多元函数微分学练习题及解答
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[解]：
。
13、设 ，，求 。
[解1]：由多元复合函数的求导公式知：
；
[解2]：将 代入方程 中，则函数化为 一元复合函数，
利用一元复合函数的求导公式知 。
14、设 而 ，求 。
[解]：由多元函数的求导公式： ， 。
，
同理 。
15、 求
[解]：设 则
； ；
，由多元隐函数的求导公式：
；
。
16、设 ，其中 是可微函数，求 。
[解]：1）先求切点坐标：令曲面方程为 ，
则曲面上点 处切平面的法向量为：
，由题设
向量 与已知平面的法向量 平行，
即 ，因为 在曲面上，故满足曲面方程
切点坐标为
或
2）切平面方程为： 。
26、求 在 处的切平面与 面夹角的余弦
[解]：设夹角为
1）先求切平面的法向量：令 ，
则 ，
曲面在该点的法向量为：
；
2）再求切向量
切线在该点的切向量为
；
3）曲线在该点的切线方程： ；
曲线在该点的法平面方程：
。
24、在曲线 的所有切线中，与平面 平行的切线（）
A）只有一条；B）只有两条；C）至少有三条；D）不存在。
[解]：已知切线方向向量与平面法向量垂直，于是
，所以只有两条切线。应选B。
25、求曲面 上平行与平面 的切平面方程
。
21、设 具有连续偏导，方程 确定 是 的函数，求
[解]：设 ，为方便起见记 令
由上式知 ； ；
；由隐函数求导公式可得
；
。
22、设函数 具有连续偏导数，验证方程 所确定的函数
满足
[证明]：设 ， ，记 ，
则有 ，
；
；由隐函数求导公式
； ，则有
， 。
23、求曲线 在 处切线与法平面方程
[解]：1）先求切点坐标： ；
。
6、函数 在点（ ）处可导（偏导数存在）是函数在该点全微分
的存在的 条件（填：充分、必要、充要或无关）
[解]：必要条件。
7、
[解]：因为 ， ，由无穷小性质：无穷小乘以有界函数仍
为无穷小，故有 。
8、
[解]：函数 在 点连续，故 。
教材 页习题9-1第6大题求极限。
9、讨论函数 在 处连续性、可导性与可微性？
高等数学（B）—多元函数微分学复习题
1、二元函数 在点 处的两个偏导数存在是 在点 处连续的 条件（填：充分、必要、充要或无关）
[解]：无关条件，
2、如果函数 的两个混合偏导数 在区域D，则这两个混合偏导数相等
[解]：连续。
3、设 则
[解]： 。
4、函数 的定义域是
[解]： 。
5、求 的极值
[解]：由曲面图形知：此曲面为顶点在原点，开口向上的圆锥，故其在 取得极小值
得唯一可能的极值点
3）因为由问题本身可知最大值一定存在，故最大值就一定在这唯一可能的极值点
处取得。于是知椭球面在点 处切平面与三坐标面围成的四面体体积
最小，其最小值为 。
32、求函数 在点 处方向导数的最大值及相应方向
[解]：由方向导数与梯度关系：取得最大方向导数的方向即为梯度方向，最大的方向导数
即为梯度的模
1）
函数 在点 处方向导数的最大值
2）相应的方向就是 方向，即向量 的方向。
33、求函数 在曲线 上点 处沿曲线在该点的切线正方向（对应
增大的方向）的方向导数
[解]： 对应于 ，
1）先求出满足题目要求的切线的方向向量
在 处切线的方向向量为
， ，
；
2） ； ；
。
34、设 是曲面 在 处的指向外侧的法向量，求函数
在此处沿方向 的方向导数与梯度
[解]：1）先求出 及其方向余弦，令
；
2） ；
；
，
3） 。
又记 ，则向量
是曲面在点 处的一个法向量，从而该点处曲面的切
平面方程为 又点 在曲面上，
故切平面方程可以化简为 。其在三坐标轴上的截距为 ，
，从而切平面与三坐标面围成的四面体体积为 。
2）当 最大时，体积就最小，又由于点 是椭球面的第一卦限部分曲面上任取一点，所以问题就化为求函数
在
条件 之下的最大值，为此作拉格朗日函数
[解]：为方便起见记
由多元复合函数求导公式我们有：
故 。
17、：设 具有一阶连续偏导数，求 。
[解]： ，
。
18、已知函数 ，求 .
