大学高等数学阶段测验卷
大专大一高数试题及答案
大专大一高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是：A. 1B. -1C. 3D. 1和3答案：D2. 极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)的值是：A. 0B. 4C. 8D. 不存在答案：C3. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = -x答案：B4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 27答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分dy=f'(x)dx表示函数y=f(x)在x处的变化量是______。
答案：f'(x)dx2. 函数y=x^2+1的导数是______。
答案：2x3. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是______。
答案：1/34. 函数y=ln(x)的不定积分是______。
答案：xln(x) - x + C三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。
答案：首先求导数：y'=3x^2-12x+9令y'=0，解得x=1或x=3。
检查二阶导数：y''=6x-12当x=1时，y''=-6<0，所以x=1是极大值点。
当x=3时，y''=6>0，所以x=3是极小值点。
2. 求曲线y=x^2与直线y=2x-1的交点坐标。
答案：联立方程组：\begin{cases}y = x^2 \\y = 2x - 1\end{cases}解得x^2=2x-1，即x^2-2x+1=0，解得x=1。
将x=1代入任一方程得y=1。
因此交点坐标为(1, 1)。
3. 计算定积分∫(0,2) (2x+3) dx。
答案：∫(0,2) (2x+3) dx = [x^2 + 3x](0,2) = (2^2 + 3*2) - (0^2 + 3*0) = 4 + 6 = 10。
高等数学I本科类第阶段测试题
高等数学I本科类第阶段测试题IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】江南大学现代远程教育第一阶段测试卷 考试科目:《高等数学》专升本第一章至第三章（总分100分）时间：90分钟__________学习中心（教学点）批次：层次：专业：学号：身份证号：姓名：得分：一、选择题(每题4分，共20分)1.函数y =的定义域是(A). (a)(2,6)-(b)(2,6](c)[2,6)(d)[2,6]- 2.10lim(13)xx x →+(C) (a)e (b)1(c)3e (d)∞3.要使函数()f x =在0x =处连续,应给(0)f 补充定义的数值是(D).(a)1(b)25 4.设sin 3x y -=,则y '等于(B).(a)sin 3(ln 3)cos x x -(b)sin 3(ln 3)cos x x --(c)sin 3cos x x --(d)sin 3(ln 3)sin x x --5.设函数()f x 在点0x 处可导,则000(3)()lim h f x h f x h→+-等于(B). (a)03()f x '-(b)03()f x '(c)02()f x '-(d)02()f x '二.填空题(每题4分，共28分)6.设2(1)3f x x x -=++,则()f x =__x 2+3x+5__.7.2sin(2)lim 2x x x →-++=__1__.8.设1,0,()5,0,1,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩,则0lim ()x f x +→=___1__. 9.设,0(),2,0x e x f x a x x -⎧≤=⎨+>⎩在点0x =处连续,则常数a = 10.曲线54y x -=在点(1,1)处的法线方程为___y=（4/5）x+1/5__11.由方程2250xy x y e -+=确定隐函数()y y x =,则y '=__2xy 22e y +2y -2xy x （）___ 12.设函数2()ln(2)f x x x =,则(1)f ''=__3+2ln 2___三.解答题(满分52分)13.求45lim()46x x x x →∞--. 答：14.求0x →. 答：15.确定A 的值,使函数62cos ,0(),tan ,0sin 2x e x x f x Ax x x-⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续。
高考数学(理)(全国通用版)大一轮复习 阶段检测试题答案 Word版含答案
阶段检测试题答案阶段检测试题(一)1.C 解析:因为x2-2x-8≤0,所以-2≤x≤4,所以M={x|-2≤x≤4},因为lg x≥0,所以x≥1,所以N={x|x≥1},所以M∩N={x|1≤x≤4}.选C.2.D 解析:由9-x2≥0,x+1>0,x+1≠1知-1<x≤3且x≠0,故选D.3.A 解析:因为a>1时,<1,但<1时,a<0或a>1.故A正确;当p∧q为真命题时,p,q均为真命题,而p∨q为真命题时,p,q中至少有一个为真命题,因此“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;C中原命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≥0”;D中,p是真命题,因此 p是假命题.4.A 解析:f(-2)=-2+2=0,f[f(-2)]=f(0)=30+1=3.故选A.5.B 解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,f(-x)=-f(x)因为f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x+4)=f(x).因为f(1)=1,所以f(-1)+f(8)=-f(1)+f(0)=-1.6.B 解析:因为f(x)=(-1)cos x=cos x,所以f(-x)=cos (-x)=cos x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.当x=1时,f(1)=(-1)cos 1=cos 1<0.选B.7.C 解析:若f(x)为R上的增函数,则应满足所以-3≤a≤-2.选C.8.B 解析:如图.由知x=0,故S=(e x-e-x)dx=(e x+e-x)︱=e+-2.选B.9.B 解析:f′(x)=1+(x>0),f′(x)为单调函数,所以函数f(x)在区间(,e)有极值点, 即f′()f′(e)<0,得(1+ae)(1+)<0⇔(a+e)(a+)<0,解得-e<a<-,故选B.10.C 解析:f(x)=作出y=f(x)的图象,若0<x1<1<x2,则f(x1)=>1,f(x2)=x2>1,则x2f(x1)>1,则A可能成立;若0<x2<1<x1,则f(x2)=>1,f(x1)=x1>1,则x2f(x1)=x2x1=1,则B可能成立;对于D,若0<x1<1<x2,则x2f(x1)>1,x1f(x2)=1,则D不成立;若0<x2<1<x1,则x2f(x1)=1,x1f(x2)>1,则D成立.故有C一定不成立.故选C.11.D 解析:设g(x)=f(x)+x,依题意,存在x∈[1,4],使g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+=0.当x=1时,g(1)=≠0;当x≠1时,由ax2-2x-a+=0得a=.记h(x)=(1<x≤4),则由h′(x)==0得x=2或x=(舍去).当x∈(1,2)时,h′(x)>0;当x∈(2,4]时,h′(x)<0,即函数h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4]上是减函数,因此当x=2时,h(x)取得最大值,最大值是h(2)=,故满足题意的实数a的取值范围是(-∞,].12.C 解析:由g(3-x)=g(3+x)知g(x)的图象关于直线x=3对称,由g(x)=g(x+2)知g(x)的一个周期T=2,结合g(x)=-2x2+4x-2(x∈[1,2]),作出g(x)的图象与函数y=log a(x+1)(x≥0)的图象,则方程g(x)=log a(x+1)在[0,+∞)上至少有5个不等的实根等价于函数g(x)的图象与函数y=log a(x+1)(x≥0)的图象至少有5个交点,如图所示,则所以0<a<.选C.13.解析:因为f(x)=x+sin x+,f(-x)=-x-sin x+,故f(x)+f(-x)=+=2,所以f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2×4+1=9.答案:914.解析:f′(x)=x2-x(x>0),由f′(x)>0⇒x∈(1,+∞);由f′(x)<0⇒x∈(0,1),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以M=[,+∞),又N=[a,+∞),所以若N⊆M,则实数a的取值范围是[,+∞).答案:[,+∞)15.解析:f′(x)=x2-ax+3-a,要使f(x)有三个不同的单调区间,需Δ=(-a)2-4(3-a)>0,即a∈(-∞,-6)∪(2,+∞).答案:(-∞,-6)∪(2,+∞)16.解析:对于①,y=x3在点P(0,0)处的切线为y=0,符合题中两个条件,所以正确;对于②,曲线C:y=ln x在直线l:y=x-1的同侧,不符合题意,所以错误;对于③,由图象可知,曲线C:y=sin x在点P(π,0)附近位于直线l的两侧,符合题意,所以正确;对于④,曲线C:y=e x在直线l:y=x+1的同侧,不符合题意,所以错误;即正确的有①③.答案:①③17.解:(1)因为函数f(x)=log2是奇函数, 所以f(-x)=-f(x),所以log2=-log2,即log2=log2,所以a=1.令>0,解得x<-1或x>1.所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x).当x>1时,x+1>2,所以log2(1+x)>log22=1.因为x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m恒成立. 所以m≤1,所以m的取值范围是(-∞,1].18.解:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以k-1=0,即k=1,f(x)=a x-a-x.(1)因为f(1)>0,所以f(1)=a-a-1>0,又因为a>0,a≠1,所以a>1,故f(x)=a x-a-x为增函数,又f(x2+2x)>-f(x-4),f(x)为奇函数,所以f(x2+2x)>f(4-x),则x2+2x>4-x,x2+3x-4>0,所以x>1或x<-4,所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}.(2)因为f(1)=a-a-1=,所以a=2.所以f(x)=2x-2-x,g(x)=a2x+a-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2,令t=2x-2-x,则t在x∈[1,+∞)上为增函数,所以t≥,所以函数g(x)=t2-4t+2=(t-2)2-2,当t=2时,函数g(x)取最小值-2,此时x=log2(1+).19.解:(1)F(x)=f(x)g(x)=ax2ln x(x>0),所以F′(x)=axln x+ax=ax(ln x+),由F′(x)>0得x>,由F′(x)<0得0<x<,所以F(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增,所以F(x)极小值=F()=-,无极大值.(2)因为G(x)=x2-aln x+(a-1)x,所以G′(x)=x-+a-1=.又a>0,<x<e,易得G(x)在(,1]上单调递减,在[1,e)上单调递增,要使函数G(x)在(,e)内有两个零点,需即所以所以<a<,即a的取值范围是(,).20.解:(1)f′(x)=a+2bxln x+bx,则f(1)=a=1,f′(1)=a+b=2⇒b=1.(2)由题x+x2ln x≥(kx+k-1)·x恒成立,即k≤恒成立.令g(x)=,g′(x)==,显然y=ln x+x-1单调递增, 且有唯一零点1,所以g(x)在(0,1)上单调递减, 在(1,+∞) 上单调递增,所以g(x)min=g(1)=1,所以k≤1, 故k的最大值为1.21.解:(1)由已知m=,f(x)=ln(2x+1)-mx,所以f(x)=ln(2x+1)-(x>0),所以f′(x)=-=.由f′(x)>0⇒199-2x>0,解得0<x<99.5,即加工产品订单金额x∈(0,99.5)(单位:万美元),该企业的实际所得加工费随x的增加而增加.(2)依题意,该企业加工生产不出现亏损,则当x∈[10,20]时,都有ln(2x+1)-mx≥x,即10ln(2x+1)-(20m+1)x≥0,设g(x)=10ln(2x+1)-(20m+1)x,则g′(x)=令g′(x)=0,得x=.因为x==-+<10,所以g(x)在[10,20]上是减函数,所以g(x)min=g(20)=10ln 41-20(20m+1)≥0,所以m≤,又m>0,所以m∈(0,]时,该企业加工生产不会亏损.22.(1)解:函数的定义域为(0,+∞),因为f(x)=-ln x,所以f′(x)=-==-.若a<0,因为x>0,所以x->0,故f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 若a>0,当x∈(0,)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.综上,若a<0,函数f(x)的单调减区间为(0,+∞);若a>0,f(x)的单调增区间为(0,),单调减区间为(,+∞).(2)解:a=1时,f(x)=-ln x=1--ln x,由(1)可知,f(x)=1--ln x在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故在[,1)上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以函数f(x)在[,2]上的最大值为f(1)=1--ln 1=0;而f()=1-2-ln =-1+ln 2,f(2)=1--ln 2=-ln 2.f(2)-f()=-ln 2-(-1+ln 2)=-2ln 2>1.5-2×0.70=0.1>0,所以f(2)>f(),故函数f(x)在[,2]上的最小值为f()=-1+ln 2.(3)证明:由(2)可知,函数f(x)=1--ln x在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 故函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(1)=1-1-ln 1=0,即f(x)≤0.故有1--ln x≤0恒成立,所以1-ln x≤,故2-ln x≤1+,即ln ≤.阶段检测试题(二)1.A 解析:=+=+(-)=c+(b-c)=b+c,故选A.2.D 解析:sin(+α)=, 即cos α=,因为α∈(0,),所以sin(π+α)=-sin α=-=-.