流体力学例题及思考题-第三章

第三章流体运动学与动力学基础

主要内容

基本概念

欧拉运动微分方程

连续性方程——质量守恒*

伯努利方程——能量守恒** 重点

动量方程——动量守恒** 难点

方程的应用

第一节研究流体运动的两种方法

流体质点：物理点。是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。

空间点：几何点，表示空间位置。

流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。

一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method

1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。

2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。

3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：

x = x(a,b,c,t)

y = y(a,b,c,t) z = z(a,b,c,t) 4、适用情况：流体的振动和波动问题。

5、优点： 可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。

缺点：不便于研究整个流场的特性。 二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method

1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。

2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。

3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。 位置： x = x(x,y,z,t)

y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t)

速度： u x =u x （x,y,z,t ）

u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）

同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。

加速度：

z u

u y u u x u u t u a x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

z u u y

u u x

u u t

u a y z

y y

y x

y y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

z u u y u u x u u t u a z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=

全加速度＝当地加速度＋迁移加速度

当地加速度：在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。 迁移加速度：流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度变化率。

说明：两种方法具有互换性。但由于欧拉法较简单，且本书着重讨论流场的整体运动特性。所以，采用欧拉法研究问题。 四、流场分类

1、 三元流场：凡具有三个坐标自变量的流场称为三元流场（或三维流场）。

一般来说，速度是三个坐标自变量的函数：V =V (x,y,z,t) 2、二元流场：凡具有两个坐标自变量的流场。 3、一元流场：具有一个坐标自变量的流场。

管截面A=A(l )，若人们研究的是各截面上流动的平均物理参数，则它可以简化为一元流场B=B(l , t)。

k

y x j xy i xy u 542

1221+-=——二维流场

第二节 流体运动的基本概念 一、稳定流动和不稳定流动

1、不稳定流动（非定常流场）：经过空间点流体质点运动参数的全部或者部分随时间而变化的流动。（物理参数场与时间有关者）

p =p （x,y,z,t ） u =u （x,y,z,t ）

2、稳定流动（定常流场）：物理参数场与时间无关的流动。

p =p （x,y,z ） u =u （x,y,z ）

z u

u y u u x u u a x z x y x x

x ∂∂+∂∂+∂∂=

z u u y

u u x

u u a y z

y y

y x

y ∂∂+∂∂+∂∂=

z u u y u u x u u a z z z y z x

z ∂∂+∂∂+∂∂=

二、迹线和流线 1、迹线：（拉格朗日法）

① 定义：流体质点在一段时间内运动所经过的路线。

② 迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。

③ 迹线方程：可由“欧拉法”与“拉格朗日法”互换求出。 由欧拉法： u x =u x （x,y,z,t ）

u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）

但

dt dx u x =

dt dy u y = dt dz

u z =

则 ——这就是迹线微分方程式。

2、流线：（欧拉法）

① 定义：是某一瞬时流场中的一条曲线，该曲线上所有质点的速度矢量都和该曲线相切。——表示流场在某一瞬时的流动方向 ② 流线的特性：

不稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化；

稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合； 流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折。 特例：点源、点汇、驻点、相切点 ③ 流线方程：

u

ds u dz u dy u dx

z y x ===

证明：在M 点沿流线方向取有向微元长dS 设dS =idx +jdy +kdz ，M 点质点速度为u ， u =iu x +ju y +ku z 因

为

u

z

y x u dz

u dy u dx ==⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=+=0

z y x u t y u t x u t

y dy

t x dx +-=

+图3－8 流管