[解]： ；
。
19、设 具有二阶连续偏导，且 ，求
[解]：设 ，为方便起见记
，因为 具有二阶连续偏导，故 。
1）
；
Biblioteka Baidu2）
；
3）
。
20、设 具有连续导数， ，证明
[证明]：
[解]：1）当点 沿直线 趋于点 时，
有 随 值的不同而
改变，所以由极限定义知 不存在，从而函数 在 处不连续；
2）由连续与全微分关系知：函数在该点全微分不存在；
3）
故函数在该点偏导数存在。
10、设 ，求
[解]：
。
11、设 ，求
[解]：1） ；
2） ；
3） ；
4） ；
5） ；
6） 。
12、设 求 。
2） 平面的法向量为： ；
3）由定义 。
27、证明曲面 任意处的切平面在各坐标轴上的截距之和为
[证明]：设 ‘
曲面在任意点 处的切平面方程为：
其在三坐标轴上截距分别为
曲面 任意处的切平面在各坐标轴上的截距之和为 。
28、求 的极值
[解]：1）
2） ，故函数在点 取得极小值 。
，故 不是极值。
，故 不是极值。
，故函数在点 取得极大值
。
29、求 的极值
[解]：此为顶点在 ，开口朝下的旋转抛物面，由其图形特征知其在 处取得
极大值9。
30、在平面 上求一点，使它与两定点P（1，0，1）和Q（2，0，1）
的距离平方和为最小。
[解]：设平面上点为 ，由题意问题化为求
在条件 下的最小值。利用拉格郎日乘数
法：作拉格郎日函数
1） ；
2）可能极值点唯一，因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值一定在这唯一
可能的极值点处取到。
3）曲面上的点 与两定点P（1，0，1）和Q（2，0，1）的距离平方和为最小。
31、椭球面 的第一卦限部分曲面上的切平面与三坐标
面围成一四面体，试求这种四面体体积的最小值。
[解]：1）设点 是椭球面 的第一卦限部分曲面上的一点。
。
13、设 ，，求 。
[解1]：由多元复合函数的求导公式知：
；
[解2]：将 代入方程 中，则函数化为 一元复合函数，
利用一元复合函数的求导公式知 。
14、设 而 ，求 。
[解]：由多元函数的求导公式： ， 。
，
同理 。
15、 求
[解]：设 则
； ；
，由多元隐函数的求导公式：
；
。
16、设 ，其中 是可微函数，求 。
[解]：1）先求切点坐标：令曲面方程为 ，
则曲面上点 处切平面的法向量为：
，由题设
向量 与已知平面的法向量 平行，
即 ，因为 在曲面上，故满足曲面方程
切点坐标为
或
2）切平面方程为： 。
26、求 在 处的切平面与 面夹角的余弦
[解]：设夹角为
1）先求切平面的法向量：令 ，
则 ，
曲面在该点的法向量为：
；
2）再求切向量
切线在该点的切向量为
；
3）曲线在该点的切线方程： ；
曲线在该点的法平面方程：
。
24、在曲线 的所有切线中，与平面 平行的切线（）
A）只有一条；B）只有两条；C）至少有三条；D）不存在。
[解]：已知切线方向向量与平面法向量垂直，于是
，所以只有两条切线。应选B。
25、求曲面 上平行与平面 的切平面方程
。
21、设 具有连续偏导，方程 确定 是 的函数，求
[解]：设 ，为方便起见记 令
由上式知 ； ；
；由隐函数求导公式可得
；
。
22、设函数 具有连续偏导数，验证方程 所确定的函数
满足
[证明]：设 ， ，记 ，
则有 ，
；
；由隐函数求导公式
； ，则有
， 。
23、求曲线 在 处切线与法平面方程
[解]：1）先求切点坐标： ；
。
6、函数 在点（ ）处可导（偏导数存在）是函数在该点全微分
的存在的 条件（填：充分、必要、充要或无关）
[解]：必要条件。
7、
[解]：因为 ， ，由无穷小性质：无穷小乘以有界函数仍
为无穷小，故有 。
8、
[解]：函数 在 点连续，故 。
教材 页习题9-1第6大题求极限。
