高一数学简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换

本次课课堂教学内容

1．常用的公式变形

(1)由(sin α±cos α)2＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝1±sin 2α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±sin 2α ⇒⎩⎨

⎧

1＋sin 2α＝|sin α＋cos α|，1－sin 2α＝|sin α－cos α|.

(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1⇒tan αtan β)； cos 2α＝

1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α

2

. (4)sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π

4. 2．几个常用的恒等变换

(1)万能代换：sin α＝2tan α21＋tan 2α2；cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tan

α2

1－tan 2

α

2.

(2)恒等式：tan α2＝sin α

1＋cos α＝1－cos αsin α.

[小题体验]

1．计算：cos 2π8－1

2＝________.

2．已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝35，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝4

5

，则tan x ＝________.

1．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错． 2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用．

1．已知x ⇒⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin 2x ＝1

3，则sin x －cos x ＝________.

2．已知sin α2－cos α2＝－5

5，450°＜α＜540°，则tan α2

＝________.

考点一 三角函数式的化简

[题组练透]

1．化简：sin 2α－2cos 2α

sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.

2．化简：

1＋sin θ＋cos θ

·⎝⎛⎭⎫sin θ2

－cos θ

22＋2cos θ

(0＜θ＜π)．

[谨记通法]

1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则

2．三角函数式化简的方法

弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．

在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

考点二三角函数式的求值

[锁定考向]

研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．

常见的命题角度有：

(1)给值求值；

(2)给角求值；

(3)给值求角．

[题点全练]

角度一：给值求值

1．已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－1

2，若f(α)＝

2

6，则cos⎝

⎛

⎭

⎫

π

4－2α＝________.

角度二：给角求值

2．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.角度三：给值求角

3．若sin 2α＝

55，sin(β－α)＝10

10

，且α⇒⎣⎡⎦⎤π4，π，β⇒⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β＝________. [通法在握]

三角函数求值的类型及解题策略

(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．

[演练冲关]

1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝1

4，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＝________.

2.2sin 235°－1

cos 10°－3sin 10°＝________.

3．已知α⇒⎝⎛⎭⎫π4，π2，tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝1

7，那么sin 2α＋cos 2α＝________.

考点三 三角恒等变换的综合应用

[典例引领]

1. 已知函数f (x )＝3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＋sin 2x －1

2. (1)求函数f (x )的单调递增区间；

(2)若x ⇒⎣⎡⎦⎤0，π4，f (x )＝3

3，求cos 2x 的值．

2．已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋53

2

(其中x ⇒R)，求： (1)函数f (x )的单调区间；

(2)函数f (x )图象的对称轴和对称中心．

三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点

(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再求解．要注

意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．

(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．

已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋1

2

sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (2x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )，x ⇒⎣⎡⎦

⎤0，π

4的值域．

本次课课后练习

1．已知α⇒(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________.

2．已知tan ⎝⎛⎭

⎫α－π

4＝2，则cos 2α＝________.