《定积分的简单应用》教案
《定积分的简单应用》教案新人教A版选修
《定积分的简单应用》教案1（新人教A版选修2-2）【本讲教育信息】一. 教学内容：定积分及其应用二. 重点、难点：1. 基本积分表（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2. 运算公式（1）（2）（3） 3.【典型例题】[例1] 若曲线在x处的导数为且曲线经过点A（1，3），求解析式。
解：，过A∴∴[例2] 求下列不定积分。
（1）（2）[例3] 求下列定积分（1）（2）∵∴[例4] ，为何值时，M最小。
解：∴ 时，[例5] 已知，，试求的取值范围。
解：即设∴为方程两根∴ 或∴[例6] 求抛物线与直线所围成的图形的面积。
解：由∴ A（1，－1）B（9，3）[例7] 求由抛物线，所围成图形的面积。
解：[例8] 由抛物线及其在点A（0，－3），B（3，0）处两切线所围成图形的面积。
解：，∴ P（）[例9] 曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积。
解：设切点，则切线：过P（）∴∴A（0，1）∵∴∴B（）∴[例10] 抛物线在第一象限内与直线相切。
此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S。
求使S达到最大值的a，b值，并求。
解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为，所以（1）又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点由方程组得，其判别式必须为0，即于是，代入（1）式得：令；在时得唯一驻点，且当时，；当时，。
故在时，取得极大值，也是最大值，即时，S取得最大值，且，代入，代城【模拟试题】1. 将和式的极限表示成定积分（）A.B.C.D.2. 下列等于1的积分是（）A.B.C.D.3. （）A.B.C.D.4. 已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（）A.B.C.D.5. 曲线与坐标所围成的面积（）A. 4B. 2C.D. 36. （）A.B.C.D.7. 求由围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）A.B. [0，2] C. [1，2] D. [0，1]8. 由直线，及x轴围成平面图形的面积为（）A. B.C. D.9. 如果1N力能拉长弹簧，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是（）A. 0.18B. 0.26C. 0.12D. 0.2810. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（）A.B.C.D.11. 将和式表示为定积分。
1.7定积分的简单应用(3课时)
W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么 拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是 什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平 衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为 多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图 形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y＝f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程， 用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A
《定积分的简单应用》教学设计
《定积分的简单应用》教学设计七教学过程师生活动设计意图（一）知识回顾复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义、微积分的基本定理。
问题：如何用定积分和平面图形的面积有怎样的联系？【学生活动】思考后请一位同学回答。
【课件展示】图１图２(),()0(),()0babaf x dx f xsf x dx f x⎧≥⎪=⎨⎪-≤⎩⎰⎰问题：怎样计算定积分的值？【学生活动】思考口答【课件展示】微积分的基本定理（二）新课讲授：例1：求如图所示阴影部分的面积培养学生复习的学习习惯。
复习定积分的几何意义七教学过程特征，联系我们以前的知识将问题化简后再解答，提高效率.【课件展示】解答过程【抽象概括】一般地，设由(),()y f x y g x==以及直线,x a x b==所围成的平面图形的面积为S，则[]()()()()b b ba a aS f x dx g x dx f x g x dx=-=-⎰⎰⎰.【学生活动】思考、探究、讨论【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。
问题：下面两个图是否满足上述公式？【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家例3：求图中所示阴影部分的面积【课件展示】解答过程【学生活动】学生独立思考【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。
探索到的结果通过实践，学生都得到了一些解题心得，及时指导学生进行抽象归纳，便是探究的阶段小结，得到解题的一般方法。
