Ac ≠ U
(A ∪ Ac ) ≥ 1 2
A ∩ Ac ≠ φ
(A ∩ Ac ) ≤ 1 2
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第一章 F集合
三、模糊算子
定义：设A,B ∈ ℑ(U)，对∀u∈U，定义其并、交运 算的一般形式为：
ui
∑ Ac = n 1− A(ui )
i =1
ui
2014年2月26日
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第一章 F集合
二、F集的运算
特别地，当U为区域时，令：
A = ∫ A(u) / u
u∈U
B = ∫ B(u) / u
u∈U
A ∪ B = ∫ A(u) ∨ B(u) / u
u∈U
A ∩ B = ∫ A(u) ∧ B(u) / u
交： ( A ∩ B)( x) = A( x) ∧ B( x),∀x ∈ U ∧ 表示取小。 余： Ac ( x) = 1 − A( x),∀x ∈ U
2014年2月26日
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第一章 F集合
二、F集的运算
例3. A = 0.3 + 0.9 + 1 + 0.8 + 0.5 x1 x2 x3 x4 x5
u
− 50 5
⎟⎞ ⎠
−2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,50
<
u
≤
100
⎧1 ,
0 ≤ u ≤ 25
B(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 25 5
⎟⎞ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,25
<
u
≤
100
求：A∪B,A∩B,Ac,A∪Ac,A∩Ac,。
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第一章 F集合
二、F集的运算
解：
A ∪ B = ∫ A(u) ∨ B(u) / u
B = 0.2 + 0.1 + 0.8 + 0.3 + 0.6 x1 x2 x3 x4 x5
则： A ∪ B = 0.3 + 0.9 + 1 + 0.8 + 0.6 x1 x2 x3 x4 x5
A ∩ B = 0.2 + 0.1 + 0.8 + 0.3 + 0.5 x1 x2 x3 x4 x5
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λ-截集，λ称为置信水平(或阈值)；
2） Aλ = {u u ∈U , A(u) > λ} ，称 Aλ为A的λ-强截集，λ
•
•
称为置信水平(或阈值);
模糊集的λ-截集Aλ是一个经典集合，由隶属度不小于λ的
成员构成。
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第一章 F集合
四、F集的截集
例2：论域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(学生集)，他们的成绩依次 为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为 0.5,0.6,0.7, 0.8,0.9,0.95，则：
A ∩ B = ∫ A(u) ∧ B(u) / u
u∈U
∫ ∫ =
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞
−2
⎤ ⎥
−1
u+
⎡ ⎢
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
25
⎟⎞2
⎤ ⎥
⎤ ⎥
−1
u
⎣⎢ 50≤u≤u* ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
u*<u≤100 ⎢⎣⎣⎢ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦⎥⎦
1 B(u) A(u)
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0 25 u* 100 50
( A ∪ B)(u)ΔA(u) ∨* B(u) ( A ∩ B)(u)ΔA(u) ∧* B(u)
其中，∧*, ∨*是[0,1]上的二元运算，简称为模糊算子。
2014年2月26日
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第一章 F集合
三、模糊算子
1、常见的模糊算子
1）最大乘积算子(∨, ●)
A(u) ∨ B(u) = max{A(u), B(u)} A(u) • B(u) 为普通实数乘法。
=∧ n∈T
An (u)
n∈T
= inf n∈T
An (u)
≡
0
∪n∈T
An
=
⎛⎜ ⎝
1 2
,
1 2
,
⎞⎟ ⎠
∩ An = (0,0, )
n∈T
2014年2月26日
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第一章 F集合
二、F集的运算
例7、设F集A和B的隶属函数为：
⎧0 ,
0 ≤ u ≤ 50
A(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
2014年2月26日
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第一章 F集合
三、模糊算子
3、清晰域 给定模糊算子“*”，称点集： σ(*)={(x,y)|x*y=0 或 x*y=1}
为模糊算子“＊”的清晰域。
2014年2月26日
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第一章 F集合
三、模糊算子
例1 求出算子“∨”的清晰域。 解
σ (∨) = {( x, y) x ∨ y = 0或x ∨ y = 1}
2）有界和与积算子(⊕,⊙)
A(u) ⊕ B(u)Δ min{ A(u) + B(u),1} A(u) B(U )Δ max{0, A(u) + B(u) − 1}
2014年2月26日
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第一章 F集合
三、模糊算子
3）代数和与积算子 (+ˆ ,•)
