直线斜率的求法]

直线斜率的求法

直线的斜率是反映直线倾斜程度的特征量，在解决有关直线的方程问题中占据着重要的地位.下面例析直线斜率的几种常见求法，以期帮助同学们掌握斜率这一重要知识点.

一、 已知倾斜角定义求

例1 如图，菱形ABCD 中，0120ADC ∠=，分别求出BC 、CD 、AC 、BD 所在直线的斜率.

分析：准确的找出（或求出）所求直线的倾斜角是关键. 每一条直线都有唯一的倾斜角，直线与横坐标轴正半轴方向的夹角即为该直线的倾斜角.

解：因为在菱形ABCD 中，0120ADC ∠=，

所以，060BAD ∠=，0120ABC ∠=，

故00tan(180120)BC k =-=0

tan60=；

因为CD AB x P P 轴，所以直线CD 倾斜角为00，故0tan00CD k ==; 又因为菱形的对角线是相应角的角平分线，

所以030BAC ∠=，060DBA ∠=，

所以00180120DBx DBA ∠=-∠=，

所以，0tan 30AC k ==0tan120BD k ==点评：由直线的倾斜角求斜率，必须正确利用直线的倾斜角与斜率的

关系：tan k α=（其中)000,180α⎡∈⎣且090α≠）.要注意斜率k 随着倾斜角α

的变化而变化的趋势：当00α=时，0k =；当00090α<<时，k 为正且随着α的增大而增大；当090α=时，k 不存在；当00

90180α<<时，k 为负且随着α的

增大而增大.

二、已知两点坐标公式求

例 2 已知ABC V 的三个顶点为(1,1)A ，(1,1)B --

，C ，求它的三条边所在直线的斜率.

分析：已知两点，可直接由斜率公式1212

y y k x x -=

-，（其中12x x ≠）求解. 解：由斜率公式，可得

11111AB k --==--

，2AC k ==

，2BC k ==， 因此，三边AB ，BC ，AC 所在直线的斜率分别是1

2

，2.

点评：利用斜率公式求斜率，关键是记清公式，分子分母不能记反.同时注意，当12x x ≠时，才能用斜率公式1212

y y k x x -=-求斜率，当12x x =时，斜率不存在. 三、 讨论参数分类求

例3 已知直线l 经过点(2,1)A m ，2(1,)B m （m R ∈），求直线l 的斜率，并求倾斜角α的取值范围.

解：（1）当21m =，即12

m =时，(1,1)A ，1(1,)4B ，此时直线l 与x 轴垂直，倾斜角α= 090，l 的斜率不存在.

（2）当21m ≠，即12m ≠时，斜率为2112m k m

-=-. 由210120m m ⎧->⎨->⎩或210120

m m ⎧-<⎨-<⎩得，1m <-或112m <<， 所以当1m <-或112

m <<时，0k >，此时()000,90α∈； 由210120m m ⎧->⎨-<⎩或210120

m m ⎧-<⎨->⎩得，1m >或112m -<<， 所以当1m >或112

m -<<时，0k <，此时()0090,180α∈； 当1m =时，(2,1)A ，(1,1)B ，当1m =-时，(2,1)A -，(1,1)B ，

所以当1m =±时，直线l 与x 轴平行，倾斜角0

0α=.

综上可知，当12

m =时，直线的斜率不存在，倾斜角α= 090； 当12m ≠时，直线的斜率为2112m k m

-=-，其中， 当1m <-或112

m <<时，0k >， ()000,90α∈； 当1m >或112

m -<<时，0k <， ()0090,180α∈； 当1m =±时，直线l 与x 轴平行，倾斜角0

0α=. 点评：利用斜率公式时，应注意前提是12x x ≠，当含有参数时，应分类

讨论.注意最后要“综上”总结.

四、 数形结合直观求

例4 已知点(1,1)A -，(2,2)B 若直线l 过点(0,1)P -，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.

分析：画出图形，从图形中找到直线倾斜角的范围，从而得到斜率的范围，从而直观的解决问题.

解：如图，要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线的倾斜角介于直线PA 与PB 之间.

当l 的倾斜角小于090时，PB k k ≥；当l 的倾斜角大于090时，PA k k ≤.

由已知，得PA k =1101--+=2-，PB k =1202---=32

. 所以斜率k 的取值范围为：32

k ≥或2k ≤-. 点评：数形结合是解题的一种重要途径.数形结合解题直观形象.本题的关键是弄清直线的倾斜角体育斜率的变化关系.实际上，在直线l 绕点P 逆时针由PB 位置旋转到与y 轴重合的过程中，斜率随着倾斜角的增大而增大（一直增大到+∞）；在直线l 绕点P 继续逆时针由y 轴旋转到PA 位置的过程中，斜率也是随着倾斜角的增大而增大（斜率由-∞开始增大）.