定积分的简单应用教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
定积分的简单应用教案一、教学目标：1. 理解定积分的概念及其在实际问题中的应用；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决简单应用问题。
二、教学内容：1. 定积分的概念及其性质；2. 定积分的计算方法和基本性质；3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重难点：1. 定积分的概念和计算方法；2. 定积分在实际问题中的应用。
四、教学过程：1. 导入与激发兴趣（5分钟）引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的好奇和兴趣。
2. 定积分的概念和计算方法（20分钟）a. 介绍定积分的概念：定积分是对函数在一定区间上的值进行求和的极限过程，表示函数在这个区间上的总量。
b. 讲解定积分的计算方法：i. 用一组割线逼近曲线下的面积；ii. 分割区间，用矩形逼近曲线下的面积；iii. 讲解Riemann和Darboux定义；iv. 使用不等式判断积分的上限和下限。
3. 定积分的基本性质（15分钟）a. 讲解定积分的线性性质；b. 讲解定积分的区间可加性；c. 引导学生理解定积分的平均值性质。
4. 定积分在实际问题中的应用（30分钟）a. 通过具体的实际问题，引导学生应用定积分解决问题，如：i. 曲线下的面积计算；ii. 曲线长度计算；iii. 物体在一定时间内的位移计算。
b. 引导学生分析问题，确定所给问题可以通过定积分求解。
5. 拓展与巩固（20分钟）通过课堂练习和教师引导，进一步巩固学生对定积分的理解和应用能力。
六、教学评价：1. 课堂练习的完成情况；2. 学生对定积分概念的理解和计算方法的掌握；3. 学生对定积分在实际问题中的应用能力。
七、教学反思：本节课通过引导学生回顾不定积分的概念和性质，引发学生对定积分的兴趣，再结合具体的实际问题进行教学，使学生能够理解定积分的概念和计算方法，并能够应用定积分解决简单的实际问题。
同时，通过课堂练习和教师引导，巩固了学生的学习成果。
综上所述，本节课教学效果较好。
定积分的简单应用导学案
第3课时 定积分的简单应用A 课程学习目标1. 会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型(定积分模型) 进行计算■2. 会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题 模型)，并能利用积分公式表进行计算 .3. 通过积分方法解决实际问题(物理)的过程 ，体会到微积分把不同背景的问题统一到一起的巨大作用 和实用价值.实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的 ，如非匀速直线运动在某时间段内位移 ；变力使物体沿直线方向移动某位移区间段内所做的功 ；非均匀线密度的细棒的质量等 .所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.问题1:当x € [ a, b ]时，若f (x )>0,由直线x=ax=b (a M b ), y=0和曲线y=f ( x )所围成的曲边梯形的面积S= __________ .问题2:当x € [ a, b ]时，若f (x )v 0,由直线x=ax=b (a M b ), y=0和曲线y=f ( x )所围成的曲边梯形的面积 S= .问题3:如图，当x € [a , b ]时,若f (x ) >g (x )>0时，由直线x=a , x=b (a * b )和曲线y=f (x ), y=g (x )所围成的平 面图形的面积S= __________ . 问题4:旋转体可以看作是由连续曲线 y=f (x )、直线x=a 、x=b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为.A®础学习交流1.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是().Af (x )d x B .| f (x )d x|C. f (x )d x+ f (x )d x D f (x )d x- f (x ) d x 2.由y=x 2, x=0和y=1所围成的平面图形绕 x 轴旋转所得的旋转体的体积 为()■A 知识体系梳 HZ,并能利用积分公式表,建立它的数学模型(定积分CiT可以表示AJI克难点探究求不分割型图形的面积计算由曲线y 2=x ,y=x 2所围成平面图形的面积S.分割型图形面积的求解计算由直线y=x- 4,曲线y=—以及x 轴所围成图形的面积 S.简单旋转几何体的体积计算椭圆一+—=1所围成的图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积AV= n(—)d y B V= n[12-(X 2)2] d xC V= n2 2(x ) d x D .V= 2 2(1 -x )3.汽车以v=(3t+2) m/s 作变速直线运动时,在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是4.求由曲线y=2x 2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积.曲化才化” ” •味ftA 思维拓展应用求由抛物线y=x 2- 4与直线y=-x+2所围成图形的面积.求由曲线y= ",y=2-x ,y 二-X 所围成图形的面积.连接坐标原点 0及点P （h , r ）的直线、直线x=h 及X 轴围成一个直角三角形,将它绕X 轴旋转构成一个底 半径为r 、高为h 的圆锥体，计算这个圆锥体的体积.