故选D.3.C 解析:如图,取=-,=2,以AM,AN为邻边作平行四边形AMDN,此时=+.由图可知S△ABD=3S△AMD,S△ACD=S△AND,而S△AMD=S△AND,所以=6.故选C.4.A 解析:记α=∠POQ,由三角函数的定义可知,Q点的坐标(x,y)满足x=cos α=cos=-,y=sin α=sin =.故选A.5.A 解析:因为=λ,λ∈R,所以=(1-λ),又因为=+,=+=-+(1-λ),所以·=-3,即(+)·[-+(1-λ)]=-3,即4×(1-λ)-4-λ×2×2×=-3,即λ=,故应选A.6.D 解析:最大值减去最小值等于2A,所以A=2,最小正周期为,由周期公式得ω=4,直线x=是其图象的一条对称轴,则ω·+ϕ=kπ+,k∈Z,即ϕ=kπ-,k∈Z,显然k=1时ϕ=,故选D.7.C 解析:因为=(-)2=+-2·,=(+)2=++2·, 所以-=4·,所以·=·=.故选C.8.B 解析:由题图知,A=1,=-=,所以T==π,所以ω=2,所以2×+φ=π,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+)=sin 2(x+),又g(x)=sin 2x,故选B.9.A 解析:由7sin α=2cos 2α得7sin α=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sin α-2=0,解得sin α=-2(舍去)或sin α=,又由α为锐角,可得cos α=,所以sin(α+)=sin α+cos α=,故选A.10.C 解析:函数y=cos 2x在区间[0,]上是单调递减的,所以函数y=sin(2x+ϕ)在[0,]上也是单调递减的,而2x+ϕ∈[ϕ,ϕ+],所以ϕ≥且ϕ+≤,解得≤ϕ≤π.故选C.11.D 解析:由已知及正弦定理有a2≤b2+c2-bc,再由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos A,于是可得b2+c2-2bccos A≤b2+c2-bc,可得cos A≥,注意到在△ABC中,0<A<π,故A∈(0,].故选D.12.A 解析:由2=+可知O是BC的中点,即BC为△ABC外接圆的直径,所以||=||=||,由题意知||=||=1,故△OAB为等边三角形,所以∠ABC=60°.所以向量在方向上的投影为||cos ∠ABC=1×cos 60°=.故选A.13.解析:原式=sin(π+)·cos(π-)·tan(-π-)=(-sin )·(-cos)·(-tan )=(-)×(-)×(-)=-.答案:-14.解析:(a+b)·(ka-b)=ka2+(k-1)a·b-b2=(k-1)(1+a·b).因为(a+b)⊥(ka-b),所以(k-1)(1+a·b)=0,所以k=1.答案:115.解析:因为c(acos B-bcos A)=2b2,所以由余弦定理可得ac·-bc·=2b2,即a2+c2-b2-b2-c2+a2=4b2,即a2=3b2,则a=b,所以=.再利用正弦定理可得=.答案:16.解析:因为α,β∈(0, ),所以tan α>0,tan β>0,所以tan α=tan(α+β- β)===≤=(当且仅当=9tanβ时等号成立),即(tan α)max=.答案:17.解:(1)因为角α的终边经过点P(3,4),所以sin α=,cos α=,所以sin(α+)=sin αcos +cos αsin=×+×=.(2)因为P(3,4)关于x轴的对称点为Q,所以Q(3,-4).所以=(3,4),=(3,-4),所以·=3×3+4×(-4)=-7.18.解:(1)由a2-b2-c2+bc=0,得b2+c2-a2=bc, 所以cos A==,所以A=,由2bsin A=a,得b=a,所以B=A=.(2)设AC=BC=x,由余弦定理,得AM2=x2+-2x··(-)=()2,解得x=2,故S△ABC=×2×2×=2.19.解:(1)因为a+2b与a-4b垂直,所以(a+2b)·(a-4b)=0,所以a2-2a·b-8b2=0,所以32-2×3×1×cos θ-8×12=0,所以cos θ=,又θ∈(0,π),sin θ==,所以tan θ==.(2)|xa-b|===,故当x=时,|xa-b|取最小值为,此时a·(xa-b)=xa2-a·b=×9-3×1×cos=0,故向量a与xa-b垂直.20.解:(1)因为函数f(x)的最大值为3,所以A+1=3,即A=2,因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以最小正周期T=π,所以ω=2,故函数f(x)的解析式为y=2sin(2x-)+1.(2)f()=2sin(α-)+1=2,即sin(α-)=,因为0<α<,所以-<α-<,所以α-=,故α=.21.解:(1)函数可化为f(x)=sin(ωx+),因为T=π,所以=π,即ω=2,所以f(x)=sin(2x+).列表如下:画出图象如图所示.(2)将函数y=sin x(x∈R)图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数y=sin(x+)(x∈R)的图象,再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),可得函数f(x)=sin(2x+)(x ∈R)的图象.22.解:(1)向量a=(sin ,cos ),b=(cos ,cos ),则函数f(x)=a·b=sin cos +cos2=sin +cos +=sin(+)+,令2kπ-≤+≤2kπ+(k∈Z),解得3kπ-π≤x≤3kπ+(k∈Z),故函数f(x)的单调递增区间为[3kπ-π,3kπ+](k∈Z).(2)因为b2=ac.所以cos x==≥=,又-1<cos x<1,所以≤cos x<1,所以0<x≤,所以<+≤,所以<sin(+)≤1,所以<sin(+)+≤1+,即函数f(x)的值域为(,1+].阶段检测试题(三)1.C 解析:因为a1=3,a n+1=2a n+1,所以a2=2a1+1=2×3+1=7,a3=2a2+1=2×7+1=15.2.B 解析:作差.p-q=+-a-b=(-a)+(-b)=,因为a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0,ab>0,所以p-q≤0,选B.3.D 解析:只有在a>b>0时,A有意义,所以A错;B选项需要a,b同号,B错;C只有a>0时正确;因为a≠b,所以D正确.4.C 解析:不等式x2-4ax-5a2>0可化为(x-5a)(x+a)>0;因为方程(x-5a)(x+a)=0的两根为x1=5a,x2=-a,且2a+1<0,所以a<-,所以5a<-a,所以原不等式的解集为{x|x<5a,或x>-a}.5.D 解析:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点(-2,2)取最小值-8.6.C 解析:原式=++…+=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=(1+--)=-(+).故选C.7.B 解析:设等差数列{a n}的公差为d,因为-=3,所以-=3,化简可得2d-d=3,解得d=2.8.C 解析:因为a+b=1,0<a<b,所以ab<=.所以log2a+log2b<log2=-2.即log2a+log2b<-2.所以选C.9.A 解析:因为2<a<3,所以M=a+=(a-2)++2>2+2=4,N=lo(x2+)≤lo=4<M.10.D 解析:显然m>2,作出的可行域,当时z=x-y的最小值为-1,解得m=5.故选D.11.D 解析:约束条件x+|y|≤1按y≥0和y<0讨论,画出约束条件确定的平面区域.z=(1,2)·(x,y)=x+2y,目标函数可化为y=-x+,当直线经过M(0,1)时,z取最大值,所以z max=2.选D.12.D 解析:设应生产甲、乙两种产品各x,y件,企业获得的利润为z=3x+2y,x,y满足的约束条件为画出可行域,如图,可知最优解为(2,1),即应生产A产品2件,B产品1件,可使企业获得最大利润,最大利润为8万元.13.解析:由4x+4y=2x+1+2y+1,得(2x+2y)2-2·2x·2y=2(2x+2y),(2x+2y)2-2(2x+2y)=2·2x·2y,因为0<2x·2y≤,所以0<(2x+2y)2-2(2x+2y)≤,即0<t2-2t≤,所以2<t≤4.答案:(2,4]14.解析:易知a1=20>0,令a n≥0,则-n2+10n+11≥0,所以-1≤n≤11,当n=11时a11=0,故前10或11项和最大.答案:10或1115.解析:因为2S n-na n=n,①所以当n≥2时,2S n-1-(n-1)a n-1=n-1,②所以①-②得,(2-n)a n+(n-1)a n-1=1,③所以(1-n)a n+1+na n=1,④所以③-④得,2a n=a n-1+a n+1(n≥2),所以数列{a n}为等差数列,因为当n=1时,2S1-a1=1,所以a1=1,因为S20=20+d=-360,所以d=-2.所以a2=1-2=-1.答案:-116.解析:(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=100,当且仅当x=,即x=300时等号成立,故该单位月处理量为300吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为100元.(2)设该单位每月获利为S元,则S=200x-y=-x2+400x-45 000=-(x-400)2+35 000,令S>0,则x∈(400-100,400+100),又因为x∈[300,600],所以S∈[15 000,35 000].故该单位每月获利,最大利润为35 000元.答案:(1)300 (2)35 000元17.解:(1)因为不等式的解集为{x|x<-4或x>-1},所以-1和-4是方程kx2-x+4k=0的两个实根,由韦达定理得x1+x2=,解得k=-.(2)不等式kx2-x+4k<0的解集为⌀,所以k>0且Δ=1-16k2≤0,解得k≥.18.解:(1)当n=k∈N+时,S n=-n2+kn取最大值8,即8=S k=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而a n=S n-S n-1=-n(n≥2).又a1=S1=,所以a n=-n.(2)设b n==,T n=b1+b2+…+b n=1+++…++,所以T n=2T n-T n=2+1++…+-=4--=4-.19.解:(1)≤x-1⇔≤0⇔≥0⇔⇔x≥3或-1≤x<1.所以此不等式的解集为{x|x≥3或-1≤x<1}.(2)因为x∈(0,),所以2x>0,1-2x>0,所以y=+=(+)[2x+(1-2x)]=13++≥25,当且仅当x=时,等号成立,即函数的最小值为25.20.(1)解:由题意得,4S n=(a n+1)2,4S n-1=(a n-1+1)2,作差得--2(a n+a n-1)=0,即(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0.由正项数列知a n+a n-1>0,所以a n-a n-1=2.所以数列{a n}是等差数列,其中a1=1,所以a n=2n-1.(2)证明:因为c n==(-),所以T n=(1-)<,又因为{T n}是单调递增数列,所以T n≥T1=,所以≤T n<.21.解:(1)由{a n a n+1}是公比为的等比数列,得=,即=. 所以a1,a3,a5,a7,…,a2k-1,…是公比为q=的等比数列;a2,a4,a6,a8,…,a2k,…是公比为q=的等比数列.当n为奇数时,设n=2k-1(k∈N*),a n=a2k-1=a1q k-1=()k-1=()=();当n为偶数时,设n=2k(k∈N*),a n=a2k=a2q k-1=()k=().综上,a n=(2)b n=3a2n+2n-7=3·()+2n-7=+2n-7.S n=b1+b2+b3+…+b n=(+++…+)+=3·+n2-6n=n2-6n+3-.S n=(n-3)2-6-.当n≥3时,S n是关于n的增函数,即S3<S4<S5<….因为S1=-=-,S2=-=-,S3=-,所以S1>S2>S3;于是(S n)min=S3=-.22.(1)证明:由已知,2b n=a n+a n+1,①=b n b n+1,②由②可得,a n+1=,③将③代入①得,对任意n∈N*,n≥2,有2b n=+,即2=+,所以{}是等差数列.解:(2)设数列{}的公差为d,由a1=10,a2=15,得b1=,b2=18,所以=,=3,所以d=-=,=+(n-1)d=+(n-1)·=(n+4),所以b n=,=b n-1b n=·,a n=.(3)由(2)==2(-),所以,S n=2[(-)+(-)+…+(-)]=2(-),故不等式2aS n<2-化为4a(-)<2-,即a<当n∈N*时恒成立,令f(n)==·=(1+)(1+)=1+++,则f(n)随着n的增大而减小,且f(n)>1恒成立.故a≤1,所以,实数a的取值范围是(-∞,1].阶段检测试题(四)1.D 解析:棱台也有两个面平行,其余各面都是四边形,所以排除A;有两个面平行,其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行,如图(1)几何体就不是棱柱.排除B.又据图(2)排除C;只有D符合棱台的定义.2.B 解析:由三视图知此多面体是一个斜四棱柱,其表面积S=2×(3×3+3×6+3×3)=54+18.故选B.3.D 解析:对A,直线m,n可能平行、异面或相交,故选项A错误;对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故选项B错误;对C,m与n垂直而非平行,故选项C错误;对D,垂直于同一平面的两直线平行,故选项D正确.4.B 解析:由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为,高为的圆锥的组合体,其体积为2××π×()2×=π.5.C 解析:由三视图知其直观图为两个圆台的组合体,水是匀速注入的,所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大,又因为容器的对称性,所以函数图象关于一点中心对称.故选C.6.D 解析:易证BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC;OM∥PA,易证OM∥平面APC;因为BC⊥平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长;故①②③都正确.7.D 解析:由于a,b,c三个向量共面,所以存在实数m,n使得c=ma+nb,即有解得m=,n=,λ=.8.B 解析:对于选项A,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或异面,A错误;显然选项B 正确;对于选项C,若m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,C错误;对于选项D,若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n与α相交,D错误.故选B.9.B 解析:由题意可知,球的半径R==3(cm),所以球的体积V=πR3=π×33=36π(cm3).10.D 解析:如图,连接AC,交BD于O,连接OE,在△CC1A中,易证OE∥AC1.从而AC1∥平面BDE,所以直线AC1到平面BDE的距离即为点A到平面BDE的距离,设为h.