函数依赖理论第二讲

无损连接分解判Biblioteka Baidu方法
• 给定关系模式r(R)及函数依赖集F，则将r(R)分解成 r1(R1)、r2(R2)的分解是无损连接分解，当且仅当F+ 包含函数依赖R1∩R2→R1或R1∩R2→R2。 • 因此，当一个关系模式分解为两个关系模式时， 该分解为无损连接分解的充要条件是两分解关系 的公共属性包含r1(R1)的码或r2(R2)的码。
3NF范式判断举例
• 例1 r(R)=r(A, B, C)，F={A→B, B→C}。
– r(R)的候选码为A，r(R)∉3NF，且r(R)∉BCNF。
• 例2 r(R)=r(A, B, C)，F={AB→C, C→A}。
– r(R)的候选码为AB或BC，r(R)∈3NF，但 r(R)∉BCNF。
函数依赖理论与范式
郑子仪
主要内容
• 无关属性、正则覆盖、无损连接分解、有 损连接分解 • 第一范式(1NF)、第二范式(2NF)、BoyceCodd范式(BCNF)、第三范式(3NF)、
无关属性
给定函数依赖集 及 给定函数依赖集F及α→β∈F，如果去除α 函数依赖集 ， 的一个属性不会改变F 则称该属性是 或β的一个属性不会改变 +，则称该属性是 无关的。 无关的。 给定函数依赖集 及α→β∈F，若A∈α，且 给定函数依赖集F及 函数依赖集 ， ∈ F逻辑蕴涵 -{α→β})∪{(α-A)→ β}，则属 逻辑蕴涵(F逻辑蕴涵 ∪ → ， 性A在α中是无关的（左无关）。 在 中是无关的（左无关）。 给定函数依赖集 及 给定函数依赖集F及α→β∈F，若A∈β，且 函数依赖集 ， ∈ 逻辑蕴涵F， (F-{α→β})∪{(α→(β-A)}逻辑蕴涵 ，则属 ∪ 逻辑蕴涵 性A在β中是无关的（右无关）。 在 中是无关的（右无关）。
Boyce-Codd范式判断举例
• 例1 r(R)=r(A, B, C)，F={A→B, B→C}。 – r(R)的候选码为A，r(R)∉BCNF，因为函数依赖B→C中的决 定属性B不是超码。 • 例2 r(R)=r(A, B, C)，F={AB→C, C→A}。 – r(R)的候选码为AB或BC，r(R)∉BCNF，因为C→A的决定属 性C不是超码。 • 例3 r(R)=r(A, B, C)，F={AB→C, BC→A}。 – r(R)的候选码为AB或BC，r(R)∈BCNF，因为两个函数依赖 中的决定属性AB或BC都是r(R)的候选码。
保持依赖分解判断举例
• 设关系模式r(R)=r(A, B, C)，F ={A→B, B→C}，有两 种分解： – r1(R1)=r1(A, B)、r2(R2) =r2(B, C) – r1(R1)=r1(A, B)、r2(R2) =r2(A, C)。 • 显然，前一种分解是保持依赖分解；而后一种分 解不是保持依赖分解，因为分解后，函数依赖 B→C既不能从F在R1的投影F1中推导出来，也不能 从F在R2的投影F2中推导出来。
无损连接分解
给定关系模式r(R)及函数依赖集 ，若r(R)的任意一个满足 及函数依赖集F， 给定关系模式 及函数依赖集 的任意一个满足 函数依赖集F的关系实例 都有 函数依赖集 的关系实例r都有 的关系实例 是无损连接的。 无损连接的 无损连接分解能够根据分解后的关系通过连接来还原原来 的关系实例。 的关系实例。 如何判定一分解是否是无损的？ 如何判定一分解是否是无损的？ =r，其中 ， r1(R1)、r2(R2)分别为分解后的子模式，则称该分解对于F 、 分别为分解后的子模式，则称该分解对于 分别为分解后的子模式
正则覆盖定义和计算方法
• 正则覆盖(canonical cover)Fc是一个依赖集，使得F逻辑蕴涵 Fc中的所有依赖，Fc逻辑蕴涵F中的所有依赖，而且必须具 有下列特性： – Fc中的任何函数依赖都不包含无关属性； – Fc中函数依赖的左半部都是唯一的，即Fc中不存在两个 依赖α1→β1和α2→β2，且α1＝α2。 • 根据上述性质，计算F的正则覆盖Fc分为两个步骤： – 合并函数依赖：将F中所有形如α1→β1、α1→β2的函数 依赖合并为α1→β1β2，得到新函数依赖集F'。 – 去除无关属性：对F'中的每个函数依赖，依次判断是否 包含无关属性。若发现无关属性，则用去除无关属性 后的函数依赖代替F'中的原函数依赖。
