(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)

第一章 复数与复变函数
本章知识点和基本要求
掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；
熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题
1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.
2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =
3、若1231i
z
i i
，则z
4、若(3)(25)
2i i z
i
，则Re z
5、若4
21i
z i i
+=-
+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =
7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。

8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为
_________________.
9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____.
10、设4
i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。

z
11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.
12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程
为 。

13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1
2
+-=
z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。

16
二、判断题（正确打√，错误打⨯）
1、复数7613i i +>+. ( )
2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( )
3、若 a 为实常数，则a a = （ ）
4、复数0的辐角为0.
5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在
00(,)x y 点连续。

（ ）
6、设21,z z 为复数，则2121z z z z ⋅=。

（ ）
7、1212z z z z +=+ （ ）
8、参数方程2
z t ti =+ （t 为实参数）所表示的曲线是抛物线2y x =. ( )
三、单项选择题
1、下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是 （ ） A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z )
D. z·z =|z|
2、方程3z =8 的复根的个数为 （ ）
A. 3个
B. 1个
C. 2个
D. 0个
3、当11i
z i
+=-时，1007550z z z ++的值等于 （ ）
A i
B i -
C 1
D 1-
4、方程23z i +-= （ ）
A 中心为23i -的圆周
B 中心为23i -+，半径为2的圆周
C 中心为23i -+的圆周
D 中心为23i -，半径为2的圆周
四、计算题
1．求出复数4)31(i z +-=的模和辐角。

2．设iy x z +=满足,4)3Re(2
=+z 求x 与y 的关系式
3、将复数6z i =化为三角表示式和指数表示式。

4、求复数1cos sin ,(0)i 的三角表示式、指数表示式及幅角主值。

5．将直线方程1
+y
x化为复数形式。

2=
3
6、求以下根式的值：
（1）(2) (3)
第二章 解析函数
本章知识点和基本要求
理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；
掌握复变函数解析的C-R 条件，并能利用C-R 条件判断复变函数的可导性和解析性；
掌握解析函数的基本性质；
了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。

一、填空题
1、(1)Ln i +的主值为
2、()Ln i = ，主值为
3、设i e z 43+-= , 则=)Re(iz _________________
4、=i 3_____________________________.
5、=+i i )1(________________________.
6、1i i +=
7、指数函数z e 的周期是
8、设()(1)z f z z e -=-，则()f z '=
9、设3322()f z x y ix y =++，则(1)f i '+=
10、已知函数()
(21)(,)f z x y
v x y i 解析，则()
f i
11、.函数()f z u iv =+在000z x iy =+点连续是()f z 在该点解析的_________条件。

二、判断题（正确打√，错误打⨯）
1、.若)(z f '在区域D 内处处为零，则)(z f 在D 内必恒为常数。

（ ）
2、.若()f z 在0z 点不解析，则()f z 在0z 点必不可导。

（ ）
3、函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点000z x iy =+可微等价于(,)(,)u x y v x y 和在点
00(,)x y 可微。

（ ）
4、sin 1z ≤.. （ ）
5、函数z e 是周期函数。

（ ）
6、设函数()f z 在点0z 处可导，则()f z 在点0z 处解析。

（ ）
7、对于任意的复数12,z z ，等式1212(.)Ln z z Lnz Lnz =+恒成立。

（ ）
8、不等式Re()2z ≤ 表示的是有界闭区域。

（ ）
9、对于任意的复数z ，整数n ，等式n Lnz nLnz =恒成立 （ ）
三、单项选择题
1、下列点集是单连域的是 （ ）
A ．Re()
2z B.13z
C.1z
D.2arg 2
Z
2、下列所示区域中是多连域的为 （ ） A.Im 0z > B.Re 0z < C.01z << D.
arg 4
3
z π
π
<<
3、函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的 （ ）
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分又不必要条件 4、下列说法正确的是 （ ）
A 、()f z 在0z 可导的充要条件是()f z 在0z 处解析。

B 、()f z 在0z 可导的充要条件是 ,u v 在0z 处偏导数连续且满足
C R -条件。

C 、()f z 在0z 可导的充要条件是()f z 在0z 处连续。

D 、()f z 在0z 可导的充要条件是,u v 在0z 处可微且满足C R -条件
5、在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误的是（ ） A.sinz 是周期函数 B.sinz 是解析函数 C.|sinz|1≤
D.(sin )cos z z '=
6、以下说法中，错误的是 （ ）
A ．复指数函数z e 具有周期 B.幂函数a z (a 为非零的复常数)是多值函数 C ．对数函数Lnz 为多值函数 D.在复数域内sin z 和cos z 都是有界函数 7、设()sin f z z =，则下列命题中错误的是（
）。

