厦门大学线性代数期末试题及答案
2020-2021学年线性代数期末考试题(含答案)
线性代数20－21学年第二学期期末考试试卷一、填空题（将答案写在答题纸的相应位置，不写解答过程。
每空3分，共15分）1．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0410******** ＝______________________. 2．设A 是n 阶矩阵，秩（A ）<n ，且A *≠0，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含解向量的个数为_____________________.3．若A ，B 均为3阶矩阵，且｜A ｜＝2，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 4．设A 为n 阶矩阵，若行列式｜5E －A ｜＝0，则A 必有一特征值为__________________.5．二次型3223222122x x x x x +--的秩为_____________________. 1．若A ，B 为3阶矩阵，且｜A ｜＝3，B ＝－3E ，则｜AB ｜＝_____________________. 2．若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=_____________. 3．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，其中a i b i ≠0(i =1,2,3).则秩（A ）＝_______________. 4．设A 为n 阶矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b 的解的个数为_____________________.5.()()===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A R A 则秩设,,3,2,1,321 αββα____________________()==A R A 则秩已知1101001100001100001100101 .1________________________.2224, 4., ,000200011132200233121232221是负定的二次型时取值为．当则相似与．已知矩阵x x x tx x x x f t y x y B x A ++---===⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=., ,222252322323121232221==+=+++++=b a y y f x bx x x x ax x x x f 则经正交变换化为标准形．已知二次型二、选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。
2011-2012厦门大学网络教育线性代数复习题C（含答案）
厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期《线性代数》复习题C 一、选择题（每小题3分，共18分）1． 设111213212223313233a a a a a a d a a a =，则313233212223111213333222a a a a a a a a a =---（ ）。
A ．6d ； B ．3d -； C ．3d ； D ．2d 。
2．设A ，B 为n 阶方阵，A B O =，则（，则（ ）成立。
）成立。
A ．A B O ==； B ．A B O +=； C ．||0A =或||0B =； D ．||0A B +=。
3. 3. 设设11223021A t -æöç÷=ç÷ç÷èø，若3阶非零方阵B 满足A B O =，则t =（ ））。
A ．5- B B．．4- C C．． 6- D D．．44．设A 为45´矩阵，且A 的行向量组线性无关，则（的行向量组线性无关，则（ ）。
A ．A 的列向量组线性无关；的列向量组线性无关；B ．方程组A X b =的增广矩阵A 的行向量组线性无关；的行向量组线性无关；C ．方程组A X b =的增广矩阵A 的任意4个列向量构成的向量组线性无关；个列向量构成的向量组线性无关；D ．方程组A X b =有唯一解。
有唯一解。
5．下列命题错误的是（．下列命题错误的是（ ）。
A ．若4阶方阵A 的行列式等于0，则必有A 中的至少有一行向量是其余向量的线性组合； B ．若b 为零矩阵，线性方程A X b =一定有解；一定有解；C ．矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1TQ Q -=；D ．n 阶实对称矩阵不一定有n 个两两正交的特征向量。
个两两正交的特征向量。
6．下列命题正确的是（．下列命题正确的是（ ）。
A ．若T A A =，TB B =，则A B B A +也是对称阵；也是对称阵； B ．若A X A Y =，且A O ¹，其中O 为零矩阵，则X Y =；C ．齐次线性方程组A X O =（A 是m n ´矩阵），且()r A r n =<，则其基础解系中所含的向量个数等于r ；D ．设1a ，2a 为矩阵A 的属于特征值0l 的特征向量，则12a a +也是矩阵A 的属于特征值0l 的特征向量。
线性代数期末试卷及详细答案
线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。
2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。
(word版)厦门大学参考答案0809学年第一学期《高等代数》期末考试卷
08-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷 厦门大学?高等代数?课程试卷数学科学学院各系2021年级各专业信息科学与技术学院 计算机科学 系2021年级CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、单项选择题〔32分.共8题,每题4分〕以下说法错误的选项是___B____.假设向量组1,2,3线性无关，那么其中任意两个向量线性无关；B ) 假设向量组1, 2,3 中任意两个向量线性无关，那么1,2,3线性无关；C) 向量组 1 2,2 3,3 1线性相关；D) 假设向量组1,2,3 线性无关，那么1, 1 2, 123线性无关.2. 设n 维列向量1,2,...,m (m n)线性无关,那么n 维列向量1,2,...,m线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组 1,2,..., m 可由向量组1, 2,..., m 线性表示；B) 向量组 1, 2,..., m 可由向量组 1,2,..., m 线性表示；C) 向量组 1,2,..., m 与向量组 1, 2,...,m 等价；D)矩阵A (1, 2,..., m )与矩阵B (1, 2,..., m )相抵. 3.设线性方程组 Ax 0的解都是线性方程组 Bx 0的解，那么__C__.A)r(A) r(B)；B)r(A) r(B)；C)r(A) r(B)；D)r(A) r(B).4. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵 A * 0，非齐次线性方程组 Ax b 有无穷多组解，那么对应的齐次线性方程组Ax 0的根底解系__B__.A)不存在； B)仅含一个非零解向量；C)含有两个线性无关的解向量； D)含有三个线性无关的解向量 .以下子集能构成R 22的子空间的是___B____.A)122 } ；B)V2{A|tr(A)0,AR 22}；V{A||A|0,AR108-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷C)V 3 {A|A 2A,A R 22}；D)V 4 {A|A A 或 A,A R 22}.6.设V 是数域K 上的线性空间,V 上的线性变换在基 1,2,...,n 下的矩阵为A 且|A|2，假设在基 n ,n1,...,1下的矩阵为B,那么|B|___B___.A)2n；B)2； C)1； D)不能确定.27.设V 是n 维向量空间， 和 是V 上的线性变换，那么 dimImdimIm的充分必要条件是_____D ___.A) 和都是可逆变换； B)Ker=Ker ；C)Im Im ；D) 和 在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8. 设 是线性空间 V 到U 的同构映射,那么以下命题中正确的有 ___D___个.(Ⅰ) 为可逆线性映射；(Ⅱ)假设W 是V 的s 维子空间,那么(W )是U 的s 维子空间；(Ⅲ) 在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ)假设V=V 1 V 2,那么(V 1V 2)(V 1)(V 2).A)1B)2C)3D)4二、填空题〔32分.共8题,每题4分〕1 0 0 3假设矩阵A( 1,2,3,0 0 2 4 1,2,3,4的1. 4)经过行初等变换化为1 0 ,那么向量组0 50 0一个极大无关组是1,2,3,其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为4315223.2. 设3 维向量空间的一组基为1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1)，那么向量 (2,0,0) 在这组基1下的坐标为1.13. 设V 1，V 2均为线性空间 V 的子空间，那么 L(V 1 V 2)V 1 V 2.208-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是 _3_.而E 12E 21,E13E 31,E 23E 32是它的一组基.5. K 12上的线性变换定义如下：((a,b))(0,a)，那么Ker={(0,a)|aK}.Im={(0,a)|aK}.6. 设是数域K 上n 维线性空间 V 到m 维线性空间U 的线性映射, 那么为满射的充分必要条件是对任意 U,存在V,使得();Im U;dimImm;.〔请写出两个〕dimKer nm;在任意基下的矩阵都是行满秩的 ; 在某个基下的矩阵是行满秩的 〔.其中任两个均可〕7. 设1,2,...,n 和1, 2,..., n 是线性空间 V 的两组基，从 1,2,..., n到1,2,...,n 的过渡矩阵为P .假设 是V 上的线性变换且 (i ) i, i1,2,...,n ，那么 在基1, 2,..., n 下的表示矩阵是_P_.8. 设是线性空间V 上的线性变换，在基1, 2,...,n 下的表示矩阵为 A B ，其中A 为rr 矩C阵，那么存在V 的一个非平凡-不变子空间L(1,,r ).三、(8 分)设线性空间V 的向量组1,2,..., m 线性无关，V ，考虑向量组,1,2,...,m .求证：或者该向量组线性无关，或者 可由 1,2,...,m 线性表示.证明：假设,1,,m 线性相关，那么存在不全为0的数k 0,k 1,,k m 使得k 0+k 11+k mm0．我们断言，k 0 0．事实上，假设k 0=0，那么k 11+k mm 0．由1, 2,...,m 线性无关知k 1==k m =0．于是，k 0=k 1==k m =0．这与k 0,k 1, ,k m 不全为０相矛盾．因此，k 00．此时，k 1 k m m ．1k 0k 0从而，或者该向量组线性无关，或者可由1, 2,..., m 线性表示．四、(10分)设V 1,V 2分别是数域K 上的齐次线性方程组x 1x 2x n 与x 1x 2x n 0的解空间.证明K n1V 1V 2.3a1证明：法一：一方面，a2V1V2，有a1a2a n，那么a1a2a n0．故a1a2a n0a nV1V20．n n n na1a i a ia1a i a i i1a i1i1a i1n1n n1na2K n1，存在a2另一方面，V1,V2，使得＝＋n n n na a i a i a n a i a ini1i1i1i1a n a nn n n n 即K n1V1V2．因此，K n1V1V2．a1法二：一方面，a2a1a2a n，那么a1a2a n0．故V1V20．