由等体积法,得=S△BDE×h==S△ABD×EC=××2×2×=.又因为在△BDE中,BD=2,BE=DE=,所以OE=2,所以S△BDE=×2×2=2.所以h=1.故选D.11.D 解析:如图,由题意可知∠AMN=60°,设球心为O,连接ON,OM,OB,OC,则ON⊥CD,OM⊥AB,且OB=4,OC=4.在圆M中,因为π·MB2=4π,所以MB=2.在△OMB中,OB=4,所以OM=2.在△MNO中,OM=2,∠NMO=90°-60°=30°,所以ON=.在△CNO中,ON=,OC=4,所以CN=,所以S=π·CN2=13π.故选D.12.A 解析:根据正方体的几何特征知,平面ACD1是边长为的正三角形,且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点,故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,由图得△ACD1内切圆的半径是×tan 30°=,故所求的截面圆的面积是π×()2=.故选A.13.解析:如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BD ⊥EF.故要证BD⊥EF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.答案:①③14.解析:正四棱锥O ABCD中,顶点O在底面的射影为底面中心E,则×()2×OE=,所以OE=,故球半径OA==,从而球的表面积为24π.答案:24π15.解析:以O为原点,向量,,向量为x,y,z轴正方向,SO为一个单位长度建立空间直角坐标系,则有A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),S(0,0,1),D(0,-1,0),P(0,-,),向量=(-1,-1,0),向量=(-1,,-),=(-2,0,0),设n=(x,y,z)是平面PAC的法向量,所以令z=1,x=0,y=1,所以n=(0,1,1),cos<,n>==-.所以BC与平面PAC所成角为30°.答案:30°16.解析:以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点E(1,a,1)(0≤a≤1),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),=(1,a,0),=(0,1,0),=(-1,1,1),设n=(x,y,z)是平面ABC1D1的法向量,则n·=0,n·=0.所以解得x=1,z=1.所以n=(1,0,1),所以E点到平面ABC1D1的距离d===.答案:17.(1)解:由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=·AB·AC·sin 60°=.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P ABC的体积V=·S△ABC·PA=.(2)证明:如图,在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN,又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.在Rt△BAN中,AN=AB·cos ∠BAC=,从而NC=AC-AN=,由MN∥PA,得==.18.解:因为2a+3b=2(3,5,-4)+3(2,1,8)=(12,13,16),3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28),a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=3×2+5×1-4×8=-21,|a|==,|b|==,所以cos<a,b>===-.因为(λa+μb)·(0,0,1)=(3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ)·(0,0,1)=-4λ+8μ=0,所以只要λ,μ满足λ=2μ即可使λa+μb与z轴垂直.19.(1)证明:连接AM,AM∩ND=F,四边形ADMN为正方形,则F是AM的中点. 又因为EA=EB,连接EF,则EF为△ABM的中位线,所以EF∥BM.又因为BM⊄平面NDE,EF⊂平面NDE,所以BM∥平面NDE.(2)解:当BE=2EA时,E为AB的三等分点.所以AE=AB=2,MN=MD=3,可证得AE⊥平面ADMN.所以==S△MND·AE=××MN×MD×AE=××3×3×2=3.20.(1)证明:取AB的中点O,连接EO,DO.因为EB=EA,所以EO⊥AB.因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,所以四边形OBCD为正方形,所以AB⊥OD.又EO∩OD=O,所以AB⊥平面EOD.因为ED⊂平面EOD,所以AB⊥ED.(2)解:法一因为平面ABE⊥平面ABCD,且AB⊥BC,所以BC⊥平面ABE.则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角.设BC=a,则AB=2a,BE=a,所以CE= a.则在直角三角形CBE中,sin ∠CEB===,即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.法二因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,所以EO⊥平面ABCD,所以EO⊥OD.由OB,OD,OE两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系.因为△EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE.设OB=1,则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1). 所以=(1,1,-1),平面ABE的一个法向量为=(0,1,0).设直线EC与平面ABE所成的角为θ,所以sin θ=|cos<,>|==.即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.21.(1)证明:在三棱柱ABC A 1B1C1中,因为A1B⊥平面ABC,A1B⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面ABC.因为平面ABB1A1∩平面ABC=AB,AB⊥AC,所以AC⊥平面ABB1A1,所以AC⊥BB1.(2)解:如图所示,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),==(2,-2,0).设=λ=(2λ,-2λ,0),λ∈[0,1],则P(2λ,4-2λ,2).设平面PAB的一个法向量为n1=(x,y,z),因为=(2λ,4-2λ,2),=(0,2,0),所以即所以令x=1,得n1=(1,0,-λ).而平面ABA1的一个法向量是n2=(1,0,0),所以|cos<n1,n2>|===,解得λ=,即P为棱B1C1的中点.22.(1)证明:因为MB∥NC,MB⊄平面DNC,NC⊂平面DNC,所以MB∥平面DNC.同理MA∥平面DNC,又MA∩MB=M,且MA,MB⊂平面MAB.所以平面MAB∥平面NCD,又AB⊂平面MAB,所以AB∥平面DNC.(2)解:法一过N作NH⊥BC交BC延长线于H,连DH(图略),因为平面AMND⊥平面MNCB,交线为MN,DN⊥MN,所以DN⊥平面MNCB,BC⊂平面MNCB,所以DN⊥BC,所以BC⊥平面DNH,从而DH⊥BC,所以∠DHN为二面角D BC N的平面角.所以∠DHN=30°,由MB=4,BC=2,∠MCB=90°知∠MBC=60°,CN=4-2cos 60°=3.所以NH=3·sin 60°=.由条件知,tan ∠NHD==,所以DN=NH·=×=.法二如图,以点N为坐标原点,以NM,NC,ND所在直线分别作为x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系Nxyz.易得NC=3,MN=,设DN=a,则D(0,0,a),C(0,3,0),B(,4,0),M(,0,0),A(,0,a).设平面DBC的法向量n1=(x,y,z),=(0,3,-a),=(,1,0),则令x=-1,则y=,z=.所以n1=(-1,,).又平面NBC的法向量n2=(0,0,1).所以cos<n1,n2>===.即=,所以a2=,又a>0,所以a=.即DN=.阶段检测试题(五)1.C 解析:因为直线l1与直线l2平行,所以m(m+1)-2×3=0,解得m=2或-3,经检验m=2或-3符合题意.故选C.2.B 解析:抛物线的标准方程为x2=-y,所以焦点坐标是(0,-),故选B.3.B 解析:由-y2=1,得c2=a2+b2=3,所以c=±.故双曲线的焦点坐标为(-,0),(,0).4.A 解析:因为圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,所以令x-y+1=0中y=0,得x=-1.即圆心坐标为(-1,0).因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以圆心C到直线x+y+3=0的距离d=r,即r==,则圆C方程为(x+1)2+y2=2.5.C 解析:因为椭圆+=1(a>0)与双曲线-=1有相同的焦点(±,0), 则有a2-9=7,所以a=4.6.C 解析:由椭圆的右焦点为(2,0),所以=2,所以p=4,故选C.7.D 解析:当9>4-k>0,即4>k>-5时,a=3,c2=9-(4-k)=5+k,所以=,解得k=.当9<4-k,即k<-5时,a=,c2=-k-5,所以=,解得k=-21.8.B 解析:设P(x0,y0),抛物线准线x=-1,所以x0=5-1=4,所以|y0|==4,所以△MPF的面积为×5×4=10.故选B.9.A 解析:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由点P(2,)在椭圆上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2·2c,=,又c2=a2-b2,所以a2=8,b2=6.所以椭圆方程为+=1.10.C 解析:如图,连接AC,BC,设∠CAB=θ,连接PC与AB交于点D,因为AC=BC,△PAB是等边三角形,所以D是AB的中点,所以PC⊥AB,在圆C:(x-1)2+(y-2)2=2中,圆C的半径为,|AB|=2cos θ,|CD|=sin θ,所以在等边△PAB中,|PD|=|AB|=cos θ,所以|PC|=|CD|+|PD|=sin θ+cos θ=2sin(θ+)≤2,故选C.11.B 解析:圆(x-2)2+y2=1,半径为1,又y2=8x的焦点为(2,0),所以直线y=x-2过抛物线的焦点和圆心,|AB|+|CD|=|AD|-2,联立y=x-2与y2=8x得,x2-12x+4=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=12,|AD|=x1+x2+4=16,|AB|+|CD|=|AD|-2=14,故选B.12.B 解析:设线段PF2的垂直平分线与l2的交点为M,由垂直平分线的性质,得|MP|=|MF2|,且MP⊥l1,则点M的轨迹是抛物线,焦点为F2(1,0),即抛物线的标准方程为y2=4x.故B(,y1),C(,y2),则由AB⊥BC,得·=(-1)(-)+(y1-2)(y2-y1)=0(y1≠y2≠2),即+1=0,即+(2+y2)y1+2y2+16=0有解,则Δ=(2+y2)2-4(2y2+16)=-4y2-60≥0,即y2≥10或y2≤-6.当y2=-6时代入方程得y1=2,不适合,所以y2≥10或y2<-6.故选B.13.解析:设P(x,y)是曲线C上的任意一点,所以|PF|+|y+1|=4.即+|y+1|=4,解得y≥-1时,y=2-x2,当y<-1时,y=x2-2;显然①曲线C关于y轴对称;正确.②若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;正确.③若点P在曲线C上,|PF|+|y+1|=4,|y|≤2,则1≤|PF|≤4.正确.答案:①②③14.解析:由题意可设点B(x0,1),C(x0+,2),由其在y2=2px(p>0)上, 得解得A到焦点的距离为x0+=+=.答案:15.解析:因为圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)的圆心为(a,a),半径为1, 圆心到直线y=2x的距离d==,弦PQ的长为2=2,所以△CPQ的面积S=×2×=×≤=. 当且仅当=,即a=时等号成立,此时△CPQ的面积取得最大值.答案:16.解析:由已知可得直线l的方程为ay+bx-ab=0,因为原点到直线l的距离为c,所以=c,又c2=a2+b2,所以4ab=c2,两边平方,得16a2b2=3c4,即16a2(c2-a2)=3c4,两边同除以a4并整理,得3e4-16e2+16=0,所以e2=4或e2=.由b>a,得e2==1+>2,所以e2=4.又e>1,故e=2.答案:217.解:(1)由题设得4a=16⇒a=4,又=得c=2,所以F2(2,0),所以l:y=x-2.(2)由题设得=,得a=2c,b=c,则椭圆C:3x2+4y2=12c2,又有l:y=x-c,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得7x2-8cx-8c2=0,则x1+x2=c,x1x2=-c2且Δ>0,所以|AB|=== c=,解得c=1,从而得所求椭圆C的方程为+=1.18.解:(1)抛物线C的准线方程为y=-,所以|MF|=m+=4,又因为16=2pm,所以p2-8p+16=0,得p=4,所以抛物线C的标准方程为x2=8y.(2)设A(x A,y A),EA:x=ky-1,联立消去x得k2y2-(2k+8)y+1=0,因为EA与C相切,所以Δ1=(2k+8)2-4k2=0,即k=-2,所以y A=,x A=-2,得A(-2,),设B(x B,y B),EB:x=ty-1,联立消去x得(t2+1)y2-(2t+4)y+1=0,因为EB与圆F相切,所以Δ2=(2t+4)2-4(t2+1)=0,即t=-,所以y B=,x B=-,得B(-,),所以直线AB的斜率k AB=,可得直线AB的方程为y=x+2,经过焦点F(0,2).19.解:(1)将曲线C的方程化为x2+y2-2ax-y=0⇒(x-a)2+(y-)2=a2+,可知曲线C是以点(a,)为圆心,以为半径的圆.(2)△AOB的面积S为定值.证明如下:在曲线C的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得点A(2a,0), 在曲线C方程中令x=0,得y(ay-4)=0,得点B(0,),所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值).(3)因为圆C过坐标原点,且|OM|=|ON|,所以OC⊥MN,所以=,所以a=±2.当a=-2时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为.圆心到直线l:y=-2x+4的距离d==>,直线l与圆C相离,不合题意舍去,a=2时符合题意.这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0.20.