高中数学必修二经典练习题

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高中数学必修二 10 1 3 古典概型练习(含答案)

10.1.3 古典概型一、选择题1．下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率()kP An=.其中所正确说法的序号是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④【答案】D【解析】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选:D.2．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( )A．15B．14C．49D．59【答案】C【解析】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为49,故选：C.3．甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 4．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（）A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C. 5．（多选题）下列概率模型是古典概型的为( )A ．从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小B ．同时据两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率【答案】ABD【解析】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：ABD.6．（多选题）张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（）A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;选项B中,张明获胜的概率是12,而李华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.故选：ACD二、填空题7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是_______．【答案】1 6【解析】抛掷一个骰子两次，基本事件有36种，其中符合题意的有：()()()()()()4,6,5,5,,5,6,6,4,6,5,6,6共六种，故概率为61 366=.8．有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是_______．【答案】3 5【解析】五张扑克牌中随机抽取两张，有：12、13、14、15、23、24、25、34、35、45共10种，抽到2张均为红心的有：12、13、14、23、24、34共6种，所以，所求的概率为：63105=故答案为：35. 9．从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则为整数的概率= ．【答案】16【解析】：从2，3，8，9中任取两个数记为,a b ，作为作为对数的底数与真数，共有2412A =个不同的基本事件，其中为整数的只有23log 8,log 9两个基本事件，所以其概率21126P ==. 10．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．【答案】0.2【解析】∵A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E ＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B ∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2. 三、解答题11．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅰ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）516.（Ⅰ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为5 16．（Ⅰ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为6 16；小亮获得饮料的概率为5651161616 --=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．12．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【答案】（1）25,100，250；（2）1人，1人，4人；（3）815. 【解析】 (1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1AC ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．8 15.所以恰有1人年龄在第3组的概率为。

高中数学必修二试题

2.1.4-6 两条直线的交点、平面上两点间的距离、点到直线的距离重难点：能判断两直线是否相交并求出交点坐标，体会两直线相交与二元一次方程的关系；理解两点间距离公式的推导，并能应用两点间距离公式证明几何问题；点到直线距离公式的理解与应用．经典例题：求经过点P（2，-1），且过点A（-3，-1）和点B（7，-3）距离相等的直线方程．当堂练习：1．两条直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标就是方程组的实数解，以下四个命题:(1)若方程组无解，则两直线平行(2)若方程组只有一解，则两直线相交(3)若方程组有两个解，则两直线重合(4)若方程组有无数多解，则两直线重合。