V1V2，有a2a1a n0a n11000另一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方程组00011(n1)nBx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．从而，K n1V1V2．11000法三：一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方00011(n1)n程组Bx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．4nnnna 1a ia ia 1a ia ii1i1i 1i1na 1na 1a 2Kn1，存在na 2n另一方面，V 1,V 2，使得＝＋nnnna na ia ia na ia ii1i1i 1i1n a nna nnn即K n1V 1 V 2．因此，K n1V 1V 2．五、(10分)设AK mn .证明：r(A)r 的充分必要条件是存在BK mr，CK rn ，使得r(B)r(C)r 且ABC .证明： 充分性： 由于BK mr ，C K rn 满足r(B)r(C)r 且ABC ，所以rr(B)r(C)rr(A)r(BC)r(B)r故r(A)r ．必要性： 由于r(A)r，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得AI r 0PQ ．令BPI r ,C(I r ,0)Q，那么BK mr ，CKrn满足r(B)r(C)r 且ABC ．六、(8分)设V,U,W 是有限维线性空间，:V U ，:WU 是线性映射.求证：存在线性映射:VW 使得的充分必要条件是 Im Im .证明： 充分性： 法一：取V 的一组基 1,2,, n ，由于ImIm，所以(i ) Im，1 in ，即存在iW 使得(i )(i )．定义线性映射:V W 满足(i )i,1in ，那么(i ) (i )( i ), 1 in ．因此，．法二：取V 的一组基1,2,,n ，U 的一组基1,2,,m ，W 的一组基1,2,,s ．设(1,2, ,n ) (1,2, ,m )A mn(1,2,,s )(1,2,,m )B ms5其中A(1,2,,n ),B(1,2, ,s )．由于ImIm ，所以L(1,2,s,n)L1(,2 ,s ，, 即)1 jn, jciji ．取i1C(c ij )s n ，那么A BC ．定义线性映射:V W 满足 (1, 2,, n )(1,2,, s )C ，那么.必要性： 对任意 Im，存在V 使得( )．由于，所以( )(())Im从而，ImIm．附加题:(本局部不计入总分)设V,U,W是有限维线性空间且dimVdimW ，:V U ， :W U 是线性映射.证明：存在可逆线性映射:V W 使得的充分必要条件是 ImIm.证明：充分性：法一：由于dimVdWim 且Im Im ，所以由维数公式知：dimKerdimKe ．r 取Ker的一组基1,2,,r ；Ker 的一组基1,2,, r ，将其扩充为V的一组基1,2,,r ,r1, n ，那么(r1),(n )是Im的一组基．由于Im Im ，所以(r 1),( n )是Im的一组基．设(i )( i ), r 1 i n ，由于 (r1), , (n )线性无关，所以r1,,n 线性无关．我们断言， 1, 2, ,r ,r1,,n 线性无关．事实上，假设k 11k 22krrk r1r 1knn0，那么将作用于上式得k r1(r1) k n (n )0．由于(r1), ,(n )线性无关，所以k r1k n 0．于是k 11 k 22k r r ＝０．又1, 2, , r 是Ker的一组基，故k 1k r从而，1, 2,,r ,r1,,n 线性无关．注意到dimW n ，故1,2,,r ,r1,,n 是W 的一组基．定义线性映射 :V W 满足(i )i ,1 i n ．由于1,2,,n 是V 的一组基，1,2,,n 是W的一组基，故 可逆．又(i )( i)( i ), 1i n ，从而．法二：取V 的一组基1,2,, n ，U 的一组基1,2,,s ，W 的一组基1, 2,, n ．设(1,2, ,n )(1,2,,s )A sn6(1,2,,n)(1,2,,s)B sn且dimIm dimIm r，那么r(A)r(B)r．于是，存在n阶可逆矩阵P,Q使得AP(A1,0), BQ(B1,0)，其中A1,B1K sr列满秩．由于Im Im，所以同上题证明可知存在n阶矩阵C使得A BC，那么(A1,0)AP BQ(Q1CP)．设Q1CP X11X12，其中X11是r阶方阵，那么X21X22(A1,0)(B1,0)X11X12．从而，A1B1X11．又A1列满秩，所以存在A2K rs使得A2A1I r．于X21X22是，I r A2A1(A2B1)X11，即X11是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵X Q X110P1使得0I n rBX BQ X110P1(B1,0)X110P1B1X11,0P1(A1,0)P1A0I nr0I nr定义线性映射:V W满足(1,2,,n)(1,2,,n)X由于X可逆且ABX，故可逆且．必要性：由于，所以同上题证明可知Im Im．又由:V W可逆可知1，所以Im Im．从而，Im Im．7。
厦门大学线代期末试题及答案
一．（填空题（每小题4分，共20分）1． 令 ()()1,0,3,5,2,8,6,9,TTA B ==-则T A B =_______， T AB =______________.2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,βββ是它的 三个解向量，且12(2,6,3),T ββ+=-23(6,8,5),T ββ+=-则该线性方 程组的通解是__________.3. 设123625t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是 _________.4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i =1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ++=__________.5．若101020105A c c ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭是正定矩阵，则c 的取值范围为 ___________.二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则____________. （1）A+B 为正交矩阵 （2）A-B 为正交矩阵（3） B AB 为正交矩阵（4）k AB 为正交矩阵(k >0为实数)厦门大学2009级《线性代数A 》课程试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2010.06.132．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵 OA DB O ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵是____________.（1）11A O O B --⎛⎫⎪⎝⎭ （2）11O B A O --⎛⎫⎪⎝⎭ （3） 11B O OA --⎛⎫⎪⎝⎭ （4）11O A BO --⎛⎫ ⎪⎝⎭3． 设α与β是线性无关的单位向量，则α与β的内积必 ____________.（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<14.设A 为n 阶可逆矩阵，1*,,T A A A -分别是A 的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若ξ是A 的特征向量，则下列命题中的不正确的是________.（1）ξ是T A 的特征向量 （2）2ξ是1A -的特征向量 （3）3ξ是*A 的特征向量（4） 4ξ是kA 的特征向量（k 为常数）5.设222623222,000222000A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则____ ____. （1）A 与B 是相似的且是合同的 （2）A 与B 是相似的但不是合同的 （3）A 与B 不是相似的但是合同的 （4）A 与B 不是相似的也不是合同的三．（15分）试求五元齐次线性方程组123451234512345330,30,0x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪-++-+=⎨⎪+++-=⎩的解空间V(作为5R 的子空间)的一组规范（标准）正交基。
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ ααα，，， 中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
大学数学线性代数第二学期期末复习测试试卷含答案
线性代数第二学期期末测试试卷含答案班别_________ 姓名___________ 成绩_____________第一部分 客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分）1. 若行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则212223111213313233232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d -2. 设123010111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ）(A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ）(A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ⨯矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。
(A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,,,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(C) 存在一组数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立(D) 对β的线性表达式唯一8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ）(A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解9. 设110101011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 的特征值是( )。
厦门大学参考答案--08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷
