数学实验4-线性规划
数学建模实验报告线性规划.doc
数学建模实验报告线性规划数学建模实验报告姓名：霍妮娜班级：计算机95学号：09055093指导老师：戴永红提交日期：5月15日一．线性规划问题描述：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人级大学生正在从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素包括发展前景、经济收入、单位信誉、地理位置等，试建立模型给他提出决策建议。
问题分析首先经过对问题的具体情况了解后，建立层次结构模型，进而进行决策分析。
下面我建立这样一个层次结构模型：某岗位综合分数发展前景x1经济收入x2家庭因素x3地理位置x4这是一个比较简单的层次结构模型,经过如下步骤就可以将问题解决。
1.成对比较从x1,x2,x3,x4中任取xi和xj，对他们对于y贡献的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj=1，认为前者与后者贡献程度相同；xi/xj=3，前者比后者的贡献程度略大；xi/xj=5，前者比后者的贡献程度大；xi/xj=7，前者比后者的贡献大很多；xi/xj=9，前者的贡献非常大，以至于后者根本不能和它相提并论；xi/xj=2n，n=1，2，3，4，认为xi/xj介于2n-1和2n+1直接。
xj/xi=1/n，n=1，2，…，9，当且仅当xi/xj=n。
2.建立逆对称矩阵记已得所有xi/xj，i，j=1，2，3，4，建立n阶方阵1135A=11351/31/3131/51/51/313.迭代e0=（1/n，1/n，1/n，1/n）Tek=Aek-1一直迭代直达到极限e=(a1,a2,…,a4)T则权系数可取Wi=ai 解：首先通过迭代法计算得x1，x2，x3，x4的权数分别为：0.278，0.278，0.235，0.209.假设对所有的xi都采用十分制，现假设有三家招聘公司，它们的个指标如下所示：x1x2x3x4甲8579乙7966丙5798按公式分别求出甲、乙、丙三家公司的综合指数为7.144，7.112和7.123.由此可以看出，应该选择甲公司。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
数学实验题集
数学实验题集一.线性规划1．某厂有一台制杯机，可生产两种型号的杯子，A 型杯每6小时可生产100箱，B 型杯每5小时可生产100箱，这台机器每周生产时间为60小时，生产出的产品堆放在仓库里，库容量为15000立方米，A 型杯每箱占有空间10立方米，B 型杯每箱占有空间20立方米，生产A 型杯每箱可获利5元，B 型杯每箱可获利4.5元，客户每周到仓库提货一次，其中A 型杯需求量不超过800箱，B 型杯有多少需要多少，问每周各应生产多少箱A 、B 型杯子，使工厂获利最多。
参考答案：线性规划模型：max 215.45x x + s.t.601005100621=+x x 150********≤+x x 8001≤x 0,21≥x x 程序：ConstrainedMax 5x1 4.5x2,6100x15100x260,10x120x215000,x1800,x1,x2运行结果：5142.86,x1642.857,x2428.5712．某工厂在计划计划期内要安排生产A 、B 两种产品。
A 产品每件可获利6元，B 产品每件可获利4元，生产这两种产品每件需机器的台时数分别为2和3个单位，需劳动工时数分别为4和2个单位。
已知该厂在计划期内可提供100个单位的机器台时数和120个单位的劳动工时数。
问如何安排生产计划，才能使这个工厂获利最大。
参考答案：线性规划模型：max 2146x x +s.t. 1003221≤+x x1202421≤+x x 0,21≥x x程序：ConstrainedMax 6x14x2,2x13x2100,4x12x2120,x1,x2运行结果：200,x120,x2203.问如何安排生产计划，使得到的利润最大？参考答案：线性规划模型：max 2132x x + s.t. 122221≤+x x 8221≤+x x 1641≤x 1242≤x 0,21≥x x程序：ConstrainedMax 2x13x2,2x12x212,x12x28,4x116,4x212,x1,x2运行结果：14,x14,x224.某工厂生产A 、B 两种产品，已知制造产品A 一百桶分别需要原料P 、Q 、R5千克、300千克、12千克，可得利润8000元。
数学建模线性规划和整数规划实验
1、线性规划和整数规划实验1、加工奶制品的生产计划（1）一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2 产品.根据市场需求，生产的A1、A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100 千克A1产品，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: （i）若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资?若投资，每天最多购买多少桶牛奶?(ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?(iii)由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划?(2)进一步，为增加工厂获利，开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获44元，每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下问题:(i)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，是否应作这项投资?若每天投资150元，或赚回多少?(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整?解：由已知可得1桶牛奶，在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1，利润为72元；在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2，利润为64元。
利用lingo软件，编写如下程序：model:max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.12*x1+8*x2≤480;x1+x2≤50;3*x1≤100;X1≥0,x2≥0end求解结果及灵敏度分析为：Objective value: 3360.000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 2.0000003 0.000000 48.000004 40.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 53.33333 80.000003 50.00000 10.00000 6.6666674 100.0000 INFINITY 40.00000 分析结果：1）从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下，获利可以达到最大3360元。
运筹学实验报告线性规划及其灵敏度分析
.数学与计算科学学院实验报告实验项目名称线性规划及其灵敏度分析所属课程名称运筹学B实验类型综合实验日期2014年10月24日班级数学1201班学号201264100128成绩一、实验概述：【实验目的】熟练掌握Matlab,Lingo等数学软件在单纯形法及其灵敏度分析中的运用，能自己建模，求解模型。
【实验原理】利用线性规划基本原理对问题建立数学模型，用单纯形法和对偶单纯形法分析和求解线性规划问题及相应的灵敏度分析。