其中命题正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．直线3x-(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k-3)y+2=0相交，则实数k的值为（）A．B．C．D．3．直线y=kx-k+1与ky-x-2k=0交点在第一象限，则k的取值范围是（）A．0<k<1 B．k>1或-1<k<0 C．k>1或k<0 D．k>1或k<4．三条直线x-y+1=0、2x+y-4=0、ax-y+2=0共有两个交点，则a的值为（）A．1 B．2 C．1或-2 D．-1或25．无论m、n取何实数，直线(3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过一定点P，则P点坐标为（）A．（-1，3）B．（-，）C．（-，）D．（-）6．设Q(1,2), 在x轴上有一点P , 且|PQ|=5 , 则点P的坐标是（）A．(0,0)或(2,0) B．(1+,0) C．(1-,0) D．(1+,0)或(1-,0)7．线段AB与x轴平行,且|AB|=5 , 若点A的坐标为(2,1) , 则点B的坐标为（）A. (2,-3)或(2,7)B. (2,-3)或(2,5) C．(-3,1)或(7,1) D．(-3,1)或(5,1)8．在直角坐标系中, O为原点. 设点P(1,2) , P/(-1, -2) , 则OPP/的周长是（）A．2B．4C．D．69．以A(-1,1) ,B(2,-1) , C(1 ,4)为顶点的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形10．过点（1，3）且与原点的距离为1的直线共有（）A．3条 B．2条C．1条D．0条11．过点P（1，2）的直线与两点A（2，3）、B（4，-5）的距离相等，则直线的方程为（）A．4x+y-6=0 B．x+4y-6=0 C．3x+2y=7或4x+y=6 D．2x+3y=7或x+4y=612．直线l1过点A（3，0），直线l2过点B（0，4），，用d表示的距离，则（）A．d 5 B．3C．0D．0<d13．已知两点A（1，6）、B（0，5）到直线的距离等于a, 且这样的直线可作4条，则a的取值范围为（）A．a 1 B．0<a<1 C．0<a 1 D．0<a<2114．若p、q满足p-2q=1，直线px+3y+q=0必过一个定点，该定点坐标为________．15．直线ax+by+6=0与x-2y=0平行，并过直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交点，则a= _______，b=___________．16．已知ABC的顶点A(-1,5) ,B(-2,-1) ,C(4,7), 则BC边上的中线AD的长为___________．17．已知P为直线4x-y-1=0上一点，P点到直线2x+y+5=0的距离与原点到这条直线的距离相等，则P点的坐标为___________．18．ABC的顶点B（3，4），AB边上的高CE所在直线方程为2x+3y-16=0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x-3y+1=0，求AC的长．19．已知二次方程x2+xy-6y2-20x-20y+k=0表示两条直线，求这两条直线的交点坐标．20．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标是A（-3，-4），B（3，-2），C（5，2），求点D的坐标．21．直线经过点A（2，4），且被平行直线x-y+1=0与x-y-1=0所截得的线段的中点在直线x+y-3=0上，求直线的方程．参考答案：经典例题：解：若过P点的直线垂直于x轴，点A与点B到此直线的距离均为5，所求直线为x=2; 若过P点的直线不垂直于x轴时，设的方程为y+1=k(x-2), 即kx-y+(-1-2k)=0.由,即|5k|=|5k+2|, 解得k=-所求直线方程为x+5y+3=0；综上，经过P点的直线方程为x=2或x+5y+3=0.当堂练习：1.D;2.D;3.B;4.C;5.D;6.D;7.C;8.B;9.D; 10.B; 11.C; 12.D; 13.B; 14. (-); 15. –2, 4; 16. 2; 17. (;18. 解：kCE= -, AB方程为3x-2y-1=0，由, 求得A(1,1)，设C(a,b) , 则D（, C点在CE上，BC中点D在AD上，, 求得C（5，2），再利用两点间距离公式，求得AC的长为19. 解：利用待定系数法，原二次函数可化为(x-2y+m)(x+3y+n)=0, 由两个多项式恒等，对应项系数对应相等，于是有(x-2y-12=0)(x+3y-8)=0由, 得两直线交点坐标为（）.20. 解:设点P为平行四边形ABCD的中心, 则P是对角线AC的中点,即P( 1, -1) . 点P又是对角线BD的中点,D(-1,0).21. 解：中点在x+y-3=0上，同时它在到两平行直线距离相等的直线x-y=0上，从而求得中点坐标为（，），由直线过点（2，4）和点（，），得直线的方程为5x-y-6=0.2.2圆与方程考纲要求：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程．判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2.2.1 圆的方程重难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．经典例题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．当堂练习：1．点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是（）A．-1<a<1 B．0<a<1 C．a<-1或a>1 D．a= 12．点P（m2,5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定3．方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是（）A．点（a,b）B．点（-a,-b） C．以（a,b）为圆心的圆D．以（-a,-b）为圆心的圆4．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（）A．(x-2)2+(y+3)2=13 B．(x+2)2+(y-3)2=13 C．(x-2)2+(y+3)2=52 D．(x+2)2+(y-3)2=52 5．圆(x-a)2+(y-b)2＝r2与两坐标轴都相切的充要条件是（）A．a=b=r B．|a|=|b|=r C．|a|=|b|=|r|0 D．以上皆对6．圆(x-1)2+(y-3)2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是（）A．(x+7)2+(y+1)2=1 B．(x+7)2+(y+2)2=1 C．(x+6)2+(y+1)2=1 D．(x+6)2+(y+2)2=1 7．如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（）A．（-1，1）B．（1，-1）C．（-1，0）D．（0，-1）8．圆x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0在直角坐标系中的位置特征是（）A．圆心在直线y=x上B．圆心在直线y=x上, 且与两坐标轴均相切C．圆心在直线y=-x上D．圆心在直线y=-x上, 且与两坐标轴均相切9．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则（）A．D=0，E=0，F0 B．E=0，F=0，D0 C．D=0，F=0，E0 D．F=0，D0，E010．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F11．方程x4-y4-4x2+4y2=0所表示的曲线是（）A．一个圆B．两条平行直线C．两条平行直线和一个圆D．两条相交直线和一个圆12．若a0, 则方程x2+y2+ax-ay=0所表示的图形（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x-y=0对称D．关于直线x+y=0对称13．圆的一条直径的两端点是（2，0）、（2，-2），则此圆方程是（）A．x2+y2-4x+2y+4=0 B．x2+y2-4x-2y-4=0 C．x2+y2-4x+2y-4=0 D．x2+y2+4x+ 2y+4=014．过点P（12，0）且与y轴切于原点的圆的方程为__________________．15．圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P（3，0），则过P点的最短弦的弦长为_____，最短弦所在直线方程为___________________．16．过点（1，2）总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0作两条切线，则k的取值范围是_______________．17．已知圆x2+y2-4x-4y+4=0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是___________，距离最远的点的坐标是________________．18．已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），且截x轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程．19．已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程．20．已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9＝0表示一个圆，（1）求t的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围．21．已知曲线C：x2+y2-4mx+2my+20m-20＝0(1)求证不论m取何实数，曲线C恒过一定点；(2)证明当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上；(3)若曲线C与y轴相切，求m的值．参考答案：经典例题：解：设所求的圆的方程为：∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：∴所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)当堂练习：1.A;2.B;3.B;4.A;5.C;6.A;7.D;8.B;9.C; 10.A; 11.D; 12.D; 13.A; 14. (x-6)2+y2=36; 15.2, x+y-3=0; 16. ; 17. (2-,2-), (2+,2+);18. 解：设所求圆圆心为Q（a,b），则直线PQ与直线3x+4y-2=0垂直，即,(1)且圆半径r=|PQ|=,(2)由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -(舍)，当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.19. 解：圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为=1或y=kx，由x+y-a=0，d=.由kx-y=0，d=.综上，圆的切线方程为x+y-5=0或(2)x-y=0.20. 解：（1）方程表示一个圆的充要条件是D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,即：7t2-6t-1<0,（2）r2= D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t-)2+,21. 解：（1）曲线C的方程可化为：(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)＝0,由, ∴不论m取何值时，x＝4, y＝-2总适合曲线C的方程，即曲线C恒过定点(4, -2).（2）D＝-4m, E＝2m, F＝20m-20, D2+E2-4F＝16m2+4m2-80m+80＝20(m-2)2∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D2+E2-4F>0, ∴曲线C是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由消去m得x+2y＝0, 即圆心在直线x+2y＝0上.（3）若曲线C与y轴相切，则m≠2，曲线C为圆，其半径r=,又圆心为(2m, -m),则=|2m|, .2.2.2-3 直线与圆、圆与圆的位置关系重难点：掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法，能用坐标法判直线与圆、圆与圆的位置关系．经典例题：已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：(x-1)2+y2＝16，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切，求动圆C的圆心轨迹方程．当堂练习：1．已知直线和圆有两个交点，则的取值范围是（）A．B．C． D．2．圆x2+y2-2acos x-2bsin y-a2sin=0在x轴上截得的弦长是（）A．2a B．2|a| C．|a| D．4|a|3．过圆x2+y2-2x+4y- 4=0内一点M（3，0）作圆的割线，使它被该圆截得的线段最短，则直线的方程是（）A．x+y-3=0 B．x-y-3=0C．x+4y-3=0 D．x-4y-3=04．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为（）A．1或-1 B．2或-2 C．1 D．-15．若直线3x+4y+c=0与圆(x+1)2+y2=4相切，则c的值为（）A．17或-23 B．23或-17 C．7或-13 D．-7或136．若P(x,y)在圆(x+3)2+(y-3)2=6上运动，则的最大值等于（）A．-3+2B．-3+C．-3-2D．3-27．圆x2+y2+6x-7=0和圆x2+y2+6y-27=0的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．内含8．若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线对称，则直线的方程是（）A．x+y=0 B．x+y-2=0 C．x-y-2=0 D．x-y+2=01．9．圆的方程x2+y2+2kx+k2-1=0与x2+y2+2(k+1)y+k2+2k=0的圆心之间的最短距离是（）A．B．2C．1 D．10．已知圆x2+y2+x+2y=和圆(x-sin)2+(y-1)2=, 其中0900, 则两圆的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．相交或外切11．与圆(x-2)2+(y+1)2=1关于直线x-y+3=0成轴对称的曲线的方程是（）A．(x-4)2+(y+5)2=1 B．(x-4)2+(y-5)2=1 C．(x+4)2+(y+5)2=1 D．(x+4)2+(y-5)2=112．圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2+y2=1, 则实数a的值为（）A．0 B．1 C． 2 D．213．已知圆方程C1：f(x,y)=0，点P1(x1,y1)在圆C1上，点P2(x2,y2)不在圆C1上，则方程：f(x,y)- f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是（）A．与圆C1重合B．与圆C1同心圆C．过P1且与圆C1同心相同的圆D．过P2且与圆C1同心相同的圆14．自直线y=x上一点向圆x2+y2-6x+7=0作切线，则切线的最小值为___________．15．如果把直线x-2y+=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数的值等于__________．16．若a2+b2=4, 则两圆(x-a)2+y2=1和x2+(y-b)2=1的位置关系是____________．17．过点(0,6)且与圆C: x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程是____________．18．已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25, 直线：（2m+1）x+(m+1)y-7m-4=0(m R),证明直线与圆相交；(2) 求直线被圆C截得的弦长最小时，求直线的方程．19．求过直线x+3y-7=0与已知圆x2+y2+2x-2y-3=0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为-8的圆的方程．20．已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2，（2）被x轴分成两段弧，其弧长的比为3：1，（3）圆心到直线：x-2y=0的距离为，求这个圆方程．21．求与已知圆x2+y2-7y+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x-3y-1=0且过点（-2，3），（1，4）的圆的方程．参考答案：经典例题：解：设圆C圆心为C(x, y), 半径为r，由条件圆C1圆心为C1(0, 0)；圆C2圆心为C2(1, 0)；两圆半径分别为r1＝1, r2＝4，∵圆心与圆C1外切∴|CC1|＝r+r1，又∵圆C与圆C2内切，∴|CC2|＝r2-r （由题意r2>r），∴|CC1|+|CC2|＝r1+r2，即,化简得24x2+25y2-24x-144＝0, 即为动圆圆心轨迹方程.当堂练习：1.D;2.B;3.A;4.D;5.D;6.A;7.B;8.D;9.A; 10.D; 11.D; 12.D; 13.D; 14.; 15. 13或3; 16. 外切; 17. (x-3)2+(y-3)3=18;18. 证明：（1）将直线的方程整理为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0，由,直线过定点A（3，1），（3-1）2+（1-2）2=5<25，点A在圆C的内部，故直线恒与圆相交.（2）圆心O（1，2），当截得的弦长最小时，AO，由kAO= -, 得直线的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.19. 解：过直线与圆的交点的圆方程可设为x2+y2+2x-2y-3+(x+3y-7)=0,整理得x2+y2+（2+）x+（3-2）y-3-7=0，令y=0，得x2+y2+（2+）x -3-7=0圆在x轴上的两截距之和为x1+x2= -2-,同理，圆在y轴上的两截距之和为2-3，故有-2-+2-3=-8，=2，所求圆的方程为x2+y2+4x+4y-17=0.20. 解：设所求圆圆心为P（a,b），半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|，由题设知圆P截x轴所对劣弧对的圆心角为900，知圆P截x轴所得弦长为r，故r2=2b2, 又圆P被y轴所截提的弦长为2，所以有r2=a2+1，从而2b2-a2=1. 又因为P（a,b）到直线x-2y=0的距离为，所以d==，即|a-2b|=1, 解得a-2b=1,由此得,于是r2=2b2=2, 所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.21. 解：公共弦所在直线斜率为，已知圆的圆心坐标为（0，），故两圆连心线所在直线方程为y-=-x, 即3x+2y-7=0,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由, 所求圆的方程为x2+y2+2x-10y+21=0.2.3空间直角坐标系考纲要求：①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式．2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离重难点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；会推导空间两点间的距离公式．经典例题：在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足？（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．当堂练习：1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为（）A．(-1,2,3) B．(1,-2,-3) C．(-1, -2, 3) D．(-1 ,2, -3)2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为（）A．(-3,4,5) B．(-3,- 4,5) C．(3,-4,-5) D．(-3,4,-5)3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为（）A．B．6 C．D．24．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P/的坐标为（）A．(-1, 0, 2) B．(-1,0, 2) C．(1 , 0 ,2) D．(-2,0,1)5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（）A．( 4, 2, 2) B．(2, -1, 2) C．(2, 1 , 1) D．4, -1, 2)6．若向量在y轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量平行的坐标平面是（）A．xOy平面B．xOz平面C．yOz平面D．以上都有可能7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（）A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对8．已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．9．点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A．B．C．D．10．已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则点D的坐标为（）A．（，4，－1）B．（2，3，1）C．（－3，1，5）D．（5，13，－3）11．点到坐标平面的距离是（）A．B．C．D．12．已知点，，三点共线，那么的值分别是（）A．，4 B．1，8 C．，－4 D．－1，－813．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A．B．C．D．14．在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, ),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q的坐标是________________．15．已知A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为_______________．16．已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则p =_________，q=__________．17．已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________．18．求下列两点间的距离:A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1);C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3).19．已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC是直角三角形.20．求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件:A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ;A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2).21．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．参考答案：经典例题：解：（1）假设在在y轴上存在点M，满足．因Ｍ在y轴上，可设M（0，y，0），由，可得，显然，此式对任意恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系．（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由（1）可知，y轴上任一点都有，所以只要就可以使得△MAB 是等边三角形．因为于是，解得故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为（0，，0），或（0，，0）．当堂练习：1.B;2.A;3.A;4.B;5.C;6.B;7.B;8.C;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14. (0, ); 15. ; 16.3 , 2; 17. (0, ;18. 解: (1)|AB|=(2)|CD|==19. 证明:为直角三角形.20. 解: (1)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则,化简得4x-4y-3=0即为所求.(2)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则,化简得2x-y-2z+3=0即为所求.21. 解: 由图形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D为原点，建立如图空间坐标系D －xyz．因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH与底面ABCD平行，从而这4个点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，也就是b，由H为DP中点，得H（0，0，b）E在底面面上的投影为AD中点，所以E的横坐标和纵坐标分别为a和0，所以E（a，0，b），同理G（0，a，b）；F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，故F与E横坐标相同都是a，与G的纵坐标也同为a，又F竖坐标为b，故F（a，a，b）．立体几何初步单元测试1．∥，a，b与，都垂直，则a，b的关系是A．平行B．相交C．异面D．平行、相交、异面都有可能2．异面直线a，b，a⊥b，c与a成300，则c与b成角范围是A．[600，900] B．[300，900] C．[600，1200] D．[300，1200]3．正方体AC1中，E、F分别是AB、BB1的中点，则A1E与C1F所成的角的余弦值是A．B．C．D．4．在正△ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC=AB，这时二面角B—AD—C大小为A．600 B．900 C．450 D．12005．一个山坡面与水平面成600的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB，甲沿山坡自P朝垂直于AB的方向走30m，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m，P、Q都是AB上的点，若PQ=10m，这时甲、乙2个人之间的距离为A．B．C． D．6．E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点，EF交BD于O，以EF为棱将正方形折成直二面角如图，则∠BOD=A．1350 B．1200 C．1500 D．9007．三棱锥V—ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面ABC所成的二面角分别为α，β，γ（都是锐角），则cosα+cosβ+cosγ等于A．1 B．2 C．D．8．正n棱锥侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，tanα∶tanβ等于A．B．C．D．9．一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则这个简单多面体的面数是A．4 B．6 C．8 D．1010．三棱锥P—ABC中，3条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，△ABC的面积为S，则P到平面ABC的距离为A．B．C． D．11．三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是A．B．C．D．12．多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为A．B．5 C．6 D．13．已知异面直线a与b所成的角是500，空间有一定点P，则过点P与a，b所成的角都是300的直线有________条．14．线段AB的端点到平面α的距离分别为6cm和2cm，AB在α上的射影A’B’的长为3cm，则线段AB的长为__________．15．正n棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________．16．如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形，那么它的面数是__________．17．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点．求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C．18．如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600．⑴求异面直线DA与BC所成的角；⑵求异面直线BD与AC所成的角；⑶求D到BC的距离；⑷求异面直线BD与AC的距离．19．如图，在600的二面角α—CD—β中，ACα，BDβ，且ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=x，BD=x，当x为何值时，A、B的距离最小？并求此距离．20．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积．参考答案：1.D;2.A;3.C;4.A;5.B;6.B;7.A;8.B;9.C; 10.B; 11.B; 12.D; 13.2; 14. 5或; 15.（）; 16. 偶数;17. 解析：⑴欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。