厦门⼤学参考答案--08-09学年第⼀学期《⾼等代数》期末考试卷特别说明：答案写在答题纸上⼀、单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是A) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则其中任意两个向量线性⽆关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性⽆关，则123,,ααα线性⽆关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则112123,,αααααα+++线性⽆关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性⽆关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性⽆关的充要条件是A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表⽰； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表⽰； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵.3.设线性⽅程组0Ax =的解都是线性⽅程组0Bx =的解，则A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶⽅阵A 的伴随矩阵*0A ≠，⾮齐次线性⽅程组Ax b =有⽆穷多组解，则对应的齐次线性⽅程组0Ax =的基础解系 A) 不存在；B) 仅含⼀个⾮零解向量；C) 含有两个线性⽆关的解向量； D) 含有三个线性⽆关的解向量.5.下列⼦集能构成22R的⼦空间的是A) 221{|||0,}V A A A R ?==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ?==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ?'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换?在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若?在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n； B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，?和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ?ψ=的充分必要条件是A) ?和ψ都是可逆变换；B) Ker ?=Ker ψ；C) Im Im ?ψ=； D) ?和ψ在任⼀组基下的表⽰矩阵的秩相同. 8.设?是线性空间V 到U 的同构映射, 则下列命题中正确的有个. (Ⅰ) ?为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维⼦空间, 则()?W 是U 的s 维⼦空间； (Ⅲ) ?在给定基下的表⽰矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4⼆、填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过⾏初等变换化为1003002401050000-??-, 那么向量组1234,,,αααα的⼀个极⼤⽆关组是其余向量由此极⼤⽆关组线性表⽰的表⽰式为.2. 设3维向量空间的⼀组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的⼦空间，则12()L V V ?4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的⼀组基. 5. 已知12K上的线性变换?定义如下：((,))(0,)ab a ?=-，则Ker ?=Im ?6. 设?是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则?为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若?是V 上的线性变换且,()i i ?αβ=1,2,...,i n =，则?在基12,,...,n βββ下的表⽰矩阵是8. 设?是线性空间V 上的线性变换，?在基12,,...,n ααα下的表⽰矩阵为0A B C ??，其中A 为r r ?矩阵，则存在V 的⼀个⾮平凡?-,,)r α.三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性⽆关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性⽆关，或者β可由12,,...,m ααα线性表⽰. ,,m α线性相关，则存在不全为,,k m 使得+k m m α+=．事实上，若k +k m m α+=12,,...,ααα线性⽆关知1m k ==k =0．m ==k =0．,,k m 不全为０相⽭盾．mm k k α--从⽽，或者该向量组线性⽆关，或者β可由α四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性⽅程组12n x x x == =与120n x x x +++=的解空间. 证明112n KV V ?=⊕.1n V V a ?∈n n a a ==++=，则0n a ===1n n K a ??∈，11i V a n∈∑, 21n i i V a n =??∈?∑n a ＝1n i i a n =?∑＋n a1n V V a ∈n n a a ==++=，则0n a ===(1)000011n n-?，1,1,,1)n ?，所以1．故1dim V (1)000011n n-? ?，1,1,,1)n ?，1dim 1,dim V =1n n K a ??∈，11i n V a n ?∈∑, 21n i i n V a n =??∈?∑n a ＝1n i i n a n =?∑＋n n a五、(10分) 设m n A K ?∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ?∈，r n C K ?∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明：充分性：由于m rB K∈，r nC K∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性：由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ??=．令,(,0)0r r I B P C I Q ??==，则m r B K ?∈，r n C K ?∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ?.证明：充分性：法⼀：取V 的⼀组基12,,,n ααα，由于Im Im ?ψ?，所以()Im i ?αψ∈，1i n ?≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ?αψβ=．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σαβ=?≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβ?α==?≤≤．因此，ψσ?=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,m ηηη，W 的⼀组基12,,,s γγγ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ?ξξξηηη?= 1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη?=其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==．由于I m I m ?ψ?，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ?，即11,sj ij i i j n c αβ=?≤≤=∑．取()ij s n C c ?=，则A B C =．定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=，则?ψσ=.必要性：对任意Im β?∈，存在V α∈使得()β?α=．由于?ψσ=，所以()β?α=(())Im ψ?αψ=∈从⽽，Im Im ?ψ?．附加题: (本部分不计⼊总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ=.证明：充分性：法⼀：由于d i m d i m V W =且Im Im ?ψ=，所以由维数公式知：d i m d i m Ke r K e r ?ψ=．取Ker ψ的⼀组基12,,,r ηηη；Ker ?的⼀组基12,,,r ξξξ，将其扩充为V的⼀组基121,,,,,r r n ξξξξξ+，则1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ?的⼀组基．由于Im Im ?ψ=，所以1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ψ的⼀组基．设()(),1i i r i n ?ξψη=?+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以1,,r n ηη+线性⽆关．我们断⾔，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=，则将ψ作⽤于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=．由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以10r n k k +===．于是1122r r k k k ηηη+++＝０．⼜12,,,r ηηη是Ker ψ的⼀组基，故10r k k ===从⽽，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+是W 的⼀组基．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σξη=?≤≤．由于12,,,n ξξξ是V 的⼀组基，12,,,n ηηη是W的⼀组基，故σ可逆．⼜()()(),1i i i i n ψσξψη?ξ==?≤≤，从⽽?ψσ=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,s γγγ，W 的⼀组基12,,,n ηηη．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ?ξξξγγγ?=1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ?=且dimIm dimIm r ?ψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ?∈列满秩．由于Im Im ?ψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -??=，其中11X 是r 阶⽅阵，则1112112122(,0)(,0)X X A B X X ??=．从⽽，1111A B X =．⼜1A 列满秩，所以存在2r sA K ?∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --??=使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------=====定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且?ψσ=．必要性：由于?ψσ=，所以同上题证明可知Im Im ?ψ?．⼜由:V W σ→可逆可知1ψ?σ-=，所以Im Im ψ??．从⽽，Im Im ?ψ=．。
厦门大学网络教育线性代数在线试题、解答
