《定积分的简单应用》教案

定积分的简单应用

教学目标

知识与技能：

初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。

过程与方法：

通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法

情感、态度与价值观：

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

教学重点与难点

重点：

应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．在解决问题的过程中体验定积分的价值。

难点：

将实际问题化归为定积分的问题。

教学过程

给出教学目标：

应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．在解决问题的过程中体验定积分的价值。

一、复习回顾

1、定积分的几何意义

2、微积分基本定理内容

二、新课引入

如图．

问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？

提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．

问题2：你能求得其面积吗？如何求？

三、新课讲解

（一）平面图形的面积

一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则

S ＝∫b

a f (x )d x －∫

b a g (x )d x ，f (x )≥g (x )．

解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．

考点一：求平面图形的面积

[例1] 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．

[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤：

①画图；

②求交点，确定积分上、下限；

③确定被积函数；

④将面积用定积分表示；

⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．

题组集训

1．(2011·湖南高考)由直线x ＝－π3，x ＝π3

，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )

A.12

B ．1 C.

32 D. 3

2．求y ＝－x 2与y ＝x －2围成图形的面积S .

3、求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．

[一点通] 分割型图形面积的求解：

（1）通过解方程组求出曲线的交点坐标

（2）将积分区间进行分段

（3）对各个区间分别求面积进而求和（被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数）

4．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．

5、求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13

x 所围成图形的面积．

（二）求变速直线运动的路程、位移

[例2] 有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求

(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移；

(2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．

[点评] 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：

(1)若v (t )≥0，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛a

b v (t )d t . (2)若v (t )≤0，则s ＝－⎠⎛a b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛a

b v (t )d t . (3)若在区间[a ，

c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0，则s ＝⎠⎛a c v (t )

d t －⎠⎛c

b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛a

b v (t )d t . 所以求路程时要事先求得速度的正负区间．

（三）求变力做功

[例3] 一物体按规律x ＝bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．

【点评】对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速度，进而由d s ＝v d t 来确定做功的积分式W ＝⎠⎛0

t Fv d t .

题组集训

6．已知自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为（ )

A.13

gt 20 B ．gt 2

0 C.12

gt 20 D.16gt 20

7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为( ) A．0.18J B．0.26J

C．0.12J D．0.28J

四、小结

这节课你学到了什么？

五、作业：

课本P90习题4-3 第1、2、3、4题。