无关属性检测举例
设F＝{AB→CD, A→E, E→C}，证明C在AB→CD中为无关 属性。 – 证明：由于C是AB→CD中的右边属性，依图 (b)的算 法： • 计算F'：F'={AB→D, A→E, E→C}； • 计算F'下(AB)+：(AB)+=ABCDE； • 判断C是否属于(AB)+：C∈ABCDE。 因此，C是AB→CD中的无关属性。证毕。
计算正则覆盖举例
考虑关系模式r(R)=r(A, B, C)和函数依赖集F={A→BC, B→C, A→B, AB→C}, 计算F的正则覆盖Fc。
– 第1步，合并函数依赖：将A→BC和A→B合并为A→BC。F' ={A→BC, B→C, AB→C}。 – 第2步，去除无关属性：对于AB→C，根据图5-9(a)的算法可检测A 是无关的。因此，去除无关属性A后，AB→C变为B→C，而B→C已 在F'中存在，则F'={B→C, A→BC}。 – 对于B→C，由于其左右两边都为单属性，故不存在无关属性。 – 对于A→BC，根据图5-9(b)的算法可检测C是无关的。因此，去除无 关属性C后，A→BC变为A→B，则F'={B→C, A→B}。 – F'中的函数依赖左半部都是唯一的，且都不存在无关属性，因此 Fc={B→C, A→B}。
保持依赖分解
• 关系数据库模式分解的另一个目标是保持依赖。 • 给定关系模式r(R)及函数依赖集F，r1(R1), r2(R2), ..., rn(Rn)为 r(R) r(R)的分解。F在Ri的投影为闭包F+中所有只包含Ri属性的函 F R F R 数依赖的集合，记为Fi。即如果α→β在Fi中，则α和β的所 有属性均在Ri中。 • 称具有函数依赖集F的关系模式r(R)的分解r1(R1), r2(R2), ..., rn(Rn)为保持依赖分解，当且仅当(F1∪F2∪…∪Fn)+=F+。
• 对于非2NF范式的关系模式，可通过分解进行规范化，以 消除部分依赖。如将关系模式SCE分解为关系模式S、C和E。 这样在每个关系模式中，所有非主属性对候选码都是完全 函数依赖，因此都属于2NF范式。 • 2NF范式虽然消除了由于非主属性对主码的部分依赖所引 起的冗余及各种异常，但并没有排除传递依赖。因此，还 需要对其进一步规范化。
Boyce-Codd范式存在问题
• 对于非BCNF范式的关系模式，可通过分解进行规范化，以消 除部分依赖和传递依赖。 – 将例5.13中的r(R)分解为 • r1(R1)=r1(A, B)、r2(R2) =r2(B, C) 或 • r1(R1)=r1(A, B)、r2(R2) =r2(A, C) – 显然，这两种分解得到的r1(R1)和r2(R2)都属于BCNF范式。 – 但是，后一种分解不是保持依赖分解（例5.12已分析）。 • 因此，满足BCNF范式要求的模式分解，可能不是保持依赖分 解。
放松之处：允许存在主属性对候选码的传递依赖和部分依赖 。 注意：3NF的第3个条件不要求β -α中的每个属性必须包含在 r(R)的一个候选码中，即β中的每个属性可以包含在r(R)的不 同候选码中
• 第三范式的目标是：去掉表中不依赖于主码的数据。 • 也就是说，在满足第二范式的实体中，非主属性不能依赖 于另一个非主属性，即所有的非主属性应该直接依赖于 全部的主属性（即必须完全依赖，这是2NF的要求），并 且彼此之间无相互依赖关系（即不能存在部分依赖，这是 3NF的要求）。 • 换一句话说，非主属性不能包括它们自己的属性，如果属 性不包括属性，则它们就是真正的实体。
第一范式(1NF)
• 如果一关系模式r(R)的每个属性对应的域值都是不可分的 （即原子的），则称r(R)属于第一范式，记为r(R)∈1NF。 • 第一范式的目标是：将基本数据划分成称为实体集或表的 逻辑单元，当设计好每个实体后，需要为其指定主码。
