工程力学第六章

M 2 FA 1 F 0 10 1 10kN m ③用计算剪力和弯矩的规律法计算3—3截面上的剪力和弯矩， 可得
Q3 q 2 FB 4 2 10 2kN
M 3 FB 2 q 2 1 M 10 2 4 2 1 4 8kN m
•
M(x)、剪力Q(x)和q(x)三者之间的关系
dQ ( x ) dx q ( x ) 2 d M ( x ) dQ ( x ) q( x) 2 dx dx dM ( x ) Q( x) dx
• 利用弯矩、剪力和分布载荷集度之间的微分关系 绘制剪力图和弯矩图的步骤归纳如下：
6.1.3剪力图和弯矩图
• 1. 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图
• 为了一目了然地表明梁的各横截面上剪力和弯矩 沿梁轴线的分布情况，可将剪力和弯矩沿梁轴线 的变化情况用图线来表示。作图时，选定适当的 比例尺，以x为横坐标，以Q或M为纵坐标，分别 绘制Q(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力 图和弯矩图。
•
MB 0
•
FA 4 F 3 M q 2 1 0
MA 0
FA 10kN
FB 4 q 2 (1 2) M F 1 0
FB 10kN
为保证支座反力计算无误，可进行如下校核：
Fy FA 12 4 2 FB 10 12 8 10 0
简支梁
•
剪力的符号规定
弯矩的符号规定
• 例6-1 简支梁受载荷如图6-14（a）所示， 试求图中各指定截面的剪力和弯矩，截面 1—1、2—2表示集中力F作用处的左、右侧 截面（即截面1—1、2—2间间距趋于无穷 小），截面3—3、4—4表示集中力偶M左、 右侧截面。
• 解：（1）求支座反力。设支座反力FA、FB方向 向上，如图6-14（a）所示。以梁为研究对象，列 平衡方程求解。
L
• 如图6-16（b）所示。可以看出集中力偶M对剪力图无影 响。式（b）和式（d）在AC段内M为上升的斜直线，其 值为 Ma ，
Mb L • CB段内M为一斜向下的斜直线，其值为
L
， • 在集中力偶作用处弯矩图发生突变，突变值的绝对值等于 集中力偶的大小。如图6-16（c）所示。
2. 用微分关系法绘制剪力图和弯矩图
④用计算剪力和弯矩的规律法计算4—4截面上的剪力和弯矩， 得
•
Q4 FB q 2 10 4 2 2kN
M 4 FB 2 q 2 1 10 2 4 2 1 12kN m
通过上例计算比较1—1截面和2—2截面的剪 力值，可以看出，集中力F作用处的两侧截面上 的剪力发生突变，突变值即为集中力的大小。 同样，比较3—3截面和4—4截面，可以看出在 集中力偶M作用处的两侧截面上弯矩值发生突 变，突变值即为集中力偶M的大小。
可见支座反力的计算正确。
（2）计算各指定截面的剪力和弯矩。 ① 用计算剪力和弯矩的截面法计算1—1截面上的剪力和弯 矩，即取1—1截面的左段为研究对象，如图6-14（b）所示。 那么 • Q1 FA 10kN M1 FA 1 10 1 10kNm
② 用计算剪力和弯矩的规律法计算2—2截面上的剪力和弯矩， 可得 Q2 FA F 10 12 2kN
L M M ( x1 ) FA x1 x1 L CB段： M Q( x2 ) FA L
1
A
1
(0 ≤ x1 ≤ a)
(a < x2 < L)
（b）
M M ( x2 ) M FA x2 ( x2 L) (a ≤ x2 ≤ L) （d） L
Leabharlann Baidu
• （3）绘制剪力图和弯矩图。根据式（a）和式（c）绘制 出剪力图为一条平行于x轴且位于x轴上方的水平线，其值 M 。 为 Qmax
第6章 梁弯曲强度计算
6.1梁弯曲时的内力
弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。当杆件受 到与其轴线垂直的外力或通过轴线平面内力偶作用时， 杆的轴线由原来的直线变成曲线，这种变形称为弯曲 变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。
6.1.1 平面弯曲的概念
•
•
梁的平面弯曲
常见梁的横截面
梁的种类
•
简支梁简图 外伸梁简图 悬臂梁简图
• 绘制剪力图和弯矩图的基本方法和步骤如下： • （1）求支座反力； • （2）应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中 力（包括支座反力）、集中力偶的作用点和均布 载荷分布规律变化的起、止点均为分段点； • （3）列出分段的剪力方程和弯矩方程； • （4）根据方程判断剪力图和弯矩图的形状，再通 过计算若干截面（如剪力图为零的截面、各段的 首尾截面）的剪力值和弯矩值，描点画图。
• （1）求支座反力； • （2）根据梁上载荷和支承情况将两分成若干段，由各段 内的载荷情况判断剪力图和弯矩图的形状。支座、集中力 和集中力偶的作用点、分布载荷的起点与终点等，应取做 段与段的分界点； • （3）利用弯矩、剪力和分布载荷集度之间的微分关系， 分别绘制各段梁的剪力图和弯矩图，并在图上注明各个控 制截面（梁的端截面、各段梁的分界面以及极值剪力和极 值弯矩所在的截面）上剪力和弯矩的数值。
• 例6-3 如图6-16（a）所示，简支梁AB在C 处截面作用集中力偶M，试列出梁的剪力方 程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
• 解：（1）求支座反力。以梁AB为研究对象，画受力图， 如图6-16（a）所示。列平衡方程有
MA 0 MB 0
M FB L M FA L
• （2）列剪力方程和弯矩方程。建立如图6-16（a）所示的 坐标系，因在梁C处有集中力偶作用，弯矩发生突变，故 根据平衡条件分段列方程。 M ( 0 < x ≤ a ) （a） • AC段： Q( x ) F
超静定梁简图
• 6.1.2 剪力和弯矩
Q称为剪力。M称为弯矩。
剪力和弯矩的计算规律： （1）横截面上的剪力在数 值上等于该截面左段（或 右段）梁上所有的外力代 数和。（2）横截面上的弯 矩在数值上等于该截面左 段（或右段）梁上所有外 力对该截面形心的力矩代 数和。这种计算剪力和弯 矩的方法非常方便快捷， 通常称这种方法为计算剪 力和弯矩的规律法。