(1)证明:设直线AB的方程为my=x-2.由得y2-4my-8=0,所以y1y2=-8.因此y1y2为定值-8.(2)解:存在.假设存在直线x=a满足条件,则AC的中点E(,),AC=,因此以AC为直径的圆的半径r=AC==,又E点到直线x=a的距离d=|-a|,所以所截弦长为2=2==,当1-a=0即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.21.解:(1)因为·=0,A(2,),F1(-c,0),F2(c,0),所以(c-2,-)·(2c,0)=0,所以c=2或0(舍去),因为A在椭圆上,所以+=1,又a2=b2+c2,所以a2=8,b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)存在.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将l:y=kx+m代入C:+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,因为Δ>0,所以8k2-m2+4>0,且x1+x2=-,x1x2=,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=, 因为OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即+=0,所以k2=,由≥0和8k2-m2+4>0,得m2≥.因为l与圆x2+y2=r2相切,所以r2==,所以存在圆x2+y2=符合题意,此时r=.22.解:(1)由题意知A(-a,0),B(0,1),M(-,),则=-,得a=2,故E的标准方程为+y2=1.(2)设直线l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得(4+m2)y2+2mny+n2-4=0,y1+y2=-,y1y2=,x1+x2=.则M(,-),由|OM|=1得n2=,设直线l与x轴的交点为D(n,0),则S△AOB=|OD||y1-y2|=|n||y1-y2|,则=n2(y1-y2)2=,设t=m2+4(t≥4),则==48×=≤=1,则S△AOB≤1,当且仅当t=12时,△AOB的面积取得最大值1.阶段检测试题(六) 1.C 解析:因为z=1+i,所以z2=(1+i)2=2i,===1-i,所以-z2=1-i-2i=1-3i,故选C.2.A 解析:因为复数z满足z(2+i)=,所以z===1-3i,则z的共轭复数=1+3i.故选A.3.D 解析:两边各留下2 m,中间剩下1 m,所以两段的长度都不小于2 m的概率为.故选D.4.B 解析:由题意知,月收入在[1 000,1 500)的频率为0.000 8×500=0.4,又月收入在[1 000,1 500)的有4 000人,故样本容量n==10 000.又月收入在[2 500,3 500)的频率为1-(0.000 8+0.000 4+0.000 3+0.000 1)×500=0.2,所以样本中月收入在[2 500,3 500)的人数为0.2×10 000=2 000.故选B.5.C 解析:由题意得,当输入值为n=6时,n不满足“n是奇数”条件,执行n=得,n=3,i=2,n不满足“n=2”的条件满足“n是奇数”的条件,执行n=3n-5得n=4,i=3,n不满足“n=2”的条件不满足“n是奇数”的条件,执行n=得n=2,i=4,n满足“n=2”的条件,退出循环,则输出的结果为i=4,故选C.6.B 解析:小明口袋里有一元餐票2张,两元餐票3张,五元餐票1张,从他口袋中随意摸出2张,基本事件总数n==15,其面值之和不少于4元包含的基本事件个数m=++=8,所以从他口袋中随意摸出2张,其面值之和不少于4元的概率P==.故选B.7.D 解析:由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,a12=6,a13=2,a14=2.可见从第3项开始,{a n}为周期为6的循环数列,根据规律得a2 017=2.8.B解析:第一组(130,130,133,134,135),第二组(136,136,138,138,138),第三组(139,141,141,141,142),第四组(142,142,143,143,144),第五组(144,145,145,145,146),第六组(146,147,148,150,151),第七组(152,152,153,153,153),故成绩在[139,151]上恰有4组,故有4人,选B.9.C 解析:分析程序框图可得其功能是计算8个数据的方差,计算=104.因此方差=[(100-104)2+(101-104)2+(103-104)2+(103-104)2+(104-104)2+(106-104)2+(107-104)2+(108 -104)2]=(16+9+1+1+0+4+9+16)=7.故选C.10.B 解析:由题意得展开式中只有第5项的二项式系数最大,所以n=8,所以(-x)8展开式的第4项为T3+1=(-)3x3=-7.故选B.11.A 解析:因为有放回地随机摸取三次共有53=125种情况,其中三次都没有五号球的共有43=64种,三次都没有四号球和二号球的共有33=27种,三次既没有五号球又没有四号球和二号球的共有23=8种,所以摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的共有125-64-27+8=42种情况,因此摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率是,故选A.12.C 解析:设最可能击中目标n次,所以整理为解得7.14≤n≤8.14,所以n=8.故选C.13.解析:依题意,有a=7,=,7=,7b+7=343,b=48.故a+b=55.答案:5514.解析:由输入l=2,m=3,n=5,计算得出y=278>105,由此得到y=173>105,再循环一次得到y=68<105,所以输出68.答案:6815.解析:P(A)==,P(AB)==,故P(B|A)==.答案:16.解析:由于乙、丁的话互相矛盾,因此他们两个中一个为真,一个为假,从而甲、丙为真话.如果乙是假话,则丁是真话,又甲是真话,此时丙就为假话,矛盾,故乙是真话,丁是假话.答案:丁17.解:结论为(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.证明:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-(a2c2+b2d2+2abcd)=a2d2-2abcd+b2c2=(ad-bc)2≥0,所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.18.解:(1)第5个等式5+6+7+…+13=81;(2)猜测第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.证明:①当n=1时显然成立;②假设n=k(k≥1,k∈N+)时也成立,即有k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2,那么当n=k+1时,左边=(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2k-1)+3k+(3k+1)=(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1)=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1]2=右边.这就是说n=k+1时等式也成立.根据①②知,等式对任何n∈N+都成立.19.解:(1)由所给数据计算得=(1+2+3+4+5)=3,=(0.6+0.8+0.9+1.2+1.5)=1,(x i-)2=4+1+0+1+4=10,(x i-)(y i-)=(-2)×(-0.4)+(-1)×(-0.2)+0+1×0.2+2×0.5=2.2,==0.22,=-=1-0.22×3=0.34,所求的回归方程为=0.22x+0.34.(2)由(1)知,当x=7时,=0.22×7+0.34=1.88.于是预测2017年第七届中国柳州国际水上狂欢节到柳州的外地游客可达18万8千人,由188 000×100=18 800 000(元),预测2017年第七届柳州国际水上狂欢节期间外地游客可为该市增加的旅游收入达1 880万元.20.解:(1)2×2列联表如下:(2)K2=≈8.25>6.635,所以有99%的把握认为爱好该项运动与性别有关.(3)由题意,抽取6人中,男生4名,女生2名,选出3人中的女大学生人数为X,X的取值为0,1,2, 则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.X的分布列为E(X)=0×+1×+2×=1.21.解:(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(62.8<X≤67.2)=0.8>0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(60.6<X≤69.4)=0.94<0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=P(58.4<X≤71.6)=0.98<0.997 4,因为设备M的数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙.(2)样本中次品共6件,可估计设备M生产零件的次品率为0.06.(i)由题意可知Y～B(2,),于是E(Y)=2×=.(ii)由题意可知Z的分布列为E(Z)=0×+1×+2×=.22.解:(1)设事件A:在这10名被采访者中任取两人,这两人的成绩满意度指标x相同,成绩满意度指标为0的有1人;成绩满意度指标为1的有7人;成绩满意度指标为2的有2人.则P(A)==.(2)统计结果,幸福感等级是一级的被采访者共6人,幸福感等级不是一级的被采访者共4名,随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,5P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==.。
高等数学阶段考试题及答案
高等数学阶段考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x等于（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 曲线y=x^3-3x+2在x=1处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + ...答案：C6. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^xC. 1/e^x + CD. ln(e^x) + C答案：A7. 以下哪个选项是二阶导数？（）A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B8. 函数f(x)=x^2+3x+2的极小值点是（）。
B. x=-1C. x=1D. x=2答案：B9. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？（）A. 0/0B. ∞/∞C. 0×∞D. 1^∞答案：B10. 以下哪个函数是周期函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的导数是_______。
答案：3x^22. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^2+1)的值是_______。
答案：13. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是_______。
4. 曲线y=x^2在x=2处的切线方程是_______。
高等数学Ⅱ本科类第阶段练习题及答案
dy y
cos x
18. 求微分方程 dx x
的通解。
19. 求微分方程 ( y sin x)dx
tan xdy
0 满足初始条件
y( ) 6
1
的解。
(a)
y arctan
1 ln( x2
y2 )
C (b) arctan y
ln( x2
y2)
C
x2
x
(c)
y arctan
ln( x2
y2 )
C (d)
y arctan
1 ln( x2
y2)
C
x
x2
二 . 填空题 ( 每题 4 分，共 28 分)
6. 设 z
xy3 , 则 z xx1
y3
____
______
7. 设 z
2
cot( y
z xy) , 则
____
y
y
8. 设 z ex
x sin y , 则
2z =___
xy
_______ ________
9. 设 z ln(3 y 2x) ex2 y , 则 dz =____二次积分次序 I dx f (x, y)dy =_______
14. 求函数 z xy(3 x y),( x 0, y 0) 的极值。
xy 2 dxdy
15. 计算 D
, 其中 D 是由曲线 xy 1, y x2, y 3 围成的平面区域。
ex2 y2 dxdy
2
2
16. 计算 D
, 其中 D 是由 2 x y 5 确定。
dy 17. 求微分方程 dx
y y 2 x 的通解。
江南大学现代远程教育第三阶段练习题
高考数学(理)(全国通用版)大一轮复习 阶段检测试题(五) word版含答案
