高二数学(人教B版)选修1-1阶段性测试题4

阶段性测试题四(第三章基本知能检测)
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．根据导数的定义，f′(x1)等于()
A.lim x→x0f(x1)－f(x0)
x1－x
B.lim
Δx→0
f(x1)－f(x0)
Δx
C.lim
Δx→0f(x1＋Δx)－f(x1)
Δx
D.lim
x1→0
f(x1＋Δx)－f(x1)
Δx
[答案] C
[解析]由导数定义知，
f′(x1)＝lim
Δx→0f(x1＋Δx)－f(x1)
Δx
，故选C.
2．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足()
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)－g(x)为常数函数
C．f(x)＝g(x)＝0
D．f(x)＋g(x)为常数函数
[答案] B
[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，
F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，
∴函数F(x)为常数函数，
故f(x)－g(x)为常数函数．
3．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为()
A．v＝2sin t＋2t cos t＋1 B．v＝2sin t＋2t cos t
C．v＝2sin t D．v＝2sin t＋2cos t＋1
[答案] A
[解析]因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，s′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.
4．函数y＝1＋3x－x3有()
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
[答案] D
[解析]∵y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0得x＝1或x＝－1，
当x<－1时，y′<0，当－1<x<1时，y′>0，
当x>1时，y′<0，
∴当x＝－1时，函数取极小值－1，
当x＝1时，函数取极大值3，故选D.
5．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是()
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] D
[解析]由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2，10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.
6．函数y＝x2－1
x
的导数是()
A.x2－1
x
B.
x2＋1
x2
C.x2－1
x2
D.
－x2＋1
x
[答案] B
[解析]y′＝(x2－1)′x－(x2－1)x′
x2
＝
x2＋1
x2
，
故选B.
7．过点(0，－4)与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是() A．y＝－2x－4 B．y＝4x－4
C．y＝2x－4 D．y＝－4x－4
[答案] B
[解析]∵点(0，－4)不在曲线y＝x3＋x－2上，
设切点坐标为(x0，y0)，切线斜率k＝3x20＋1，
切线方程为y－y0＝(3x20＋1)(x－x0)，
又点(0，－4)在切线上，∴－4－y0＝(3x20＋1)(－x0)，
又y0＝x30＋x0－2，
∴－4－x30－x0＋2＝－3x30－x0，解得x0＝1.
∴切点坐标为(1,0)，切线方程为y＝4x－4，故选B.
8．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝a
x＋1
，在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
[答案] D
[解析]f(x)＝－x2＋2ax，对称轴为x＝a，当a≤1时，f(x)在[1,2]上为减函数，由g′(x)
＝－a
(x＋1)2
<0，得a>0.故0<a≤1.
9．已知函数f(x)＝x ln x，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于() A．1 B．－1
C．±1 D．不存在
[答案] A
[解析]因为f(x)＝x ln x，所以f′(x)＝ln x＋1，于是有x0ln x0＋ln x0＋1＝1，解得x0＝1或x0＝－1(舍去)，故选A.
10．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是()
A．12，－15 B．5，－15
C．5，－4 D．－4，－15
[答案] B
[解析]y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)
＝6(x－2)(x＋1)，
令y′＝0，得x＝－1或x＝2，
∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．
列表如下：
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x－1有极大值和极小值，则a的取值范围是() A．－1<a<2 B．－3<a<6
C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>2
[答案] C
[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，令f′(x)＝0，
即3x2＋2ax＋a＋6＝0，
由题意，得Δ＝4a2－12(a＋6)＝4(a2－3a－18)＝4(a－6)(a＋3)>0，
∴a >6或a <－3，故选C.
12．函数y ＝x sin x ＋cos x 在下面哪个区间内是增函数 ( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2
D ．(2π，3π)
[答案] C
[解析] 对函数求导得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴函数y ＝x sin x ＋cos x 在所求区间内是增函数， 即y ′>0，∴x cos x >0.
当x >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭
⎫
2k π－π2，2k π＋π2(k ≥1且k ∈Z )．
当x <0时，x ∈⎝⎛⎭⎫
2k π＋π2，2k π＋32π(k ≤－1且k ∈Z )．选项中只有C 符合要求．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．设一个物体的运动方程为S ＝1－t ＋t 2
，其中S 的单位为m ，t 的单位为秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是________．
[答案] 5米/秒
[解析] 物体在3秒末的瞬时速度就是路程函数 S ＝1－t ＋t 2
在t ＝3时的导数，S ′|t ＝3＝5.
14．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1
2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)
＝________.