(完整word版)高中数学必修二第二章经典练习试题整理

完美格式整理版A. 相交 B .异面 C .平行 D •异面或相交第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明6.设四棱锥P- ABCD 勺底面不是平行四边形，用平面（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面a （）1.在空间，下列哪些命题是正确的（）•① 平行于同一条直线的两条直线互相平行 ② 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③ 平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④ 垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A •仅②不正确 B.仅①、④正确 C .仅①正确 D.四个命题都正确2. 如果直线a 是平面a 的斜线，那么在平面％内（）A不存在与a 平行的直线 B不存在与a 垂直的直线C 与a 垂直的直线只有一条D 与a 平行的直线有无数条A.不存在B .只有1个C •恰有4个D.有无数多个高一数学必修二第二章经典练习题a 去截此四棱锥 3.平面a 内有一四边形 ABCD P 为a 外一点, P 点到四边形ABCD 各边的距离相等，则这个四边形 A 必有外接圆 BD 必是正方形必有内切圆（）C既有内切圆又有外接圆4.已知六棱锥PA ±平面 ABC PA= 2AB , 则下列结论正确的是（）A . PB 丄ADBC .直线BC//平面PAED 平面PABL 平面PBC直线PD 与平面ABC 所成的角为45 7.设P 是厶ABC 所在平面外一点，到厶ABC 各边的距离也相等，那么△ A 是非等腰的直角三角形 BC 是等边三角形DP 到厶ABC 各顶点的距离相等，而且 PABC （）是等腰直角三角形不是A 、B 、C 所述的三角形8.已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等点，则AE , SD 所成的角的余弦值为 ,E 是SB 的中 A. 13B.-23 C-33D. 23完美格式整理版5•若a , b是异面直线，直线c // a，则c与b的位置关系是（完美格式整理版侧面BB 1C 1C 的中心，贝V AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是（）15.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，0为正方形ABCD 中心，则厲0与平面ABCD所成角的正切值为（） A.、2B.—2C.1D.二323A . 30°B . 45°C . 60°D . 90° w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12.已知直线I 、m ，平面、，且| , m ，则//是I m 的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件16.在正方体 ABCDAB 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线 CE 垂直于（ )A ACBBD C A ,D DA 1D 117.四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（）A. 1 B . 3 C . 4D. 1 或 49.正方体 ABC —ABCD 中，E 、F 分别是 AA 与CG 的中点，则直线与DF所成角的大小是（）EDA .B 。