A ．()f z 在复平面内处处解析
B ．()f z 以2π为周期
C ．()2
iz iz e e f z --= D ．()f z 是无界的
四、计算题
判断下列函数在何处可导，在何处解析？ (1)33()23f z x y i =+
(2)2()()2()f z x y x y i =-++
(3) 22()f z xy ix y =+
第三章 复变函数的积分
本章知识点和基本要求
了解复变函数积分的定义及性质； 会求复变函数的积分；
理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；0 掌握解析函数的高阶导数公式；
了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。

一、填空题
1、设曲线C 是正向圆周2z =，则1
1C
dz z =-⎰
，2
1(1)C
dz z =-⎰ ，2
(1)
z
C
e dz z =-⎰ 。

2、设C 为从点1z i =-到点20z =的直线段，则C
zdz =⎰_______.
3、若C 为正向圆周2z =，则1
C dz z
=⎰________.
4、若22
21
()z z z f dz z ξξ=++=-⎰，2ξ≠，则(35)f i +=__ ___,(1)f = . (1)f '=
5、(:4)3
z
c e dz c z z =-⎰的值是________ 二、单项选择题
1、若f(z)在D 内解析，()z Φ为f(z)的一个原函数，则（ ） A.()()f z z '=Φ B. ()()f z z ''=Φ C.()()z f z 'Φ=
D. ()()z f z ''Φ=
2、下列积分中，积分值不为0的是 （ ） A.3(2)C
z z dz +⎰ ，12z -= B.z c
e dz ⎰ ，2z =
C.sin c
z dz z ⎰
，1z = D.cos 1c
z dz z -⎰，2z = 三、计算题
1、沿下列路径计算积分C
zdz ⎰
(1) 从原点到3i +的直线段
(2) 从原点沿实轴到3，再从3垂直向上到3i +。

2、沿下列路径计算积分2C
z dz ⎰
(1)从原点到1i +的直线段
(2)从原点沿实轴到1，再从1垂直向上到1i +。

3、计算0
cos i zdz ⎰。

4、计算积分30
(23).i
z dz +-⎰
5、2()C
x y ix dz -+⎰，其中C 是从点0到1i +的直线段。

6、设C 为从-2到2的上半圆周，计算积分23
C z dz z
-⎰的值。

7、21
1
C
dz z -⎰，C 为正向圆周2z =
8、计算积分()(4)
C dz
z i z -+⎰，其中C 为圆周3Z =，且取正向。

9、计算212(1)(2)
C z i
dz z z i ++++⎰
，其中C 为正向圆周3z =.
10、求下列积分之值（积分沿闭曲线的正向）
（1） 1
(2)c z dz z z --⎰，3z = （2） ()(2)
2
c
dz
i
z z -+⎰
，1z =
（3） 3cos c z
dz z ⎰，1z = (4) 3()iz
c e dz z i -⎰，1z i -=
第七章 傅里叶变换
本章知识点和基本要求
掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式； 理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念； 了解δ函数的概念、性质及其傅氏变换， 了解傅氏变换的物理意义；
掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。

一、填空题
1、设50 ,0()
,0
t
t f t e
t
，则[()]F f t
2、设0, 0
(), t 0t t f t e β-<⎧=⎨≥⎩，则[()]________F f t =
3、[1]_______F =
4、设1
[()]F f t i αω
=+，则()f t = ；
5、设2()
sin f t t ，则[()]
F f t ；
6、设[()]()F f t F ，则[(5)()]F t f t ；
7、设[()]()F f t F ω=，0t 为实常数，则0[()]F f t t -= ； 8、0[()]F t t δ-= ； 9、设[()]
()F f t F ，则(1)f t -的傅氏变换[(1)]F f t -= ；
10、[()]()F f t F ω=，则[()]_______t F f d ττ-∞
=⎰
11、已知()f t t =，且2
2
[()]F f t ω=-
，则12
2
[](2)
F ω--
=- 二、单项选择题
1、下列变换中，正确的是 ( )
A.[()]1F t δ=
B. [1]()F δω=
C. 1[()]1F δω-=
D. 1[1]()F u t -= 2、设[()]()F f t F ω=，则[(1)()]F t f t -为 ( )
A. ()()iF F ωω'+
B. ()()iF F ωω'-
C. ()()iF F ωω'-+
D. ()()iF F ωω'-- 3、()0t t δ-的傅里叶变换[]0()F t t δ-为 （ ）
A ．1
B 。