问题【实验环境】计算机，Matlab软件，lingo软件，运筹学软件二、实验容：【实验方案】通过对实际问题的具体分析，建立线性规划模型，再利用MATLAB 中的线性规划函数进行求解.【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）实验（一）：某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t 甲两种产品需要A 种原料4t 、B 种原料12t ，产生的利润为2万元；生产乙种产品需要A 种原料1t 、B 种原料9t ，产生的利润为1万元。
现有库存A 种原料10t 、B 种原料60t ，如何安排生产才能使利润最大？在关数据列表如下:A 种原料B 种原料利润甲种产品 4 12 2 乙种产品 1 9 1现有库存1060(1)建立模型：设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 1，x 2212max x x z060912104212121x x x x x x(2)模型求解：A.MATLAB软件求解：将目标函数转化为求函数-Z的最小值.目标函数系数矩阵p=[-2,-1];约束矩阵A=[4 1;12 9] B=[10 60];调用MATLAB中lingprog函数求出-Z的最小值，其相反数就是MaxZ；程序运行结果如下：x =1.25005.0000fmin =-7.5000所以MaxZ=7.5B.LINGO软件求解：Global optimal solution found.Objective value: 7.500000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 1.250000 0.000000X2 5.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.500000 1.0000002 0.000000 0.25000003 0.000000 0.8333333E-014 1.250000 0.0000005 5.000000 0.000000最优解：X1=1.25,x2=5.00,最优目标函数值为7.5；做灵敏度分析，可的结果：Global optimal solution found.Objective value: 11.40000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostX1 3.600000 0.000000X2 7.800000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 11.40000 -1.0000002 0.000000 -0.40000003 1.200000 0.0000004 0.000000 -0.20000005 3.600000 0.0000006 7.800000 0.000000同样可得minZ=11.4000对模型做灵敏度分析：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 2.000000 2.000000 0.6666667X2 1.000000 0.5000000 0.5000000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 10.00000 10.00000 3.3333333 60.00000 30.00000 30.000004 0.0 1.250000 INFINITY5 0.0 5.000000 INFINITY结果显示当x1的目标系数在[1.33,4]之间变化，x2的目标系数在[0.5,1.5]之间变化；右端第一项在[6.67,20]之间变化，第二项在[30,90]之间变化，第三项在[之间变化，第四]5,.1,[项在之间变化，最优解都不会发生变化.]25【实验结论】（结果）实验（一）：生产甲、乙两种产品的吨数分别为 1.25，5，最大利润为7.5万元。
用matlab求解线性规划问题
用m a t l a b求解线性规划问题Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】实验四 用M A T L A B 求解线性规划问题一、实验目的： 了解Matlab 的优化工具箱，能利用Matlab 求解线性规划问题。
二、实验内容：线性规划的数学模型有各种不同的形式，其一般形式可以写为：目标函数： n n x f x f x f z +++= 2211m in约束条件： s n sn s s n n b x a x a x a b x a x a x a ≤+++≤+++221111212111这里nn x f x f x f z +++= 2211称为目标函数，j f 称为价值系数，T n f f f f ),,,(21 =称为价值向量，j x 为求解的变量，由系数ij a 组成的矩阵 称为不等式约束矩阵，由系数ij c 组成的矩阵 称为等式约束矩阵，列向量T n b b b b ),,,(21 =和T n d d d d ),,,(21 =为右端向量，条件0≥j x 称为非负约束。
一个向量Tn x x x x ),,,(21 =，满足约束条件，称为可行解或可行点，所有可行点的集合称为可行区域，达到目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解，相应的目标函数值称为最优目标函数值，简称最优值。
我们这里介绍利用Matlab 来求解线性规划问题的求解。
在Matlab 中有一个专门的函数linprog()来解决这类问题，我们知道，极值有最大和最小两种，但求z 的极大就是求z -的极小，因此在Matlab 中以求极小为标准形式，函数linprog()的具体格式如下：X=linprog(f,A,b)[X,fval,exitflag,ouyput,lamnda]=linprog(f,A,b,Aeq,Beq,LB,UB,X0,options)这里X 是问题的解向量，f 是由目标函数的系数构成的向量，A 是一个矩阵，b 是一个向量，A ，b 和变量x={x1,x2,…,xn}一起，表示了线性规划中不等式约束条件，A ，b 是系数矩阵和右端向量。
线性规划综合性实验报告
《线性规划综合性实验》报告一、实验目的与要求掌握线性规划建模的方法以及至少掌握一种线性规划软件的使用，提高应用线性规划方法解决实际问题的实践动手能力。
通过实验，更深入、直观地理解和掌握线性规划的基本概念及基本理论和方法。
要求能对一般的线性规划问题建立正确的线性规划数学模型，掌握运筹学软件包WinQSB中Linear and Integer Programming模块的操作方法与步骤，能对求解结果进行简单的应用分析。
二、实验内容与步骤1.确定线性规划问题(写出线性规划问题)2.建立线性规划模型(写出线性规划数学模型)3.用WinQSB中Linear and Integer Programming模块求解线性规划模型（写出求解的具体步骤）4.对求解结果进行应用分析(指出最优方案并作出一定的分析)三、实验题目、实验具体步骤及实验结论(一)线性规划问题某集团摩托车公司产品年度生产计划的优化研究1)问题的提出某集团摩托车公司是生产各种类型摩托车的专业厂家，有30多年从事摩托车生产的丰富经验。
近年来，随着国内摩托车行业的发展，市场竞争日趋激烈，该集团原有的优势逐渐丧失，摩托车公司的生存和发展面临严峻的挑战。
为此公司决策层决心顺应市场，狠抓管理，挖潜创新，从市场调查入手，紧密结合公司实际，运用科学方法对其进行优化组合，制定出1999年度总体经济效益最优的生产计划方案。
2)市场调查与生产状况分析1998年，受东南亚金融风暴的影响，国内摩托车市场出现疲软，供给远大于需求，该集团的摩托车生产经营也出现开工不足、库存增加和资金周转困难等问题。
该集团共有三个专业厂，分别生产轻便摩托车、普通两轮车和三轮摩托车三大系列产品。
在市场调查的基础上，从企业实际出发普遍下调整车出厂价和目标利润率，有关数据如下表1资金占用情况如下表2由于发动机改型生产的限制，改型车M3和M6两种车1999年的生产量预测数分别为20000辆和22000辆。
数学建模实验4-线性规划模型求解
2.