人教版高中数学必修二考点练习：对称问题

对称问题一、中心对称1. 求点()24，关于点()35B ，对称的点C 的坐标．2. 求直线2530x y -+-=关于原点对称的直线方程_____________．3. 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )A ．3x －2y ＋2＝0B ．2x ＋3y ＋7＝0C ．3x －2y －12＝0D ．2x ＋3y ＋8＝04. 直线23y x =+关于点()23，对称的直线方程为_____________________．5. 与直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是_______________．6. 直线112l :y x b =+与2182l :y x b =++关于点（4,6）对称，求b 的值. 二、轴对称1. 已知点P (a ，b )与点Q (b ＋1，a －1)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋32. 点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________．3. 点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(－2,5)C ．(2，－5)D ．(4，－3)4. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么（）A ．13a =，6b =B ．13a =，6b =-C ．3a =，2b =-D ．3a =，6b =5. 已知直线1:l 23y x =+，若直线2l 与1l 关于直线y x =-对称，则直线2l 的斜率为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．26. 直线l:2x+y-3=0关于直线l 0: x-y+1=0对称的直线方程为_____________________.7. 求直线1:240l x y +-=关于:3410l x y +-=对称的直线2l 的方程．8. 求直线1:240l x y +-=关于:3410l x y +-=对称的直线2l 的方程.9. 某地东西有一条河，南北有一条路，A 村在路西3 千米、河北岸4千米处；B 村在路东2 千米、河北岸 3 千米处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问：发电站建在何处？到两村的距离为多远？10. 在△ABC 中，已知顶点A （2,2），∠B 的平分线所在的直线l 1的方程为y=0，∠C 的平分线所在的直线l 2的方程为x+y-1=0，求边BC 所在直线的方程.11. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长2AB =，宽1CD =，AB AD 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．三、反射问题1. 光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 52. 从点()2,1P -发出的光线l ，经过直线y x =反射，若反射光线恰好经过点()0,3Q ，则光线l 所在的直线方程是（）A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．530x y +-=D ．530x y +-=3. 当光线射到x 轴的点C 后进行反射，如果反射的路径经过点()0,1A 和点()3,4B ，求入射线所在直线方程．4. 光线由点()2,3P 射到直线10x y ++=上，反射后经过点()1,1Q ，求反射光线所在的直线方程．5. 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程．6. 已知A （4,0），B （0,4），从点P （2,0）射出的光线经直线AB 反射后在射到OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路线是_____________.P ABy xO7. 在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P.若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于___________.RQ PCAB8. 一条光线从点()23--，射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为( ).A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-四、转化思想求最值1. 已知点(1,3)A ，(4,1)B -，在x 轴上求一点P ，使得PA PB +最小．2. 在x 轴上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值．3. 已知直线:280l x y -+=和两点()()2,02,4A B --、．（1）在l 上求一点P ,使PA PB +最小；（2）在l 上求一点P ,使PB PA -最大．参考答案对称问题一、中心对称1. 【答案】()46C ，【解析】由题知，B 是线段AC 的中点，设点()C x y ，，由中点坐标公式得6241046x y =-==-=，，故()46.C ，2. 【答案】2530x y --=【解析】根据关于原点对称的性质可得，分别将原直线中的x 换成x -，y 换成y -即可．故所求直线方程为2530x y --=． 3. 答案：D4. 【答案】250x y --=【解析】设所求直线方程任意一点坐标为(),x y ，其关于点()23，的对称点为()4,6x y --，此点在直线23y x =+上，则()6243250y x x y -=-+⇒--=．5. 【解析】设所求直线方程任意一点坐标为(),x y ，其关于点()1,1-的对称点为()2,2x y ---，此点在直线2360x y +-=上，则()()2232602380x y x y -+---=⇔++= 【答案】2380x y ++= 6. 略二、轴对称 1. 答案：C2. 答案：(－4，－1)3. 答案：B4. 【答案】A【解析】2y ax =+关于直线y x =对称的方程为2x ay =+与3y x b =-相同，比较系数可得，13a =，6b =．5. 【答案】C【解析】对称后直线方程为()23x y -=-+，从而选C. 6. x+2y-4=07. 【答案】211160x y ++=【解析】方法一：直线12l l ，的交点为()32P -，，取直线1l 上一点()20，，求得其关于2l 的对称点为4855Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则2l 的方程即为PQ 的直线方程，即求得为211160x y ++=.方法二：设点(),A x y 是直线2l 上任意一点，它关于l 的对称点为()00',A x y ，则00004,33410.22y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩解得007246,252478.25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩()00',A x y Q 在直线1:240l x y +-=上，72462478240,2525x y x y -+--+∴⨯+-=化简得211160x y ++=．8. 【解析】设点(),A x y 是直线2l 上任意一点，它关于l 的对称点为()00',A x y ，则00004,33410.22y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅-=⎪⎩解得007246,252478.25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩()00',A x y Q 在直线1:240l x y +-=上，72462478240,2525x y x y -+--+∴⨯+-=化简得211160x y ++=【答案】211160x y ++=9. 解：以小河的方向向东为x 轴正方向，以路的方向向北为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (－3,4)，B (2，3)，问题转化为在x 轴上找一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．可设点P 为(x,0)，则有 |P A |＝x ＋32＋0－42＝x 2＋6x ＋25， |PB |＝x －22＋0－32＝x 2－4x ＋7.由|P A |＝|PB |得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，解得x ＝－95.即所求点P 为⎝⎛⎭⎫－95，0且|P A |＝ ⎝⎛⎭⎫－95＋32＋0－42＝21095. 故发电站应建在小路以西95千米处的河边，它距两村的距离为21095千米．10. x+3y+4=011. 【答案】()21102kx y k -++= 【解析】设点A 关于折痕的对称点为E ，由于点E 在线段DC 上，故可设点E 的坐标为()(),102t k ≤≤，若0t =，则折痕所在直线为线段AD 的中垂线．它的方程为12y =；若02t <≤，设折痕所在直线的斜率为k ，易知t k =-，从而线段AE 的中点M 的坐标为1,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故折痕所在直线的方程为122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．综上所述，折痕所在直线的方程为()2110.2kx y k -++=三、反射问题 1. 答案：C2. 【答案】C【解析】点()0,3Q 关于直线y x =的对称点为()3,0M ，101235MP k -==---，可得直线MQ 方程为：()1125y x -=-+化简得 530x y +-=．3. 【答案】1y x =--【解析】设反射光线的直线解析式为,y kx b =+∵反射的路径经过点()0,1A 和点()3,4B ，1,43b k b =⎧∴⎨=+⎩，解得1,1,k b ==∴反射光线的直线解析式为1,y x =+根据入射光线和反射光线轴对称，故知入射光线的解析式为1y x =--．4. 【答案】4510x y -+=．【解析】设点P 关于直线10x y ++=对称点(),P m n '，则'31,2231022PP n k mm n -⎧==⎪⎪-⎨++⎪++=⎪⎩，解之得4,3.m n =-⎧⎨=-⎩可得()4,3P '--∵点()2,3P 射到直线10x y ++=上，反射后经过点()1,1Q ∴反射光线所在直线为P Q '所在直线，P Q 'Q 的斜率134145k +==+ ∴直线P Q '的方程为()4115y x -=-化简得：4510x y -+=．即反射光线所在的直线方程为4510x y -+=．5. 解：设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x ≤78. 6. 略7. 略8. 解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3-．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=．由题意，圆心()3,2-到此直线的距离等于圆的半径1，即2322311k k k ----=+，所以21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-．故选D ．四、转化思想求最值 1. 【答案】13,04⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设直线AB 的解析式为y kx b =+，所以3,,41k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得413,34k b =-=，所以解析式为413,33y x =-+当130,,4y x ==所以P 点的坐标是13,04⎛⎫⎪⎝⎭．2. 【解析】如图．3. 【答案】（1）()2,3P -；（2）()12,10P【解析】（1）设A 关于l 的对称点为()',A m n ，则2,22280.22nm m n ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪-⋅+=⎪⎩2,8,m n ∴=-=()'2,8'A A B ∴-⇒的方程是2,'x A B =-与l 的交点是()2,3-，故所求的点()2,3P -．（2）AB 的方程为()()()042, 2.22y x y x --=-⇒=---代入l 的方程，得直线AB 与l 的交点()12,10P ．。

(完整word版)高中数学必修二练习题

一、选择题1. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A.3B.-2C. 2D. 不存在2．过点且平行于直线的直线方程为（）A．B．C．D．3. 下列说法不正确的．．．．是（）A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.4．已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（）A． B． C． D．5. 在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（）A B C D6. 已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能相交7. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是( )（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）①和④8. 圆与直线的位置关系是（）A．相交 B.相切 C.相离 D.直线过圆心9. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c 的值为（）A．－1 B．2 C．3D．010. 在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH 相交于点P，那么( )A．点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内 D.点P必在平面ABC外11. 若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（C ）A.MN∥βB.MN与β相交或MNβC. MN∥β或MNβD. MN∥β或MN与β相交或MNβ12. 已知A、B、C、D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC（A ）A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定二填空题13.已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|,则点P的坐标为；14.已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP=2,则PC ＝；15.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ___________；16.圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，则圆C 的方程为．一、选择题（5’×12=60’）（参考答案）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D B C C A A C A C A二、填空题：(4’×4=16’) （参考答案）13. (0,0,3) 14. 15 y=2x或x+y-3=0 16. (x-2)2+(y+3)2=5三解答题17(12分) 已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0求AC边上的高所在的直线方程.由解得交点B（－4，0），. ∴AC边上的高线BD的方程为.18(12分)如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE的中点，求证：(1) FD∥平面ABC;(2) AF⊥平面EDB.(1)取AB的中点M,连FM,MC,∵F、M分别是BE、BA的中点∴ FM∥EA, FM=EA∵ EA、CD都垂直于平面ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形∴FD∥MCFD∥平面ABC(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又 CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF,因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.19（12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG;（2）求证：平面AA1C⊥面EFG.20(12分)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切;②在直线y=x上截得弦长为2;③圆心在直线x－3y=0上. 求圆C的方程.设所求的圆C与y轴相切，又与直线交于AB，∵圆心C在直线上，∴圆心C（3a，a），又圆与y轴相切，∴R=3|a|. 又圆心C到直线y－x=0的距离在Rt△CBD中，.∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为或.21(12分)设有半径为3的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.则P、Q两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，………………3分（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,即.……①………………6分将①代入……………8分又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置.设直线相切，则有……………………11分答：A、B相遇点在离村中心正北千米处………………12分22（14分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C 于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45度时，求弦AB的长.(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l 的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0(3)当直线l的倾斜角为45度时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为.。

