流体力学例题及思考题-第三章

第三章流体运动学与动力学基础主要内容基本概念欧拉运动微分方程连续性方程——质量守恒*伯努利方程——能量守恒** 重点动量方程——动量守恒** 难点方程的应用第一节研究流体运动的两种方法流体质点：物理点。

是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。

空间点：几何点，表示空间位置。

流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。

拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。

一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。

2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。

3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t) z = z(a,b,c,t) 4、适用情况：流体的振动和波动问题。

5、优点： 可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。

缺点：不便于研究整个流场的特性。

二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。

2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。

3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。

位置： x = x(x,y,z,t)y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t)速度： u x =u x （x,y,z,t ）u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。

加速度：z uu y u u x u u t u a x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z u u yu u xu u tu a y zy yy xy y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=z u u y u u x u u t u a z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=全加速度＝当地加速度＋迁移加速度当地加速度：在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。

迁移加速度：流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。

说明：两种方法具有互换性。

但由于欧拉法较简单，且本书着重讨论流场的整体运动特性。

所以，采用欧拉法研究问题。

四、流场分类1、 三元流场：凡具有三个坐标自变量的流场称为三元流场（或三维流场）。

一般来说，速度是三个坐标自变量的函数：V =V (x,y,z,t) 2、二元流场：凡具有两个坐标自变量的流场。

3、一元流场：具有一个坐标自变量的流场。

管截面A=A(l )，若人们研究的是各截面上流动的平均物理参数，则它可以简化为一元流场B=B(l , t)。

ky x j xy i xy u 5421221+-=——二维流场第二节 流体运动的基本概念 一、稳定流动和不稳定流动1、不稳定流动（非定常流场）：经过空间点流体质点运动参数的全部或者部分随时间而变化的流动。

（物理参数场与时间有关者）p =p （x,y,z,t ） u =u （x,y,z,t ）2、稳定流动（定常流场）：物理参数场与时间无关的流动。

p =p （x,y,z ） u =u （x,y,z ）z uu y u u x u u a x z x y x xx ∂∂+∂∂+∂∂=z u u yu u xu u a y zy yy xy ∂∂+∂∂+∂∂=z u u y u u x u u a z z z y z xz ∂∂+∂∂+∂∂=二、迹线和流线 1、迹线：（拉格朗日法）① 定义：流体质点在一段时间内运动所经过的路线。

② 迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。

③ 迹线方程：可由“欧拉法”与“拉格朗日法”互换求出。

由欧拉法： u x =u x （x,y,z,t ）u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）但dt dx u x =dt dy u y = dt dzu z =则 ——这就是迹线微分方程式。

2、流线：（欧拉法）① 定义：是某一瞬时流场中的一条曲线，该曲线上所有质点的速度矢量都和该曲线相切。

——表示流场在某一瞬时的流动方向 ② 流线的特性：不稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化；稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合； 流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折。