第二范式(2NF)
• 第二范式的目标是：将只部分依赖于主码（即依赖于主码 的部分属性）的数据移到其他表中。 • 也就是说，在满足第一范式的实体中，如果有复合主码 （即多个属性共同构成主码），那么所有非主属性必须依 赖于全部的主码，而不能只是依赖于部分的主码属性。 • 违背了2NF的模式，即存在非主属性对候选码的部分依赖， 则可能导致例5.1所述的数据冗余及异常问题。
Boyce-Codd范式(BCNF)
• 给定关系模式r(R)及函数依赖集F，若F+中的所有函数依赖 α→β (α⊆R，β⊆R)至少满足下列条件之一： • α→β是平凡函数依赖(即β⊆α)； • α是r(R)的一个超码(即α+包含R的全部属性)。
– 即起决定作用的属性必须是超码！
则称r(R)属于Boyce-Codd范式，记为r(R)∈BCNF。 • 换句话说，在关系模式r(R)中，如果F+中的每一个非平凡 函数依赖的决定属性集α都包含候选码，则r(R)∈BCNF。 • 特别说明：为确定r(R)是否满足BCNF范式，必须考虑F+而 不是F中的每个依赖。
第三范式(3NF)
• 给定关系模式r(R)及函数依赖集F，若对F+中的所有函数依 赖α→β (α⊆R, β⊆R)至少满足下列条件之一：
– α→β是平凡函数依赖(即β⊆α)； – α是r(R)的一个超码(即α+包含R的全部属性)； – β-α中的每个属性是r(R)的候选码的一部分。
则称r(R)属于第三范式，记为 r(R)∈3NF。 • 3NF与BCNF范式的区别在于第3个条件。
• 从函数依赖角度可得出，一个满足BCNF的关系模式必然满 足下列结论： – 所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码； – 所有主属性都完全函数依赖于每个不包含它的候选码； – 没有任何属性完全函数依赖于非候选码的任何一组属 性。 • BCNF范式排除了： – 任何属性(包括主属性和非主属性)对候选码的部分依赖 和传递依赖； – 主属性之间的传递依赖。
范式概述
• 基于函数依赖理论，关系模式可分成
– 第一范式(1NF) – 第二范式(2NF) (2NF) – 第三范式(3NF) – Boyce-Codd范式(BCNF)
• 这几种范式的要求一个比一个严格，它们之间的联系为 BCNF⊂3NF⊂2NF⊂1NF。即满足BCNF范式的关系一定满足 3NF范式，满足3NF范式的关系一定满足2NF范式，满足 2NF范式的关系一定满足1NF范式。
无损连接分解判断举例
假设关系模式r(R)=r(A, B, C, D, E), F ={A→BC, CD→E, 假设关系模式 → → B→D, E→A}，则可将 → 进行两种不同的分解： → ， 可将r(R)进行两种不同的分解： 进行两种不同的分解 分解1：r1(R1)=r1(A, B, C)，r2(R2)=r2(A, D, E)； 分解 ： ， ； 分解2： 分解 ：r1(R1)=r1(A, B, C)，r2(R2)=r2(C, D, E)。 ， 。 对于分解1， 故此分解是无损连接 对于分解 ，R1∩R2＝A，且A→R1，故此分解是无损连接 ， → 分解。 分解。 而对于分解2， 而对于分解 ，R1∩R2＝C，且C→R1、C→R2，故此分解 ， 不是无损连接分解。 不是无损连接分解。
无关属性检测算法
• 设r(R)为关系模式，F是函数依赖集，则检测α→β上的属性A 左无关或右无关的算法分别如图 (a)或(b)所示。
if A∈α ∈ γ :＝α -{A}; ＝ 计算F下 计算 下γ的闭包γ+; if β∈γ+ A在α中是无关的 在 中是无关的;
(a) 图5-9 无关属性检测算法
if A∈β ∈ F' := (F-{α→β}) ∪ {(α→ (β-A)}; 计算F'下 计算 下α的闭包α+; if A∈α+ ∈ A在β中是无关的 在 中是无关的; (b)