固体物理第二章第四节 倒格子.

A(g) A(g)eig•Rn A(g)[1 eig•Rn ] 0
A(g) 0 or eig•Rn 1
F(r ) A(g)eig•r 0 不合要求，应舍去
g
所以 eig•Rn 1
也就是说,一定存在某些 g使得当 eig•成Rn 立1时
F (r ) F (r Rn ) 成立
由于 g与 存Rn在上述对应关系, 可以Rn 描述布拉维 格子,自然 也可以g 描述同样的布拉维格子,且 与
第一g 章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因
而,凡是波矢 和布拉g 维格矢满足
eig•Rn 1
的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格
子的由来.
cos(g • Rn) 1 g • Rn 2 m; where m is int eger
变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。
二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子
对布拉维格子中所有格矢 Rn ，满足eiGh•Rn 1
或 Gh • Rn 2 m, (m为整数)的全部 Gh 端点的集 合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子 (reciprocal lattice). Gh 称为倒格矢
第四节 倒格子
本节主要内容: 一、 概念的引入 二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子 三、 倒格矢与晶面 四、 倒格子的点群对称性
§2.4 倒格子
一、概念的引入 晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的 布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内 容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.
然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本 粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动 量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率 的波,波也是物质存在的一种基本形式.
由于 a为1,基a2,矢a3，互不共面，则由
bi • aj 2可知ij
亦b应1, b该2 , b不3 共面，从而可以用
描述倒格子Gh。 h1b1 h2b2 h3b3
由于 Gh h1b1 h2为b2 倒 h格3b3矢，如果把倒格矢所在 的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal
为基的某一布a1,拉a2维, a3格子的倒格子的定义。
讨论：
1. 由 bi •aj 2ij;i 1,2,3; j 1,2,3 可知：
b1 和 a2 , a3 垂直,因此，a2 a3 与 b1 平行
所以可令：b1 1(a2 a3 ) 两边同时点乘 a1
a1 • b1 1a1 • (a2 a3) 2
波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结 构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如 果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？
布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与 位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均 应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质 量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是 如此。 不失一般性，上述函数可统一写为：
将Rn n1a1 n2a2 n3a3 代入Gh • Rn 2 m, 得：
n1Gh • a1 n2Gh • a2 n3Gh • a3 2 m
欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意 整数，则要求：
Gh • a1 2 h1;Gh • a2 2 h2;Gh • a3 2 h3
h1,h2,h3为整数
1
a1
•
2
(a2
a3 )
2
原胞的体积
b1
1(a2
a3
)
2
(a2
a3 )
同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
b1
2π Ω
a2
a3
b2
2π Ω
a3
a1
b3
2π Ω
a1
a2
其中 a1, a2 ,是a3正格基矢
Ω a1 a2 a3
是固体物理学原胞体积
与 Gh h1b1 h2b2 h3b3 (所h1,联h2系, h3的为各整点数的) 列阵即为倒格子。
F (r ) F (r Rn ) 布拉维格矢
1. 周期函数的傅里叶展开
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将 其展开成傅里叶级数：
F(r ) A(g)eig•r
g
展开系数
展开系数
A(g) 1 F (r )eig•r dr
因为：F (r ) F (r Rn )
原胞体积
所以：A(g) 1
F (r Rn )eig•r dr
令 r r Rn 则：r r Rn dr dr
则 A(g) 1 F(r)eig•(rRn )dr 1 F (r)eig•reig•Rn dr
A(g) 1
F
(r
)e
ig
•r
eig
•
Rn
dr
1
F
(r
)e
ig
•r
dr
e
ig
•
Rn
A( g )
space),则由于 空间的基矢。
不共面，b1,自b2然, b3可以成为倒易
和 Rn n1a1 n对2a2比 n,3表a3 明
Gh h1b1 h2b2 对h3b3
应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子
是倒易空间的布拉维格子。
从而 Gh h1b1 且h2b2 h3b3 bi •aj 也 2可ij作;i 为1,2以,3; j 1,2,3
2. 定义
对布拉维格子中所有格矢 Rn ，满足eiGh•Rn 1
或 Gh • Rn 2 m, (m为整数)的全部 Gh 端点的集 合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子 (reciprocal lattice)
与倒格子的定义对应，由格矢 的Rn端点所描述 的布拉维格子，称为正格子(direct lattice)
显然,如果令 Gh h1b1 h2b2 h3b3 h1,h2,h3为整数
当 bi • aj 2ij ;i 1, 2,3; j 1, 2,3 满足时，
则下式自然成立：
n1Gh • a1 n2Gh • a2 n3Gh • a3 2 m
或： Gh • a1 2 h1;Gh • a2 2 h2;Gh • a3 2 h3
由 G端h 点的集合所描述的布拉维格子，称为 倒格子(reciprocal lattice)
Gh 称为倒格矢
利用倒格矢，满足 F (r ) F的(傅r 里R叶n )展
开为:
F (r ) A(Gh )eiGh •r
Gh
A(Gh
)
1
F (r )eiGh •r dr
意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转