特例：点源、点汇、驻点、相切点 ③ 流线方程：uds u dz u dy u dxz y x ===证明：在M 点沿流线方向取有向微元长dS 设dS =idx +jdy +kdz ，M 点质点速度为u ， u =iu x +ju y +ku z 因为uzy x u dzu dy u dx ==⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=0z y x u t y u t x u ty dyt x dx +-=+图3－8 流管⎰=AudAQ Q M ρ=QG γ=QudA vA A==⎰AQA udA v A==⎰22211121dA u dA u A A ρρ⎰⎰=22211121dA u dA u A A ⎰⎰=ρρ2211Q Q ρρ=222111A V A V ρρ=21Q Q =2211A V A V =2Adydzdt u dt u dz dy V d m x x ρρρ=⋅⋅⋅⋅==11()dydzdtdx x u u m x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=ρρ221122m m m x -=∆()()dxdydzdtx u dydzdt u dydzdt dx x u u m x x x x x ∂∂=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=∆ρρρρ()dxdydzdtyu m y y ∂∂=∆ρ()dxdydzdtzu m z z ∂∂=∆ρ()()()dxdydzdtz u y u xu m m m m z y x z y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∆+∆+∆=∆ρρρm '∆dxdydzm ρ=1dxdydzdt t m ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=ρρ2dxdydzdt tm m m ∂∂-=-='∆ρ21m m '∆=∆()()()dxdydzdtz u y u xu m z y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∆ρρρdxdydzdttm ∂∂-='∆ρ()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u t z y x ρρρρ0=∂∂tρ()()()0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u z y x ρρρC t==∂∂ρρ,00=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u zy x xp∂∂-ρ1dtdu x dtdu x p X x=∂∂-ρ1dtdu y p Y y =∂∂-ρ1dtdu z p Z z=∂∂-ρ1dzdtdu dy dt du dx dt du dz z pdy y p dx x p Zdz Ydy Xdx z y x ++=∂∂+∂∂+∂∂-++)(1)(ρ00,0=∂∂=∂∂=∂∂⇒=∂∂=∂∂tu t u t u tu tpzy x dtdz u dtdy u dtdxu z y x ===)(212u d du u du u du u dz dt du dy dt du dx dt du z z y y x x z y x =++=++dp dz zpdy y p dx x p =∂∂+∂∂+∂∂()2211)(u d dp Zdz Ydy Xdx =-++ρg Z Y X -===00)(2112=++u d dp gdz ρc=ρc u pgz '=++22ρc g u pz =++22γg u p z g u p z 2222222111++=++γγ 适用条件：①理想流体 ②稳定流动 ③质量力只受重力 ④不可压流体⑤沿流线或微小流束。

（2）. 各项意义： ① 几何意义：z ——位置水头γp——压力水头g u 22——速度水头② 物理意义：z ——比位能γp——比压能g u 22——比动能：单位重量流体所具有的动能三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始终保持一常数。

对于实际流体：有粘性存在，消耗能量 本身摩擦变成热能散发 与壁面的摩擦损耗 局部损耗21测压管水头总比能总比能：1 > 2第五节 实际流体总流的伯努利（Bernoulli ）方程 问题的引出：方程 c g u pz =++22γ只适用于理想流体，且只适用于流线，而不适用于实际流体的总流。

一、实际流体总流与理想流体流束的比较1、 能量的表现形式一致：比位能、比压能、比动能2、 断面上的流速不同：流束：u 总流V ===修正 u3、 断面上z 、γp不同 4、 实际流体有能量损耗g u p z g u p z 2222222111++>++γγ二、实际流体总流的伯努利方程1、实际流体沿微小流束（流线）的能量方程设'21-w h ：是流束上1、2两点间单位重量流体的能量损失，则能量方程式应写成：'212222211122-+++=++w h g u p z g u p z γγ （1）2、实际流体沿总流的伯努利方程公式推导：因为通过一个通道的流体总流是由许多流束组成的。

每个流束的流动参量都有差别，而对于总流，希望利用平均参量来描述其流动特性。

因此，① 用V 代替公式（1）的 u ，使公式适用于总流。

② 实际流体有粘性，存在能量损耗 '21-w h →21-w h(1). 单位重量流体总比能：g u pz e 22++=γ (2). 单位时间在微小流束有效断面上通过流体重量 dG ＝γudA (3). 单位时间在微小流束有效断面上通过流体的总能量udAg u pz dG e dE γγ)2(2++=⋅=(4). 单位时间通过总流有效断面流体总能量⎰⎰++==A A udAg u pz dE E γγ)2(2(5). 给定断面平均单位重量流体的能量⎰++==A udA g u p z Q Q E e γγγγ)2(12由（1）式重复以上步骤，整理出1、2两点的平均单位重量流体的能量关系得：⎰⎰⎰-'+++=++221121222221111)2(1)2(1A A A wA udA h Q udA g u p z Q udA g u p z Q γγγγγγγγ （*）积分存在那些问题——总流有效断面上运动参数不等：压力不等 & 速度不等此式不宜计算，须先求出各项积分，为此引进两个新的概念： A. 缓变流 B. 动能修正系数A ．缓变流（解决压力不等的问题）⎰+A udA p z Q γγγ)(111（1）定义：流线间夹角很小，近似平行；流线曲率半径很大，近似直线 的流动。