输油管的优化设计方案

输油管的优化设计方案

【摘要】

为了帮助油田设计院找到费用最省的输油管线建设方案，我们建立了两个多元连续函数的数学模型，称之为模型（1）与模型（2）

模型（1）是一个二元连续函数模型，简单直接地解决了油田设计院希望的费用最省的问题1。我们用两组测试数据对模型（1）进行了检测，发现结合MATLAB 软件使用起来，简单高效。结合对测试数据及其直观图像的联合分析，找到了求解建设管线花费最小的建设方案点的途径：

（1）、y>0时，需要建设共用管线，y值就共用管线的长度，模型之解直接就是最优解；

（2）、y<0或y=0时，说明不需要建设共用管线，模型之解只是个纯数学意义的最小点，而不是可行方案，但借助这个纯数学意义的最小点作跳板，可间接寻找出最佳可行方案点。

这是模型（1）为解决本实际问题作出的最有价值的贡献，但模型（1）偏于简单，忽略了一些影响建设成本的外在因素，例如城区与郊区建设成本单价有差别等等，离设计院的实际要求还有一定的距离，故在模型（1）的基础上开发出了模型（2）

模型（2）把城区与郊区铺设成本不同考虑了进来，设计院面临的实际问题2与3得以较好地解决。

利用模型（2），结合MATLAB软件，较轻松地解决了该设计院急需解决的俩问题：

（1）、如考虑城区与郊区的因素，管线铺设单价都是7.2万元/千米时，最少建设成本为283.2013万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）5.4475千米的地点（沿B 厂方向）；

（2）、如考虑郊区与城区因素的同时还考虑不同路段的管道单价，则最少建设成本为252.4737万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）6.7321千米沿B厂方向处。

总之，我们所建模型具有通用性，建模的思路也具有通用性，为相关单位解决此类问题提供了一个很好的样板。

【关键词】：多元连续函数的极值公允估算值偏导数

一、问题重述

1.1、基本情况

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上修建一个车站，用来运输成品油。如何建造才能做到管线建设费用最低，设计方希望建立管线建设费用最省的数学模型，由于该问题具有普遍性，设计方也希望建模思路具有普适性。为此，我们做了如下三项工作：

1）建立一个普适模型，把是否使用共用管线，共用管线与非共用管线的费用行等因素也考虑进来；

2）再逐步深入，把管线是否经过城区，城区与郊区的铺设费用差别因素等等也考虑进来；

3）再把不同的炼油厂的规模与输油管线的粗细（这涉及到建设成本）因素考虑进来；

4）以此类推，每增加一个变化因素，就是多一个自变量，从中探索出建模思路，为设计者解决此类问题提供数学模型支持。

1.2、相关信息

①（设计院面对的一个具体情形）A、B分别表示两炼油厂的具体位置（单位：千米），A在郊区B在城区。具体如下图（虚线为城郊分界线）：

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）对所用费用进行了估算。估算结果如下表所示：

②若管道线的铺设费用分别为输送Ａ厂成品油5.6万元/千米，输送B厂成品油6.0万元/千米，共用管道费用为7.2万元/千米。

要求为设计院找出管线布置最佳方案，并计算相应建设费用。

1.3、需要解决的问题

问题1：针对俩炼油厂在铁路线同侧的情形，设计一个模型用于寻找最佳方案，使得费用最省，并算出最省费用。模型力求通用。

问题2：若遇上更为复杂的情形，例如考虑城区与郊区的建造成本区别，又如何进一步改进模型，以达解决问题的目的。同时让模型也具通用性。

问题3：若进一步考虑区分出不同管线的铺设单价，模型又如何改进？并付诸应用，解决设计院面对的具体问题。

二、问题分析

(1)、由于俩炼油厂的位于铁路同侧。如图所示：

建立直角坐标系xOy 并设俩炼油厂的位置分别为A 、B 。x 轴表示铁路线。分以下四种情况。

①A B 在同一直线上并与x 轴垂直（这时一定有共用管道）。如图2--1示：

②、A 在x 轴上B 不再x 轴上（不需共用管道）。如图2—2示：以上俩特殊情形，告诉我们，可行方案中，有使用共用管线的，也有不使用

x

图

2--2

图2--1

共用管线的情形

③、A 在y 轴上，B 不在坐标轴上（普遍情况l=0时演变成图2-1；a=0时演变为图2-2）。如图2—3（不妨设a b ）

（2）、更复杂一些，若其中一厂地处城区（例如B 厂），如图2—4所示，则存在城区与郊区的建设成本区别，则应将这个变数考虑进来。设城郊分界线与管线的交点坐标为D （c,z ），z 就成了第三自变量。BD 段是城区管线，建设上当然要增加坼迁和工程补偿等附加费用。

y

图2--3

（3）若各段管道的单价有差别，加上城区管线建设所增附加费用，仍可根据（2）中的方案求解。

三、模型假设

1、假设炼油厂都在铁路线的同一侧；

2、假设郊区的附加费用（例如青苗赔偿等）不计；

3、假设不考虑建设管线的地理因素；

4、假设不考虑施工期市场价格的波动；

5、假设公用管道建设的单价不超过独用管道单价之和。

四、符号说明

a：表示A厂的纵坐标（几何意义是A厂到铁路线的距离）；

b：表示B厂的纵坐标（几何意义是B厂到铁路线的距离）；

c: 城郊分界线与铁路线的交点的横坐标；

l: A厂与B厂到铁路线的垂线的垂足之间的距离；

x：表示共用管线与独用管线的交点P点的横坐标；

y：表示共用管线与独用管线的交点P点的纵坐标；

m：表示A点到P点的管道的建设单价（单位：万元/千米）；

n：表示B点到P点的管道的建设单价（单位：万元/千米）；

p：表示共用管线PC的建设单价（单位：万元/千米）；

z：表示管线BDP的城郊结合点P的纵坐标；

q：表示铺设城区管线所增加的拆迁与工程补偿附加费用的公允估算值；