高考数学一轮复习必备 数列求和

第24课时：第三章数列——数列求和

一．课题：数列求和

二．教学目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式．

三．教学重点：特殊数列求和的方法．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．等差数列与等比数列的求和公式的应用；

2．倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；

（二）主要方法：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；

2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；

3．转化思想的运用；

（三）例题分析：

例1．求下列数列的前n项和

n

S：

（1）5，55，555，5555，…，5

(101)

9

n-，…；（2）

1111

,,,,,

132435(2)

n n

⨯⨯⨯+

；

（3）

n

a=（4）23

,2,3,,,n

a a a na；

（5）13,24,35,,(2),

n n

⨯⨯⨯+；（6）2222

sin1sin2sin3sin89

++++．解：（1）555555555

n

n

S=++++

个

5

(999999999)

9

n

=++++

个

23

5

[(101)(101)(101)(101)]

9

n

=-+-+-++-

23

5505

[10101010](101)

9819

n n

n n

=++++-=--．

（2）∵

1111

()

(2)22

n n n n

=-

++

，

∴

11111111

[(1)()()()]

2324352

n

S

n n

=-+-+-++-

+

11

11

(1)

2212

n n

=+--

++

．

（3

）∵

n

a===

∴1n

S n =

+++

1)(

1n =++

++1=． （4）2323n n S a a a na =++++，

当1a =时，123n S =+++…(1)2

n n n ++=， 当1a ≠时，2323n S a a a =+++…n na + ，

23423n aS a a a =+++…1n na ++，

两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++…11(1)1n n n n a a a na na a

++-+-=--， ∴212(1)(1)

n n n na n a a S a ++-++=-． （5）∵2(2)2n n n n +=+，

∴ 原式222(123=+++…2)2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)6n n n ++=

． （6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =+++

+， 又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =+++

+， ∴ 289S =，892

S =． 例2．已知数列{}n a 的通项65()2

()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ． 解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列； 当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12

n -项， ∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423

n n n n n n n S --++--+--=+=+-， 当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2

n 项，

∴2(165)4(14)(32)4(21)221423

n n n n n n n S +----=+=+-， 所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)

()

23n n n n n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数． 例3．（《高考A 计划》智能训练14题）数列{}n a 的前n 项和2()n n S p p R =+∈，数列{}n b 满足2log n n b a =，

若{}n a 是等比数列，

（1） 求p 的值及通项n a ；

（2）求和222123()()()n T b b b =-+…12*(1)()()n n b n N -+-∈．

（解答见教师用书127页）

（四）巩固练习：设数列11,(12),,(122),n -++++的前n 项和为n S ，则n S 等于（ ）

()A 2n ()B 2n n - ()C 12n n +- ()D 122n n +--