阶段检测试题(五)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y+2=0平行,则m的值为( C )(A)-2 (B)-3 (C)2或-3 (D)-2或-3解析:因为直线l1与直线l2平行,所以m(m+1)-2×3=0,解得m=2或-3,经检验m=2或-3符合题意.故选C.2.抛物线y=-4x2的焦点坐标是( B )(A)(0,-) (B)(0,-) (C)(-1,0) (D)(-,0)解析:抛物线的标准方程为x2=-y,所以焦点坐标是(0,-),故选B.3.已知双曲线的方程为-y2=1,则它的焦点坐标为( B )(A)(±1,0) (B)(±,0) (C)(0,±) (D)(0,±1)解析:由-y2=1,得c2=a2+b2=3,所以c=±.故双曲线的焦点坐标为(-,0),(,0).4.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是( A )(A)(x+1)2+y2=2 (B)(x+1)2+y2=8 (C)(x-1)2+y2=2 (D)(x-1)2+y2=8 解析:因为圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,所以令x-y+1=0中y=0,得x=-1.即圆心坐标为(-1,0).因为圆C与直线x+y+3=0相切,所以圆心C到直线x+y+3=0的距离d=r,即r==,则圆C方程为(x+1)2+y2=2.5.已知椭圆+=1(a>0)与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为( C )(A) (B) (C)4 (D)解析:因为椭圆+=1(a>0)与双曲线-=1有相同的焦点(±,0), 则有a2-9=7,所以a=4.6.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为( C )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由椭圆的右焦点为(2,0),所以=2,所以p=4,故选C.7.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为( D )(A)-21 (B)21(C)-或21 (D)或-21解析:当9>4-k>0,即4>k>-5时,a=3,c2=9-(4-k)=5+k,所以=,解得k=.当9<4-k,即k<-5时,a=,c2=-k-5,所以=,解得k=-21.8.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为( B )(A)5 (B)10 (C)20 (D)解析:设P(x0,y0),抛物线准线x=-1,所以x0=5-1=4,所以|y 0|==4,所以△MPF的面积为×5×4=10.故选B.9.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF 1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( A )(A)+=1 (B)+=1 (C)+=1 (D)+=1解析:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由点P(2,)在椭圆上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2·2c,=,又c2=a2-b2,所以a2=8,b2=6.所以椭圆方程为+=1.10.已知圆C:x2+y2-2x-4y+3=0,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则|PC|的最大值为( C )(A)(B)(C)2(D)2解析:如图,连接AC,BC,设∠CAB=θ,连接PC与AB交于点D,因为AC=BC,△PAB是等边三角形,所以D是AB的中点,所以PC⊥AB,在圆C:(x-1)2+(y-2)2=2中,圆C的半径为,|AB|=2cos θ,|CD|=sin θ,所以在等边△PAB中,|PD|=|AB|=cos θ,所以|PC|=|CD|+|PD|=sin θ+cos θ=2sin(θ+)≤2,故选C.11.直线y=x-2与圆x2+y2-4x+3=0及抛物线y2=8x由上往下依次交于A,B,C,D四点,则|AB|+|CD|等于( B )(A)13 (B)14 (C)15 (D)16解析:圆(x-2)2+y2=1,半径为1,又y2=8x的焦点为(2,0),所以直线y=x-2过抛物线的焦点和圆心,|AB|+|CD|=|AD|-2,联立y=x-2与y2=8x得,x2-12x+4=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=12,|AD|=x1+x2+4=16,|AB|+|CD|=|AD|-2=14,故选B.12.已知椭圆C1:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于直线l1于点P,线段PF2的垂直平分线与l2的交点的轨迹为曲线C2,若A(1,2),B(x1,y1),C(x2,y2)是C2上不同的点,且AB⊥BC,则y2的取值范围是( B )(A)[-6,10] (B)(-∞,-6]∪[10,+∞)(C)(-∞,-6)∪(10,+∞) (D)(-6,10)解析:设线段PF2的垂直平分线与l2的交点为M,由垂直平分线的性质,得|MP|=|MF2|,且MP⊥l1,则点M的轨迹是抛物线,焦点为F2(1,0),即抛物线的标准方程为y2=4x.故B(,y1),C(,y2),则由AB⊥BC,得·=(-1)(-)+(y1-2)(y2-y1)=0(y1≠y2≠2),即+1=0,即+(2+y 2)y1+2y2+16=0有解,则Δ=(2+y 2)2-4(2y2+16)=-4y2-60≥0,即y2≥10或y2≤-6.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C.关于曲线C的几何性质,给出下列三个结论:①曲线C关于y轴对称;②若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;③若点P在曲线C上,则1≤|PF|≤4.其中,所有正确结论的序号是.解析:设P(x,y)是曲线C上的任意一点,所以|PF|+|y+1|=4.即+|y+1|=4,解得y≥-1时,y=2-x2,当y<-1时,y=x2-2;显然①曲线C关于y轴对称;正确.②若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;正确.③若点P在曲线C上,|PF|+|y+1|=4,|y|≤2,则1≤|PF|≤4.正确.答案:①②③14.已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,且AB∥CD,CD=2AB=4,∠ADC=60°,则点A到抛物线的焦点的距离是.解析:由题意可设点B(x 0,1),C(x0+,2),由其在y2=2px(p>0)上,得解得A到焦点的距离为x 0+=+=.答案:15.已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=2x相交于P,Q两点,则当△CPQ的面积最大时,实数a的值为.解析:因为圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)的圆心为(a,a),半径为1,圆心到直线y=2x的距离d==,弦PQ的长为2=2,所以△CPQ的面积S=×2×=×≤=.当且仅当=,即a=时等号成立,此时△CPQ的面积取得最大值.答案:16.设双曲线-=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为c,则双曲线的离心率为.解析:由已知可得直线l的方程为ay+bx-ab=0,因为原点到直线l的距离为c,所以=c,又c2=a2+b2,所以4ab=c2,两边平方,得16a2b2=3c4,即16a2(c2-a2)=3c4,两边同除以a4并整理,得3e4-16e2+16=0,所以e2=4或e2=.由b>a,得e2==1+>2,所以e2=4.又e>1,故e=2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,经过点F2且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A,B两点.(1)若△ABF1的周长为16,求直线l的方程;(2)若|AB|=,求椭圆C的方程.解:(1)由题设得4a=16⇒a=4,又=得c=2,所以F2(2,0),所以l:y=x-2.(2)由题设得=,得a=2c,b=c,则椭圆C:3x2+4y2=12c2,又有l:y=x-c,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,得7x2-8cx-8c2=0,则x1+x2=c,x1x2=-c2且Δ>0,所以|AB|=== c=,解得c=1,从而得所求椭圆C的方程为+=1.18.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点为F,C上的一点M(4,m)满足|MF|=4.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点E(-1,0)作不经过原点的两条直线EA,EB分别与抛物线C和圆F:x2+(y-2)2=4相切于点A,B,试判断直线AB是否经过焦点F.解:(1)抛物线C的准线方程为y=-,所以|MF|=m+=4,又因为16=2pm,所以p2-8p+16=0,得p=4,所以抛物线C的标准方程为x2=8y.(2)设A(x A,y A),EA:x=ky-1,联立消去x得k2y2-(2k+8)y+1=0,因为EA与C相切,所以Δ1=(2k+8)2-4k2=0,即k=-2,所以y A=,x A=-2,得A(-2,),设B(x B,y B),EB:x=ty-1,联立消去x得(t2+1)y2-(2t+4)y+1=0,因为EB与圆F相切,所以Δ2=(2t+4)2-4(t2+1)=0,即t=-,所以y B=,x B=-,得B(-,),所以直线AB的斜率k AB=,可得直线AB的方程为y=x+2,经过焦点F(0,2).19.(本小题满分12分)已知曲线C的方程为ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a为常数).(1)判断曲线C的形状;(2)设曲线C分别与x轴,y轴交于点A,B(A,B不同于原点O),试判断△AOB的面积S是否为定值?并证明你的判断;(3)设直线l:y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M,N,且|OM|=|ON|,求曲线C的方程.解:(1)将曲线C的方程化为x2+y2-2ax-y=0⇒(x-a)2+(y-)2=a2+, 可知曲线C是以点(a,)为圆心,以为半径的圆.(2)△AOB的面积S为定值.证明如下:在曲线C的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得点A(2a,0), 在曲线C方程中令x=0,得y(ay-4)=0,得点B(0,),所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值).(3)因为圆C过坐标原点,且|OM|=|ON|,所以OC⊥MN,所以=,所以a=±2.当a=-2时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为.圆心到直线l:y=-2x+4的距离d==>,直线l与圆C相离,不合题意舍去,a=2时符合题意.这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,过点C(2,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求证:y1y2为定值;(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求该直线方程和弦长;如果不存在,说明理由.(1)证明:设直线AB的方程为my=x-2.由得y2-4my-8=0,所以y1y2=-8.因此y1y2为定值-8.(2)解:存在.假设存在直线x=a满足条件,则AC的中点E(,),AC=,因此以AC为直径的圆的半径r=AC==,又E点到直线x=a的距离d=|-a|,所以所截弦长为2=2==,当1-a=0即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.21.(本小题满分12分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F2,点A(2,)在椭圆上,且满足·=0.(1)求椭圆C的标准方程;(2)动直线l:y=kx+m与椭圆C交于P,Q两点,且OP⊥OQ,是否存在圆x2+y2=r2使得l恰好是该圆的切线,若存在,求出r;若不存在,说明理由.解:(1)因为·=0,A(2,),F 1(-c,0),F2(c,0),所以(c-2,-)·(2c,0)=0,所以c=2或0(舍去),因为A在椭圆上,所以+=1,又a2=b2+c2,所以a2=8,b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)存在.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将l:y=kx+m代入C:+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,因为Δ>0,所以8k2-m2+4>0,且x1+x2=-,x1x2=,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,因为OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即+=0,所以k2=,由≥0和8k2-m2+4>0,得m2≥.因为l与圆x2+y2=r2相切,所以r2==,所以存在圆x2+y2=符合题意,此时r=.22.(本小题满分12分)设椭圆E的方程为+y2=1(a>1),O为坐标原点,直线l与椭圆E交于A,B 两点,M为线段AB的中点.(1)若A,B分别为E的左顶点和上顶点,且OM的斜率为-,求E的标准方程;(2)若a=2,且|OM|=1,求△AOB面积的最大值.解:(1)由题意知A(-a,0),B(0,1),M(-,),则=-,得a=2,故E的标准方程为+y2=1.(2)设直线l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得(4+m2)y2+2mny+n2-4=0, y1+y2=-,y1y2=,x1+x2=.则M(,-),由|OM|=1得n2=,设直线l与x轴的交点为D(n,0),则S△AOB=|OD||y1-y2|=|n||y1-y2|,则=n2(y1-y2)2=,设t=m2+4(t≥4),则==48×=≤=1,则S△AOB≤1,当且仅当t=12时,△AOB的面积取得最大值1.。
高等数学Ⅱ(专科类)第2阶段测试题
江南大学现代远程教育 第二阶段测试卷考试科目:《高等数学》高起专 第三章至第四章（总分100分） 时间：90分钟__________学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：一． 选择题 (每题4分，共20分)1. 函数21cos()(1)(2)x f x x x =+- 的间断点的个数为（ ） (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 42. 曲线 331y x x =-+ 的拐点是(a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1)-3.要使函数()f x x= 在 0x = 处连续, 应给(0)f 补充定义的数值是 ( ). (a) 1 (b) 2(c)(d) 4. 函数 6ln(1)y x =+ 的单调增加区间为（ ） (a) (6,6)- (b) (,0)-∞ (c) (0,)+∞ (d) (,)-∞+∞5. 设函数()f x 在点 0x 处可导, 则 000(4)()lim h f x h f x h→+- 等于 ( ). (a) 04()f x '- (b) 04()f x ' (c) 02()f x '- (d) 0()f x '-二.填空题 (每题4分，共28分) 6. 1()sin 2(3)f x x =- 的间断点为______________. 7．罗尔定理的条件是________________________.8函数 333y x x =-+ 的单调区间为________.9.设 ,0(),2,0x e x f x a x x -⎧≤=⎨+>⎩ 在点 0x = 处连续, 则常数 a =______.10.函数 333,(23)y x x x =-+-≤≤ 的最大值点为_______, 最大值为______.11.由方程 2250xy x y e -+= 确定隐函数 ()y y x =, 则 y '=_________.12. 设函数 2()ln(2)f x x x =, 则 (1)f ''=________.三. 解答题 (满分52分)13.设函数 4,2,1(),(1)(2)2,1x bx a x x f x x x x ⎧++≠-≠⎪=-+⎨⎪=⎩在点 1x = 处连续, 试确定常数 ,a b 的值.14. 求函数y =在 [0,3] 上满足罗尔定理的 ξ。