9、讨论函数 在 处连续性、可导性与可微性？
高等数学（B）—多元函数微分学复习题
1、二元函数 在点 处的两个偏导数存在是 在点 处连续的 条件（填：充分、必要、充要或无关）
[解]：无关条件，
2、如果函数 的两个混合偏导数 在区域D，则这两个混合偏导数相等
[解]：连续。
3、设 则
[解]： 。
4、函数 的定义域是
[解]： 。
5、求 的极值
[解]：由曲面图形知：此曲面为顶点在原点，开口向上的圆锥，故其在 取得极小值
得唯一可能的极值点
3）因为由问题本身可知最大值一定存在，故最大值就一定在这唯一可能的极值点
处取得。于是知椭球面在点 处切平面与三坐标面围成的四面体体积
最小，其最小值为 。
32、求函数 在点 处方向导数的最大值及相应方向
[解]：由方向导数与梯度关系：取得最大方向导数的方向即为梯度方向，最大的方向导数
即为梯度的模
1）
函数 在点 处方向导数的最大值
2）相应的方向就是 方向，即向量 的方向。
33、求函数 在曲线 上点 处沿曲线在该点的切线正方向（对应
增大的方向）的方向导数
[解]： 对应于 ，
1）先求出满足题目要求的切线的方向向量
在 处切线的方向向量为
， ，
；
2） ； ；
。
34、设 是曲面 在 处的指向外侧的法向量，求函数
在此处沿方向 的方向导数与梯度
[解]：1）先求出 及其方向余弦，令
；
2） ；
；
，
3） 。
又记 ，则向量
是曲面在点 处的一个法向量，从而该点处曲面的切
平面方程为 又点 在曲面上，
故切平面方程可以化简为 。其在三坐标轴上的截距为 ，
，从而切平面与三坐标面围成的四面体体积为 。
2）当 最大时，体积就最小，又由于点 是椭球面的第一卦限部分曲面上任取一点，所以问题就化为求函数
在
条件 之下的最大值，为此作拉格朗日函数
[解]：为方便起见记
由多元复合函数求导公式我们有：
故 。
17、：设 具有一阶连续偏导数，求 。
[解]： ，
。
18、已知函数 ，求 .
[解]： ；
。
19、设 具有二阶连续偏导，且 ，求
[解]：设 ，为方便起见记
，因为 具有二阶连续偏导，故 。
1）
；
Biblioteka Baidu2）
；
3）
。
20、设 具有连续导数， ，证明
[证明]：
[解]：1）当点 沿直线 趋于点 时，
有 随 值的不同而
改变，所以由极限定义知 不存在，从而函数 在 处不连续；
2）由连续与全微分关系知：函数在该点全微分不存在；
3）
故函数在该点偏导数存在。
10、设 ，求
[解]：
。
11、设 ，求
[解]：1） ；
2） ；
3） ；
4） ；
5） ；
6） 。
12、设 求 。
2） 平面的法向量为： ；
3）由定义 。
27、证明曲面 任意处的切平面在各坐标轴上的截距之和为
[证明]：设 ‘
曲面在任意点 处的切平面方程为：
其在三坐标轴上截距分别为
曲面 任意处的切平面在各坐标轴上的截距之和为 。
28、求 的极值
[解]：1）
2） ，故函数在点 取得极小值 。
，故 不是极值。
，故 不是极值。
，故函数在点 取得极大值
。
29、求 的极值
[解]：此为顶点在 ，开口朝下的旋转抛物面，由其图形特征知其在 处取得
极大值9。
30、在平面 上求一点，使它与两定点P（1，0，1）和Q（2，0，1）
的距离平方和为最小。
[解]：设平面上点为 ，由题意问题化为求
在条件 下的最小值。利用拉格郎日乘数
法：作拉格郎日函数
1） ；
2）可能极值点唯一，因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值一定在这唯一
可能的极值点处取到。
3）曲面上的点 与两定点P（1，0，1）和Q（2，0，1）的距离平方和为最小。
31、椭球面 的第一卦限部分曲面上的切平面与三坐标
面围成一四面体，试求这种四面体体积的最小值。
[解]：1）设点 是椭球面 的第一卦限部分曲面上的一点。