二元线性回归计算题

X 1i Yi 912 .17 ， X 2i Yi 865 .7 ， Yi 243 .31 ， Yi 2 3897 .24
要求： （1）建立Y与X1、X2 之间的线性回归模型
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X1i 2 X2i ei
（2）对偏回归系数进行显著性检验（显著性水平 0.01 ） ；
2 0 0 2 0 0


P20.10 2.160 0.2330 E Y0 20.10 2.160 0.2330 1 0.05 P .60 E Y0 20.60 95% 19
上式表明，若工业总产值为5百万元，农业总产值为4百 万元，则平均社会商品零售额以95%的置信概率被包含 在区间（19.60百万元，20.60百万元）内。
由于
ˆ ˆ ei2 y i2 1 y i x1i 2 y i x 2i 197 .255 3.0293 60.585 0.7058 14.115 3.7625
3.7625 ˆ 0.2894 n k 1 16 3
3897 .24
可以计算出
2 x1i
X 12 nX 12 i
2 2 X 2 i nX 2
56 216 16 20 16 56 216 16 20 16
2
2
2 x 2i
56 56 x1i x 2i X 1i X 2i nX 1 X 2 196 16 0 16 16
i 1i 2 2i i 2i 1i 2i i 2 1i 2 2i 2 1i 2i 2 1i i 2i 2 1i i 1i 1i 2i i 2 1i 2 2i 2 1i 2i 2 2i
1i

60.585 3.0293 20 14.115 0.7058 20
2i

ˆ ˆ ˆ 0 Y 1 X 1 2 X 2
（5） 多重可决系数为
3.7625 R 1 1 0.9809 2 197 .255 yi
2
ei2
计算结果表明，在Y的总变差中，有98.09%可以由X1 和X2得到解释，回归方程对于样本观测点拟合良好。 换言之，在商品销售额的总变差中，有98.09%可以 由工业总产值和农业总产值做出解释。
0.537959
1 50 16 400
0.537959 0.1875 0.2330
ˆ SeYˆ Y
0
0
1 ˆ 1 n
X
01 X 1
2
x 22i X 02 X 2
2
2
x12i x 22i x1i x 2i
2
x
243 .31 56 56 3.0293 0.7058 2.1344 16 16 16
所以，所求线性回归方程为
ˆ Yi 2.1344 3.0293 X 1i 0.7058 X 2i
（2）提出原假设 H 0 : i 0 ；备择假设H1 : i 0 ，i 1,2 。
接受 H 1 ，认为总体参数 1 和 2 不全为 0，工业总产值 X1
和农业总产值 X2 对社会商品零售额 Y 的影响显著。
ˆ ˆ ˆ ˆ （7）由于 Yo 0 1 X01 2 X02 ， X 01 5百万元 ， X 02 4百万元 ，有
ˆ Y 2.1344 3.0293 5 0.7058 4 20 .10百万元
0.537959 1
1 50 16 400
0.537959 1.1875 0.5862
当显著性水平 0 .05 时，t n 3 t 0.025 13 2.160
2
所以，平均社会商品零售额的预测区间为
ˆ ˆ ˆ ˆ P Y0 t n 3SeYˆ E Y E Y0 Y0 t n 3SeYˆ E Y 1
197 .255 3.7625 / 2 334 .27 3.7625 /16 3
当 显 著 性 水 平 0.05 时 ， 查 F 分 布 表 可 得 临 界 值
F0.05 2,13 3.80 。
由于检验统计量 F 显著地大于临界值F0.052,13 ，故拒绝H 0 ，