大一高等数学期中试卷
高等数学期中试卷班级 姓名 计分 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．函数（ ）2．已知，2lim (2)0,2x x x →-=-则称函数当( )时为无穷小。
3．设x x x y arcsin 12-+=，则='y ______________________．4．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dx dy _______________．5.设 = _________．6.函数()22sin x x e x f x +--=在区间()∞+∞-，上的最小值为_____________． 7.3201sin limsin 2x x x x →=8.设()231ln e x y ++=，则='y 9.设⎩⎨⎧==t y t x ln 2 则=dxdy10.曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则，a= . b=二选择题（请选择一个正确答案序号填在括号中，共8小题，每小题3分共24分）1、指出下列哪些是基本初等函数（ ）（1）2y x =；(2) y =； 3；(sin y x = 4；)32ln(x y +=2、设在[0,1]上函数f(x)的图像是连续的，且()f x '>0,则下列关系一定成立的是( ) 1；f(0)<0 2；f(1)>0 3；f(1)>f(0) 4；f(1)<f(0)3、函数y=1+3x-x3有（ ）（A ）极小值-1,极大值1 （B ）极小值-2,极大值3 （C ）极小值-2,极大值2 （D ）极小值-1,极大值34、曲线1704,4y P x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭上一点处的切线方程是( )（A ）5x+16y+8=0 （B ）5x-16y+8=0 （C ）5x+16y-8=0 （D ）5x-16y-8=0351lim 232+--→x x x x5、31xy +=的反函数是（ ）A ；3ln 1y x =+（）B ；1y =C ；13-=x yD ；31x y e +=（）6、函数f(x)=xsinx+2x 2是（ ）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有界函数7、设函数f(x)在区间I 连续,那么f(x)在区间I 的原函数（ ）A.不一定存在B.有有限个存在C.有唯一的一个存在D.有无穷多个存在8.函数y=ex-x-1单调增加的区间是（ ） A.[)+∞-,1 B.()+∞∞-, C.(]0,∞- D.[)+∞,0 三、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →（10分）四、求函数 y=e -x ×conx 的二阶及三阶导数（8分）五、判断曲线21y x x =- 的凹 凸性和拐点（10分）六、某质点的运动方程是S=t 3-(2t-1)2,则在t=1s 时的瞬时速度为 。
高等数学Ⅱ(本科类)第1阶段练习题。江南大学。考试题库及答案。一科共有三个阶段,这是其中一个阶段。
高等数学Ⅱ(本科类)第1阶段练习题。
江南大学。
考试题库及答案。
一科共有三个阶段,这是其中一个阶段。
XXX网络教育第一阶段练题考试科目：《高等数学Ⅱ（本科类）》第3章至第4章（总分100分）研究中心（教学点）：__________批次：__________层次：__________专业：__________ 学号：__________身份证号：__________姓名：__________得分：__________一、单选题（共5题，总分值15分，下列选项中有且仅有一个选项符合题目要求，请在答题卡上正确填涂。
）1.以下哪个不是反三角函数？A。
XXX2.函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1,3]上的最大值为：A。
0 B。
1 C。
2 D。
33.函数f(x) = e^x在x = 0处的导数为：A。
0 B。
1 C。
e D。
-14.曲线y = x^3 - 3x^2 + 3x的拐点坐标为：A。
(1,-1) B。
(1,2) C。
(2,-1) D。
(2,2)5.若f(x) = 2x + 1.g(x) = x^2，则f(g(2))的值为：A。
9 B。
5 C。
7 D。
3二、填空题（共7题，总分值28分）6.函数f(x) = 2x - 1的图像关于直线x = 2对称。
7.函数f(x) = x^2 - 2x + 3在x = 1处取得最小值3.8.函数f(x) = ln(x+1)在x = e-1处的导数为1/(e-1+1)。
9.f(x) = 3x - 4.g(x) = x^2 + 1，则f(g(2))的值为5.10.函数f(x) = 1/x的反函数为f^-1(x) = x。
11.函数f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2在x = 1处的导数为8.三、解答题（共7题，总分值57分）13.求过点P(1,1)且斜率为2的直线方程。
解析：设直线方程为y = 2x + b，代入点P得1 = 2 + b，解得b = -1，因此直线方程为y = 2x - 1.14.求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[0,2]上的定积分。
高等数学考试题库及答案2024
高等数学考试题库及答案2024一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数y=f(x)=x^2+1在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 求极限lim(x→0) (sin x / x)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是连续函数：A. f(x) = x^2, x ≠ 0B. f(x) = 1 / x, x ≠ 0C. f(x) = x^3, x ≠ 1D. f(x) = sin x答案：D4. 函数y=x^3-3x+1的拐点是：A. x=0B. x=1C. x=-1D. x=2答案：B5. 以下哪个级数是收敛的：A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：D6. 函数y=ln(x)的定义域是：A. (-∞, 0)B. (0, ∞)C. (-∞, ∞)D. [0, ∞)答案：B7. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = cos xD. f(x) = sin x答案：D8. 以下哪个函数是偶函数：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = cos xD. f(x) = sin x答案：A9. 以下哪个选项是正确的：A. ∫(0 to 1) x dx = 1/2B. ∫(0 to 1) x^2 dx = 1/3C. ∫(0 to 1) x^3 dx = 1/4D. ∫(0 to 1) x^4 dx = 1/5答案：B10. 以下哪个函数是周期函数：A. f(x) = e^xB. f(x) = ln xC. f(x) = sin xD. f(x) = x^2答案：C二、填空题（每题5分，共30分）1. 函数y=x^3的二阶导数是______。
大一高等数学试题及答案
大一高等数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2的零点个数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 33. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 无穷大4. 曲线y = x^3 - 2x^2 + 3在x = 1处的切线斜率是（）。
A. -1B. 0C. 1D. 25. 以下哪个不是微分方程dy/dx = y/x的解（）。
A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^(-1)D. y = x6. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 17. 函数f(x) = ln(x)在区间[1, e]上的值域是（）。
A. [0, 1]B. [1, e]C. [0, e]D. [1, 2]8. 以下哪个是复合函数f(g(x))的导数（）。
A. f'(g(x)) * g'(x)B. f(g(x)) * g'(x)C. f'(x) * g'(x)D. f(x) * g'(x)9. 以下哪个是泰勒级数展开的公式（）。
A. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nB. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / n!) * (x - a)^nC. f(x) = ∑[n=0 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^nD. f(x) = ∑[n=1 to ∞] (f^(n)(a) / (n+1)!) * (x - a)^n10. 以下哪个是拉格朗日中值定理的条件（）。
A. f(x) 在区间[a, b]上连续B. f(x) 在区间(a, b)上可导C. f(x) 在区间[a, b]上可导D. f(x) 在区间(a, b)上连续且可导答案：1-5 C B B C A 6-10 B A A D D二、填空题（每题2分，共10分）1. 若f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6，则f'(x) = __________。
大四高等数学考卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是（）A.严格单调递增B.严格单调递减C.常数函数D.无法确定2.设函数f(x)=x^33x，则f(x)的极大值点为（）A.x=-1B.x=0C.x=1D.x=33.设函数f(x)=e^x，则f(x)的n阶导数为（）A.e^xB.ne^xC.(n-1)e^xD.e^(x+n)4.设函数f(x)=ln(x)，则f(x)在x=1处的二阶导数值为（）A.1B.0C.-1D.无限大5.设函数f(x)=sin(x)，则f(x)的泰勒展开式的前三项为（）A.xx^3/6B.x+x^3/6C.xx^3/3D.x+x^3/3二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增。
（）2.函数f(x)=x^33x在x=0处取得极大值。
（）3.函数f(x)=e^x的n阶导数仍为e^x。
（）4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为0。
（）5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为xx^3/6。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内是______。
2.函数f(x)=x^33x的极大值点为______。
3.函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
4.函数f(x)=ln(x)在x=1处的二阶导数值为______。
5.函数f(x)=sin(x)的泰勒展开式的前三项为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理的内容及其应用。
2.简述拉格朗日中值定理的内容及其应用。
3.简述泰勒公式的内容及其应用。
4.简述牛顿-莱布尼茨公式的内容及其应用。
5.简述高斯-赛德尔迭代法的内容及其应用。
大学《高等数学》期中期末考试卷解析(共四套)
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大学《高等数学》期中期末考试卷解析（共四套）
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）………………………………2 《高等数学》期中考试试题及答案解析（B卷）………………………………10 《高等数学》期末考试试题及答案解析（上册）………………………………18 《高等数学》期中考试试题及答案解析（下册）………………………………26
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）
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大四高等数学试卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.设函数f(x)在区间(a,b)内连续，且a和b为f(x)的不连续点，则f(x)在(a,b)内必有界的是（）A.无界B.有界C.不确定D.既无界又有界2.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)>0，则f(x)在I上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性3.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)<0，则f(x)在I上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性4.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)=0，则f(x)在I上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性5.设函数f(x)在区间I上可导，且f'(x)单调递增，则f(x)在I 上（）A.单调递减B.单调递增C.常数D.无单调性二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)≥0。
（）2.若函数f(x)在区间I上单调递减，则f'(x)≤0。
（）3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f''(x)≥0。
（）4.若函数f(x)在区间I上单调递减，则f''(x)≤0。
（）5.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'''(x)≥0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数值为______。
2.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的二阶导数值为______。
3.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的三阶导数值为______。
4.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的四阶导数值为______。