人教A版高中数学必修第二册强化练习题-第2课时-圆柱、圆锥、圆台与球

人教A版高中数学必修第二册第2课时　圆柱、圆锥、圆台与球基础过关练题组一　圆柱、圆锥、圆台1.(2024黑龙江大庆期中)下列命题中正确的是( )①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的截面;A.2.A.是A.6.) R,球冠的高是h,则球冠的面积S=2πRh.已知“中国天眼”的底的半径约为250 m,反射面面积(球冠面积)约为25万m2,则“中国天眼”的高度约为 m.参考数据:4-1≈0.52π题组三　简单组合体8.(2024福建福州期中)将一个等腰梯形绕它较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括　( )A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆柱、一个圆台 D.一个圆柱、两个圆锥9.(2023辽宁沈阳模拟)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角的大小用弧度制表示),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.正八面体(八个面均为正三角形,如图)的总曲率为( )A.2πB.4πC.6πD.8π能力提升练题组一　空间几何体的结构特征1.(多选题)(2024山东烟台莱阳一中月考)对如图所示的组合体的结构说法正确的是( )A.由一个长方体挖去一个四棱柱而成B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成C.由一个长方体挖去一个四棱台而成D.由一个长方体与两个四棱台组合而成2.(2024北京广渠门中学月考)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.下图是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为 .题组二　与旋转体表面展开图有关的问题3.(2024浙江绍兴期中)下图是一个圆柱形开口容器(下底面密封),其轴截面ABCD是边长为2的正方形.现有一只蚂蚁从外壁A处出发,沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到BC的中点P处,则它所爬过的最短路程为 .4.(2024广东佛山第一中学月考)如图,一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2,一小虫从圆锥底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为23,则圆锥底面圆的半径为 .题组三　旋转体中的计算问题5.(2024山东东营利津高级中学开学考试)如图,圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°,SA=2,SB=4,则该圆台的高为( )A.1B.2C.3D.46.从一个底面半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆,下底面圆心为顶点)得到的几何体如图所示,现用一个平行于底面且与底面的距离为1的平面去截这个几何体,则截面面积为( )A.4π-4B.4πC.4π-2D.2π-27.(2024天津期中)圆锥的母线长为3,轴截面三角形的顶角为120°,用过圆锥顶点的平面截球答案与分层梯度式解析第2课时　圆柱、圆锥、圆台与球基础过关练1.C 2.D 3.D 5.C 6.A 8.D 9.B1.C 过圆锥顶点的截面为等腰三角形,且两腰长为母线长,设该等腰三角形的顶角为θ,圆锥的母线长为l,则截面三角形的面积为12l 2sin θ,显然当θ=π2时,面积最大,故当圆锥的轴截面三角形的顶角大于π2时,圆锥的轴截面面积不是最大的,故①错误;根据圆柱母线的定义可知②错误;根据圆台的定义知③正确.故选C.2.D 用一个不平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面可能为椭圆;用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面为圆;用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,截面为等腰三角形.故选D.3.D 若4为底面周长,则高为2,此时圆柱的底面直径为4π,故轴截面面积为2×4π=8π;若2为底面周长,则高为4,此时圆柱的底面直径为2π,故轴截面面积为4×2π=8π.故选D.4.答案　12解析　如图,由题意可知,CD AB =14,BD=9,设原圆锥的母线长为l,根据相似三角形的性质可得ED EB =CD AB ,即l -9l =14,解得l=12,故原圆锥的母线长为12.5.C 圆柱的截面可能是矩形,圆锥的截面可能是三角形,圆台的截面可能是梯形,故选C.6.A 设截面圆的半径为r,则r=22-(3)2=1,所以球O 被平面α截得的截面面积为πr 2=π.故选A.7.答案　130解析　由题意得(R-h)2+2502=R 2,则2Rh=h 2+2502,故2πRh=πh 2+2502π=250 000,=250-1,所以h2=250000−2502ππ所以h=2504-1≈250×0.52=130(m).π8.D　从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成两个全等的直角三角形和一个矩形,故旋转后的几何体是由一个圆柱和两个圆锥组成的,如图所示.2.设解得a=2-1,即该半正多面体的棱长为23.解析　将圆柱侧面沿AD展开,如图,其中AB=π,AD=2,则问题转化为在CD上找一点Q,使AQ+PQ的值最小,作P关于CD的对称点E,连接AE,QE,CE,则QE=PQ,所以AQ+PQ=AQ+QE≥AE=π2+9.4.答案　23解析　把圆锥侧面沿母线OP 展开成如图所示的扇形OPP',则PP'的长为小虫爬行的最短路线长,所以PP'=23,又OP=OP'=2,所以∠POP'=2π3,则由弧长公式得l PP '=2π3×2=4π3.设圆锥底面圆的半径为r,则2πr=4π3,解得r=23.5.C 在圆锥SO 1中,2π·O 1A=12×2π·SA=2π,所以O 1A=1,在圆锥SO 中,2π·OB=12×2π·SB=4π,所以OB=2,所以该圆台的高为AB 2-(OB -O 1A)2=(SB -SA )2-(OB -O 1A)2=(4-2)2-(2-1)2=3,故选C.6.C 截面应为圆面挖去一个正方形,且圆面的半径是2,面积为4π.设正四棱锥的底面正方形的边长为a,易知a=22,故正四棱锥的底面正方形的面积为(22)2=8,由棱锥中截面的性质,可得圆面中挖去的正方形与正四棱锥的底面正方形相似,设圆面中挖去的正方形的面积为S',正四棱锥的底面正方形的面积为S,则S 'S =S '8=14,所以S'=2,所以截面的面积为4π-2.故选C.7.答案　92解析　因为圆锥轴截面三角形的顶角为2π3,所以任意两条母线的夹角的范围是0,设截面三角形的顶角为θ,则过圆锥顶点的轴截面面积为12×32×sin θ=92sin θ,因为θ∈0,所以sin θ∈(0,1],.所以轴截面面积的最大值是928.答案　1或17解析　因为球O的两个平行截面的面积分别为19π和36π,所以这两个平行截面的半径分别为19和6,则球心到两个平行截面的距离分别为102-(19)2=9,102-62=8.当两个平行截面在球心O的同侧时,如图1所示,则这两个平行截面之间的距离为|O1O2|=9-8=1;当两个平行截面在球心O的两侧时,如图2所示,则这两个平行截面之间的距离为|O1O2|=9+8=17.故答案为1或17.。

人教A版高中数学必修第二册强化练习题-专题强化练5-复数四则运算的综合应用(含答案)

人教A版高中数学必修第二册专题强化练5　复数四则运算的综合应用1.(2024山东菏泽月考)已知i为虚数单位,复数z满足|z+2i|=|z|,则z的虚部为( )A.-1B.1C.iD.-i2.(2024福建福州期中)已知复数z满足|z|=2,则|z+3+4i|的最小值是( )A.3B.4C.5D.68.(2024河北张家口期中)已知在复数范围内,关于x的一元二次方程x2-2x+k=0(k∈R)有两个虚数根z1和z2,若|z1-z2|=2,且z1的虚部为正数.(1)求实数k的值;(2)求z1z2+的值.答案与分层梯度式解析专题强化练5　复数四则运算的综合应用1.B2.A3.ACD4.BCD5.BC1.B 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi,因为|z+2i|=|z|,所以|a+(b+2)i|=|a+bi|,可得a 2+(b+2)2=a 2+b 2,解得b=-1,所以复数z 的虚部为-b=1.故选B.2.A |z|=2表示复数z 在复平面内对应的点的集合是以原点O 为圆心,2为半径的圆,|z+3+4i|=|z-(-3-4i)|表示圆上的点到点(-3,-4)(记为A)的距离,易得|OA|=32+42=5>2,所以|z+3+4i|的最小值是|OA|-2=3.故选A.3.ACD ∵-2<b<2,∴Δ=b 2-4<0,∴方程x 2+bx+1=0的根为x=-b ±4−b 2i2,不妨设z 1=-b2+4−b 22i,z 2=-b 2-4−b 22i,则z 1=z 2,A正确;|z 1|=|z 2正确;易得z 1z 2=1,∴z 1z 2=z 21z1z 2=z 21=b 2-22-b 4−b22i,当b≠0时,z 1z 2∉R,B 错误;当b=1时,z 1=-12+32i,z 2=-12-32i,计算得z 21=-12-32i=z 2,z 22=z 1,∴z 31=z 1z 2=1,z 32=z 1z 2=1,D 正确.故选ACD.4.BCD 设z 1=a+bi,z 2=c+di,a,b,c,d ∈R,则z 21=(a+bi)2=a 2-b 2+2abi,|z 1|2=a 2+b 2,当b≠0时,z 21≠|z 1|2,A 不正确;因为z 1·z 2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以z 1·z 2=(ac-bd)-(ad+bc)i,又z 1·z 2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z 1·z 2=z 1·z 2,B 正确;|z 1z 2|=|(a+bi)(c+di)|=|(ac-bd)+(ad+bc)i|=(ac -bd )2+(ad +bc )2=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,|z 1|·|z 2|=a 2+b 2·c 2+d 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,所以|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,C 正确;z 1z 1=a +b i a -b i =(a +b i)2(a -b i)(a +b i)=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,z 21|z 1|2=(a +b i)2a 2+b 2=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,所以z 1z 1=z 21|z 1|2,D正确.故选BCD.规律总结　关于复数有以下几个常用结论,在小题中可以直接使用,提高解题速度.(1)z1·z2=z1·z2=z1z2(z2≠0);(3)|z1z2|=|z1||z2|;(4)zz=z2|z|2(z≠0).5.BC　设z=a+bi(a,b∈R),由z2+z+1=0得(a+bi)2+(a+bi)+1=0,即(a2-b2+a+1)+(2ab+b)i=0,所以a2-b2+a+1=0,2ab+b=0,解得a=−12,b=32或a=−12,b=−32, z=-1+3i z=-1-3i,6.7.z1因为∠AOB∈[0,π],所以∠AOB=π4.8.解析　(1)设z1=a+bi(a,b∈R,b>0),则z2=a-bi,故z1+z2=2a=2,所以a=1,因为|z1-z2|=2,所以|2bi|=2,即4b2=4,解得b=1或b=-1(舍去).故z1=1+i,z2=1-i,所以k=z1z2=2.(2)因为z1z2=1+i1−i=i,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N,所以z1z2+=i+i2+i3+…+i2 025=(i-1-i+1)×506+i=i.。