线性代数总分: 100 得分: 0单选题(共100题)(1).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(2).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(3).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(5).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(6).(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(7).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(9).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(10).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(12).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(13).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0.(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(15).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(16).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0.(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(18).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(19).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分) 回答:正确答案: B.B得分: 0(21).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(22).(1分) 回答:正确答案: C.C得分: 0(23).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(25).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(26).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(27).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(29).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(30).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(31).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(33).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(34).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分) 回答:正确答案: C.C得分: 0(36).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(37).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(39).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(40).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (41).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(43).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(44).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(45).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(46).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(47).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(48).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(49).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0.(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(51).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(52).(1分) 回答:正确答案: B.B得分: 0(53).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0.(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (55).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(56).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (57).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0.(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(59).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(60).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(61).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(62).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(63).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(64).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(65).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(66).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(67).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(68).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(69).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(70).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(71).(1分) 回答:正确答案: B.B得分: 0(72).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0 (73).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0 (74).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(76).(1分)回答:正确答案: D.D得分: 0(77).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(78).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0.(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(80).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(81).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(82).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(83).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(84).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(85).(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(86).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(87).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(88).(1分) 回答:正确答案: D.D得分: 0(89).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(90).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(91).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(92).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0(93).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(94).(1分) 回答:正确答案: A.A得分: 0(95).(1分)正确答案: D.D得分: 0(96).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(97).(1分)回答:正确答案: A.A得分: 0(98).(1分)回答:正确答案: B.B得分: 0(99).(1分)正确答案: B.B得分: 0 (100).(1分)回答:正确答案: C.C得分: 0。
厦门大学线性代数期末考试试卷
厦门大学2011年度（线性代数）期末考试试卷一、填空题（每小题2分，共20分）1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a 。
2.设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A 。
3.设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。
4.设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a 。
5.A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T 。
6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。
7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。
8.若31212322212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。
10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分）1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）A .1或2B . －1或－2C .1或－2D .－1或2.2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）A .5B .-5C .-3D .33.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）A .0=+B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B =D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（ ） A ．21+ββ B ．()212351ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型32312123222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4三、计算题 (每题9分，共63分)1.计算n 阶行列式ab b b a b b b aD n= 2. 设B A ,均为3阶矩阵，且满足B A E AB +=+2，若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020101A ，求矩阵B 。