5.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的五阶导数值为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.请简述泰勒公式的定义及其在数学分析中的应用。
2.请简述拉格朗日中值定理的定义及其在数学分析中的应用。
大学高等数学阶段测验卷
第一章函数与极限阶段测验卷学号 班级 成绩考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。
2、请在答题卡上填涂好、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。
试卷类型划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。
3、答题卡填涂不符合规者，一切后果自负。
一．是非判断题(本大题共10题，每题2分，共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.（ ） A 、正确 B 、错误3. 函数xy e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义，则函数1()[()()]2g x f x f x =--是奇函数.（） A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.（ ） A. 正确 B. 错误6.函数y =是初等函数.（ ）A 、正确B 、错误7. 当x →∞时，函数22135x y x +=+趋向于13.（ ）A 、正确B 、错误 8. 当0x →时，函数212y x =与1cos y x =-是等价无穷小.（ ） A 、正确 B 、错误 9. 211limcos 2x x x →∞=-（ ） A 、正确 B 、错误10. 函数1(12),0;,0x x x y e x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续. ( )A 、正确B 、错误二．单项选择题(本大题共12个，每题3分，共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ).A. 25≤≤-x ;B. 2>x ;C. 2>x 或5-<x ;D. 5-<x .12. 函数x xy +-=11的反函数为（ ） A. x x y +-=11; B. x x y -+=11; C. x x y -+=121; D. x y +=11.13.函数211xy +=单调递增区间是（ ）. A. )1,0(; B. ),0(∞+; C. )0,(-∞; D. )1,(-∞. 14. 函数2)13arctan(+=x y 是由（ ）复合而成的. A. 13,arctan ,2+===x v v u u y ; B. 13,,arctan 2+===xv v u u y ; C. 13,arctan 2+==x u u y ; D. 2)13(,tan +==x u u y .15. 函数f (x )在0x 点的左、右极限存在是在该点极限存在的（ ）条件.A. 充分条件;B. 必要条件;C. 充要条件;D. 既非充分条件也非必要条件. 16. 设x x x f sin )(2-=，当0→x 时，下列说确的是（ ）. A. )(x f 是x 的等价无穷小; B. )(x f 是比x 的高阶无穷小; C. )(x f 是比x 的低阶无穷小; D. )(x f 是x 的同阶无穷小但不等价.17. 设11,1;(),1x e x f x a x x -⎧+≥=⎨+<⎩ ，若()f x 在1x =处连续，则=a ( ).A. 1;B. -1;C. -2;D. 0. 18. =-∞→xx xk 2)1(lim ( ).A. ke -; B. ke ; C. ke 2-; D. ke2.19. =∞→xxx sin lim( ).A. 1;B.e ;C. 2;D. 0.20. 设函数1,0()0,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，则=+→)(lim 0x f x ( ). A. 1; B. -1; C. 2; D. 0. 21. 函数f (x )在0x 点连续是在该点极限存在的（ ）条件.A. 充分条件;B. 必要条件;C. 充要条件;D. 既非充分条件也非必要条件. 22.下列极限不存在的是（ ）A. 11lim 31--→x x x ;B. 2lim +-∞→x x e ;C. )1(sin lim 2-→x x π; D. 20ln lim x x →.三、多项选择题（本大题共3题，每题4分，共12分） 23. 下列函数极限正确的是（ ）A. 1sin sin lim=--→a x a x a x ; B. 0tan ln lim 0=→xxx ;C. 1lim 1=∞→xx e ; D.e x x x x =+++∞→12)1232(lim . 24.当0x →时，以下各项错误的是（ ）A. a tan 与a 是等价无穷小;B. 22x x -是比32x x -的低阶无穷小; C. x arcsin 与x 2是同阶无穷小; D. 22x x -是比32x x -的高阶阶无穷小.25.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0;0,1sin )(x x xx x f 在0x =处，下列结论正确的是（ ） A. 当0x →时，)(x f 趋向于1; B. 当0x →时，)(x f 趋向于0; C. )(x f 在0x =处不连续; D. )(x f 在0x =处连续. 四、填空题(本大题共3题，每题4分，共12分)26. 若2(2)441f x x x =++，0()9f x =, 则0x = .27. 已知41lim121x ax bx x →∞++=+，则a=______________; b=_______________. 28. 若_________________, 则称变量0()()f x x x →为无穷小量. 五、求下列极限(本大题共2题，每题5分，共10分) 29．lim (x x →+∞-30. 30tan limx xx xe e →-六、试确定b a ,的值，使函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,;0,2;0,cos 1)(2x b x x x ax xx f 在),(+∞-∞上是连续函数(本大题共10分)。
大学高等数学测试题
大学高等数学测试题（正文开始）大学高等数学测试题1. **选择题**（每题2分，共40分）请选择下列各题中的正确答案。
1) 设函数 $f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$，则 $f(0) =$A. 0B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$D. 12) 函数 $f(x) = \frac{2x-1}{x^2+1}$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值为A. 1B. $\frac{1}{2}$C. $\sqrt{2}$D. 23) 已知曲线 $y = x^3 - 3x^2 + 3x$ 的切线方程为 $y = x - 1$，则曲线上点 $(a, f(a))$ 的纵坐标 $f(a)$ 等于A. 0B. 1C. 2D. 34) 函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的单调递减区间为A. $(-\infty, 1)$B. $(1, \infty)$C. $(1, 2)$D. $\emptyset$5) 设曲线 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a,b,c,d$ 均为常数) 与 $x$ 轴有两个不同的交点，则该曲线必经过点A. $(0,0)$B. $(1,0)$C. $(2,0)$D. $(3,0)$6) 若 $\ln{(\frac{x}{2})} - \ln{(\frac{x-1}{3})} = \ln{\frac{4}{3}}$，则 $x =$A. $-\frac{1}{3}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{4}{3}$D. $\frac{5}{2}$7) 函数 $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ 在区间 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$ 上的导数为A. $\frac{2}{(x-1)^2}$B. $-\frac{2}{(x-1)^2}$C. $\frac{2}{(x+1)^2}$D. $-\frac{2}{(x+1)^2}$8) 曲线 $y = e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为A. $y = x$B. $y = 1$C. $y = x + 1$D. $y = x - 1$9) 若 $x^2 + y^2 = 1$，且 $xy = -\frac{1}{2}$，则 $x + y = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. $-\frac{1}{2}$10) 函数 $f(x) = \arcsin{x}$ 的定义域为A. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$B. $[-1, 1]$C. $(-\infty, \infty)$D. $(0, 1)$11) 设 $a$ 为正数，若 $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = 1$，则 $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$ 等于A. 1B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{2}$D. 212) 实数 $\alpha$ 满足方程 $x^2 - 2(\alpha+1)x + 4\alpha = 0$ 有且仅有一个实数根，则 $\alpha$ 的取值范围是A. $(0,2)$B. $(-\infty, -2] \cup (2, +\infty)$C. $(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$D. $(-\infty, +\infty)$13) 若 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$，则 $f'(x) = $A. $3x^2 - 6x + 3$B. $2x^3 - 6x^2 + 3$C. $3x^2 - 6x$D. $3x^2 - 6x + 1$14) 设圆 $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ 与直线 $y = kx + b$ 相切，其中 $g, f, c, k, b$ 均为实数，则判别式 $D = g^2 + f^2 - c$ 等于A. $k^2$B. $k$C. $k^2 - b^2$D. $k^2 + b^2$15) 函数 $f(x) = \tan^2{x} - 2\tan{x}$ 的最小正周期为A. $\frac{\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{4}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\pi$16) 若 $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln{3}$，则数 $a$ 的值为A. 1B. 2C. 3D. $\frac{1}{3}$17) 函数 $f(x) = \ln{(2 + \sin{x})}$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的最大值为A. $\ln{3}$B. $\ln{2}$C. $\ln{(2 + \sqrt{2})}$D. $\ln{2 + \sqrt{2}}$18) 若复数 $(1+ai)(b+ci)$ 是纯虚数，其中 $a,b,c$ 均为实数，则数对 $(a,b)$ 必定位于平面上的某个A. 平行于$x$轴的直线上B. 平行于$y$轴的直线上C. 圆上D. 直角坐标系的原点上19) 函数 $f(x) = e^x \cos{x}$ 的极大值点个数为A. 1B. 2C. 3D. 无穷20) 当 $|a| < 1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a^n$ 的和为A. $\frac{1}{1-a}$B. $\frac{a}{1-a}$C. $\frac{1}{a}$D. $\frac{a}{a-1}$2. **计算题**（每题10分，共40分）请计算下列各题。
大学高等数学检测题
大学高等数学试题一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.平面x +2y -z +1=0的法向量为（ ） A.{1,-2,-1} B.{2,4,2} C.{-1,2,-1} D.{2,4,-2}2.设函数f (x ,y )=y x y x -+,则f (y ,x 11)=( )A. x y xy +- B. y x yx -+ C.xy xy -+ D.yx yx +- 3.设积分区域D 由|x +y |=1和|x -y |=1所围成，则二重积分⎰⎰Ddxdy =( )A.1B.2C.3D.4 4.微分方程y ′=y 的通解为( )A.y =e CxB.y =Ce xC.y =C +2x eD.y =C 2x e5.无穷级数∑∞=+-+-1n 1n nn21)(21)(( ) A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数z =xy ，则全微分dz =_____________. 7.设函数z=xyy x e+-，则xz∂∂=_____________. 8. 设积分区域D ：0≤x ≤2,-1≤y ≤0,则二重积分⎰⎰D2dxdy =_____________.9. 通解为y =C 1sin x+C 2cos x (C 1,C 2为任意常数)的二阶常系数线性齐次微分方程为_____________. 10. 无穷级数∑∞=1n !1n x n的和函数为_____________. 三、计算题(本大题共l2小题，每小题5分，共60分) 请在答题卡上作答。
11．求过点M l(3，-l，5)及点M2(-1，2，-3)的直线方程．12．求曲面z=2xy在点处的切平面方程．13．已知方程2xy2—3y2+5z2一z=1确定函数z=z(x,y)，求14．求函数f(x，y)=2xy2--3x2y在点P(1，--1)处沿P(1，-1)到Q(2，0)方向的方向导数．15．计算二重积分，其中D是由y=x2，y=z所围成的区域．16．计算三重积分，其中积分区域Ω：|x|≤1，|y|≤1，|z|≤1．17．计算对弧长的曲线积分，其中C为从点A(2，0)到B(4，0)的直线段．18．计算对坐标的曲线积分，其中C是抛物线z—y2从点0(0，0)到点P(4，2)的一段弧．19．求微分方程的通解．20．求微分方程y〞+yˊ-30y=0的通解．21. 判断无穷级数的敛散性．22．已知f(x)是周期为的周期函数，它在上的表达式为，求f(x)傅里叶级数中系数a6四、综合题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)请在答题卡上作答。
