计算方法与数值计算(Ch2插值与逼近)

15
3.Lagrange插值 3.Lagrange插值 Lagrange
基本思想——基函数法 把Pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函 数（基本插值多项式）lk(x)(k=0,1,…,n)的 构造。
16
一. 线性插值
已知f(x)两互异节点处的函数值，求f(x)的一次 插值多项式P1(x)。
x y
f ( n +1) (ξ ) n Rn ( x) = f ( x) − Ln ( x) = ∏ (x − x j ) (n + 1)! j =0
29
f ( n +1) (ξ ) n Rn ( x) = f ( x) − Ln ( x) = ∏ (x − x j ) (n + 1)! j =0
证明： 证明：
800 1:42.58 罗达尔
是否能建立竞赛距离与纪录时间之间的 函数关系，并测算男子1000米纪录。
4
200
150
100
400
600
800
1000
1200
1400Hale Waihona Puke Baidu
散点图
5
引例2 引例2 设f ( x) = ln x，并假定已给出下列三点 处的函数值，试近似计算 ln 11.75的值。
x lnx 11 2.3979 12 2.4849 13 2.5649
9
几何意义 x ：插值点， x在[a, b]内 ：内插， 否则为外插
a
LL x
b
问题
1.代数曲线Pn (x)是否存在，有几条? 2.怎样求Pn (x)？ 3.误差
10
存在唯一性 定理1 定理 n次代数插值问题的解是存在且唯一的。
已知函数f(x)在n+1个互异节点a≤x0<x1 <……< xn ≤b 处的函数值yi = f(xi) (i=0,1,2,……，n)， 则存在唯一一个次数不超过n次的多项式： Pn(x)=a0+a1x+……+anxn 满足条件Pn (xi) = yi = f(xi) 。
8
2.代数插值的概念 2.代数插值的概念 代数
定义 设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且已知它在 n+1 个互异点 a≤x0<x1 <……< xn ≤b处的函数值 yi = f(xi) (i=0,1,2,……,n)，若存在一个次数不超过n次的多 项式 Pn(x)=a0+a1x+……+anxn 满足条件Pn(xi) = f(xi) = yi ，(i=0,1,2,……,n)， 则称Pn(x) 为f(x)的n次代数插值多项式 代数插值多项式。 代数插值多项式 xi ：插值节点， f(x) ：被插值函数， Pn (xi) = f(xi) = yi ：插值条件，[a, b] ：插值区间
12
此方程组的系数行列式为
1 x0 D= 1 x1 1 xn
因为 xi
n 2 x0 L x0
范德蒙行列式
x12 L x1n LL
2 n xn L x n
=
LL
0≤ j <i ≤ n
∏ (x − x )
i j
≠ xj
所以D 法则， 所以 ≠ 0，由Cramer法则，方程组的解存在而且唯一， ， 法则 方程组的解存在而且唯一， 因此， 唯一确定。 因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。 由
sin 0.6 ( x − x0 )( x − x1 ) ≤ 4.7 ×10 − 4 R1 ( x) ≤ 2! 0.54711 − 0.54667 = 4.4 × 10 − 4
33
二次插值： 取x0 = 0.5，x1 = 0.6，x2 = 0.7 L2 ( x) = l0 ( x) y0 + l1 ( x) y1 + l2 ( x) y2 ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) = y0 + y1 + y2 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) L2 (0.57891) = 0.54714
k =0
n
Ln ( x)称为n次拉格朗日插值多项式
n x − xj Ln (x) = ∑∏ yk k =0 j =0 xk − x j j≠k
n
24
例1 设f ( x) = ln x，并假定已给出下列三点 处的函数值，试近似计算 ln 11.75的值。
x lnx 11 2.3979 12 2.4849 13 2.5649
解： 线性插值：
取x0 = 0.5，x1 = 0.6 L1 ( x) = l0 ( x) y0 + l1 ( x) y1 =
0.7 0.64422
x − x1 x − x0 y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
L1 (0.57891) = 0.54667 f ′′(ξ ) R1 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )，f ′′( x) = − sin x 2! x ∈ [0.5,0.6]，M = sin 0.6
26
插值结果：
L4(x)=2.29371+0.0613512x+0.000134208x2 −8.27971×10−8x3 +1.88092×10−11x4
令x=1000，得L4 (1000)≈133.87
27
200
男子1000米世界纪录：131.96秒(肯尼亚，99年)
150
133.87
100
...
