平面向量共线定理和等和线

乎商向曇共线恚1理

一、平面向量共线定于

已知51= xOB+yOC,若x+ y = 1,则A,B,C 三点

共线;反之亦然

二、平面向量等和纟

O

若66 = 2ODJP^OC = xOA+ yOB = 2(-OA+^OB) = 2OD?

A 2

则有中+斗=1,即x+ y = 2

/I A

过C点作直线III AB y在/上任作一点C‘，连接OCT1AB = D

同理可得，以OA, OB为基底时,0C对应的系数和依然为2fB

结论

在向量起点相同的前提下，所有以与AB平行的直线上面的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”。值的大小与起点到等和线的距离成正比，若等和线与4B在起点的两侧时，值为负。

例1、（2013 •南通二模）如图,正六边形ABCDEF^,

P 是△仞£内（包括边界）的动点，设AP =（xAB + jBAF （Q, 0E R ）,则Q + 0的取值范围是 _____________ .

BF 为£ = 1的等和线，P 壮CDE 内时， EC 是最近的等和线，过D 点的等和线

是最远的

AN AD

=[3,4]

解析:

・・・o

+ 0w

例2、（2009安徽（理）14）给定两个长度为1的平面向量鬲和西它们的夹角为乎，如图所示，点C 在以0为圆心的圆弧人B上变动，^-OC =

xOA + yOB（x. y G R）,则尤+ y的最大值是・

解析：

所有与AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时取得k最大结合角度，不难得到g=2

例3、（2013江苏10）设£>, E分别是\ABC的边AB, BC上的点,

AD = -AB,BE = -BC,若旋=人期+人疋仏，入w /?）, 2 3

则人+&的值为_________ ・

A

解析：

过点A作~AF = ~DE,设AF与BC的延长线交于点易知AF = FH,即DF为BC的中位线，因此&+入二*

例4、（2013杭州一模17）如图，在扇形OAB中，ZAOB =

C为弧4B上的一个动点，若OC = xOA^yOB, 则x + 3y的

取值范围是_____________ .

04,03为基底。显然，当C在A点时，经过£ = 1的等和

线，C在B点时，经过£ = 3的等和线，这两个分别是最

那么则要考虑以向量

近跟最远的等和线，所以系数和£的取值范围是[1,3]

1、（2009安徽（文）14）在平行四边形ABCD中，E知F分别是边CD和

的中点，若~AC = AAE + jLiAF.其中2,/ze R 则兄+ “ 二____ .

2、（苏州犬学2013高考考前指导卷（1）13）已知点O是NABC的外心，

2 —- —- ―-

AB = 2a,AC = -^BAC = nO\若AO = 十0/4C,则°十0最小值为a

3、（2014宁波一模）已知点O是\ABC的外心，且二3, AC二4,若

存在非零实数忑” 使得AO = xAB + yAC,且兀十2.y = 1,则cosZBAC = 1、（2009安徽（文）14）在平行四边形ABCD中，E知F分别是边CD和

的中点，若~AC = AAE + jLiAF.其中2,/ze R 则兄+ “ 二____ .

2、（苏州犬学2013高考考前指导卷（1）13）已知点O是NABC的外心，

2 —- —- ―-

AB = 2a,AC = -^BAC = nO\若AO = 十0/4C,则°十0最小值为a

3、（2014宁波一模）已知点O是\ABC的外心，且二3, AC二4,若

存在非零实数忑” 使得AO = xAB + yAC,且兀十2.y = 1,则cosZBAC =