H=[2 -2 3;-2 4 0;3 0 0];
C=[0 4 0];
A=[2 3 1];
b=[8];
Aeq=[1 -1 2];
beq=[8];
lb=zeros(3,1);
[xopt,fopt]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb)
Optimization terminated.
xopt = 0 0 4
fopt =0
3.
一
二
三
四
五
A
X1A
X2A
X3A
X4A
B
X3B
C
X2C
D
X1DX2DX3D源自X4DX5DMax z = 1.15*X4A+1.25*X3B+1.40*X2C+1.06*X5D
S.t
X1A+X1D=100000
X2A+X2C+X2D=1.06*X1D
X3A+X3B+X3D=1.06*X2D+1.15*X1A
其次，最后一道题编写M文件时，因未知数过多，所以需要更加的细心和耐心，否则很容易出错。
X4A+X4D=1.06*X3D+1.15*X2A
X5D=1.15*X3A+1.06*X4D
X3B<=40000
X2C<=30000
X1A,X2A,…,X5D>=0
编制M文件：
max 1.15x4a+1.40x2c+1.25x3b+1.06x5d
f=[0 0 0 -1.15 -1.25 -1.40 0 0 0 0 -1.06];
数学实验——线性规划
实验5 线性规划分1 黄浩 43一、实验目的1.掌握用MATLAB工具箱求解线性规划的方法2.练习建立实际问题的线性规划模型二、实验内容1.《数学实验》第二版（问题6）问题叙述：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有如下限制：(1).政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；(2).所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；(3).所购证券的平均到期年限不超过5年I.若该经理有1000万元资金，该如何投资？II.如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？III.在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？模型转换及实验过程：I.设经理对于上述五种证券A 、B 、C 、D 、E 的投资额分别为：x 1、x 2、x 3、x 4、x 5(万元)，全部到期后的总收益为z 万元。
由题目中的已知条件，可以列出约束条件为：{ x 2+x 3+x 4≥4002x 1+2x 2+x 3+x 4+5x 5≤1.4(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)9x 1+15x 2+4x 3+3x 4+2x 5≤5(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≤1000}而决策变量x =(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)T 的上下界约束为：x i ∈[0,1000]目标函数z =0.043x 1+0.027x 2+0.025x 3+0.022x 4+0.045x 5 将上述条件转变为matlab 的要求形式：使用matlab 解上述的线性规划问题（程序见四.1），并整理成表格：得出结论：当经理对A 、B 、C 、D 、E 五种证券分别投资218.18、0、736.36、0、45.45万元时，在全部收回时可得到29.836万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。
线性规划实验
在模型窗口中输入如下代码： max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; 然后点击工具条上的按钮
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二、用MATLAB优化工具箱解线性规划
1. 模型： min z=cX s.t. AX b 命令：x=linprog（c, A, b） 2. 模型：min z=cX s.t. AX b Aeq X beq 命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq） 注意：若没有不等式：AX b 存在，则令A=[ ]，b=[ ].
注意： 整数变量说明：@gin(name) 0–1变量说明：@bin(name)
即可求解。
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如何进行灵敏性分析？
用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目 标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化（此 时假定其他系数不变）时，最优基保持不变。 灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型 时灵敏性分析要处于激活状态，但是默认状态是不激 活的。为了激活灵敏性分析，运行LINGO︱Options‥, 选择General Solver Tab，在Dual Computations列表框中， 选择Prices and Ranges选项。灵敏性分析耗费相当多的 求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。 整数规划和0–1规划不能进行灵敏性分析！
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x1 1 x2 1 0 x 3 x1 30 0 x 2 20 x3 1
第4讲 线性规划
当目标函数该边后，等值线的方向会发生改变， 如果等值线与某个约束对应的函数直线平行， 则该函数值线上的所有可行解都是最优解
最优解（1，4）
2 x 1 x 2 2
x1 2 x 2 2
x1 x 2 5
注 释
可能出现的情况： • 可行域是空集
• 可行域无界无最优解 • 最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到 • 最优解存在且不唯一，一定存在顶点是最优 解
m 定义 2.2.2： B 是秩为 设
基本可行解，这时对应的基阵 为可行基。 B 1 b 0 如果 则称该基可行解为非退化的，如果一个线 性规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化 的。
B
例 考虑问题：
min z x 1 x 2 2 x 1 x 2 x 3 2 x1 2 x 2 x 4 2 s .t . x1 x 2 x 5 5 x j 0; j 1,2,3,4,5
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
例2.1.3 把问题转化为标准
形式
max z x1 x 2 2 x 1 x 2 2 x1 2 x 2 2 s .t . x1 x 2 5 x1 0