(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总

（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)

专题：直线与圆1．圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是( )． A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( )． A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝14．与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是( )． A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0D ．2x －y ±5＝05．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )． A ．2B ．2C ．22D ．426．一圆过圆x 2＋y 2－2x ＝0与直线x ＋2y －3＝0的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＋4y －6＝0B ．x 2＋y 2＋4x －6＝0C ．x 2＋y 2－2y ＝0D ．x 2＋y 2＋4y ＋6＝07．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )． A ．30B ．18C ．62D ．528．两圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和(x －b )2＋(y －a )2＝r 2相切，则( )． A ．(a －b )2＝r 2 B ．(a －b )2＝2r 2 C ．(a ＋b )2＝r 2D ．(a ＋b )2＝2r 29．若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )． A ．14或－6B ．12或－8C ．8或－12D ．6或－1410．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | ＝( )． A ．453B ．253 C ．253 D ．21311．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x ＝a 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则a 的值是_________． 13．直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长为_________．14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形P ACB面积的最小值为．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线P A，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．参考答案一、选择题 1．A解析：C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝52，半径r 1＝5；C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝(10)2，半径r 2＝10．圆心距d ＝224 － 2＋ 1 ＋ 2)()(＝13．因为C 2的圆心在C 1内部，且r 1＝5＜r 2＋d ，所以两圆相交． 2．C解析：因为两圆的标准方程分别为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，所以两圆的圆心距d ＝222 － 1 －＋ 2 ＋ 2)()(＝5．因为r 1＝2，r 2＝3，所以d ＝r 1＋r 2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1． 4．D解析：设所求直线方程为y ＝2x ＋b ，即2x －y ＋b ＝0．圆x 2＋y 2―2x ―4y ＋4＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1．由221＋ 2 ＋ 2 － 2 b ＝1解得b ＝±5．故所求直线的方程为2x －y ±5＝0． 5．C解析：因为圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，显然直线x －y ＋4＝0经过圆心．所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A解析：如图，设直线与已知圆交于A ，B 两点，所求圆的圆心为C ．依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直．因为已知圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为(1，0)，所以过点(1，0)且与已知直线x ＋2y －3＝0垂直的直线方程为y ＝2x －2．令x ＝0，得C (0，－2)．联立方程x 2＋y 2－2x ＝0与x ＋2y －3＝0可求出交点A (1，1)．故所求圆的半径r ＝|AC |＝223 ＋ 1＝10．所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝10，即x 2＋y 2＋4y －6＝0．(第6题)解析：因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r ＝32．设圆心到直线的距离为d ，d ＝210＞r ，所以最大距离与最小距离的差等于(d ＋r )－(d －r )＝2r ＝62． 8．B解析：由于两圆半径均为|r |，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b －a )2＋(a －b )2＝(2r )2．化简即(a －b )2＝2r 2． 9．A解析：直线y ＝3x ＋c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位．平移后的直线方程为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0．由直线平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，得221＋ 34 －＋ 0 － 0 c ＝10，即|c －4|＝10，所以c ＝14或－6． 10．C解析：因为C (0，1，0)，容易求出AB 的中点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛3 ，23 ，2，所以|CM |＝2220 － 3 ＋ 1 －23 ＋ 0 － 2)()(⎪⎭⎫⎝⎛＝253．二、填空题11．x 2＋y 2＋4x －3y ＝0．解析：令y ＝0，得x ＝－4，所以直线与x 轴的交点A (－4，0)．令x ＝0，得y ＝3，所以直线与y 轴的交点B (0，3)．所以AB 的中点，即圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛23 2，－．因为|AB |＝223 ＋ 4＝5，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋223 － ⎪⎭⎫ ⎝⎛y ＝425．即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0． 12．0或2．解析：画图可知，当垂直于x 轴的直线x ＝a 经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切，所以a 的值是0或2．解析：令圆方程中x ＝0，所以y 2―2y ―15＝0．解得y ＝5，或y ＝－3．所以圆与直线x ＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．所以直线x ＝0被圆x 2＋y 2―6x ―2y ―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．解析：由2221 －＋ 7 ＋ 2 ＋ 4 － 6)()()(z ＝11得(z －1)2＝36．所以z ＝7，或－5． 15．22．解析：如图，S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝21|P A |·|CA |·2＝|P A |，又|P A |＝12－||PC ，故求|P A |最小值，只需求|PC |最小值，另|PC |最小值即C 到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离，为2243843＋|＋＋|＝3．于是S 四边形P ACB 最小值为132－＝22．三、解答题16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，于是依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋)(，＝＋)(2222 4 － 3 16 － 1r a r a 解得⎪⎩⎪⎨⎧．，－20 ＝ 1 ＝ 2r a 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20．(2)因为圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)，所以圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上．则l 的方程为y ＋1＝x －2，即y ＝x －3．由⎪⎩⎪⎨⎧．＝＋，－＝023 y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧．－＝，＝2 1 y x 即圆心为O 1(1，－2)，半径r ＝222 ＋ 1 －＋ 1 － 2)()(＝2．故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．17．解：以D 为坐标原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1的方向为正方向，以线段DA ，DC ，DD 1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz ，E 点在平面xDy 中，且EA ＝21．所以点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，21 ，1， (第15题)又B 和B 1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，所以点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ，1 ，1，同理可得G 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 21 1，，． 18．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足|a |＝|b |，即a －b ＝0，或a ＋b ＝0．又圆心在直线5x ―3y ―8＝0上，所以5a ―3b ―8＝0．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧，＝－，＝－－00835b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧，＝＋，＝－－00835b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧，＝，44b a ＝或⎪⎩⎪⎨⎧．＝－，11＝b a 所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝16，或(x －1)2＋(y ＋1)2＝1．19．解：(1)设过P 点圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx ―y ―2k ―1＝0．因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋ 3 －－ 2k k ＝2，解得k ＝7，或k ＝－1．故所求的切线方程为7x ―y ―15＝0，或x ＋y －1＝0．(2)在Rt △PCA 中，因为|PC |＝222 － 1 －＋ 1 － 2)()(＝10，|CA |＝2，所以|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8．所以过点P 的圆的切线长为22．(3)容易求出k PC ＝－3，所以k AB ＝31．如图，由CA 2＝CD ·PC ，可求出CD ＝PC CA 2＝102．设直线AB 的方程为y ＝31x ＋b ，即x －3y ＋3b ＝0．由102＝23 ＋ 1 3 ＋ 6 － 1 b 解得b ＝1或b ＝37(舍)．所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0．(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心C 在直线3x －y ＝0上，设圆心坐标为(a ，3a )，圆心(a ，3a )到直线x －y ＝0的距离为d ＝22 － a ．又圆与x 轴相切，所以半径r ＝3|a |，(第19题)设圆的方程为(x －a )2＋(y －3a )2＝9a 2，设弦AB 的中点为M ，则|AM |＝7．在Rt △AMC 中，由勾股定理，得 22 2 － ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a ＋(7)2＝(3|a |)2．解得a ＝±1，r 2＝9．故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9，或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9．。