0t
C 。

0
i t e
ω- D 。

0
i t e
ω
4、设[()]()F f t F ω=，则[(23)()]F t f t -= （ ）
A.2()3()iF F ωω'-
B. 2()3()iF F ωω'+
C. 2()3()iF F ωω'-+
D. 2()3()iF F ωω'-- 5、设[()]()F f t F ω=，则[(2)()]F t f t -= （ ）
A.()2()F F ωω'-
B. ()2()F F ωω'--
C. ()2()iF F ωω'-
D. ()2()iF F ωω'-- 6、设0()cos f t t ω=，则[()]F f t = （ ）
A.00[()()]πδωωδωω++-
B. 00[()()]πδωωδωω+--
C.00[()()]i πδωωδωω+--
D. 00[()()]i πδωωδωω++- 7、设0()(2)i t f t t e ωδ=-+，则[()]F f t = （ ）
A 202()i e ωπδωω-+-
B 202()i e ωπδωω+-
C 202()i e ωπδωω-++
D 202()i e ωπδωω++ 8、设0()sin f t t ω=，则其傅氏变换[()]F f t = （ ）
A.00[()()]δωωδωω+--
B. 00[()()]i πδωωδωω+--
C.00[()()]πδωωδωω+--
D. 00[()()]i πδωωδωω++-
三、计算题
1、已知函数0,12,10()1,020,2t t f t t t -∞<<-⎧⎪-≤<⎪
=⎨≤<⎪⎪≤<+∞
⎩，求它的傅里叶变换。

2、求函数2,1
() 2, 0
1 0, t f t t
其他
的傅里叶变换；
3、求函数0,0
()0t t f t e t β- <⎧=⎨ ≥⎩（其中0β>）的傅氏变换及其积分表达式。

4、求函数 sin ()0t t f t t π
π⎧ ≤⎪=⎨ ,>⎪⎩
的傅氏变换，
并证明2
sin ,sin sin 210,t t t d t π
π
ωπωωωπ+∞
⎧≤⎪=⎨-⎪≥⎩
⎰；
5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换
（1）00()[()()]555
i
F
（2）0
()
[(
)(
)]5
5
5
F
6、用傅里叶变换求解下面的微分方程
()()(),x t x t t t δ'+=-∞<<+∞
7、设[()]()F f t F ω=，列表给出下列函数的付里叶变换：
2
00'(),"(),(),(),(),()f t f t tf t t f t f t t f t t -+，(),()t
f d f at ττ-∞
⎰
001,(),(),(),t t t t t δδδ-+ 0,0
(),0t t f t e t β- <⎧=⎨ ≥⎩
并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。

第八章 拉普拉斯变换
本章知识点和基本要求
理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念； 了解拉普拉斯变换存在定理； 掌握拉普拉斯变换的性质； 掌握用留数求拉氏逆变换的方法； 了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；
应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。

一、填空题
1、设2
1()F S S
，则[()]S
L e F S --1=
2、[(sin 3)]
L t
3、[sin ]t L e t =
4、设()(35)f t u t =-，3[()]t L e f t -=
5、[cos ]t L e t =
6、设2
2[()],4
L f t s =
+ 则 3[()]t
L e f t -= 7、设2()(1)t f t t e =-，[()]L f t = 8、设 22
1()(1)
F s s =
+，则1
[()]L F s -= 9、设11[()](), L f t F S =22[()]()F f t F S =，则12[()*()]L f t f t = 10、设 2
2()16
s F s s +=
+，则1
[()]L F s -= 二、单项选择题
1、下列变换中，不正确的是 ( )
A.[()]1F t δ=
B.[()]1L t δ=
C. [1]()L t δ=
D. [1]2()F πδω= 2、设[()]()L f t F s =，其中正确的是（ ）
A ．[()]()L f t sF s '=
B 。