基本可行解与基本 定理
• 定义 • 基本定理 • 问题
基本可行解定 义
令 A ( B , N ) ， x =( x B , x N )。
Ax b
分块 左乘B
xN
1
Bx B Nx N b
x B B 1 Nx N B 1 b
数学建模-线性规划实验
3 线性规划实验3．１实验目的与要求●学会建立线性规划模型●学会LINＧO软件的基本使用方法,求解线性规划问题●学会对线性规划问题进行灵敏度分析,以及影子价格的意义3．２基本实验1.生产计划安排与灵敏度分析解:(1）假设最后总生产得到的Ⅰ型产品为x1kg,Ⅱ型产品为ｘ2ｋｇ,那么它们必须同时满足以下条件:Max Z=13０x1+４00x2-１００(ｘ1+x2/０．３3)x1＋（x2）／0.33≤9０2x1+3(x2)/０.３3≤２00x2≤4０LINGＯ程序：Max =13０*ｘ１+400*ｘ2-１00*(x１+x2/0.33);ｘ1+x2／0.3３<=９0;2＊x1＋3*x2／０.33＜=2０0;x2<＝40；结果:Gloｂal opｔｉmaｌsoｌuｔioｎfｏunｄ.Ｏbjective ｖaluｅ：2740.000Ｉnfeａsｉｂilities: 0.0０00０0Ｔotal solver iteｒatｉons:３ＭodeｌClass：LPＴotal vａriaｂｌes: 2Ｎoｎlinear variables: 0Integer vａｒiａｂles: 0Ｔoｔal coｎsｔrａintｓ: 4Nonｌinｅar coｎstrａintｓ: ０Ｔoｔal nｏnzeros:7Ｎonｌiｎear nonzeｒoｓ：0VariabｌｅＶalｕe Ｒeducｅd CostＸ1７0．0000００.００000０X2 6.60０0000.000000Row Slａck oｒSurpｌus Dual Prｉce1 ２74０.００01．0000００２０.０0０00０26.0０0003 0．００0000２.0000００4３３.４0000 ０．００0000即:最优的方案是Ⅰ型产品为7０kg,Ⅱ型产品为6．6kｇ。
（2)Max Z=130x1+40０x2－10０(x1+x2/0．33)x1+(x2）/0.33≤872ｘ1＋3(x2）/０.３3≤20０x2≤４0LINＧO程序：Maｘ=13０*x１+400*ｘ2-100＊（x1+ｘ2/０.33);ｘ1＋x2/0．33<＝87;2*x1+3*x2／0.33＜=２0０；x2＜=40;结果：Variａble Value Reｄｕced CoｓｔX1 61.0０0０0 0.0０0000X28．５80０00 ０.00０00０Ｒow Slack or Sｕｒｐlus Ｄuａl Pricｅ1 2662．000 １．0０0000２0.0０0000 ２6.０00003 0.０000０0 ２.00００00４31.420000.０0０００0那么公司得到的利润为：２６62元(３）如果产品Ⅱ的销售价格变为395元／千克，最优解没有变化。
线性规划实验
实验一：线性规划实验1. 求解线性规划问题123451234512345min 23523..2342330,1,2,,5j f x x x x x s t x x x x x x x x x x x j =++++⎧⎪++++≥⎪⎨-+++≥⎪⎪≥=⎩2. 农场种植计划问题某农场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等耕地的面积分别为100km 2、300 km 2和200 km 2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求三种作物的最低收获量分别为190000kg 、130000kg 和350000kg 。
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等耕地种植三种作物的单产如表1所示。
若三种作物的售价分别为水稻1.20元/kg ，大豆1.50元/kg ，玉米0.80元/kg 。
那么：（1）如何制定种植计划，才能使总产量最大？ （2）如何制定种植计划，才能使总产值最大？23. 厂址选择问题考虑A 、B 、C 三地，每地都出产一定数量的原料，也消耗一定数量的产品，如表2所示。
已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为：A-B ，150km ；A-C ，100km ；B-C ，200km 。
假定每万吨原料运输1km 的运价是5000元，每万吨产品运输1km的运价是6000元。
由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同。
问究竟在哪些地方设厂，规模多大，才能使总费用最小？另外，由于其他条件限制，在B 处建厂的规模（生产的产品数量）不能超过5万吨。
表2 A 、B 、C 三地出产原料、消耗产品情况表4. 生产计划问题某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用A 、B 机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用A 、B 、C 三种机器加工，加工时间为每台各1小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时。
问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？5. 军事方案问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
《数学建模与数学实验》实验报告实验五：线性规划模型实验
《数学建模与数学实验》实验报告实验五：线性规划模型实验专业、班级数学09B 学号094080144 姓名徐波课程编号实验类型验证性学时 2实验（上机）地点同析楼4栋404 完成时间2012-6-10任课教师李锋评分一、实验目的及要求掌握数学软件lingo的基本用法和一些常用的规则，能用该软件进行基本线性规划运算，并能进行的编程，掌握线性规划模型的。
二、借助数学软件，研究、解答以下问题某电力公司经营两座发电站，发电站分别位于两个水库上，已知发电站A可以将A的一万m^3 的水转换成400千度电能，发电站B能将水库B的一万立方米转化成200千度电能。
发电站A，B每个月最大发电能力分别是60000千度，35000千度，每个月最多有50000千度能够以200元/千度的价格出售，多余的电能只能够以140元/千度的价格出售，水库A,B的其他有关数据如下：水库A 书库B水库最大蓄水量2000 1500水源本月流入水量200 40水源下月流入水量130 15水库最小蓄水量1200 800水库目前蓄水量1900 850设计该电力公司本月和下月的生产计划。