（用定积分求解）X 基础智能检测1.由曲线y=,直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为（ ）.2. 一物体在变力F （X ）=5-X 2（力单位：N 位移单位：m 作用下，沿与F （x ）成30°方向作直线运动，则由x=1运动 到x=2时F （X ）做的功为（ ）.＞第三层»—技能应用与拓S —固学区・不第不讲B .4C.—D.6J B ——J C ——J D. 2 - JA 全新视角拓展（20XX 年•湖北卷）已知二次函数y=f （x ）的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（）.A-B- C.- D.—考题变式（我来改编）：h-1'显^审刊化-S 战应環，卜思维导图构建7■可他•i*具事化3.由曲线 y=与x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为4.由曲线 y=x 2和直线x=0,x=1,y=t 2, t € （0,1）所围成的图形（阴影部分）,求其面积的最小值. 定和分的苛单应用—I 定积分在几何中的应用―I 定积分在鞫理中的应用 ―I 变連运动的略程1-y*学习体验分事第3课时定积分的简单应用知识体系梳理根据定积分的几何意义可知 D 正确.由旋转体体积的定积分表示可知 B 正确.由曲线y=2x 2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为=-+2+24- 2+2—.重点难点探究因此所求图形的面积为 S = S 曲边梯形OAB — S 曲边梯形OAB = 【小结】求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限;(3)确定被积函数;(4)将面积用定积分表示；(5)用微积 分基本定理计算定积分，求出结果.探究二：【解析】(法一)作出直线y=x-4,曲线y= 的草图.答案问题 1： 问题 2:- 问题 3: 问题 4:V=基础学习交流 1. D 2. B 3.— s==(-=_ X 4+4- (-+2) =10-—=—(m).4.解：联立 解得直线与抛物线的交点横坐标为 x=-1,探究一：【解析】由题意画出草图，由得交点的横坐标为 x=0及x=1.2 I15-1 0 -4).5-1解方程组直线y=x-4与x 轴的交点为（4,0）,因此所求图形的面积为s=s+s=+■（法二）把y 看成积分变量，则S=，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选到. 思维拓展应用应用一：由所以直线y=-x+2与抛物线y=x 2-4的交点为（-3, 5）和（2, 0）,设所求图形面积为 S,得直线y=x-4与曲线y= 交点的坐标为 (8,4),y ,同时要更换积分上、下限 探究三：【解析】这个旋转体可看作是由上半个椭圆y=及x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所生成的【小结】两条或两条以上的曲线围成的图形，可以用曲线的一部分绕轴旋转根据图形可得S=应用二：画出图形,如图所示.解方程组得交点分别为(1, 1),( 0,0),( 3,-1),所以S==(-■+- 2+(2x- -x +- =_+_+( 2x--应用三：直角三角形斜边的直线方程为y=-x,所以所求圆锥体的体积为V=基础智能检测1.C 由y=—及y=x-2得x=4,所以由y= 一、y=x-2及y轴所围成的封闭图形面积为=(-2.C 由于F( x)与位移方向成30°角•如图,F在位移方向上的分力F'=F • cos30W=3.4 n 所求体积V=4.解：S=t3-S2=由导数求得，当t=-时，S+S取到最小值，最小值为-•全新视角拓展B根据f(x)的图像可设f (x) =a(x+1)( x-1)( a<0).因为f (x)的图像过(0, 1)点，所以-a=1,即a=-1.所以2f (x)=-(x+1)( x-1) =1-x •所以S= =2(-- =2 X (1-—)=•。
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案
学习目标：通过求解平面图形的体积了解定积分的应用。
学习重点：定积分在几何中的应用
学习难点：求简单几何体的体积.
学法指导：探析归纳
一、课前自主学习 (阅读课本内容找出问题答案).
1.定积分定义.
2旋转几何体的体积是根据旋转体的一个 ,再进行求出来的.
3解决的关键(1)找准旋转体
(2)通过准确建系,找出坐标,确定 .
二、课堂合作探究：
1.给定直角边为1的等腰直角三角形,绕一条直角边旋转一周,得到一个圆锥体,求它的体积.
2.一个半径为1的球可以看成是由曲线与x轴所围成的区域(半圆)绕x轴旋转一周得到的 ,求球的体积.
三、当堂检测.
1.将由直线=x,x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周,得到一
个圆台,利用定积分求该圆台的体积.
2. 求由直线,x轴,轴以及直线x=1围成的'区域绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积.
3．求由双曲线,直线x=1,x=2围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
四、巩固练习.
1 .将由曲线=x和所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积
2．求半椭圆绕x轴旋转一周所得到的旋转体的
体积.
3.求由曲线 ,直线x=1以及坐标轴围成的平面图形绕x轴旋转一周，得到的旋转体的体积.