A(u) +ˆ B(u)ΔA(u) + B(u) − A(u) • B(u)
+
∫
1
−
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞
−2
⎤ ⎥
−1
u
u**<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1
2014年2月26日
0 25 u* 100 50 u**
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第一章 F集合
二、F集的运算
F集的运算的性质 1. 幂等律 A ∪ A = A, A ∩ A = A,
2. 交换律 A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A,
+
∫
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
50
⎞⎟
−2
⎤ ⎥
−1
u
u**<u≤100⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
( A ∪ Ac )(50) = 1
1
2014年2月26日
0 25 u* 100 50 u**
13
第一章 F集合
二、F集的运算
A ∩ Ac =
∫
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞
−2
⎤ ⎥
−1
u
50<u≤u** ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
3. 结合律 A ∪ (B ∪ C) = ( A ∪ B) ∪ C,
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
4. 吸收律 A ∩ ( A ∪ B) = A, A ∪ ( A ∩ B) = A
2014年2月26日
15
第一章 F集合
二、F集的运算
5. 分配律 A ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C), A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C)
2014年2月26日
22
第一章 F集合
三、模糊算子
S范数： 设映射 S:[0,1]2→[0,1]，如果∀a,b,c∈[0,1],满足如
下条件： 1) 交换律 S(a,b)=S(b,a); 2) 结合律 S(S(a,b),c)=S(a,S(b,c)); 3) 单调性 若a1≤a2,b1≤b2, 则S(a1,b1)≤S(a2,b2); 4) 边界条件：S(a,0)=a;
= {(x, y) (x = 0, y = 0)}
∪ {(x, y) x = 1且0 ≤ y ≤ 1}
∪ {(x, y) y = 1且0 ≤ x ≤ 1}
1
0
1
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第一章 F集合
四、F集的截集
1、F集的λ-截集： 定义：设A∈ℑ(U),λ∈[0,1],则： 1） Aλ ={u|u∈U,A(u)≥λ}，称 Aλ 为A的
2014年2月26日
1
第一章 F集合
二、F集的运算
2、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义
相等： A = B ⇔ A( x) = B( x),∀x ∈ U 包含： A ⊂ B ⇔ A( x) ≤ B( x),∀x ∈ U
并： (A∪ B)(x) = A(x) ∨ B(x),∀x∈U ∨表示取大；
A(u) • B(u) 为普通实数乘法。
4) 其余模糊算子
Einstein: Hamacher:
+•
(ε ,ε )
+•
(r, r)
Yager:
(Y , λ) aa
2014年2月26日
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第一章 F集合
三、模糊算子
2、范数 T范数： 设映射 T:[0,1]2→[0,1]，如果 ∀a,b,c∈[0,1],满足如
第二章 F集合
二、F集的运算
1、F集的二元关系 1)若∀u∈U，B(u)≤A(u)，则称A包含B，记为A⊆B； 2)若A⊆B，且B⊆A，则称A与B相等,记作：A=B.
包含关系“⊆”是模糊幂集F(U)上的二元关系。
“⊆”具有如下性质： 1）自反性：∀A∈ℑ(U )，有A ⊆A； 2）反对称关系：若A⊆B，B⊆A,则 A=B； 3）传递性：若A⊆B,B⊆C，则A⊆C。 故：(ℑ(U ),⊆)是偏序集。
=
∧
t∈T
At
(u)
=
inf
t∈T
At (u)
2014年2月26日
6
第一章 F集合
二、F集的运算
例6、设An∈ℑ(U )，n∈T，T为指标集，T＝{1,2,…}且：
则：
An
(u)
≡
1 2
⎛⎜1 − ⎝
1 n
⎞⎟ ⎠
∪(
An )(u)
=
∨
n∈T
An
(u)
n∈T
=
sup
n∈T
An
(u)
≡
1 2
∩(
An )(u)
6. 0-1律 A ∪ φ = A, A ∩φ = φ, A ∪U = U , A ∩U = A
7. 还原律 ( Ac )c = A,
8. 对偶律 ( A ∪ B)c = Ac ∩ Bc ,( A ∩ B)c = Bc ∪ Ac ,
∪ ∩ ∩ ∪ 推广 ( At )c = Atc ( A)c = Atc
∫ ∫ u∈U
= 1u+
1
−
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞
−2
⎤ ⎥
−1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
u
0≤u≤50
50<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1
2014年2月26日
0 25 u* 100 50
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第一章 F集合
二、F集的运算
A ∪ Ac = ∫ 1 u +
∫
1
−
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞
−2
⎤ ⎥
−1
u
0≤u≤50
50<u≤u** ⎣⎢ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