高中数学_必修二_圆与方程_经典例题整理

习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x(C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x二、位置关系问题例2 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=四、弦长问题例4设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .五、夹角问题例5 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21 (B)53 (C)23 (D) 0六、圆心角问题例6 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .七、最值问题例7 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25八、综合问题例8 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2E D --)，半径为r ＝2422F E D -+ 2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A CBb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2，｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切；０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含.●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜1313.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b <r 时，圆与x 轴相交●典例剖析【例2】一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =02.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的距离的最小值为____________.5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.“求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。

高中数学必修二经典练习100例

223俯视图侧视图正视图第一章空间几何体1.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B. π8C. π10D. 12+π2.如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x =12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；（4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（）A ．（1）（4）B ．（2）C ．（3）D ．（3）（4）3.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C-在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A.123S S S ==B.12S S =且 31S S ≠C.13S S =且 32S S ≠D.23S S =且 13S S ≠4.已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且1111DD QD BB PB =过点A 、P 、Q 作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）M NED'B'A'CDABB CD APM5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．2 B ．1 C ．23D ．136.如图, 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形, 面PAB ⊥面ABCD. 在面PAB 内的有一个动点M, 记M 到面PAD 的距离为d . 若1||22=-d MC , 则动点M 在面PAB 内的轨迹是( ) A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分7.如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线BC ，AD 相交于点G ，H ，下列判断中:①对于任意的平面α，都有EFG EFH S S ∆∆=；②存在一个平面0α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上； ③对于任意的平面α，都有直线GF ，EH ，BD 相交于同一点或相互平行； ④对于任意的平面α，当G ，H 在线段BC ，AD 上时，几何体AC -EGFH 的体积是一个定值．其中正确的序号是 ( )A. ①③④B. ③④C. ②③D. ①②③8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．6B ．9C ．12D ．189.如图正方形OABC 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．cm 8B ．cm 6C ．cm )31(2+D ．cm )21(2+俯视图主视图xyCBAO10.如图，正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E ，F ，且1=2EF ，则下列结论中错误．．的是（） A ．BE AC ⊥ B ．ABCD EF 平面//C ．三棱锥BEF A -的体积为定值D ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等11.如图甲所示，三棱锥P ABC -的高8PO =，3AC BC ==，30ACB ∠=︒，M 、N 分别在BC 和PO 上，且CM x =，2((0,3])PN x x =∈，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥N AMC-的体积y 与x 的变化关系，其中正确的是（）12.若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为（）A ．8B ．338C ．38D ．34 13.一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ( )A ．12 B ．32C ．1D ．1314.一条线段长为25，其侧视图长这5，俯视图长为34，则其正视图长为（）A ．5B ．34C ．6D ．4115.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米. A ．32424-π B ．33636-π C ．32436-π D ．33648-π主视图232 左视图俯视图B 1D 1C 1A 1AB CEFD16.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④17.已知平面α∥平面β,直线l ⊂α,点P ∈l,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是（）A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点18.正四棱锥ABCD V -的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为62,则此球的表面积为（）A π18B π36C π72D π9 19.如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm ），则它的体积是（）3cm .A. 33B. 18C. 2318+D. 320.已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．24－32πB ．24－π3C ．24－πD ．24－π221.长方体一个顶点上的三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）A ． π220B ．π225C ．π50D ． π200 22.如图, 在四面体ABCD 中, E, F 分别为AB, CD 的中点, 过EF 任作一个平面α分别与直线BC, AD 相交于点G, H, 有下列四个结论正确的个数是（） ①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD 相交于同一点; ②存在一个平面0α, 使得点G 在线段BC 上, 点H 在线段AD 的延长线上;③对于任意的平面α, 它把三棱锥的体积分成相等的两部分A. 0B. 1C. 2D. 3①正方体②圆锥③三棱台④正四棱俯视图1 1侧视图正视图32323.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 ( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 524.如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )25.一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为（）A.32πB.34πC. 43πD.23π26.设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、A D 两两互相垂直，且3=AB ，4=AC ，11=AD ，则球的表面积为（） A.π36 B.π64 C. π100 D. π14427.如图，三棱锥V ABC -的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA VC =，已知其正视图的面积为23，侧视图的面积为( ) A ．32 B ．33C ．34D ．3628.已知P 是正四面体S ABC -的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（） A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆29.正方体1111ABCD A B C D -，棱长为4，点1A 到截面11AB D 的距离为( )A ． 163B ．433C ．34D ．3O PCBAS30.某四面体的三视图如图所示，三个三角形均为直角三角形，则该四面体的表面积是（）（A ）8（B ）34222+ （C ）2618+ （D ）2624+31.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（） A ．82π3B ．4πC ．8πD ．16π33. 以下几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）A. B. C. D. 34.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm35.如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．436.已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A ．π B ． 2π C ． 3π D ． 4π22222俯视图侧视图正视图223俯视图侧视图正视图37.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（） A ．36cm 3B ．48cm 3C ．60cm 3D ．72cm 338.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积和体积分别为( ) A ．88 ,48 B ．98 ,60 C ．108,72D ．158,12039.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B. π8C. π10D. 12+π40.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( )A ．六棱锥B ．六棱台C ．六棱柱D ．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体41.下列说法中，正确的是( )A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形C ．正方体的所有棱长都相等D ．棱柱的所有棱长都相等42.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A ．一个圆台、两个圆锥B ．两个圆台、一个圆柱C ．两个圆台、一个圆锥D ．一个圆柱、两个圆锥43.将正三棱柱截去三个角(如图所示A ，B ，C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )A B C D44.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台45.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )A．2 2 B. 2 C．2 3 D. 346.水以匀速注入某容器中，容器的三视图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象是( )47.下列说法中正确的是( )A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱48.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆49.将正方体(如图a所示)截去两个三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )50. 如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．6 3B ．93C ．12 3D ．18 351.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( )A ．6π(4π＋3)B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)52.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( )A.23 2B. 2C.23D.43 253.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为( )A ．1∶2B ．2∶1C ．2∶3D ．3∶254.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.3255.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD ．2π356.已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12B.4π3＋16C.2π6＋16 D.2π3＋1257.已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )A .2π2B .2πC .3π3D .3π58.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是( ) A ．2 3 B ．3 2 C ．6 D . 659.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋23360.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )61.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )62.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，得到四面体A BCD ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为( ) A ．25π B ．50π C ．5πD ．10π63.设M ，N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N ，M ，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为( ) A ．3∶5∶6 B ．3∶6∶8 C ．5∶7∶9D ．5∶8∶964.已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.2265.如图，直三棱柱111C B A ABC -的侧棱长和底面边长均为2，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为__________.66.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．67.如图是某个圆锥的三视图，根据图中所标尺寸可得俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．68. 用一张4cm×8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为________cm 2(接头忽略不计)．69.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________． 70.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．71．棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________．72.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）73.如图, P 为60的二面角βα--l 内一点, P 到二面角两个面的距离分别为2、3, A 、B 是二面角的两个面内的动点,则△PAB 周长的最小值为 .74.已知一个球体的半径为1cm,若使其表面积增加到原来的2倍,表面积增加后球的体积为 75.在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=b ，BC=a ，斜边AB 上的高为h ，则有结论h 2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论： _________ ．123俯视图侧视图正视图76.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是为77.一个几何体的三视图如图, 则这个几何体的体积为 .78.如图所示的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h ＝________cm.第76题图第77题图第78题图 79.正四面体ABC S 的所有棱长都为2，则它的体积为________．80.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .81.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为________．82.长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则球面面积为________．83.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．84.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________．85. 如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______．86.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．87.已知某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图是等腰直角三角形，正(主)视图是直角三角形，俯视图ABCD 是直角梯形，则此几何体的体积为_____________．88.如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝____________．89.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .90.一个几何体的三视图如图, 则这个几何体的体积为 .123俯视图侧视图正视图91.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,AEF 则线段1A P 长度的取值范围是___________.B 1C 1D 1A 1FE BC D A25411212111=+=+=MB B A M A 92.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .93.如图所示，球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的表面积．94.一个正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．95.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥DABC的表面积．96. 圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.97. 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．98.某长方体的一条对角线长为7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分别为a和b，求ab的最大值．99.已知一个几何体的三视图如图所示. （Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A 为所在线段中点，点B 为顶点，求在几何体侧面上从点A 到点B 的最短路径的长.100.边长为2的正方形ABCD 中, BC F AB E ∈∈,(1) 如果E 、F 分别为AB 、B C 中点, 分别将△AED、△DCF、△BEF 沿ED 、DF 、FE 折起, 使A 、B 、C 重合于点P. 证明: 在折叠过程中, A 点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.(2) 如果F 为BC 的中点, E 是线段AB 上的动点, 沿DE 、DF 将△A ED 、△DCF 折起, 使A 、C 重合于点P, 求三棱锥P －DEF 体积的最大值.第二章点、直线、平面之间位置关系1.如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是（ A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角D ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角2.如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x =12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；（4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题．．．的序号为（） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4）3.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖4.如图, 在四面体ABCD 中, E, F 分别为AB, CD 的中点, 过EF 任作一个平面α分别与直线BC, AD相交于点G, H, 有下列四个结论, 其中正确的个数是（）①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD 相交于同一点; ②存在一个平面0α, 使得点G 在线段BC 上, 点H 在线段AD 的延长线上; ③对于任意的平面α, 它把三棱锥的体积分成相等的两部分A. 0B. 1C. 2D. 35.如图，111C B A ABC -是直三棱柱，90=∠BCA ，点1D 和1F 分别是11B A 和11C A 的中点，若1CC CA BC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（）A ．1030 B ．21C ．1530D ．1015M NED'B'A'CDAB6.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 底面ABCD ，M 是棱PC 上一点. 若a AC PA ==，则当MBD ∆的面积为最小值时，直线AC 与平面MBD 所成的角为（） A ．6π B.4π C.3π D.2π7.如果两直线b a //,且α平面//a ，则直线b 与平面α的位置关系是 ( ) A ．相交 B ．α//b C.α⊂b D. α//b 或α⊂b8.已知P 是正四面体S ABC -的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（） A . 圆 B . 抛物线 C . 双曲线 D . 椭圆 9.用c b a ,,表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题，其中说法正确命题的序号是（） ①若c a c b b a //,//,//则； ②若c a c b b a ⊥⊥⊥则,,；③若b a b a //,//,//则γγ； ④若γγ⊥⊥b a ,则b a //. A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④10.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E ，F ，且1=2EF ，则下列结论中错误．．的是（） A ．BE AC ⊥ B ．ABCD EF 平面// C ．三棱锥BEF A -的体积为定值 D ．AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等11.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，则异面直线CP 与1BA 所成的角θ的取值范围是( ) A ．03πθ<≤B ．02πθ<≤C ．03πθ≤≤D ．02πθ<≤12.已知m 、n 是两条不重合的直线，γβα,,是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ③若βαγβγα//,,则⊥⊥；④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂ 其中真命题是（）A ．①和③B ．①和②C ．③和④D ．①和④O PBAS11C 1A 1ABCEFB CD APM13.下列命题中假命题．．．是( ) A ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行14.如下图2, 在平行四边形A BCD 中, AD=2AB=2, ∠BA C =90°. 将△A CD 沿AC 折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC 的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( ) A.面ABD⊥面BCD B.面ABD⊥面ACD C.面ABC ⊥面ACD D.面ABC ⊥面BCD15.在长方体1111D C B A ABCD -中，AB AD AA 21==．若F E ,分别为线段11D A ，1CC 的中点，则直线EF 与平面11A ADD 所成角的正弦值为（） A ．36 B ．22 C ． 33 D ．3116.如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点。