[()]()at L e f t F s a =+
C ．1
[()]()L f at F s a
=
D 。

[()]()at L e f t F s a =- 3、()(0)at f t te a => 的拉氏变换为 （ ） A.
1S a - B.1
s a
-- C.21()s a - D.2
1()s a -- 4、若2
1()1
S
F S e S -=
+，则1[()]L F S -= （ ） A.sin(1)t - B.(1)sin u t t - C. ()sin(1)u t t - D.(1)sin(1)u t t -- 5、设2()cos3t f t e t -= 则[()]L f t = （ ） A.
23(2)9S ++ B.2
2
(2)9S S +++ C.
23(2)9S S ++ D. 23(2)
(2)9
S S +++
6、函数2
2()1
s F s s =+ 的拉氏逆变换为 （ ）
A.()cos t t δ
B.()cos t t δ-
C.()(1sin )t t δ-
D.()sin t t δ-
7、设()(2)
S
e F s S S -=+，则1[()]L F S -= （ ）
A 2(1)(1)t e u t ---
B 2(1)(1)(1)t u t e u t ----- C
2(1)1[1](1)2t e u t ---- D 2(1)1
[()(1)]2
t u t e u t ---- 三、计算题
1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。

(1) 2()sin at f t e t （2）2()
cos 5
t f t
(3)()2sin sin f t at t at (4) 25()
3t t f t e e
(5)2()5()t f t e t δ=+ (6)2()t t f t e te =+
(7)()sin at f t e t = （8）2()sin 2f t t =
（9） ()cos f t t at = （10）2()(2)t f t t e =-
（11）()sin (2)f t t u t =⋅- （12）()sin(2) f t t =-
（13）()sin 2t f t te t -= （14）()sin(2)(2)f t t u t =-⋅-
2、已知10 ,0()
sin ,0
t f t t t
，20 ,0()
cos ,0
t f t t t
，求1()f t 与2()f t 的卷积
12()()f t f t .
3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。

(1) 1
()(1)F S S S (2) 52
()
1
S
e F S S
(3) ()()()
b F S S
a S
b (4)1
()(1)
F S S S =
-
(5)3
()(2)(3)S F S S S +=+- (6)22()1
S F S S =+
(7)223
()9
s F s s +=+ (8)4()(4)(2)F s s s =++
(9)22
21
()(1)s s F s s s +-=-
4、用拉普拉斯变换求解下列微分方程。

(1)326,(0)
0,(0)0t y y y
e y y
（2）21t y y e '-=-，(0)0y = (3) , (0)
0t y y
e y
(4)"()2()22cos t y t y t y e t -+=满足初始条件：(0)0'(0)0y y = =的特解。

(5)"()3'()22t y t y t y e --+= 满足初始条件：()2,'(0)1y o y = =-的特解。

5、用拉普拉斯变换求解微分方程组。

(1) , (0)(0)14211t
t
x x y e x y y
x
y
e
(2)21
,(0)0,(0)0,(0)00
x y x x x y x
y
(3),(0)(0)1322t
t
x x y e
x y y x y e
'⎧+-=⎪==⎨'+-=⎪⎩
(4)22'4(1)2'2(13)
t
t
x y y e x y e --⎧--=-⎪⎨+=+⎪⎩ （(0)0,(0)0x y ==）
参考答案
第一章 复数与复变函数
一、填空题
1、1,6x y ==
2、45,1111x y =-
= 3、1722i + 4、132
- 5、122i -- 6、π 7
sin )44i ππ-
4i π
- 8、554(cos sin )66
i ππ-，564i e π-
9、2,4
k k Z π
π+
∈ 10、
1,1,1i - 11
、33, 3, 22+-- 12、22
(1)4x y +-= 13、2y = 14、222222
22, (1)(1)x y x y x y x y +--++++ 15、22143
x y += 16
、111,,2222
i -
+-- 二、判断题（正确打√，错误打⨯）
1、⨯
2、 ⨯
3、 √
4、 ⨯
5、√
6、√
7、 ⨯
8、⨯
三、单项选择题
1、 A
2、 A
3、 B
4、 C
四、计算题
！、216;2,3z Argz k k Z ππ==+∈ 2、22
1x y -= 3、3cos sin 33i i πππ-⎫-⎪⎭
4、2
2sin
cos
sin
; 2sin 22
2
2i
i e
πααπα
παα
---⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
；arg 2
z πα
-=
5、1()323z t t t i ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
6、（略）。