本月的情况：解:设本月高价卖出的水量是u，低价卖出的数量是v，A,B书库用来发电的水量好似xa，xb，从水库里放走的水量是ya，yb，水库月末剩余的水量分别是za，zb；建立模型如下：目标函数：、Max=200u+140v约束条件：每个月发电量与卖电量相等：400*x1+200*x2=u+v;水库发电后剩余水量及消耗水量与发电前的水量守恒：X1+y1+z1=2100;X2+y2+z2=890+x1+y1;其他约束条件：400*x1a<=60000;200*x1a<=35000;1200<=z1a<=2000;800<=z2a<=1500;u1<=50000;现在进行两个月同时计算：设本月和下月高价卖出的水量是u1，u2，低价卖出的水量是v1,v2，A,B水库用来发电的水量是xa1,xa2,xb1,xb2,从水库直接放走的水量分别是ya1,ya2,yb1,yb2,水库月末剩余水量分别是za1,za2,zb1,zb2.建立模型如下：目标函数：Max=200*(u1+u2)+140*(v1+v2)约束条件：每个月发电量与卖电量相等：400*xa1+200*xb1=u1+v1;400*xa2+200*xb2=u2+v2;水库发电后剩余水量及消耗水量与发电前的水量守恒：xa1+ya1+za1=2100;xb1+yb1+zb1=890+xa1+ya1;xb2+yb2+zb2=zb2+15+xa2+ya2;xa2+ya2+za2=za1+130;其他约束条件：400*xa1<=60000;400*xa2<=60000;200*xb1<=35000;200*xb2<=35000;1200<=za1<=2000;1200<=za2<=2000;800<=zb1<=1500;800<=zb2<=1500;u1<=50000;u2<=50000;编程实现如下：model:max=200*u+140*v;400*x1+200*x2=u+v;X1+y1+z1=2100;X2+y2+z2=890+x1+y1;400*x1<=60000;200*x2<=35000;Z1>=1200;Z1<=2000;Z2>=800;Z2<=1500;u<=50000;end解得：Global optimal solution found.Objective value: 0.1630000E+08Total solver iterations: 5Variable Value Reduced Cost U 50000.00 0.000000V 45000.00 0.000000X1 150.0000 0.000000 X2 175.0000 0.000000 Y1 0.000000 0.000000 Z1 1950.000 0.000000 Y2 0.000000 0.000000 Z2 865.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.1630000E+08 1.0000002 0.000000 -140.00003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 140.00006 0.000000 140.00007 750.0000 0.0000008 50.00000 0.0000009 65.00000 0.00000010 635.0000 0.00000011 0.000000 60.000000编程实现如下：model:max=200*(u1+u2)+140*(v1+v2);400*x1a+200*x2a-u1+v1=0;400*x1b+200*x2b=u2+v2;X1a+y1a+z1a=2100;X2b+y2b+z2b=zb2+15+x1b+y1b;X2a+y2a+z2a=890+x1a+y1a;X1a+y1b+z1b=z1a+130;400*x1a<=60000;400*x1b<=60000;200*x2a<=35000;200*x2b<=35000;Z1a<=2000;Z1a>=1200;Z1b<=2000;Z1a>=1200;Z2a<=1500;Z2a>=800;Z2b>=800;Z2b<=1500;u1<=50000;u2<=50000;end解得：Global optimal solution found.Objective value: 0.3330000E+08Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost U1 50000.00 0.000000 U2 50000.00 0.000000 V1 50000.00 0.000000 V2 45000.00 0.000000 X1A 0.000000 56000.00 X2A 0.000000 28000.00 X1B 150.0000 0.000000 X2B 175.0000 0.000000 Y1A 900.0000 0.000000 Z1A 1200.000 0.000000 Y2B 0.000000 0.000000 Z2B 800.0000 0.000000 ZB2 810.0000 0.000000 Y1B 0.000000 0.000000 Y2A 990.0000 0.000000 Z2A 800.0000 0.000000 Z1B 1330.000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.3330000E+08 1.0000002 0.000000 140.00003 0.000000 -140.00004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 60000.00 0.0000009 0.000000 140.000010 35000.00 0.00000011 0.000000 140.000012 800.0000 0.00000013 0.000000 0.00000014 670.0000 0.00000015 0.000000 0.00000016 700.0000 0.00000017 0.000000 0.00000018 0.000000 0.00000019 700.0000 0.00000020 0.000000 340.000021 0.000000 60.00000由上可知，最大值是0.3260000E+08，每月A,B厂发电用水量是150,175,150,175三、本次实验的难点分析实验过程中遇到了一些问题：对掌握lingo的基本用法有所欠缺，本实验中存在偏差。
数学实验线性规划
32
第32页，本讲稿共67页
加工奶制品的生产计划
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 获利 24×3x1
x2桶牛奶生产A2
获利 16×4 x2
每天获利
Mz a7 xx1 26x4 2
原料供应 劳动时间 加工能力 非负约束
2、运输问题；
特点：从若干可能的计划（方案）中寻求某种意义下的
最优方案，数学上将这种问题称为最优化问题（ optimization).
2002.5.
12
第12页，本讲稿共67页
优化问题的表述
最优化是企业运作、科技研发和工程设计中常见的问题。 要表述一个最优化问题（即建立数学模型），应明
明确三样东西：决策变量、约束条件 和目标函数． 决策变量：它们是决策者（你）所控制的那些数量，它们取什么数值需要 决策者来决策，最优化问题的求解就是找出决策变量的最优取值。
a1
a2
…
ai
…
a7
s1
s2
si
s7
C11
C12
Ci,j
C1j
C1,15
…
…
A1
A2
Aj
A15
b1
b2
bj
b15
7 15
min
cij xij
i1 j 1
15
s.t.
xij ai, i1,2,...,7
j1
7
xij bj
i1
j1,2,...,15
2002.5.