20140109线代期末试题(AA)(答案)
注：E 表示单位矩阵，A表示矩阵A 的行列式，()R A 表示矩阵A 的秩，1A -表示矩阵A 的逆矩阵，T A 表示矩阵A 的转置，*A 表示矩阵A 的秩，()Tr A 表示矩阵A 的迹.一．（填空题（每小题4分，共20分）1. 设三阶矩阵A 的一个特征值为1-，并且秩()2,20R A E E A -=-=，则()Tr A =________. 答案： 22. 设1111,11213a a A B a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦是三阶非零矩阵，且0AB =，则0AX =的通解是________________________. 答案：[]1,1,0Tk -，其中k 为任意常数.3. 已知A 为三阶矩阵，1231002,2,4311ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦为非齐次线性方程组123AX ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个解向量，则()R A =________.答案：()1R A =.4.设矩阵20121304A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦可对角化，则=x ________. 答案=x 2. 5. 假设二次型()()()()22212312323123,,2233f x x x x ax x x x x x ax =+-+++++正定，则a 的取值为________. 答案：1a ≠.二． 选择题（每小题3分，共15分） 1. 设ij n nA a ⨯⎡⎤=⎣⎦为非零矩阵，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足ij ij a A =，则（ D ）.（A ）()0R A = （B ）()1R A = （C ）()1R A n =- （D ）()R A n = 2. 设123,,ααα和123,,βββ为两个六维向量组，若存在两组不全为零的数,,a b c 和,,k l m 使得()()()()()()1231230a k b l c m a k b l c m αααβββ++++++-+-+-=，则（ C ）.厦门大学《线性代数A 》课程试卷学院＿＿＿年级＿＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2014.01.09（A ）123,,ααα和123,,βββ都线性相关 （B ）123,,ααα和123,,βββ都线性无关 （C ） 11223311223,,,,,αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性相关 （D ）11223311223,,,,,αβαβαβαβαβαβ+++--- 线性无关 3．设123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，则0AX =的另一个基础解系为（ B ） （A ） 13131,,ααααα-+ （B ）112123,,αααααα+++（C ）12312122,2,αααααααα+++-++ （D ） 1223312,,2ααααααα+---4. 设A 为n 阶实对称矩阵, P 为n 阶实可逆矩阵, α是A 的属于特征值λ的特征向量,则矩阵()1TP AP-的属于特征值λ的特征向量是 （ C ） .（A ） P α （B ） 1P α- （C ） TP α（D ） ()1TPα-5. 设=a b A c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则下列条件中 ① 0A < ② 0bc > ③ ()1R A = ④ ()2R A = 是A 与对角矩阵相似的充分条件是（ A ）（A ） ①,② （B ） ②,③ （C ） ① , ③ （D ） ②, ④三. (10分) 已知4维列向量组123,,ααα的秩为2，且满足123-2+4=0ααα.矩阵[]1234,,,αααα=A , 其中4123=2+2αααα+. 求线性方程组 12AX αα=-的通解.解 由向量组123,,ααα的秩为2，且满足123-2+4=0ααα可知向量组()231312,,,αααααα或；或为该向量组的最大无关组，又4123=2+2αααα+，故向量组()231312,,,αααααα或；或也是向量组1234αααα，，，的最大无关组，因此1234αααα，，，的秩为2，即 ()()1234,,,2R A R αααα==.由123-2+4=0ααα可得1231224040A ααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由4123=2+2αααα+可得1234122+2-=021A αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，即121122,4201ββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦是0AX =的两个线性无关的解，由()2R A =可是0AX =的通解为1122,X c c ββ=+其中12,c c 为任意常数.显然121100A αα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1100η⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为12AX αα=-的一个特解，因此12AX αα=-的通解为1122X c c ββη=++，其中12,c c 为任意常数.四. （15分）设向量组[]11,1,1,2,T α=[]23,4,25,7,T a a a α=+++[]34,6,8,10,Tα=[]42,3,23,5Ta α=+.（I ）求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组；（II ） 若[]0,1,3,Tb β=不能由1234,,,αααα线性表出，试求,a b 的值； （III ） 若任意4维向量γ均可由1234,,,,ααααβ线性表示，试求,a b 的值. 解 设11223344x x x x ααααβ+++=，对[]1234,,,,ααααβ施以初等行变换，有[]123413420134201463101211,,,,12582330224213271050121a a a a a a ab a b ααααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦134200121100021100001a a b ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦， （I ）当112a a ≠≠-且时，()1234,,,3R αααα=，它的一个最大无关组为124,,ααα（或134,,ααα，或234,,ααα）.当12a =时，()1234,,,2R αααα=，它的一个最大无关组为12,αα（或13,αα，或14,αα）. 当1a =-时，()1234,,,3R αααα=，它的一个最大无关组为134,,ααα（或234,,ααα）. （II ） 方程组11223344x x x x ααααβ+++=无解，也就是β不能由1234,,,αααα线性表 出，此时条件为1=2a 或1b ≠. （III ）任意4维向量γ均可由1234,,,,ααααβ线性表示充分必要条件是()1234,,,,4R ααααβ=，即12a ≠且1b ≠.五．(15分) 已知A 是3阶实对称矩阵，其特征值是[]12312,1,1,1,0Tλλλα====是属于2λ=的特征向量.（I ）求矩阵A ；（II ）若[]1,5,2Tβ=，并n A β.解 （I ）设1λ=的特征向量是[]123,,Tx x x ，由于A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，故12x x +=0，解的[][]231,1,0,0,0,1TTαα=-=是属于1λ=的线性无关的特征向量.令[]123,,P ααα=，则1211P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 从而12110211031011111011101302210011002002A P P -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(II) 1211nnA P P ββ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦110211013221110111053222001100222nn n ⎡⎤⎡⎤⋅-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⋅+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.六.(15分) 设三元二次型222123122313222T X AX x ax x x x x x ax x =+++--的正、负惯性指数都是1. （I ）求a 的值，并用正交变换化二次型为标准型；（II ）如35B A A E =-+，求二次型TX BX 的规范形.解 二次型矩阵是111111a A a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.由于()2R A p q =+=，所以()()2120A a a =--+=. 若1a =，则()1R A =，不合题意，舍去.若2a =-，此时112121211A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 由特征多项式 ()()11212133,211A E λλλλλλλ--=---=--+--得出A 的特征值为0, 3，-3，满足条件，故2a =-.当3λ=时，由()30A E X -=，得特征向量1101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 当3λ=-时，由()30A E X +=，得特征向量2121α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 当0λ=时，由()00A E X -=，得特征向量3111α-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
厦门大学08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷
厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 各 系 2008 年级 各 专业信息科学与技术学院 计算机科学 系 2008 年级 CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、 单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是___B____.A) 若向量组123,,ααα线性无关，则其中任意两个向量线性无关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性无关，则123,,ααα线性无关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性无关，则112123,,αααααα+++线性无关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性无关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表示； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表示； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵. 3.设线性方程组0Ax =的解都是线性方程组0Bx =的解，则__C__.A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶方阵A 的伴随矩阵*0A ≠，非齐次线性方程组Ax b =有无穷多组解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系__ B __. A) 不存在；B) 仅含一个非零解向量；C) 含有两个线性无关的解向量； D) 含有三个线性无关的解向量. 5.下列子集能构成22R⨯的子空间的是___B____.A) 221{|||0,}V A A A R ⨯==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R ⨯==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ⨯==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ⨯'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换ϕ在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若ϕ在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n ；B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，ϕ和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ϕψ=的充分必要条件是A)ϕ和ψ都是可逆变换； B) Ker ϕ=Ker ψ；C) Im Im ϕψ=； D) ϕ和ψ在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8.设ϕ是线性空间V 到U 的同构映射,则下列命题中正确的有个. (Ⅰ)ϕ为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维子空间, 则()ϕW 是U 的s 维子空间； (Ⅲ)ϕ在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))ϕϕϕ⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4二、 填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎝⎭, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为.2. 设3维向量空间的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，则12()L V V ⋃=4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的一组基.5. 已知12K ⨯上的线性变换ϕ定义如下：((,))(0,)a b a ϕ=-，则Ker ϕ=Im ϕ6. 设ϕ是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则ϕ为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若ϕ是V 上的线性变换且,()i i ϕαβ=1,2,...,i n =，则ϕ在基12,,...,n βββ下的表示矩阵是8. 设ϕ是线性空间V上的线性变换，ϕ在基12,,...,n ααα下的表示矩阵为0A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中A 为r r ⨯矩阵，则存在V 的一个非平凡ϕ-三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性无关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性无关，或者β可由12,,...,m ααα线性表示.证明： 若1,,,m βααL 线性相关，则存在不全为0的数01k ,k ,,k m L 使得011k +k +k 0m m βαα+=L ．我们断言，0k 0≠．事实上，若0k =0，则11k +k 0m m αα+=L ．由12,,...,m ααα线性无关知1m k ==k =0L ．于四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性方程组12n x x x ===L 与120n x x x +++=L 的解空间. 证明112n KV V ⨯=⊕.证明：法一：一方面，∀1212naaV Va⎛⎫⎪⎪∈⋂⎪⎪⎝⎭M，有1212nna a aa a a===⎧⎨+++=⎩LL，则12na a a====L．故五、(10分) 设m n A K ⨯∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ⨯∈，r n C K ⨯∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明： 充分性： 由于m rB K⨯∈，r nC K⨯∈满足()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性： 由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭．令,(,0)0r r I B P C I Q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则m r B K ⨯∈，r n C K ⨯∈满足()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ϕ→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得ϕψσ=的充分必要条件是Im Im ϕψ⊆.证明： 充分性： 法一：取V 的一组基12,,,n αααL ，由于Im Im ϕψ⊆，所以()Im i ϕαψ∈，1i n ∀≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ϕαψβ=．定义线性映射:V W σ→满足(),1i i i n σαβ=∀≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβϕα==∀≤≤．因此，ψσϕ=．法二：取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,m ηηηL ，W 的一组基12,,,s γγγL ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ϕξξξηηη⨯=L L1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη⨯=L L其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==L L ．由于Im Im ϕψ⊆，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ⊆L L ，即11,sj ij ii j n c αβ=∀≤≤=∑．取()ij s n C c ⨯=，则A BC =．定义线性映射:V W σ→满足1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=L L ，则ϕψσ=.必要性： 对任意Im βϕ∈，存在V α∈使得()βϕα=．由于ϕψσ=，所以()βϕα=(())Im ψϕαψ=∈ 从而，Im Im ϕψ⊆．附加题: (本部分不计入总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ϕ→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得ϕψσ=的充分必要条件是Im Im ϕψ=.证明： 充分性：法一：由于dim dim V W =且Im Im ϕψ=，所以由维数公式知：dim dim Ker Ker ϕψ=．取Ker ψ的一组基12,,,r ηηηL ；Ker ϕ的一组基12,,,r ξξξL ，将其扩充为V的一组基121,,,,,r r n ξξξξξ+L L ，则1(),()r n ϕξϕξ+L 是Im ϕ的一组基．由于Im Im ϕψ=，所以1(),()r n ϕξϕξ+L 是Im ψ的一组基．设()(),1i i r i n ϕξψη=∀+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，所以1,,r n ηη+L 线性无关．我们断言，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=L L ，则将ψ作用于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=L ．由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，所以10r n k k +===L ．于是1122r r k k k ηηη+++L ＝０．又12,,,r ηηηL 是Ker ψ的一组基，故10r k k ===L从而，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 是W 的一组基． 定义线性映射:V W σ→满足(),1i i i n σξη=∀≤≤．由于12,,,n ξξξL 是V 的一组基，12,,,n ηηηL 是W 的一组基，故σ可逆．又()()(),1i i i i n ψσξψηϕξ==∀≤≤，从而ϕψσ=．法二： 取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,s γγγL ，W 的一组基12,,,n ηηηL ．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ϕξξξγγγ⨯=L L1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ⨯=L L且dimIm dimIm r ϕψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ⨯∈列满秩．由于Im Im ϕψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中11X 是r 阶方阵，则1112112122(,0)(,0)XX A B X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭．从而，1111A B X =．又1A 列满秩，所以存在2r sA K ⨯∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --⎛⎫=⎪⎝⎭使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭定义线性映射:V W σ→满足1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=L L由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且ϕψσ=．必要性： 由于ϕψσ=，所以同上题证明可知Im Im ϕψ⊆．又由:V W σ→可逆可知1ψϕσ-=，所以Im Im ψϕ⊆．从而，Im Im ϕψ=．。
厦门大学网络教育线性代数期末考试复习题及参考答案
题型 :单选题
17、设n阶矩阵 满足
A
，则矩阵 （ ）.
B
C
正确答案
D
题型 :单选题
18、下列矩阵那个是初等矩阵（ ）.
