线性代数期末考试试卷+答案合集-大一期末线性代数试卷

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×××大学线性代数期末考试题

一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分)

1. 若02

2

1

50

1

31

=---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

00321

321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。

3.已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。

4.矩阵⎪⎪⎪

⎝⎛=32312221

1211

a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032

=--E A A ,则=-1A 。

二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分)

1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0〉D 。( )

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( )

3. 向量组m a a a ,,

, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( )

4. ⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=010*********

0010

A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1

-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分)

1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。

① n

2

② 1

2

-n ③ 1

2

+n ④ 4

2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。

① s ααα,,

, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,

, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,

, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

④ s ααα,,

, 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关

4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。

① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆

④ 若B A +可逆,则 A ,B 均可逆

5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( )

① 解向量

② 基础解系

③ 通解 ④ A 的行向量

四、计算题 ( 每小题9分,共63分)

1. 计算行列式

x a

b c d a x b c d a b x c d a

b

c

x d

++++。

解·

3)(0

000000

01)(1111

)

(x d c b a x x

x x d

c b

d c b a x d x c

b d

c x b

d c b x d

c b

d c b a x d x c

b

d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c

b

a

d c x b a

d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=

++++

2. 设B A AB 2+=,且A ,410011103⎪⎪⎪

⎝⎛= 求B 。

解.A B E A =-)2( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)

2(1

E A ,⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B

3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=20

001200312

043

1

2C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。

4. 问a 取何值时,下列向量组线性相关?123112211

,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪

⎝⎭⎝⎭

5. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧-=++-=++-=++2

23

321

321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多

解时求其通解。

① 当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解; ②当2-=λ时方程组无解

③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c

6. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向

量用该极大无关组线性表示。

7. 设100010021A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

,求A 的特征值及对应的特征向量。

五、证明题 (7分)

若A 是n 阶方阵,且,I AA =T

1-=A 证明 0=+I A 。其中I 为单位矩阵。

×××大学线性代数期末考试题答案

一、填空题 1. 5

2.

1≠λ 3. n n s s ⨯⨯,

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