6
插值要解决的问题: 插值要解决的问题
1.为离散的数据建立连续的数学模型； 2.用简单函数为复杂函数提供好的逼近。 即找到一个既能反应函数的变化规律， 又便于计算的简单函数p(x)来近似代替f(x)。
7
假设已知函数 f(x) 在n+1个互异点xi 处的函数值 (或一组对应的离散数据)yi = f(xi) (i=0,1,2,……，n)， 1. 反应函数的变化规律： p(xi) = f(xi) = yi， (i=0,1,2,……，n)， p(x)——插值函数，这种问题称为插值问题 插值问题。 插值问题 2.便于计算： p(x)的选择： 代数多项式，三角多项式，有理函数…… 代数插值。 若取插值函数p(x)为多项式，则称为代数插值 代数插值
函数值 函数 节点
x0
1 0 0
x1
0 1 0
x2
0 0 1
l0(x) l1(x) l2(x)
( x − x0 )( x − x2 ) ( x − x1 )( x − x2 ) l0 ( x ) = , l1 ( x) = ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) l2 ( x ) = ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
解：
( x − x0 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x1 )( x − x2 ) L2 ( x) = y0 + y1 + y2 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
23
定理2 定理 n次代数插值问题的解可表示为
Ln ( x) = l0 ( x) y0 + l1 ( x) y1 + L + ln ( x) yn = ∑ lk ( x) yk
k =0
n
证明： ） 证明： 1 Ln ( x)是不超过n次的代数多项式 （
（ ）满足插值条件Ln ( xi ) = ∑ lk ( xi ) yk = yi 2
50
250
500
750
1000
1250
1500
插值结果
28
4.插值余项 4.插值余项
定义：称插值函数的误差Rn(x)= f(x)−Ln(x) 为插值多项 定义 式Ln(x)的余项。 定理 (拉格朗日余项定理) 若f(x)在包含着插值节点 x0,x1,…,xn的区间［a,b］上 n+1 阶可导, 则对任意 x∈［a,b］,存在与x有关的 ξ(a<ξ<b), 使得
k =0 n
lk (x) = ∏
j =0 j ≠k
n
x − xj xk − xj
(k = 0,1,2,L, n)
n + 1个n次多项式l0 ( x), l1 ( x),L , ln ( x)，称为在n + 1个 节点xi (i = 0,1,2, L, n)上的n次基本插值多项式(n次 拉格朗日插值基函数)。
(1)当x = xi时，Rn ( xi ) = 0，等式成立 (2) x ≠ xi时，
30
f ( n +1) (ξ ) n Rn ( x ) = ∏ (x − x j ) ( n + 1)! j = 0
ξ不能确定，实际计算时 ，
在[a, b]上，若有 f ( n +1) ( x) ≤ M，则
n f ( n +1) (ξ ) n M Rn ( x) = ∏ ( x − x j ) ≤ (n + 1)! ∏ ( x − x j ) (n + 1)! j =0 j =0
二次插值基函数
22
三. n次Lagrange插值多项式 次Lagrange插值多项式
Ln ( x) = l0 ( x) y0 + l1 ( x) y1 + L + ln ( x) yn = ∑ lk ( x) yk
0, i ≠ k lk ( xi ) = (i, k = 0,1,2, L , n) 1, i = k
13
n a0 + x0 a1 + L + x0 an = y0 n a0 + x1a1 + L + x1 an = y1 LL a + x a + L + x n a = y n 1 n n n 0
14
常用的代数插值方法 拉格朗日（Lagrange） 牛顿（Newton） 埃特金（Aitken） 埃尔米特（Hermite） ……
Ch2 插值与逼近
一、代数插值
早在1000多年以前，中国的历法上 就已经记载了插值的思想和简单插值的 应用。
2
内容
插值要解决的问题 代数插值的概念 Lagrange插值 Newton插值
3
1.插值要解决的问题 1.插值要解决的问题 引例1 引例1 男子竞赛奥运会纪录
100 200 400 1000 1500 3:32.07 恩格尼 肯尼亚 悉尼 9.69 19.30 43.49 博尔特 博尔特 约翰逊 牙买加 牙买加 美国 挪威 北京 北京 亚特兰大 亚特兰大
31
例1 给定函数y=sinx的函数表 x 0.4 0.5 0.6 sinx 0.38942 0.47943 0.56464 0.7 0.64422
试分别用线性插值和二次插值求sin0.57891的近似值， 并估计截断误差。
32
x 0.4 0.5 0.6 sinx 0.38942 0.47943 0.56464
x0 y0
x1 y1
17
y
y=f(x)
y1 y=P1(x) y0 x0
线性插值
18
x1
x
L1(x)= l0(x)y0 + l1(x)y1
其中
x − x0 x − x1 l0 (x) = , l1(x) = x0 − x1 x1 − x0
l0(x)：点x0的一次插值基函数， l1(x)：点x1的一次插值基函数。
11
证明：设所要构造的插值多项式为： 证明：设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n
由插值条件
Pn ( xi ) = yi , i = 0, 1, L, n
得到如下线性代数方程组： 得到如下线性代数方程组：
n a0 + x0 a1 + L + x0 an = y0 a0 + x1a1 + L + x1n an = y1 LL a + x a + L + x n a = y n n n 0 n 1
L2 ( x) =
( x − 12)( x − 13) ( x − 11)( x − 13) × 2.3979 + × 2.4849 (11 − 12)(11 − 13) (12 − 11)(12 − 13) ( x − 11)( x − 12) + × 2.5649 (13 − 11)(13 − 12)
得 ln 11.75 ≈ L2 (11.75) ≈ 2.4638
令 =11.75 x ，
查 数 ln 11.75 ≈ 2.46385 对 表
25
例2 下表是男子竞赛奥运会纪录
x 100 200 400 800 1500 y 9.69 19.30 43.49 102.58 212.07 建立奥运会男子竞赛距离与纪录时间之间的 函数关系，并测算男子1000米纪录。
函数值 函数 节点
x0
1 0
x1
0 1
19
l0(x) l1(x)
二. 抛物线插值
已知f(x)三个互异节点处的函数值，求f(x)的二 次插值多项式P2(x)。
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
20
y y1
y=f(x)
y2 y=P2(x) y0 x0 x1
抛物线插值
21
x2
x
L2(x)= l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2