[答案] 3
[解析] 导函数在某点处的函数值表示曲线上该点的切线的斜率． ∵k ＝f ′(1)＝12，f (1)＝5
2，
∴f (1)＋f ′(1)＝3.
15．函数y ＝x ＋2cos x 在区间[0，1
2]上的最大值是________．
[答案] 12＋2cos 1
2
[解析] y ′＝1－2sin x ，∵x ∈[0，12]，∴0≤sin x <1
2，∴y ′>0恒成立，即该函数在[0，
12]上是增函数．∴当x ＝12时，y max ＝12＋2cos 1
2
16．使y ＝sin x ＋ax 为R 上的增函数的a 的取值范围为______________． [答案] a ≥1
[解析] ∵y ′＝cos x ＋a ≥0在R 上恒成立， ∴a ≥－cos x 在R 上恒成立，
又cos x ∈[－1,1]，∴－cos x ∈[－1,1]，∴a ≥1.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)求函数y ＝x 4
－2x 2
＋2在[－3,3]上的最大值和最小值． [解析] y ′＝4x 3
－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)， 令y ′＝0得x ＝－1，x ＝0，x ＝1， y ′及y 随x 的变化如下表
18．(本题满分12分)设函数f (x )＝－133＋2ax 2－3a 2
x ＋13a (0<a <1)．
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若当x ∈[a,2]时，恒有f (x )≤0，试确定a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )·(x －3a )． ∵0<a <1，∴f ′(x )>0⇔a <x <3a ；f ′(x )<0⇔x <a 或x >3a . ∴递增区间是(a,3a )，递减区间是(－∞，a )和(3a ，＋∞)．
(2)①2≤3a 即23≤a <1时，f (x )在区间[a,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝－83＋25
3
a －6a 2.
∴⎩⎨⎧
2
3
≤a <1－83＋25
3a －6a 2
≤0
⇔8
9
≤a <1. ②2>3a 即0<a <2
3时，f (x )在(a,3a )上单调递增，在(3a,2)上单调递减，
∴f (x )max ＝f (3a )＝1
3
a .
∴⎩⎨⎧
0<a <231
3a ≤0
无解．
综上所述，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫89，1.
[说明] 在对参数进行分类讨论时，必须确定分类的标准，且保证不重不漏． 19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )
取得极值－2.求f (x )的单调区间和极大值．
[解析] 由奇函数的定义，应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3
－cx ＋d ＝－ax 3
－cx －d ，∴d ＝0，
∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ， 由条件f (1)＝－2为f (x )的极值， 则有f ′(1)＝0，故⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＋c ＝－23a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3，
因此，f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
令f ′(x )<0，得－1<x <1， ∴函数f (x )在(－1,1)上是减函数． 所以f (x )在x ＝－1处取得极大值， 极大值为f (－1)＝2.
20．(本题满分12分)(1)求曲线y ＝2x
x 2＋1在点(1,1)处的切线方程；
(2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2
，求t ＝3时的速度．
[解析] (1)y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2－2x 2
(x 2＋1)2，
y ′|x ＝1＝2－2
4
＝0，
即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0. 因此，曲线y ＝
2x
x 2
＋1
在(1,1)处的切线方程为y ＝1. (2)S ′＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2′＋(2t 2
)′＝t 2－2t (t －1)t 4
＋4t ＝－1t 2＋2
t
3＋4t ，
S ′|t ＝3＝－19＋227＋12＝1126
27
.
21．(本题满分12分)(2009·重庆)已知函数f (x )＝ax 4
ln x ＋bx 4
－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．
(1)试确定a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调区间；
(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2
恒成立，求c 的取值范围． [解析] (1)由题意知f (1)＝－3－c ，因此b －c ＝－3－c ，从而b ＝－3.
又对f (x )求导得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x
4bx 3
＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )．
由题意f ′(1)＝0，因此a ＋4b ＝0，解得a ＝12.
(2)由(1)知f ′(x )＝48x 3
ln x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．
因此f (x )的单调递减区间为(0,1)，而f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．
(3)由(2)知，f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ，此极小值也是最小值，要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2，即2c 2
－c －3≥0，从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥
32或c ≤－1，所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪[3
2
，＋∞)．
22．(本题满分14分)设函数f (x )＝ax －b
x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x
－4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解析] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b
x
2，
于是⎩⎨⎧
2a －b 2＝12
，
a ＋
b 4＝7
4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.
故f (x )＝x －3x
.
(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3
x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为
y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3
x 20(x －x 0)，
即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭
⎫
1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的两交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.
令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪
－6x 0|2x 0|＝6.
故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此
定值为6.。