A
正确答案
B
C
D
题型 :单选题
19、设 , ,…, 是一组 维向量，则下列表述正确的是（ ）.
A 若 ， ，…， 不线性相关，就一定线性无关
正确答案
B 如果存在 个全为零的数 , ,…, ,使 + +…+ =0,则 , ,…, 线性无关
24、若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，
是它的三个解向量，
且
则该线性方程组的通解是（ ）.
A
B
C D
题型 :单选题
正确答案
25、
.
A 32 正确答案 B 64 C9 D2
题型 :单选题
26、
（ ）.
A
B
C
正确答案
D
题型 :单选题
27、设
，
，
=（ ）.
A
B
C
D
正确答案
题型 :单选题
28、设 ， ， 均为 阶方阵，下列各式中，（
正确答案
题型 :单选题
13、矩阵
（ ）.
，则
（ ）.
A
正确答案
B C
D
题型 :单选题
14、
（ ）.
A1
B
C
D
正确答案
题型 :单选题
15、常数 满足（ ），线性方程组
无解.
A
正确答案
B
C
D
题型 :单选题
16、向量组
【大学期末考试复习题】厦门大学20100613线代期末试题及答案
1一．（填空题（每小题4分，共20分）1．令1,0,3,5,2,8,6,9,TTA B 则61TA B，286900624182710403045TAB。
2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,是它的三个解向量，且12(2,6,3),T23(6,8,5),T则该线性方程组的通解是(1,3,3/2)(8,14,2),.TTk kR 3. 设123625tAt t 的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是313,61.22tt或4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i=1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ___47_______.5．若101020105A c c 是正定矩阵，则c 的取值范围为____0C_______.二．选择题（每小题3分，共15分）1.设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则_____（3）_______. （1）A+B 为正交矩阵（2）A-B 为正交矩阵（3）BAB 为正交矩阵（4）kAB 为正交矩阵(k>0为实数)2．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵O ADB O的逆矩阵是____（2）________.（1）11A O OB（2）11O B AO厦门大学2009级《线性代数A 》课程试卷参考答案主考教师：试卷类型：（A 卷） 2010.06.13。
《线性代数》厦门大学
6、毛泽东思想科学体系的鲜明特点有( A B C ) A.科学性 B.独创性 C.完整性 D.发展性 E.实践性7、我国社会主义四个现代化是（A B C E ）P175 A、现代农业B、现代工业C、现代国防D、现代教育E、现代科学技术8、国民革命时期，组成国民革命联合战线的政治联盟有( A B D E ) A.小资产阶级B.民族资产阶级C.大资产阶级D.工人阶级E.农民阶级9、解放初期进行镇压反革命运动的重点打击对象是（A B C D ）A、恶霸分子B、特务C、土匪（匪首、惯匪）D、反动党团骨干分子E、反动会道门头子10、新民主主义社会的经济构成有( A B C D E ) A.国营经济 B.合作社经济 C.个体经济 D.私人资本主义经济E.国家资本主义经济11、近代中国民主革命的基本任务是（ A B ）A、反对帝国主义的侵略B、反对封建主义的统治C、发展社会生产力D、反对资本主义的剥削E、实现国家的繁荣富强12、1945年4月，毛泽东在中共七大政治报告中，首次提出党的优良作风有（A B C ）A、理论和实践相结合的作风B、和人民群众紧密联系在一起的作风C、自我批评的作风D、保持谦虚、谨慎、不骄、不躁的作风E、保持艰苦奋斗的作风13、中国共产党在中国革命中战胜敌人的主要法宝是（B C E ）A、土地革命B、统战线C、武装斗争D、根据地建设E、党的建设14、毛泽东思想科学体系的鲜明特点是（B C D ）A、革命性B、科学性C、独创性D、完整性E、全面性15、1956年毛泽东提出的在共产党与民主党派的关系上实行的方针是（AB ） A.长期共存 B.互相监督 C.肝胆相照 D.荣辱与共 E.共同参政三、名词解释题1、四马分肥P160 “四马分肥”是我国社会主义改造时期对初级形式的民族资本主义工商业获得利润的分配形式的形象说法。
“四马分肥”指民族资本主义企业每年的利润按国家所得税、企业公积金、工人福利奖金、资方的股息红利这四个方面进行分配。
厦门大学《线性代数》 2016-2017学年第二学期期末试卷B卷
一、选择题（每小题3分，共18分）1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）。
A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。
2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（ ）。
A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。
3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。
A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。
4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（ ）。
A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。
5．下列命题错误的是（ ）。
A ．相似矩阵有相同的特征多项式； B ．1n +个n 维向量必线性相关；C ．矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1T QQ -=；D ．若矩阵A 的秩是r ，并且存在1r -阶子式，则其所有的1r -阶子式全为0。
6．下列命题正确的是（ ）。
A ．若A ，B 为同阶方阵，且TA A =，则TB AB 也是对称阵；厦门大学《线性代数》课程试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师： 试卷类型：（B 卷） 2017.06.28B ．若AX AY =，且A O ≠，其中O 为零矩阵，则X Y =；C ．齐次线性方程组AX O =（A 是m n ⨯矩阵）有唯一解的充分必要条件是()r A m =；D ．设非齐次线性方程组AX b =有无穷多解，则相应的齐次线性方程组AX O =有唯一解。
厦门大学《高等代数》期末考试试卷(考试真题归纳)
1 12 2 2 2 1 1厦门大学《高等代数》期末考试试卷（真题归纳）一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间； B) 对任意的b ，V 均不是线性空间； C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间； D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA) 若向量组 I 线性无关，则s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则s t ；D) 若向量组 II 线性相关，则s > t 。
3)设非齐次线性方程组 AX = ⎭ 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则。
DA) 当 r < n 时，方程组 AX = ⎭ 有无穷多解； B) 当r = n 时，方程组 AX = ⎭ 有唯一解；C) 当r < m 时，方程组 AX = ⎭ 有解； D) 当r = m 时，方程组 AX = ⎭ 有解。
4)设 A 是m ⨯ n 阶矩阵， B 是 n ⨯ m 阶矩阵，且 AB = I ，则。
AA) r ( A ) = m , r (B ) = m ；B) r ( A ) = m , r (B ) = n ；C) r ( A ) = n , r (B ) = m ；D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。
5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换ϕ 在基⋂ ,⋂ {1 1 1 ,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1|，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。
C1 2 3| | |1 1 1|{ 1 2 1{ 1 1 1{ 1 2 1{ 1 1 1| | | 2 || | | 2 | A) | 2 0 2 | ；B) | 0 1 | ； C) | 10 1 | ； D) | 2 0 2 | 。
厦门大学20100613线代期末试题及答案
一．（填空题（每小题4分，共20分）1． 令 ()()1,0,3,5,2,8,6,9,T T A B ==-则61T A B =，28690000624182710403045T AB -⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。
2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,βββ是它的三个解向量，且12(2,6,3),T ββ+=-23(6,8,5),Tββ+=-则该线性方程组的通解是(1,3,3/2)(8,14,2),.T Tk k R -+-∈3. 设123625t A tt ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是313,61.22t t =-=或 4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i =1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ++=___47_______.5．若101020105A c c ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭是正定矩阵，则c 的取值范围为 ____0C >_______.二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则_____（3）_______.（1）A+B 为正交矩阵 （2）A-B 为正交矩阵 （3） B AB 为正交矩阵（4）k AB 为正交矩阵(k >0为实数)2．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵 O A D B O ⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵是____（2）________.