第二章 解析函数
一、填空题
1、ln 4i π
2、12, 22k i i πππ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭ 3、()34Arg i --+
4、ln32i k e
π
- 5、24i k e ππ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
6、()212k i e
ππ⎛⎫
+-+ ⎪⎝⎭
7、2i π 8、(2)z
e z --
9、32i + 10、2i - 11、必要条件
二、判断题（正确打√，错误打⨯）
1、√
2、⨯
3、⨯ 4⨯ 5、√ 6、⨯ 7、√ 8、 ⨯ 9、⨯ 三、单项选择题
A C
B D
C
D C
四、计算题
1、仅在直线3
y x =±
上可导。

函数在复平面上处处不解析 2、仅在直线1y x =-上的点处可导，函数在复平面上处处不解析。

对于直线1y x =-上任意点z
3、仅在(0,0)点处可导。

函数在复平面上处处不解析。

第三章 复变函数的积分
一、填空题
1、2i π，0, 2ei π
2、
12
3、0
4、0, 8i, 10i ππ
5、32e i π 二、单项选择题
1、C
2、D
三、计算题
1、
21(3)2i +，43i + 2、31(1)3i +，22
33
i -+ 3、sin i 4、13i -+ 5、13
i
-+ 6、38i π+ 7、0
8、24i i π+ 9、4i π 10、2i π，41617i ππ+，i π-，i e
π-
第七章 傅里叶变换
一、填空题
1、1
5i ω
+ 2、1i βω+ 3、2()πδω 4、20 ,0()
,0
t
t f t e
t
5、()()()1
222
πδωπδωδω-++-⎡⎤⎣⎦ 6、()()5iF F ωω'+ 7、()0i t e F ωω- 8、0i t e ω- 9、()i e F ωω-- 10、()1
F i ωω
11、2it e t
二、单项选择题
A B C A C A A B
三、计算题
1、
21(1)i
i
e e
i
2、4(1cos )i
3、见课本173P 例73-。

4、2
2sin ()1i F ωπ
ωω
-=- 5、（1）0()
sin 5f t t （2）0()
cos5f t t 6、0, 0
(),0
t t x t e t -<⎧=⎨≥⎩ 7、（略）
第八章 拉普拉斯变换
一、填空题
1、()(1)1t u t --
2、239S S +
3、()2111S -+
4、()53313S e S -++
5、()2
111
S S --+
6、
()
2
2
34
S ++ 7、
()
()
3
2
2
2
1
1
11S S S -
+
--- 8、()1sin cos 2t t t -
9、()()12F S F S ⋅ 10、1
cos 4sin 42
t t +
二、单项选择题
C D C D B D C
三、计算题
1、⑴ ()21124S a S a S a ⎛⎫-- ⎪ ⎪--+⎝⎭ ⑵ 21125225S 4S S ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ ⑶ ()
2222222a aS
S a S a -++ ⑷
1325S S +-- ⑸ 152S +- ⑹ ()211
21S S +-- ⑺()2
11
S a -+ ⑻ 2112S 16S S ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ ⑼ ()
22222S a S a -+ ⑽ ()()32244111S S S -+--- ⑾ 22cos 2sin 21S S e S -++ ⑿ 2cos 2sin 21S S -+ ⒀ ()()224114S S +⎡⎤
++⎣⎦
⒁221S e S -+ 2、1
sin 2
t t
3、⑴ 1t e -- ⑵ sin(1)(1)t u t -- ⑶ ()at bt
b e e a b -- ⑷ 1t e - ⑸()23165
t t e e --- ⑹
()sin t t δ- ⑺ 2cos3sin3t t + ⑻ ()242t t e e --- ⑼ 42t t te e -+
4、⑴ 232t
t
t
e e e --+ ⑵ 212t
t
e e -+ ⑶ ()12
t t
e e -- ⑷ ()()
()
2221, ()sin 22t S Y S y t te t S S -=
=-+ ⑸ ()217433t t
t y t e e e -=+- 5、⑴ ()()332,34t
t
t
t
x t e e y t e e =-=- ⑵ ()()1cos ,sin x t t y t t =-=
⑶ ()()t
x t y t e == ⑷ ()()2232,242t
t
t t x t e e
y t e e ----=--=-+。