x ij 0 ,i 1 , 7 , j 1 , ,1 5
运筹学实验报告
实验一：线性规划问题1、实验目的：（1）学习建立数学模型的方法，并懂得区别运筹学中不同分支的数学模型的特点。
（2）掌握利用计算机软件求解线性规划最优解的方法。
2、实验任务：（1）结合已学过的理论知识，建立正确的数学模型；（2）应用运筹学软件求解数学模型的最优解（3）解读计算机运行结果，结合所学知识给出文字定性结论3、实验仪器设备：计算机4、实验步骤：步骤一：打开管理运筹学软件，并选择线性规划，显示如下界面：步骤二：求目标函数值为最小值的唯一最优解，题目为课本上P47习题一1.1（a）：步骤三：求目标函数值为最大值的唯一最优解，此题为P47习题一1.1（c）：步骤四：求目标函数值为最大值有无穷多最优解：步骤五：求目标函数值为最大值无可行解，题目为课本P47习题一1.1（a）：步骤六：求目标函数值为最大值无界解，此题为课本P47习题一1.1（d）5、实验心得：线性规划问题主要要确定决策变量，约束条件，目标函数。
其中，决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的，这类模型为线性规划问题的数学模型。
通过实验，我们学会了除了用笔算的方式求线性规划问题，懂得了用借助计算机求得问题，可以检验我们的计算结果。
应该开说，这个试验比较简单，计算过程不复杂，结果简略的可分为五种：最小值的唯一最优解，最大值的唯一最优解，最大值的无界解，最大值的无可行解，最大值的无穷多最优解。
应该来说，线性规划问题是整个运筹学最基本、最简单的问题。
实验二：整数规划与运输问题1、实验目的：（1）学习建立数学模型的方法，并懂得区别运筹学中不同分支的数学模型的特点。
（2）掌握利用计算机软件求解最优物资调运方案的方法。
（3）掌握利用计算机软件求解整数规划的方法。
2、实验任务（1）结合已学过的理论知识，建立正确的数学模型；（2）应用运筹学软件求解数学模型的最优解（3）解读计算机运行结果，结合所学知识给出文字定性结论3、实验仪器设备：计算机4、实验步骤：（1）运输问题：步骤一：打开管理运筹学软件，并选择运输问题，显示如下界面：步骤二：根据产销平衡表与单位运价表，求出产销平衡运输问题的最佳运输方案，此题为课本运输问题的例题：步骤三：根据产销平衡表与单位运价表，求出产销不平衡（产量大于销量）运输问题的最佳运输方案，此题为课本P101习题三3.1表3-36：步骤四：根据产销平衡表与单位运价表，求出产销不平衡（销量大于产量）运输问题的最佳运输方案，此题为课本P101习题三3.1表3-37：（2）整数规划问题：步骤一：打开管理运筹学软件，并选择整数规划，显示如下界面：步骤二：根据整数规划模型，求出0-1整数规划问题的最优解：步骤三：根据整数规划模型，求出纯整数规划的最优值，此题为课本P107整数规划与分配问题的例题：步骤四：根据整数规划模型，求出混合整数规划的最优值：5、实验心得：整数规划与分配问题主要包括二个部分：运输问题，整数规划问题。
数学实验—线性规划
仓库 车间 1
2
3 库存容量
1
213
50
2
224
30
3
342
10
需求
40 15 35
问：如何安排运输任务使得总运费最小？
9
解： 设xij为i 仓库运到 j车间的原棉数量(i ＝1,2,3; j ＝1,2,3)。则
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50， x21+x22+x23 30，
s.t. x31+x32+x33 10，
x11 +x21+x31 = 40，
车间 仓库
1
2
3
1 213
2 224
x12 +x22+x32 =15，
3 342
x13 +x23+x33 =35，
需求 40 15 35
xij 0， i ＝1,2,3; j ＝1,2,3;
数学实验
Experiments in
MathMemaatthicesmLaabtoicrastory
阮小娥博士
美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中， 要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维生 素等等，都有定量的规定。当然这些营养成份可以 由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质和 维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维生 素，等等。由於战争条件的限制，食品种类有限， 又要尽量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决定 各种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要， 又可以降低成本？
数学建模实验报告之线性规划
数学模型实验报告——线性规划专业：数学与应用数学L081姓名： XXX 学号： 08L1002106姓名： XXX 学号： 08L1002109姓名： XXX 学号： 08L1002112数学模型实验报告（线性规划）一、 实验目的：1、了解线性规划的基本内容。
2、掌握用数学软件包求解线性规划问题。
二、实验内容：1、用MATLAB 优化工具箱解线性规划 ；2、两个例题；3、实验作业。
三、内容分析：（一）用MATLAB 优化工具箱解线性规划1、模型： min z=cXb AX t s ≤..命令：x=linprog （c ，A ，b ）2、模型： min z=cXb AX t s ≤..beq X Aeq =⋅命令：x=linprog （c ，A ，b ，Aeq, beq ） 注意：若没有不等式：b AX ≤ 存在，则令A=[ ]，b=[ ].3、模型：min z=cX b AX t s ≤..beq X Aeq =⋅VLB ≤X ≤VUB命令：[1] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB ）[2] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB, X 0）注意：[1] 若没有等式约束: beq X Aeq =⋅, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X 0表示初始点4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.