五、课堂小结：
※学习小结：1. 定积分应用之二求旋转几何体的体积。
2. 旋转几何体体积的求法。
六、我的收获：
七、我的疑惑:。
定积分应用 教案
定积分应用教案教案标题：定积分应用教学目标：1. 了解定积分的概念和基本性质。
2. 掌握定积分的应用方法，包括计算曲线下面积、计算物体体积等。
3. 培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、教学实例、计算器等。
2. 学生准备：课本、笔记本、计算器等。
教学过程：Step 1：引入定积分的概念（10分钟）1. 教师通过课件或者黑板，简要介绍定积分的概念和基本性质，如曲线下面积的计算、物体体积的计算等。
2. 引导学生思考，定积分与不定积分的区别和联系。
Step 2：计算曲线下面积（20分钟）1. 教师通过示例，详细讲解如何利用定积分计算曲线下面积。
2. 引导学生理解定积分的几何意义，即曲线下面积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同曲线下面积的例子，巩固所学知识。
Step 3：计算物体体积（20分钟）1. 教师通过实例，讲解如何利用定积分计算物体的体积。
2. 引导学生理解定积分的物理意义，即物体体积的极限概念。
3. 给予学生练习的机会，让他们通过计算不同物体体积的例子，巩固所学知识。
Step 4：应用实际问题（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，如水池的蓄水量、材料的质量等，引导学生运用定积分解决问题。
2. 学生分组讨论，解决给定的实际问题，并展示解决过程和结果。
Step 5：总结和拓展（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调定积分的应用方法和意义。
2. 鼓励学生拓展思考，提出更多与定积分相关的实际问题，并探索解决方法。
教学要点：1. 定积分的概念和基本性质。
2. 计算曲线下面积的方法和几何意义。
3. 计算物体体积的方法和物理意义。
4. 运用定积分解决实际问题的能力。
教学扩展：1. 鼓励学生自主学习，深入了解定积分的更多应用领域，如概率统计、经济学等。
2. 提供更多实际问题，让学生运用定积分解决，培养他们的应用能力。
3. 引导学生进行小研究，探索定积分的相关定理和性质，拓展他们的数学思维。
定积分的简单应用参考教案
定积分的简单应用教学目标：1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法，以及利用定积分求一些简单的旋转体的体积；4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
教学重点：几种曲边梯形面积的求法。
教学难点：定积分求体积以及在物理中应用。
教学过程： 一、问题情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？ 二、数学应用（一）利用定积分求平面图形的面积 例1、求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。
答案： 2332320=-=⎰ππo x xdx S |cos sin ＝ 变式引申：1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。
答案：33233323132231=-+=--⎰|))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3和N （3，0 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 62+-=x y ，则所求图形的面积为49346234342233232＝＝dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+-+---⎰⎰3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（4、在曲线)0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为121.试求：切点A 的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为),200x x （为2002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为),(020x，则由题可知有121220200220200-+=⎰⎰x x dx x S x x x ( 10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－x x ba S S dx x f =⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０ π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。
定积分的简单应用
定积分的简单应用海口实验中学陈晓玲一、教材分析“定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。
从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。
在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。
二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标）1、知识与技能目标：（1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题；（2）学会将实际问题化归为定积分的问题。
2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。
3、情感态度与价值观目标：通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。
三、教学重点与难点1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。
2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。
四、教学用具：多媒体五、教学设计边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算曲边梯形的面积实现。
实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的路程？图一图2、变速直线运动的路程问题： y x 4=-2=y x教法：本节课充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则，展现获取知识和方法的思维过程。
主要体现在以下几个方面（1）新课引入时，从简单、生动的实例出发，激发学生学习热情，学生以轻松的心态投入学习，突出数学在实际生活中的应用。
（2）例题讲解时，以学生为中心，教师引导，对不同的解法给与肯定和赞扬，用老师鼓励的语言感染学生，学生抱着愉悦的心情投入到数学的学习中来，学习新知识的同时掌握解决问题的方法。
定积分的简单应用教案03
1.7.1 定积分在几何中的应用一、教学目标：1. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.2．掌握利用定积分求曲边图形的面积二、教学重点与难点：1. 定积分的概念及几何意义2. 定积分的基本性质及运算的应用三教学过程：（一）练习1．若11(2)a x x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ）A ．6B ．4C ．3D ．2 2．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（ C ） A ．34B ．45C ．56D ．不存在 3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值 解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x ++=++⎰223221200(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰．∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S 6． 你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰ba dx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和， 在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负二、新课例1．教材P56面的例1例2．教材P57面的例2。
练习：P58面例3．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。
练习： 1．如右图，阴影部分面积为（ B ）A ．[()()]b af xg x -⎰d x B ．[()()][()()]c ba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d xC ．[()()][()()]b b a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]ba g x f x +⎰d x 2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线所围成的面积．32 四、作业：《习案》作业十九。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
《定积分的简单应用》课件讲解学习
0
[解析] v＝ddxt＝(bt3)′＝3bt2， 媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常
数，k>0.