（1）11A O OB --⎛⎫⎪⎝⎭ （2）11O B AO --⎛⎫⎪⎝⎭厦门大学2009级《线性代数A 》课程试卷参考答案主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2010.06.13（3） 11B O O A --⎛⎫⎪⎝⎭ （4）11O A B O --⎛⎫⎪⎝⎭3． 设α与β是线性无关的单位向量，则α与β的内积必 _____（4）_______.（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<14.设A 为n 阶可逆矩阵，1*,,TA A A -分别是A 的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若ξ是A 的特征向量，则下列命题中的不正确的是___（1）_____.（1）ξ是TA 的特征向量 （2）2ξ是1A -的特征向量 （3）3ξ是*A 的特征向量（4） 4ξ是kA 的特征向量（k 为常数）5.设222623222,000222000A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则____(2) ____.（1）A 与B 是相似的且是合同的 （2）A 与B 是相似的但不是合同的 （3）A 与B 不是相似的但是合同的（4）A 与B 不是相似的也不是合同的三．（15分）试求五元齐次线性方程组123451234512345330,30,0x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪-++-+=⎨⎪+++-=⎩的解空间V(作为5R 的子空间)的一组规范（标准）正交基。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
厦门大学线性代数期末试题及答案work Information Technology Company.2020YEAR2厦门大学2011年度（线性代数）期末考试试卷一、填空题（每小题2分，共20分）1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a 。
2.设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A 。
3.设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。
4.设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则=a 。
5.A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1A B T 。
6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。
7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。
8.若31212322212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。
10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
3二、单项选择（每小题2分，共10分）1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）A .1或2B . －1或－2C .1或－2D .－1或2.2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）A .5B .-5C .-3D .33.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）A .0=+B A B .））B r A r ((=C .O A =或O B =D .0=A 或0=B4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（ ）A ．21+ββB ．()212351ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-5. 若二次型32312123222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ）A . 1B .2C . 3D . 4三、计算题 (每题9分，共63分)1.计算n 阶行列式abbb a b b b aD n=452. 设B A ,均为3阶矩阵，且满足B A E AB +=+2，若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101020101A ，求矩阵B 。
3.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=769,103,321321ααα和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01,12,110321b a βββ；已知3β可以由321,,ααα线性表示, 且321,,ααα与321,,βββ具有相同的秩,求a ,b 的值。
64. 已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα（1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
75. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+++=+++ax x x x x x x x x x x x 4321432143219105363132（1）a 为何值时方程组有解（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.6. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2001,1141D P ，矩阵A 由关系式D AP P =-1确定，试求5A87.将二次型3231212322213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写出相应的可逆线性变换。
四、证明题（7分）已知3阶矩阵O B ≠，且矩阵B 的列向量都是下列齐次线性方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+030202321321321x x x x x x x x x λ，（1）求λ的值；（2）证明：0=B 。
1参考答案与评分标准一.填空题1．-16； 2. 0；3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21107； 4. 1； 5.-4； 6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1212421216655A ；7.λ1A；8.3535<<-t ； 9. 2π； 10. 24。
二. 单项选择： 1. C ； 2. A ；3. D ； 4. B ； 5. C . 三.计算题：1. abb a bb b n a ab bb a b b b a D n111])1([-+==4分1)]()1([0001])1([---+---+=n b a b n a ba b a b b b n a9分2. B A E AB +=+2⇒E A B AB -=-2⇒))(()(E A E A B E A +-=- 3分 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-001010100E A 显然可逆6分则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=201030102101020101E E A B9分3. ,3/3/521000126093101713602931⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b b b b 3分 即5=b ，且2),,(321=αααr 5分那么2),,(321=βββr ，则6分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0150130121501301*********a a b a ，即15=a 9分24. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000010000021100120144220021101633011201086242431225531112014分3),,,,(54321=αααααr5分 其极大线性无关组可以取为521,,ααα7分 且：521302αααα+-=，521402αααα++=9分5. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5000011210040011612602242013211910513163113211a a a 当5-=a 时，线性方程组有解 4分即⎩⎨⎧+-=-=43241214x x x x x ，特解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=γ00100， 6分其导出组的一般解为⎩⎨⎧+-=-=4324124x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=η⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=η1014,0120218分原线性方程组的通解为2122110,(k k k k η+η+γ为任意常数） 9分6. 由D AP P =-1，得1-=PDP A2分 155-=P PD A4分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141313200111411141312001114157分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121144431141321128131 9分7. f x x x x x x x x x x x x (,,)1231222321213232224=+++++ =x x x x x x x x x 12123232222322++++++()() 2分=()()x x x x x x 123223232++++-4分 令y x x x y x x y x 112322333=++=+=⎧⎨⎪⎩⎪ 6分3 即作线性变换x y y x y y x y 11222333=-=-=⎧⎨⎪⎩⎪8分可将二次型化成标准形f y y y =+-122232 9分四.证明题：因为O B ≠，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式0511312121=λ=-λ--，所以0=λ 3分 （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000250121113012121A ，2)(=A r ，因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为3-2=1，故1)(≤B r ，因而0=B 。
7分。