高数期考试题及答案
高数期考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 + xD. f(x) = x^2 - x答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 以下哪个选项是不定积分∫x^2 dx的正确结果？A. x^3/3B. x^3/2C. x^3/2 + CD. x^3 + C答案：D4. 函数y = ln(x)的导数是？A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A5. 以下哪个级数是发散的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最小值是________。
答案：02. 函数y = e^x的反函数是________。
答案：ln(x)3. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2在x = 1处的切线斜率是________。
答案：-44. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是________。
答案：1/35. 函数y = sin(x)的周期是________。
答案：2π三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点。
答案：极值点为x = 1和x = 2，其中x = 1为极大值点，x = 2为极小值点。
2. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
答案：13. 给定函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求其在区间[1, 3]上的定积分。
答案：24. 证明函数f(x) = x^3在R上是增函数。
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第一章函数与极限阶段测验卷学号 班级 姓名 成绩考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。
2、请在答题卡上填涂好姓名、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。
试卷类型划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。
3、答题卡填涂不符合规范者，一切后果自负。
一．是非判断题(本大题共10题，每题2分，共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.（ ） A 、正确 B 、错误3. 函数xy e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义，则函数1()[()()]2g x f x f x =--是奇函数.（） A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.（ ） A. 正确 B. 错误6.函数y =是初等函数.（ ）A 、正确B 、错误7. 当x →∞时，函数22135x y x +=+趋向于13.（ ）A 、正确B 、错误 8. 当0x →时，函数212y x =与1cos y x =-是等价无穷小.（ ） A 、正确 B 、错误 9. 211limcos 2x x x →∞=-（ ） A 、正确 B 、错误10. 函数1(12),0;,0x x x y e x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续. ( )A 、正确B 、错误二．单项选择题(本大题共12个，每题3分，共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ).A. 25≤≤-x ;B. 2>x ;C. 2>x 或5-<x ;D. 5-<x .12. 函数x xy +-=11的反函数为（ ） A. x x y +-=11; B. x x y -+=11; C. x x y -+=121; D. x y +=11.13.函数211xy +=单调递增区间是（ ）. A. )1,0(; B. ),0(∞+; C. )0,(-∞; D. )1,(-∞. 14. 函数2)13arctan(+=x y 是由（ ）复合而成的. A. 13,arctan ,2+===x v v u u y ; B. 13,,arctan 2+===xv v u u y ; C. 13,arctan 2+==x u u y ; D. 2)13(,tan +==x u u y .15. 函数f (x )在0x 点的左、右极限存在是在该点极限存在的（ ）条件.A. 充分条件;B. 必要条件;C. 充要条件;D. 既非充分条件也非必要条件. 16. 设x x x f sin )(2-=，当0→x 时，下列说法正确的是（ ）. A. )(x f 是x 的等价无穷小; B. )(x f 是比x 的高阶无穷小; C. )(x f 是比x 的低阶无穷小; D. )(x f 是x 的同阶无穷小但不等价.17. 设11,1;(),1x e x f x a x x -⎧+≥=⎨+<⎩ ，若()f x 在1x =处连续，则=a ( ).A. 1;B. -1;C. -2;D. 0. 18. =-∞→xx xk 2)1(lim ( ).A. ke -; B. ke ; C. ke 2-; D. ke2.19. =∞→xxx sin lim( ).A. 1;B.e ;C. 2;D. 0.20. 设函数1,0()0,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，则=+→)(lim 0x f x ( ). A. 1; B. -1; C. 2; D. 0. 21. 函数f (x )在0x 点连续是在该点极限存在的（ ）条件.A. 充分条件;B. 必要条件;C. 充要条件;D. 既非充分条件也非必要条件. 22.下列极限不存在的是（ ）A. 11lim 31--→x x x ;B. 2lim +-∞→x x e ;C. )1(sin lim 2-→x x π; D. 20ln lim x x →.三、多项选择题（本大题共3题，每题4分，共12分） 23. 下列函数极限正确的是（ ）A. 1sin sin lim=--→a x a x a x ; B. 0tan ln lim 0=→xxx ;C. 1lim 1=∞→xx e ; D.e x x x x =+++∞→12)1232(lim . 24.当0x →时，以下各项错误的是（ ）A. a tan 与a 是等价无穷小;B. 22x x -是比32x x -的低阶无穷小; C. x arcsin 与x 2是同阶无穷小; D. 22x x -是比32x x -的高阶阶无穷小.25.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0;0,1sin )(x x xx x f 在0x =处，下列结论正确的是（ ） A. 当0x →时，)(x f 趋向于1; B. 当0x →时，)(x f 趋向于0; C. )(x f 在0x =处不连续; D. )(x f 在0x =处连续. 四、填空题(本大题共3题，每题4分，共12分)26. 若2(2)441f x x x =++，0()9f x =, 则0x = .27. 已知41lim121x ax bx x →∞++=+，则a=______________; b=_______________. 28. 若_________________, 则称变量0()()f x x x →为无穷小量. 五、求下列极限(本大题共2题，每题5分，共10分) 29．lim (x x →+∞-30. 30tan limx xx xe e →-六、试确定b a ,的值，使函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,;0,2;0,cos 1)(2x b x x x ax xx f 在),(+∞-∞上是连续函数(本大题共10分)。
第二章微分学阶段测验卷学号 班级 姓名 成绩考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。
2、请在答题卡上填涂好姓名、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。
试卷类型划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。
3、答题卡填涂不符合规范者，一切后果自负。
4、特别的，本试卷正题考察的内容包括了一元微分与多元微分学，对于只要求掌握一元微分学的学生，在相应的试题后都另外配有不包含多元微分知识点的选做试题。
一．是非判断题（本大题共10题，每题1分，共10分）1.(lnsin )cot .()x x '=A 、正确B 、错误sin sin 2.().x x e e '= （ ）A 、正确B 、错误 3. 221(ln )()(ln )22x x x x xx'''=== ( ) A 、正确 B 、错误4.1(). ( 4.((1))(1)) ()xy xyx x x x yxx x x -'''=+=+或A 、正确B 、错误 5. ln lim0xx x xe →+∞= ( )A 、正确B 、错误 6. ln lim0xx xe →+∞= ( )A 、正确B 、错误7. 22(ln())2ln() ay d y ax y dx y ax y dy ax y+=+++ ( ) 22222((ln(1))2ln(1))1x d x x x x x+=+++或 ( ) A 、正确 B 、错误8. 当0x →时，1xe -是比x 高阶的无穷小量。
( )A 、正确B 、错误 9. 最大值必是极大值，最小值必是极小值。
( ) A 、正确 B 、错误10. 函数在某点可微的必要条件是函数在该点处连续。
( ) A 、正确 B 、错误二．单项选择题（本大题共15题，每题3分，共45分） 11. 函数y = f (x)的导数可以表示为（ ） A 、y ; B 、dy; C 、y x ∆∆; D 、dy dx. 12. ()ln ln f x x =，则下列各式中正确的是 ( ) A 、1(4)ln 4f '= B 、1(3)3ln 3f '= C 、1(2)2f '= D 、(1)0f '=13.ddx(ln cos3x)=( ) A 、-3tan3xdx; B 、-3cot3x dx; C 、-3tan3x; D 、3cot3x. 14 设0yxx e e +-=，则0|x y ='=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 15．下列说法中正确的是（ ）A 、极值点处一定有()0f x '=B 、二阶导数大于零的驻点一点是极大值；C 、二阶导数非零的驻点一定是极值点D 、以上说法都不对 16. 2ln(12)y x x =-+函数的单调区间是（ ）1A (-,0)(0,);B (-,0)(0,+)21C (-,0)(0,+);(-,0)(0,+)2D ∞+∞∞∞∞∞、、、、17. 2sin(1),1,y x x dy =+==函数则当时有（ ）cos 2;2cos 22cos 2;2cos 2A dx B C xdx D dx 、、;、、.18. 以下各式中能直接使用洛必塔法则计算的是（ ） A 、sin lim3x x x →∞ B 、0ln lim x x x +→ C 、1sin lim x x x→∞- D 、ln lim 2x x x→+∞19. 设()f x 可导，且3()y f x =-，则()dy =A 、3()f x dx '-; B 、2(3)f x dx '-; C 、3()f x '--; D 、以上都不对. 20. ()sin 2f x x =，则(())f f x '=（ C ）A 、4cos 2cos(2sin 2)x xB 、4cos 2sin(2sin 2)x xC 、2cos(2sin 2)xD 、2cos(2cos 2)x 21. 1x =是下列哪个函数的极值点 ( )3.1; .A y x B y x =-=;21.(1) .arctan ln(1)2x C y x e D y x x =-=-+22. 若yzu xe =，则du =（ ） A 、yz yze xe +B 、yz yz yze dx xye dy xze dz ++ C 、yzyzyze dx xze dy xye dz ++D 、以上都不是或22.若sin ,axy e ax =则( )dy = A 、sin axae axB 、cos axae axC 、(sin cos )axae ax ax dx + D 、(sin cos )axe ax ax + ） 23. 函数()f x 在区间[,]a b 上连续是()f x 在区间[,]a b 上可积的（ ）A 、必要条件B 、充分条件C 、充要条件D 、既不是充分条件又不是必要条件 24. 若(1)yz xy =+，则zy∂∂=（ ） A 、(1)ln(1)yxy y xy ++B 、(1)(ln(1))1yyxy xy xy++++ C 、(1)yxy x + D 、以上都不是或24.若sin cos x t y t=⎧⎨=⎩，则( )dydx = A 、tan tB 、cot t -C 、cot tD 、2sec t ）25. 由方程sin()1xyx x y e++=确定的隐函数()y f x =的导数y '=（ ）A 、sin()cos()cos()xy xyx y x x y ye x x y xe ++++++B 、cos()sin()cos()xyxyx x y xe x y x x y ye ++++++C 、sin()cos()xyx y x x y xe +++ D 、以上都不是三．多项选择题（本大题共2题，每题5分，共10分，注意：多选或少选都不得分） 26. 若0()f x '存在，则以下各极限等于0()f x '的有（ ） A 、000()()lim2x f x x f x x x→+--B 、000()()limx f x x f x x→--C 、20020(())()lim ()x f x x f x x -→+-D 、000()()limx f x f x x x→--- 27. 下列各式错误的有（ ） A 、ln ln ()ln xxxxx '=B 、1lim 0xx xe +→= C 、lim 0xx xe →-∞= D 、0ln(1)x x x →+≈时，四．计算题（本大题共4题，共35分）28．计算极限0lim sin x xx e e x-→-（7分）29. 计算下列函数的二阶导数 （1）3cos xy e x = （6分）（2）sin x yz x xy e +=+或设()y y x =是由方程sin sin 1xy x y ++=确定，求y ''（8分）30. 求出arcsin0.502的近似值 （7分）31. 现有用面积为202m 的不锈钢板，需制造长方体形状的水箱，问长、宽、高如何设计可以使得水箱容量最大。