当x＝0时，t＝0，当x＝a时，t＝ab13，
ds＝vdt，故阻力做的功为W阻＝
t
kv2·vdt＝k
t
v3dt＝k
t
0
0
0
(3bt2)3dt＝277k3 a7b2.
• [点评] 本题常见的错误是在计算所做的功 时，误将W阻＝∫t10F阻ds写为∫t10F阻dt.
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点 的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时 的t值．
• [解析] (1)由v(t)＝8t－t2≥0得0≤t≤4， • 即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动， • 当t>4时，P点向x轴负方向运动． • 故t＝6时，点P离开原点的路程
对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速 度，进而由 ds＝vdt 来确定做功的积分式 W＝t Fvdt.
0
6．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝ 0到tA＝.13gt0t20所走的路程为B（．gt20 )
C.12gt20
D.16gt20
[答案] C
[解析] 如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，
那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是bv(t)dt， a
∴
＝12gt2t00 ＝12g(t20－0)＝12gt02.故应选C.
7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉 长6cm，所耗费的功为
()
A．0.18J
B．0.26J
C．0.12J
D．0.28J
[答案] A
1.7定积分的简单应用第1课时精品教案
1.7 定积分的简单应用【课题】：定积分在几何中的应用【教课目的】：（1）知识与技术：解决一些在几何顶用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，经过数形联合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）感情态度与价值观：领会事物间的互相转变、对峙一致的辩证关系，培育学生辩证唯心主义看法，提高理性思想能力．【教课要点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形联合的思想方法【教课难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适合的切割，从而把求平面图形面积的问题转变为求曲边梯形面积的问题．【课前准备】： Powerpoint或投电影【教课过程设计】：教课环节教课活动设计企图一、（1）师：我们已经看到，定积分能够用来计算曲引入课题例题 1 边梯形的面积，事实上，利用定积分还能够求比较复杂的平面图形的面积。
（2）例题 1 计算由曲线 y2 x, y x2所围图形的面积 S。
yy=x21C B y 2=xD AO1x生：思虑，议论师（指引，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，绘图并确立图形大概形状、范围，借助几何直观，将所求平面图形面积看成位于x 轴上方的两个曲边梯形面积之差；y y1 y=x 21 B y 2=x BA AO 1 x O 1 x师：第二步，确立积分上、下限，即经过解方程组求出交点的横坐标，从而确立被积函数和积分上、下限 ( 本例中需将曲线 y2 x 的解析式进行变形，得到 y x ，由于所围图形在 x 轴上方，因此取 y x ) ；yy= x1 BAO1x2解方程组y x 得 交 点 的 横 坐 标 为 x 0 及 x 1 。
yx 2师：第三步，写出平面图形面积的定积分表达式，运用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积所以，所求图形的面积为S S 曲边梯形 OABCS 曲边梯形OABD1 xdx1x 2 dx0 023 1 1 3 1 3 x2x32 13 3 13板书解题详尽步骤，规范学生的解题格式。
定积分的简单应用教案
定积分的简单应用教案教案标题：定积分的简单应用教案教学目标：1. 理解定积分的概念和基本性质；2. 掌握定积分的简单应用，包括计算曲线下面积和求解定积分的基本方法；3. 能够灵活运用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念和性质；2. 计算曲线下面积；3. 解决实际问题的定积分应用。
教学难点：1. 定积分的概念和性质的理解；2. 如何将实际问题转化为定积分的应用。
教学准备：1. 教学投影仪；2. 教学板书工具；3. 教学课件。
教学过程：Step 1：导入与激发兴趣（5分钟）通过引入一个实际问题，例如计算一个曲线下的面积，引发学生对定积分的兴趣，并与他们讨论如何解决这个问题。
Step 2：定积分的概念与性质（15分钟）2.1 讲解定积分的概念，包括黎曼和、黎曼积分的定义；2.2 介绍定积分的性质，包括线性性、区间可加性和保号性；2.3 通过例题演示如何计算定积分，强调积分的几何意义。
Step 3：计算曲线下面积（20分钟）3.1 介绍如何利用定积分计算曲线下面积；3.2 通过几个简单的例题，引导学生掌握计算曲线下面积的方法；3.3 引导学生思考如何处理复杂形状的曲线下面积计算问题。