当显著性水平 0 .01 时，查 t 分布表可得临界值
t 2 n 3 t0.00513 3.012
H 由于检验统计量 t1 和 t2 均大于临界值t 0.005 13 ，故拒绝 0
，
认为 1 和 2 均显著地不等于 0，X1 和 X2 对 Y 的影响均显 著。
二元线性回归计算题
已知根据某乡镇连续16个月的社会商品零售额Y（百万 元）、工业总产值X1（百万元）、农业总产值X2（百万 元）之间的数据组（Yi，X1i，X2i），i=1，2，…，16， 经计算得到如下结果：
X
1i
56 ，
X
2 1i
216 ，
X
1i
X 2i 196 ，
X
2i
2 56 ， X 2i 216 ，
解：
（1）由于 n 16 ， X 1i 56 ， X 1i2 216 ， X 1i X 2i 196 ， X 2i 56 ，
X Y
i
2 2i 2
216
， X 1iYi 912 .17 ， X 2iYi 865 .7 ， Yi 243 .31 ，
根据普通最小二乘法参数估计公式，有（注意x1i x2i 0 ）
ˆ 1 ˆ 2
243 .31 2 2 2 yi Yi nY 3897 .24 16 16 197 .255
2
y x x y x x x y x x x x x x y x x y x x x y x x x x x x
（4） 平均弹性系数为
ˆ X 1 3.0293 56 / 16 0.6972 1 1 Y 243 .31 / 16 ˆ X 2 0.7058 56 / 16 0.1624 2 2 Y 243 .31 / 16
计算结果表明，X1每增加1%，将引起Y增加0.6972%； 而X2每增加1%，只能引起Y增加0.1624%，故Y对X1 更敏感。
o
ˆ SeYˆ E Y
0
0Hale Waihona Puke Baidu

1 X 01 X 1 ˆ n
2
2 x 2i X 02 X 2
2
x12i x22i x1i x2i
2
x12i 2X 01 X 1 X 02 X 2 x1i x 2i
2
56 56 56 56 1 5 16 20 4 16 20 2 5 16 4 16 0 0.2894 16 20 20 0 2 2
（3）应用Beta系数分析该乡镇社会商品零售额对工业 总产值和农业总产值中哪一项的变化更敏感； （4）应用平均弹性系数分析该乡镇社会商品零售额对 工业总产值和农业总产值中哪一项的变化更敏感； （5）估计多重可决系数；
（6） 对总体回归模型进行显著性检验 （显著性水平 0.05 ） ；
（7）若工业总产值为 5 百万元，农业总产值为 4 百万元， 对该乡镇的社会商品零售额和平均社会商品零售额进行预 测（显著性水平 0.05） 。
2
ei2
ˆ ˆ Se
1

ˆ Var ˆ
2 x 1i
1

2 2 x1i x2i x1i x2i 2 2i
ˆ ( x 2 ) 2
0.2894 0.1203 20 ˆ ( x 2 ) 2
1i
ˆ ˆ Se
2

ˆ Var ˆ
社会商品零售额的预测区间为
ˆ ˆ ˆ ˆ P Y0 t n 3SeYˆ Y Y0 Y0 t n 3SeYˆ Y 1
2 0 0 2 0 0


P20.10 2.160 0.5862 Y0 20.10 2.160 0.5862 1 0.05 P .83 Y0 21 .37 95 % 18
2 1i
2 X 01 X 1 X 02 X 2 x1i x 2i
2
56 56 56 56 5 16 20 4 16 20 2 5 16 4 16 0 1 0.2894 1 16 20 20 0 2
（3） Beta系数为
ˆ ˆ 1 1 20 3.0293 0.9646 2 197 .255 yi x12i ˆ ˆ 2 2
2 x 2i
y
2 i
0.7058
20 0.2247 197 .255
计算结果表明，X1变化一个标准差，将引起Y变化 0.9646个标准差；而X2变化一个标准差，只引起Y变化 0.2247个标准差，故Y对X1更敏感。
56 243 .31 x1i y i X 1i Yi nX 1Y 912 .17 16 60.585 16 16
56 243 .31 x2i yi X 2iYi nX 2Y 865 .7 16 16 16 14.115
（6） 提出原假设 H 0 : 1 2 0 ；备择假设 H 1 : 1和 2不全为0 。
检验统计量的样本值为
F
ˆ 2 /n k 1 Y Y i i

ˆ Y 2 /k Y
i



2 e /n ( k 1) i
yi2 ei2 / k
x 2 2i
2

2 2 x1i x2i x1i x2i 2
0.2894 0.1203 20
所以，检验统计量的样本值为
ˆ 1 1 3.0293 0 t1 25.1812 ˆ ˆ 0.1203 Se 1

ˆ 2 2 0.7058 0 t2 5.8670 ˆ ˆ 0.1203 Se 2
上式表明，若工业总产值为5百万元，农业总产值为4 百万元，则社会商品零售额以95%的置信概率被包含 在区间（18.83百万元，21.37百万元）内。