例1 max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++=85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10=≥j x j解 ：编写M 文件程序如下：c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0; 0 0.02 0 0 0.05 0; 0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例2321436m in x x x z ++= 120..321=++x x x t s301≥x 5002≤≤x 203≥x解:编写M 文件程序如下： c=[6 3 4]; A=[0 1 0]; b=[50];Aeq=[1 1 1]; beq=[120]; vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运行结果如下：Optimization terminated. （最优解为） x =1.0e+004 * 3.5000 0.5000 3.0000 0.0000 0.0000 0.0000 fval =-2.5000e+004（二）例题例1：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
实验四-线性规划10-11周
3. 令 xN = 0 ，计算 f = cB xB ；其中 xB 和xN 分别代表基变量和非基变量的值， cB 表 4. 求解方程 ω B = cB ，对于所有非基变量计算判别数 z j − c j = ω p j − c j ，其中 p j 为 非 基 变 量 在 约 束 系 数 矩 阵 中 相 对 应 的 列 ， 令 zk − = ck max( z j − c j ) ， 如 果
这些性质保证了决策变量的影响效果与其取值是成比例的。 如果一个优化问题不满足其 中的任何一条，它就是非线性的。有 n 个决策变量则称为 n 维线性规划。 线性规划的可行域是超平面组成的凸多面体 （对于二维的情况则是平面， 对于三维的情 况则是多面体） ，等值线是超平面（对于二维的情况则是直线，对于三维的情况则是平面） ， 最优解在凸多面体的某个顶点取得（可以通过二维的情况理解） 。于是，为了便于线性代数 的方法处理，将约束条件中的不等式直接化为等式是有好处的。实际上，每个线性规划模型 都可以表达成如下的等式约束形式：
for i=1:length(nobase) %判别 sigma(i) = w*nB(:,i)-ncb(i); end
大工数
[maxs,ind] = max(sigma); %ind为进基变量下标 if maxs <= 0 %最大值小于零，输出最优解 minf = cb*xb; vr = find(c~=0 ,1,'last'); for l=1:vr ele = find(baseVector == l,1); if(isempty(ele)) x(l) = 0; else x(l)=xb(ele); end end bCon = 0; else y = B\A(:,nobase(ind));
线性规划实验报告
精品文档课内实验报告课程名：运筹学任课教师：邢光军专业：信息管理与信息系统学号：B09110810姓名：陈倩宇2010/2011学年第 2 学期南京邮电大学经济与管理学院点击求解后，可得上表说明：整数规划问题有最优解，且最优解为126,2,max 10x x z === 。
下表是例1用Excell 工作表求解的求解结果，表中说明，为保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，最少需配备的售货人员36人，星期一开始上班的12人，星期三开始上班的11人，星期五开始上班的5人，星期六开始上班的3人，星期日开始上班的5人.3 结果分析在实际应用中，最终我们得出的对于售货人员作息时间的安排，能够达到既满足工作需要，又使总共配备售货人员最少，即用最少的人力资源成本获取最大的利益。
由此我们可以发现诸如此类有关如何合理安排的问题，利用Excel进行求解既简便又快捷，表中数据可根据用户要求自行设置，在合理安排产品的生产决策上，对于研究如何合理使用企业各项经济资源，以及研究如何统筹安排，对人、财、物等现有资源进行优化组合，实现最大效能上都可以使用。
能有效地提高组织及决策的速度及准确性，并且Excel办公软件的普遍性优点使之更适合促进科学决策的信息化水平。
成绩评定：该生对待本次实验的态度□认真□良好□一般□比较差。
本次实验的过程情况□很好□较好□一般□比较差对实验结果的分析□很好□良好□一般□比较差文档书写符合规范程度□很好□良好□一般□比较差综合意见：成绩指导教师签名日期实验背景：某商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如表1所示。
息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员人数最少？。
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解决问题的方法：线性规划
• 在波斯湾战争期间，美国军方利用线性规划， 有效地解决了部队给养和武器调运问题，对促 进战争的胜利，起了关键的作用。甚至有这样 的说法：因为使用炸药，第一次世界大战可说 是「化学的战争」；因为使用原子弹，第二次 世界大战可说是「物理的战争」；因为使用线 性规划，波斯湾战争可称为「数学的战争」。 • 在历史上，没有哪种数学方法，可以像线性规 划那样，直接为人类创造如此巨额的财富，并 对历史的进程发生如此直接的影响。
max(min)Z=c1x1+ c2x2+…+cnxn a11x1+ a12x2+…+ a1nxn (=, )b1, a21x1+ a22x2+…+ a2nxn (=, )b2, s.t. … … … am1x1+ am2x2+…+ amnxn (=, )bm, xj 0(j=1,…,n);
例1、 min Z= -40x1 -50x2 x1 + 2x2 30， s.t. 3x1 + 2x2 60， 2x2 24， 解：程序如下
c=[-40,-50]; a=[1,2;3,2;0,2]; b=[30;60;24]; x=linprog (c,a,b) z=c*x
[x, Z] =linprog (c,a,b)
解:设产品A, B的产量分别为变量x1 ， x2，则： max Z= 40x1 +50x2
s.t.
x1 + 2x2 30， 3x1 + 2x2 60， 2x2 24， x1 ， x2 0 ； B 2 2 2 50 备用资源 30 60 24
A 煤 1 劳动日 3 仓库 0 利润 40
例2:
min Z= 4x1 +3x2
s.t.