Step 4：定积分的简单应用（15分钟）4.1 介绍定积分在实际问题中的应用，如求解速度、质量、体积等问题；4.2 通过实际问题的例题，引导学生将问题转化为定积分的形式，并解决问题。
Step 5：练习与巩固（15分钟）5.1 分发练习题，让学生进行个人或小组练习；5.2 教师巡回指导，解答学生的疑问；5.3 针对性地讲解一些典型问题的解法。
Step 6：总结与拓展（5分钟）6.1 总结定积分的概念和性质；6.2 引导学生思考定积分在更复杂问题中的应用；6.3 鼓励学生继续探索定积分的更多应用领域。
教学延伸：1. 鼓励学生自主阅读相关教材，进一步加深对定积分的理解；2. 提供更多的实际问题，让学生进行定积分的应用训练；3. 引导学生进行小研究，探索定积分在其他学科领域的应用。
定积分的简单应用(教案)
定积分的简单应用（学案）上课时间：2017年3月8日下午第一节一、复习引入1. 当()0f x ≥，定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示由直线,(),0x a x b a b y ==<= 和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．当()0f x ≤，定积分⎠⎛ab f (x )d x 表示由直线,(),0x a x b a b y ==<= 和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的负值．2. 右图中S1、S2、S3分别表示对应曲边梯形的面积，则定积分()ba f x dx =⎰__________________3. 右图阴影部分面积可用积分式子表示为：阴影面积S=_____________________________二、新课讲授1.计算下图阴影部分面积阴影面积S=__________________ 阴影面积S=__________________思考：当上题两个图形重合在一起，求阴影部分的面积.阴影部分面积S=______________________思考：当()()f x g x ≥时，两图像围成的面积是否都可以表示为=[()()]ba S f x g x dx -⎰？ 三、例题讲解，巩固练习例1 用定积分表示下列阴影部分的面积(1)面积为__________________________ (2)面积为_________________________(3)面积为__________________________ (4)面积为_________________________练习 1 若y=f(x)与y=g(x)是区间[a,b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x=a ,x=b 所围成的平面区域的面积为 ( )[()()]b a A f x g x dx -⎰、 [()()]ba B g x f x dx -⎰、 ()()b a C f x g x dx -⎰、 ()()ba D f x g x dx -⎰、例2 计算由曲线2,2y x y x ==所围成图形的面积S.解题步骤：练习2 求下列曲线所围成图形的面积.2(1)2,3,0,2y x y x x x =+===； (2),,0x y e y e x ===例3 求曲线xy=1与直线y=x,y=3所围成的平面图形的面积.练习3 求抛物线y 2＝4x 与直线y ＝2x －4围成的平面图形的面积.例4 如图，直线y kx =分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值四、小结思考：（2017，汕头一模）。
北师大版高中数学选修22定积分定积分的简单应用一利用定积分求平面图形的面积
例3 求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及 y=0所围成的图形的面积.
y
S 2 8xdx 6 (6 x)dx 40
0
2
3
6
O2
6
x
求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:
(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下 线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是 非负的;(4)写出定积分并计算.
y
y f2(x)
a
0
bx
y f1( x)
b
b
b
A4 a f2( x)dx a f1(x)dx a [ f2(x) f1(x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解
y y
x x2
x
0及x
1
两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)
y
y2 x
y
x2
A1
0 2
(0,0), (2,4), (3,9).
(x3 6x x2 )dx
y x2
A1
A2
3 0
(x2 x3 6x)dx
于是所求面积 A A1 A2
A2
y x3 6x
A
0
( 2
x3
6x
x2
)dx
3(x2 0
x3
6 x )dx
253 . 12
说明：
注意各积分区间上被积函数的形式．
思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:
图1.曲边梯形
y y f (x)
图y2.如图
y f2(x)
oa
bx
b
A1
定积分的简单应用面积
＝ 23x23＋16x210＋ 2x－12x2＋16x213
＝23＋16＋ 2x－13x231 (10 分)
＝56＋6－13×9－2＋13＝163.
