第六章 理想不可压缩流体的平面势流和旋涡运动3

d
0dr
rVr d
Q
2
d
Q 2
d
r
dr
d
Q
2r
dr
0d
Q
2
ln
r
点源
y x
y
x 点汇
Q>0
Q<0
W (z) i Q ln r i Q Q ln z
2
2 2
W (z)
Q
2
ln( z
z0 )
压强分布
p Vr2 p
g 2g g
p
p
2
( Q )2
2r
p
Q 2 8 2r 2
例 在平面点源流动中, 已知 ur=Q/2r , u=0 , 不计质量力, 试求压强分布
2
2
dW dz
u
iv
Q 2
z
1 (a ib)
z
1
(a
ib)
X Q (a,-b)
在x轴上, y=0, z=x, 代入速度表达式中, 有
Q 2(x a)
u 2 (( x a)2 b2 )
v0
例6-8 设X轴是一块无限大平板, 平板两侧均为静止大气, 压 强为pa , 若在 (a,b) 处放置一个强度为Q的点源, 试求平板由 于上下两侧压差而产生的合力。
( 2r0
)2
1 2
V02
涡核区压强分布
u u v u 1 p
x y x
u v v v 1 p
x y y
u y v x
1 dp u u dx v u dx u v dy v v dy 2xdx 2 ydy
x
y
x
y
p 1 2 (x2 y2 ) C
2
C p 2r02 p V02
第六章 理想不可压缩流体的平面势流 和旋涡运动
• §6-5 基本的平面有势流动
•
均匀直线流动
•
平面点源和点汇
•
点涡
• §6-6 有势流动的叠加
•
点源和直线流的迭加
•
偶极子流
基本的平面有势流动
(A)均匀直线流动
y V
u=V cos v=V sin
V Vei
0
x
d udx vdy V (x cos y sin)
q
2r
V
r
V sin
y
V
q
x q/V
q/2V
驻点位置
V V sin 0
0,
Vr
V
c os
q
2r
0
r q
2V
通过驻点流线:
yV
q 2
0 q 2
q 2
yV
q 2
q 2
y q ( ) 2V
当 x=, =0 : y = q/2V
当 =/2:
y=q/4V
偶极子流
W (z) Q ln z Q ln(z z)
p
p
2r02
1 2
2r 2
r r0 p p0
当r=0时, 压强最小, 为pc
pc p V02 1.225 50 2 3.063 kpa
有势流动的叠加
拉氏方程为线性方程, 故解可以叠加, 关键是叠加的解要满足边界条件 (A)绕流物体, 固壁是一条流线 (B)静止物体, Vn=0, 但切线方向允许有 速度分量
W(z) M 1 2 z
d dr d r
d
2r
dr
0d
dr
2r
2
ln
r
d
r
dr
d
0dr
2
d
2
( C)点涡
y
y
V=/2r
x
x
Vr=0
>0
<0
W (z) i i( ) ln r ln z
2 2
2i
W (z) 2i ln(z z0 )
点源
dW (z) dz 2 Q irei d iQ
解: 将
V2 p C
2
V 2 ur2 u2
代入上式
u
2 r
u2
p
C
2
在r=处, ur=0, u=0, p=p故 有C= p/
p
p
2
ur2
p
q 2 8 2r 2
( C)点涡
y
y
V=/2r
x
x
Vr=0
>0
<0
v u
cV
dl
cudx vdy
A
(
x
)dxdy y
zdxdy
A
1
Vr r
V r
d udy vdx V ( y cos x sin)
W (z) i V (cos i sin)z V ei z
dW dz
u iv
V
ei
(B)平面点源与点汇
极坐标(r,)
y
V
Vr
r
V=0
=Q/2
=0 x
Vr=Q/2r
=C
Vr
1 r
V r
d dr d r
均匀平行流场与点源叠加后形成的流动称为二维钝体绕流, 速度V沿x轴方向, 点源位于原点
(1)复势、流函数、势函数
(2)滞止点位置与钝体轮廓
线方程
V
(3)钝体的趋近宽度等
y q
x q/V
解:
q
W (z) V z 2 ln z
V r c os
q
2
ln r
V r sin
q
2
q/2V
Vr
r
V cos
无穷远压强为p ,速度分布为
V 2.5r
r 20
试求涡核中心的最小压强
V
1000 r
r 20
解: 由例6-3
V r
V
2r
r r0 r r0
r0 20 V0 Vmax
2r02 2.5
涡外部压强分布
p
p
1 2
V2
p
1 2
( )2 2r
r r0
p p0
r r0
p
p0
1 2
2
2
W (z) lim Q ln(z z) ln z (z)
r0 2
z
Qr M
y
z
+Q
r
-Q
x
W (z) lim Q(r)ei ln( z z) ln z
r 0
2
z
Qr M
W (z) M ei 1
2 z
W (z) M 1 2 z
偶极子流
W (z) M ei 1
2 z
解:
Y
Q (a,b)
p
p
1 2
V
2
pa
p
1 2
V
2
1 2
Q2(x a)2
2
((x
a)2
Biblioteka Baidu
b2
)
X Q (a,-b)
F
2
0 ( pa
p)dx
2
0
1 2
2
Q2 (x a)2 (x a)2 b2
2
dx
F
b
(
Q
)
2
1 2
(
2
arctg
a) b
4
a
a2
b2
例6-9 龙卷风 r0=20m Vmax=50m/s , 空气密度=1.225kg/m3,
(1).
V ei 2
(2).
Q 1
2
z0 2i z0 2i
(3).
i
2i
z0 2i z0 2i
例6-8 设X轴是一块无限大平板, 平板两侧均为静止大气, 压 强为pa , 若在 (a,b) 处放置一个强度为Q的点源, 试求平板由 于上下两侧压差而产生的合力。
解:
Y
Q (a,b)
W (z) Q ln( z (a ib)) Q ln(z (a ib))
l dz
0 2z
点涡
dW (z) dz 2 irei d
l dz
0 2iz
例6-7 试分析下列复势是由哪些基本势流叠加而成的?
W (z) 2z (1 i) ln( z2 4)
解:
W (z) 2z ln(z 2i) ln(z 2i) i ln(z 2i) i ln(z 2i)