《高等数学》C2教学大纲

《高等数学》C2教学大纲

开课单位：数学与统计学院高等数学教研室

学分：3.5 总学时：56H

课程类别：必修考核方式：考试

课程负责人:苏翃课程编码：241_1

基本面向：经济与贸易学院（21、23-26专业），汽车学院（49专业），会计学院（61、64），工商管理学院（81、83、86、87），生物工程学院（102

专业）的本科生

一、本课程的目的、性质和任务

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。

本课程是全院非理工学门类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，同时也是一门工具课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得:

(1)一元函数微积分学；

(2)向量代数与空间解析几何；

(3)多元函数微积分学；

(4)常微分方程；

(5)无穷级数

等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，目的是为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

本课程是针对数学基础较差的文科同学而设置的。其目的是在重应用轻技巧的前提下，使学生掌握基本的数学思想和方法。在传授知识的同时，要通过各教学环节逐步培养学生具有抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。

二、本课程的基本要求

通过本课程的学习，要求学生系统地获得一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、常微分方程、无穷级数的基本知识、必要的基本理论和常用的基本方法，这是重点内容。在学习过程中，要求学生切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法，具有比较熟练的运算能力和逐步达到能应用所获得的基本知识与技能去分析问题和解决问题。同时注意培养抽象思维

能力与一定的逻辑推理能力，并不断提高自学能力，从而为学习后继课程打好学习基础。

本课程的内容按教学要求的不同，分为三个层次。对概念、理论的要求由高到低分为深刻理解、理解、了解三个层次；对方法、运算的要求由高到低分为熟练掌握、掌握、会三个层次。

(一) 定积分及其应用

1、理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限

不作要求）；

2、了解定积分的基本性质和定积分的中值定理；

3、理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Noewton）

—莱布尼兹公式；

4、熟练掌握定积分的换元积分法则和分部积分法则；

5、了解两种广义积分的概念并掌握它们的求法；

6、掌握定积分在几何和经济方面的应用。

(二)向量代数与空间解析几何

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算；

2、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向

量运算的方法；

3、掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系

解决有关问题；

4、理解二次曲面方程的概念，了解空间曲线方程的概念。

(三) 多元函数微积分学

1、理解二元函数的概念，了解多元函数的概念；

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；

3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件；

4、熟练掌握求多元复合函数一阶偏导数和全微分的方法，会求复合函数的

二阶偏导数（对于求抽象复合函数的二阶导数，只要求作简单训练）；

5、会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的一阶偏导数

（对求二阶偏导数不作要求）；

6、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条

件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用

问题。

7、理解二重积分的概念，了解二重积分的性质；

8、掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。

(四) 无穷级数

1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。了解无穷级数基本性质及

收敛的必要条件；

2、熟练掌握几何级数与P—级数的收敛性；

3、了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法；

4、了解交错级数的莱布尼兹定理；

5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系；

6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；

7、熟练掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作

要求)；

8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；

9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；

10、会利用)

e x+

x

、

、和α)

、

1

ln(

cos

sin x

x

+的麦克劳林(Maclaurin)展开式

1(x

将一些简单函数间接展开成幂级数；

11、了解幂级数在近似计算中的简单应用。

三、本课程与其他课程的关系

1、本课程的先修课程: 《高等数学C1》

2、本课程的后修课程:

(1).《概率论与数理统计》

本课程与《概率论与数理统计》、《线性规划》、《非线性规划》等课程紧密相关，学生修完本课程后所获得的知识在他以后的学习中起着重要的作用，这些知识对同学顺利地学习其它理论课及专业课都是必需的。

四、本课程的教学内容

第六章定积分及其运用

（一）定积分的概念

1、面积、路程和收益问题

2、定积分的定义

（二）定积分的性质

（三）微积分的基本公式

1、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系

2、积分上限的函数及其导数

3、牛顿—莱布尼茨公式

（四）定积分的换元积分法

（五）定积分的分部积分法

（六）广义积分与Г函数

1、无穷限的广义积分

2、无界函数的广义积分

3、Г函数

（七）定积分的几何运用

1、定积分的元素法

2、平面图形的面积

3、旋转体的体积

4、平行截面面积已知的立体体积

（八）定积分的经济运用

1、由曲边函数求愿函数