一题多解学透直线与圆锥曲线.docx

专题06 —题多解，玩透直线与圆锥曲线

一、典例分析，融合贯通

2 2

典例1 （2011广州二模））已知双曲线仝r — £ = l （Q>方>0）和圆O：x2-^y2=b2（其屮原点O为cr b~圆心），过双曲线C上一点卩（如,儿）引圆O的两条切线，切点分别为A、B.

（1）若双曲线C上存在点使得ZAPB = 90°,求双曲线离心率£的取值范围；

（2）求直线的方程；

1■/ 2 . >2 I /> \2

（1）因为a>b>0,所以-<1,所以e = -=^a= J1-F -<72 .……1 分

a a a \ \a）

由ZAPB = 90°及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所^\OP\ = y[lb・

因为\OP\ = yf2b>a f所以,所以£ = £=""+少

a 2 a a

、

2 a)

故双曲线离心率纟的取值范围为

⑵【解法11方程组法

因为PA1 = OP2一OA2 =卡 + 片2 _ b2,

所以以点尸为圆心,\PA\为半径的圆尸的方程为（X—兀）2+3 — %）2=毎+用—沪・...... 5分因为圆O与圆尸两圆的公共弦所在的直线即为直线48 、 ...................................... 6分

所以联立方程组2 2 2 2

1（乂_兀）+（尹_风）=兀+风-b

消去/ , 即得直线AB的方程为恥+旳尹=沪・

【点睛之笔】联立方程组，难题无法阻！

【解法2】点斜式法

设人（再,廿）3（兀2，力），已知点P

（如,％），

则kph - —~—, k0A =—（其中召丰兀0，州主0）•

勺一西西

因为PA丄OA,所以k PA k0A=-\即A Z2L X A= _I.x°—坷 K

整理得x o x1 + ^o y1=x12 + y12.

因为=b2,所以x Q x} + y Q y} = b1. ............................................... 6 分因为OA = OB, PA = PB,根据平面几何知识可知，AB丄OP.

因为灯P=丛，所以k AB=-^. ........................................................................................ 7分% y0

所以直线AB方程为y_）＞二一迢4无_西）.

y（）

即兀（）兀+y（）y = x（）xi + y（）y「

所以直线AB的方程为x0x+y0y = b2............................................................................... 8分【点睛之笔】点斜式，点住死穴！

【解法3］斜率法

设/（西j ）』（花宀）＞ 已知点尸（兀J ） 则甌=西二咯=也（其中珂H 兀应工0）・ 兀一西 西

因为PAA.OA,所以如/也=—1,即西二巴x 也=—1. ................................................. 5分

整理得罰+耳＞必=画2 + J?・

因为x^+y^=b 2

,所以乜+ y 胡i=M ・……6分

这说明点A 在直线兀x+y Q y =沪上. 同理点B 也在直线x^x+y Q y = b 2

±. 所以斗庐+财=b 1

就是直线AB 的方程・ 8分

【点睛之笔】斜率法，此法很正点！ 【解后反思】

解法一：联立方程，不破不立，一立即破！ 解法二：利用点斜式，直奔主题，不走弯路！

解法三：利用垂直关系转化为斜率问题，将问题数据化！

圆心），过双曲线C 上一点P （x 0,y 0）引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B.

（3）求三角形Q4B 面积的最大值

.

典例2 （2011广州二模））己知双曲线C ： x 2 V 2

=1 (a>b>0)和圆6 x 2

+ y 2

=b 2

(其中原点O 为

（3）由（2）矢［1,直线的方程为x （）x+y 0y = b 2

, 所以点O

到直线AB 的距离为d = / ”

.

竝+ ）『

戻

二2方*?兀 X 02

+ 用

J 川 +

因为睥创=2^\OA\2-d 2 = 2 b 2 -

2

-b 2

所以三角形OAB 的面积

b^xj + y {~-b 2

S=*x|的心

7,2

兀（）+儿

以下给出求三角形OAB 的面积S 的三种方法:

10分

【解法11导数法

因为点P （^ %）在双曲线r 一= 1上〉

a b

用丄即迭空（看滋）・

设 t —J 兀$+=

1+

?J

宀澎工,

所沁珞

11

分

所以当Ocrvb 曰寸，S r

>Q,

寸，S r

<0.

所以S 二卩备在（0,b ）上单调递增，在（方,+-）上单调递减.

12分

当 y/a 2 -b 1

< b ,即 b

业 1~2—77 > Hn 匚 w c b^xyja 2

-b 2

b 3

yja 2

-b 2

当 丁。？一/r > b ,艮卩 a > \ 2b S 最兀値 =— ---- = ------- ----

13分

综上可知，当bV2Z?时，S 最大值=b ^a ~~b

~

a 1

14分