x1+x2 5, -6 x1 10, -1 x2 4;
解：% lp2.m %
c=[4,3];a=[1,1];b=[5]; vlb=[-6;-1]; %lower bound of vector x % vub=[10;4]; % upper bound of vector x % [X,Z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub)
1、最优化问题的数学表述： 求目标函数F(X)在约束条件X∈D 下的最小值或最大值问题。
2、数学建模竞赛中的优化问题：
• • • • • • • • • • • • 2000B 钢管订购和运输问题—二次规划 2001B 公交车优化调度 2001C 基金使用的最优策略-----线性规划 2002B 彩票中的数学 2003B 露天矿生产的车辆安排问题 2004A 奥运会临时超市网点设计问题 2004D 公务员招聘工作中录用方案—多目标规划 2005B DVD在线租赁 2006A 出版社的资源配置问题 2007A 乘公交，看奥运 2008B 高等教育学费探讨 2009B 眼科病床的合理安排
x=linprog(f, A, b): 求解 min z = f’x, Ax ≤ b x=linprog(f, A, b, Aeq, beq): 求解： min z = f’x, Ax ≤ b, Aeqx = beq； x=linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub): 指定lb ≤ x ≤ ub; 若没有不等式约束,可用[ ]替代A和b, 若没有等式约束,可用[ ]替代Aeq和beq, 若某个xi下无界或上无界,可设定-inf或 inf； 用[x, Fval]代替上述命令行中的x，可得最优解处的函 数值Fval。
3、最优化问题的一般形式
无约束最优化问题
目标函数
min f ( x )
xR n
约束最优化问题 min f ( x )
s.t . ci ( x ) 0, i E ci ( x ) 0, i I
最优解；最优值
约束函数
4、最优化问题分类
分类1： 分类2： 无约束最优化 约束最优化 线性规划 非线性规划
或
min (或 max) z f T x s .t . Ax (或 , 或 ) b xi 0( i 1, 2, , n)
3、线性规划问题的求解方法
二元线性规划问题的图解法 线性规划问题的理论解法 线性规划问题的MATLAB软件解法
4、求解线性规划的MATLAB命令
例4:
minZ= 2x1 + x2+3x3+2x4 +2x5 +4x6 +3x7 +4x8 +2x9
x1 x2 s.t. x3 x1 +x2+x3
+x4 +x5 +x6 x4+x5+x6
+x7 +x8
= 40， =15，
+x9 =35，
50， 30，
x7+x8+x9 xi 0， i ＝1,2,…,9;
问：如何下料使得剩余料头最少？
解：设按第i种方案下料的原材料为xi根，则： minZ= 0.1x2 + 0.2x3+0.3x4+0.8x5 x 1 + 2x 2 + x4 =100， 2x3 +2x4+ x5=100， s.t. 3x1+ x2+2x3 +3x5=100， xi 0 (i =1,…,5)，且为整数；
求：如何分配投资资金使得5年末总资本最大？
解： 设xik( i =1,2,3,4,5; k =A,B,C,D)表示第i年初投
资第k项目的资金数。
年份 项目
1 x1A
2 x2A x2C
3 x3A x3B
4 x4A
5
A B C D
x1D
x2D
x3D
x4D
x5D
xik( i =1,2,…,5; k =A,B,C,D)为第i年初投k项目的 资金数.则： maxZ= 1.15x4A +1.40 x2C+1.25x3B+1.11x5D x1A+x1D=10 x2A+x2C+x2D= 1.11 x1D x2C 3 x3A +x3B+x3D =1.15 x1A+ 1.11 x2D x3B 4 x4A +x4D =1.15 x2A+ 1.11 x3D x5D =1.15 x3A+ 1.11 x4D xik 0, i =1,2,…,5; k =A,B,C,D;
最优化问题及其求解
• 线性规划 • 最优化问题简介及Matlab求解 • 0-1规划举例
参看：实验8，实验9
一、线性规划
1、引例
例1、生产计划问题：
某企业生产A，B两 种产品，成本和利润指标如下：
A 煤 1 劳动日 3 仓库 0 利润 40
B 2 2 2 50
备用资源 30 60 24
问：A, B各生产多少, 可获最大利润?
2.9m 2.1m 1.5m 合计 料头 Ⅰ 1 0 3 7.4 0 Ⅱ 2 0 1 7.3 0.1 Ⅲ 0 2 2 7.2 0.2 Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3 Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
例3、(运输问题)
某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。各车间原 棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费 以及各仓库的库存容量如下表所列：
数学实验
Experiments in Mathematics Laboratory Mathematics
阮小娥博士
西安交通大学数学学院 李换琴
办公地址：理科楼２２５
• 美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品 中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、 维生素等等，都有定量的规定。当然这些营养成份 可以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白 质和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供 维生素，等等。由於战争条件的限制，食品种类有 限，又要尽量降低成本，於是在一盒套餐中，如何 决定各种食品的数量，使得既能满足营养成份的需 要，又可以降低成本？ • 现代管理问题虽然千变万化，但大致上总是要利用 有限的资源，去追求最大的利润或最小的成本，如 何解决这些问题？
二、最优化问题简介及求解
• 最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世 纪五十年代初在电子计算机广泛应用的推动下才 得到迅速发展，并成为一门直到目前仍然十分活 跃的新兴学科。最优化所研究的问题是在众多的 可行方案中怎样选择最合理的一种以达到最优目 标。 • 将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决 策，搜寻最优方案的方法称为最优化方法，关于 最优化方法的数学理论称为最优化理论。
仓库 车间
1 2 2 3 40
2 1 2 4 15
3 3 4 2 35
库存容量 50 30 10
1 2 3 需求
问：如何安排运输任务使得总运费最小？
解： 设x 为i 仓库运到 j车间的原棉数量(i ＝1,2,3; ij j ＝1,2,3)。则 minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 50， 车间 仓库 x21+x22+x23 30， 1 x31+x32+x33 10， 2 x11 +x21+x31 = 40， 3 x12 +x22+x32 =15， 需求 x13 +x23+x33 =35， xij 0， i ＝1,2,3; j ＝1,2,3;
1 2 2 3 2 1 2 4 3 3 4 2 35 库存容量 50 30 10
s.t.
40 15
例4、连续投资10万元于4个项目。各项目投资时间 和本利情况如下： 项目A：从第1年 到第4年每年初要投资，次年末 回收本利1.15倍。 项目B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25倍， 最大投资4万元。 项目C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40倍， 最大投资3万元。 项目D：每年初投资，每年末回收本利1.11倍。