高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例

高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例
例1：平行类证明
【平行类证明方法总结】
线线平行的证明方法：
三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。

线面平行的证明方法：
面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等
面面平行的证明方法：
面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。

【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.
证法一：
如图（1），作PM∥AB交BE于M，
作QN∥AB交BC于N,连接MN,
因为面ABCD∩面ABEF=AB,
则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.
又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQ
DC QN =
. ∴
DC
QN
AB PM =
. ∴PM ∥QN.
四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.
又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：
如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴
QK
AQ
QB DQ =.
又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴
PE
AP
QK AQ =.则PQ ∥EK.
∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明 【垂直类证明方法总结】
证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o 、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等
【例】如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，． 求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．
证明：∵SA ⊥平面ABCD ，
∴SA BC ⊥． ∵AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AE ⊂平面SAB ， ∴BC AE ⊥． ∵SC ⊥平面AEFG ， ∴SC AE ⊥． ∴AE ⊥平面SBC ． ∴AE SB ⊥．
同理证AG SD ⊥． 例3：向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式
若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则
①212121z z y y x x b a ++=⋅ ；
②2
22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；
③212121z z y y x x b a ++=⋅
④2
2
2
22
22
12
12
12
12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<
夹角公式：
||||cos 212
1n n n n ⋅=θ
距离公式：
|
|||n n AB CD d =
= 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离．
简解：（1）略；
（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），
易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，
，，，，，1
cos 3
AQ PB AQ PB AQ PB
<>==
，． 所求异面直线所成的角是1
arccos 3
．
（3）由（2）知，点(022(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，
z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y +=+=⎪⎩，，取x ＝1，得
(112)-，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d =
=n n
．
立体几何证明经典习题
平行题目
1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.
求证：PC∥面BDQ.
2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.
求证：AF//平面PEC；
垂直题目
3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．
求证：BC⊥平面PAC．
4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．
求证：AH⊥平面BCD
向量法解立体几何题目
5、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、
C
1的一点，EA⊥EB1．已知2
AB=，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝
3
π．求二
面角A－EB1－A1的平面角的正切值．
立体几何证明经典习题答案
1、证明：如图，连结AC交BD于点O.
∵ABCD是平行四边形，
∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，
且O Q是△APC的中位线，
∴PC∥O Q.
∵PC在平面BDQ外，
∴PC∥平面BDQ.
2、证明：如图，设PC中点为G，连结FG，
1CD=AE，则FG//CD//AE，且FG=
2
∴四边形AEGF是平行四边形
∴AF//EG，
又∵AF⊄平面PEC，EG⊂平面PEC，
∴AF//平面PEC
3、证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．
∵平面PAC⊥平面PBC，且两平面交
于PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC．
又∵BC⊂平面PBC，
∴AD⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．
4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，
∴CF AB ⊥．
∵AD BD =，（等腰三角形三线合一） ∴DF AB ⊥． 又CF
DF F =，
∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，
∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE
AB B =，
∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥， CD BE E =，
∴ AH ⊥平面BCD ．
5、以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面
AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．
由于BC ＝1，BB 1＝2，AB BCC 1＝
3
π，
∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A
B 1（０，2，０）
、102c ⎫-⎪⎪⎝⎭，、1302C ⎫⎪⎪⎝⎭，，．
设0E a ⎫⎪⎪⎝⎭，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =，
即3202a a ⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =
或32a =（舍去）．故1022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角
A －E
B 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与
EA 的夹角．
因11(00B A BA ==，122EA ⎛=-- ⎝ 故111
12cos 3EA B A EA B A θ=
=，即tan θ=。