高中平面解析几何全一册

高中平面解析几何全一册

第二章圆锥曲线

第二单元圆

一、教法建议

【抛砖引玉】

本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。

在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x－a)2+ (y－b)2= r2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。

由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。

【指点迷津】

这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。

由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。

圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如：过圆x2 + y2 = r2上一点(x1，y1)的切线方程是x1x + y1y = r2

过圆(x－a)2 + (y－b)2 = r2上一点(x1、y1)的切线方程是(x1－a)(x－a) + (y1－b)(y－b) = r2

圆x2 + y2 = r2的斜率为k的切线的方程是

对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式

A x2 +

B xy +

C y2 +

D x + D y + F = 0必须满足如下三个条件：

(1)x2和y2项的系数相同，且不等于零，即A＝C≠0

(2)不含xy项，即B = 0

(3)D2 + E2－4F > 0

才能表示一个圆。

也就是说条件(1)、(2)、(3)总合起来才是二元二次方程表示圆的充要条件。而只具有(1)、(2)两条件是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

由于圆的标准方程和圆的一般方程中都含有三个独立的参变数，因此确定一个圆需要三个独立条件。用待定系数法求圆的方程时，就要把三个条件转化为三个方程（含a、b、r三个未知数或含D、E、F三个未知数）通过解三元方程组求出未知数而得出圆的方程，一般来说，条件中和圆心有关时用圆的标准方程比较简单。

二、学海导航

【思维基础】

本单元的知识比较单一，它主要研究的就是圆的标准方程和一般方程，因此熟练掌握圆的方程的两种形式是很重要的。而解题又有一定的综合性，它要用到平面几何中有关圆的知识，前一章的直线方程中的有关知识，所以学好本单元还要掌握一定解题方法。

1.求圆的方程

和求直线方程类似，求圆的方程一般也是两种方法，一种是已知或求出圆心坐标和半径长，直接代入圆的标准方程，另一种是用待定系数法：

根据下列条件求圆的方程

1.已知直径的两端点是A（－3，5）和B（1，－3）

2.圆心在A（3，－5）且与直线x－7y + 2 = 0相切

3.经过点A（2、2）和B（4，－2），圆心在y轴上

显然，根据条件很容易求出它们的圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可。

1.圆心为AB中点C（－1，1）半径，圆的方程是(x+ 1)2+ (y－1)2=

20

2.半径r是圆心A（3、－5）到直线x－7y+ 2 = 0的距离4，圆的方程是(x－3)2 + (y + 5)2 = 32

3.圆心是线段AB的垂直平分线与y轴交点，AB的垂直平分线是x－2y －3 = 0，圆心是C（0、－），半径|AC| =，圆的方程是

而第3个题也可以用待定系数法，解法是设圆心是（0、b），圆的方程是x2 + (y－b)2 = r2因为经过点A（2、2）和B（4、－2），所以有解方程组得

此题也可设圆的方程是x2+ y2+ D x+ E y+ F = 0，它的圆心坐标为（），又由于圆心在y轴上，故= 0，即D = 0，圆的方程化为：x2 + y2 + E y + F = 0

因为经过点A（2，2）和B（4，－2），所以有

解方程组得：E = 3，F =－14

圆的方程是x2 + y2 + 3y－14 = 0

配方得

2.求圆的切线的方程

圆的切线是直线和圆的一种重要位置关系，初中平面几何中已经学习了它的定义，判定和性质，在这里我们利用已经学过的知识，求圆的切线的方程，在第一部分教法建议中已指出了在几种不同条件下切线方程的写法，并不要求死记硬背，重要的是掌握求圆的切线方程的方法，切线是直线，因此求切线方程就是求直线方程，要用切线的性质找出列直线方程的条件。

例如：已知圆x2 + y2 = 1求此圆斜率是－1的切线的方程：

设切线方程是y =－x + b即x + y－b = 0

根据圆心到切线的距离等于圆的半径知，圆x2+ y2= 1的圆心（0，0）到切线x + y－b =0的距离等于1，即

切线方程是

3.圆与直线的问题

圆与直线的位置关系，在解析几何中一般由它们的方程组成的方程组的解的情况来研究，是否可以用其他方法呢？

如判断圆和直线3x－4y+ 5 = 0的位置关系。除解方程组外还可以用圆心到直线的距离d与半径r的关系来判定，若d < r，则直线和圆相交；若d = r，则直线和圆相切；若d > r，则直线和圆相离。

配方得

(x－1)2 + (y + 2)2 = 4