(8 分) (12 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
法二 若选积分变量为 y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
(4 分)
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． (6 分)
成图形的面积．
审题指导 解答本题可先求
题型三 由两条曲线和直
出曲线与直线交点的横坐
线所围成图形面积
标，确定积分区间，然后
分段利用公式求解．
【解题流程】 作图 → 求出两曲线的交点坐标 →
确定积分区间 → 确定被积函数 定 的――积 性→分 质 分解 → 求值
[规范解答] 法一 画出草图，如图所示．
3．1 平面图形的面积
§3 定积分的 简单应用
【课标要求】
1．进一步理解定积分的概念和性质． 2．能应用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积．
【核心扫描】
1．利用定积分求平面图形的面积．(重点)． 2．准确认识平面图形的面积与定积分的关系．(易混点)
一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及直线 x＝a，x＝b 所围成的平面图形(如图)的面积为 S，则
S＝－轴上cf(方x)的dx定＋积分bf(减x)去dxx，轴故下选方的D定. 积分．
a
c
我们知道，当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时， 定积分bf(x)dx 的几何意义是以曲线 f(x)为曲边的曲边梯形
a
的面积．在一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介
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定积分的简单应用
教学目标
知识与技能：
初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法：
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感、态度与价值观：
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
教学重点与难点
重点：
应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．在解决问题的过程中体验定积分的价值。
难点：
将实际问题化归为定积分的问题。
教学过程
给出教学目标：
应用定积分的思想方法，解决一些简单的诸如求曲边梯形面积、变速直线运动的路程、变力作功等实际问题．在解决问题的过程中体验定积分的价值。
一、复习回顾
1、定积分的几何意义
2、微积分基本定理内容
二、新课引入
如图．
问题1：图中阴影部分是由哪些曲线围成？
提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)和y＝g(x)围成．
问题2：你能求得其面积吗？如何求？
三、新课讲解
（一）平面图形的面积
一般地，设由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面图形的面积为S ，则
S ＝∫b
a f (x )d x －∫
b a g (x )d x ，f (x )≥g (x )．
解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．
考点一：求平面图形的面积
[例1] 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．
[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
①画图；
②求交点，确定积分上、下限；
③确定被积函数；
④将面积用定积分表示；
⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．
题组集训
1．(2011·湖南高考)由直线x ＝－π3，x ＝π3
，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )
A.12
B ．1 C.
32 D. 3
2．求y ＝－x 2与y ＝x －2围成图形的面积S .
3、求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成平面图形的面积．
[一点通] 分割型图形面积的求解：
（1）通过解方程组求出曲线的交点坐标
（2）将积分区间进行分段
（3）对各个区间分别求面积进而求和（被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数）
4．求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．
5、求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13
x 所围成图形的面积．
（二）求变速直线运动的路程、位移
[例2] 有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求
(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移；
(2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．
[点评] 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：
(1)若v (t )≥0，则s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛a
b v (t )d t . (2)若v (t )≤0，则s ＝－⎠⎛a b v (t )d t ；s ′＝⎠⎛a
b v (t )d t . (3)若在区间[a ，
c ]上v (t )≥0，在区间[c ，b ]上v (t )<0，则s ＝⎠⎛a c v (t )
d t －⎠⎛c
b v (t )d t ，s ′＝⎠⎛a
b v (t )d t . 所以求路程时要事先求得速度的正负区间．
（三）求变力做功
[例3] 一物体按规律x ＝bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质阻力与速度的平方成正比，试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所做的功．
【点评】对于已知运动规律求做功的问题，首先确定其运动速度，进而由d s ＝v d t 来确定做功的积分式W ＝⎠⎛0
t Fv d t .
题组集训
6．已知自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为（ )
A.13
gt 20 B ．gt 2
0 C.12
gt 20 D.16gt 20
7．如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为( ) A．0.18J B．0.26J
C．0.12J D．0.28J
四、小结
这节课你学到了什么？
五、作业：
课本P90习题4-3 第1、2、3、4题。