高中数学必修二直线与方程练习题(考查直线五种形式)

必修二直线与方程（直线的五种形式）练习题让4第I卷（选择题）一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）1.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A. k1<k2<k3B. k3<k1<k2C. k3<k2<k1D. k1<k3<k22.已知△ABC的顶点为A(3,3)，B(2,−2)，C(−7,1)，则∠A的内角平分线AD所在直线的方程为()A. y=−x+6B. y=xC. y=−x+6和y=xD. 15x−12y−20=03.点(1,1)到直线x+y−1=0的距离为()D. √2A. 1B. 2C. √224.已知直线l1：ax+2y−1=0，直线l2：8x+ay+2−a=0，若l1//l2，则实数a的值为()A. ±4B. −4C. 4D. ±25.已知点A(1,6√3)，B(0,5√3)到直线l的距离均等于a，且这样的直线l可作4条，则a的取值范围是()A. a≥1B. 0<a<1C. 0<a≤1D. 0<a<26.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为1，3则实数m，n的值分别为()A. 4和3B. −4和3C. −4和−3D. 4和−37.若两平行直线2x+y−4=0与y=−2x−m−2间的距离不大于√5，则实数m的取值范围是()A. [−11,−1]B. [−11,0]C. [−11,−6)∪(−6,−1]D. [−1,+∞)8.已知定点P(x0,y0)不在直线l:f(x,y)=0上，则f(x,y)+f(x0,y0)=0表示一条()A. 过点P且与l垂直的直线B. 过点P且与l平行的直线C. 不过点P且垂直于l的直线D. 不过点P且平行于l的直线9.已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点.若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为()A. 2x−y−3=0B. 2x+y−5=0C. x+2y−4=0D. x−2y+3=010.经过两条直线2x+3y+1=0和x−3y+4=0的交点，并且垂直于直线3x+4y−7=0的直线的方程为()A. 4x−3y+9=0B. 4x−3y−9=0C. 3x−4y+9=0D. 3x−4y−9=011.已知两直线的方程分别为l1：x+ay+b=0，l2：x+cy+d=0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A. b>0，d<0，a<cB. b>0，d<0，a>cC. b<0，d>0，a>cD. b<0，d>0，a<c12.已知直线l1:3x+4y+2=0，l2:6x+8y−1=0，则l1与l2之间的距离是()A. 12B. 35C. 1D. 31013.三点A(3,1)，B(−2,k)，C(8,11)在一条直线上，则k的值为()A. −8B. −9C. −6D. −714.直线l：y=x+1上的点到圆C：x2+y2+2x+4y+4=0上的点的最近距离为()A. √2B. 2−√2C. 1D. √2−115.已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是()A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. [−1,1]D. (−∞,−1]∪[1,+∞)16.直线y=−√33x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点P(m,12)，使得△ABP和△ABC面积相等，则m的值()A. 5√32B. 3√32C. √32D. √3第II卷（非选择题）二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）17.已知直线ax+3y−12=0与直线4x−y+b=0互相垂直，且相交于点P(4,m)，则b=．18.已知两直线2x−5y+20=0，mx−2y−10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m=．19.若直线l1:(2m2−5m+2)x−(m2−4)y+5=0的斜率与直线l2:x−y+1=0的斜率相同，则m的值为．20.若原点O在直线l上的射影是P(1,2)，则直线l在y轴上的截距为__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）21.已知直线m:(a−1)x+(2a+3)y−a+6=0，n:x−2y+3=0．(1)当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程;(2)若坐标原点O到直线m的距离为√5，判断m与n的位置关系．22.已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+(a−3)y+a2−1=0．(1)当l1⊥l2时，求a的值；(2)在(1)的条件下，若直线l3//l2，且l3过点A(1,−3)，求直线l3的一般方程．23.设直线4x+3y=10与2x−y=10相交于一点A．(1)求点A的坐标；(2)求经过点A，且垂直于直线3x−2y+4=0的直线的方程．24.已知直线l：(a+1)x+y−2−a=0(a∈R)．(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)当O(0,0)点到直线l距离最大时，求直线l的方程．25.如图，△ABC中，顶点A(1,2)，BC边所在直线的方程为x+3y+1=0，AB边的中点D在y轴上．(1)求AB边所在直线的方程；(2)若|AC|=|BC|，求AC边所在直线的方程．答案和解析1.【答案】D本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题．根据题意，利用直线的倾斜角来判断直线的斜率关系，即可得解．【解答】解：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D．2.【答案】B本题考查了点到直线的距离公式，角平分线的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．求出直线AB，直线AC的方程，进行求解即可．【解答】解：设∠A的内角平分线AD上的任意一点P(x,y)，又△ABC的顶点为A(3,3)、B(2,−2)、C(−7,1)，可得：直线AB方程为：5x−y−12=0，直线AC的方程为：x−5y+12=0，∴点P到直线AC距离等于点P到直线AB距离，则√26=√26，解得x+y−6=0(此时B、C两点位于直线x+y−6=0同侧，不符合题意，舍去)或x−y=0．∴角平分线AD所在直线方程为：x−y=0．故选B．3.【答案】C【分析】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：由点到直线的距离公式，得所求距离d=22=√22．4.【答案】B【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系，利用直线平行的性质求解．【解答】解：由a2−2×8=0，得a=±4．当a=4时，l1：4x+2y−1=0，l2：8x+4y−2=0，l1与l2重合．当a=−4时，l1：−4x+2y−1=0，l2：8x−4y+6=0，l1//l2．综上所述，a=−4．故选B．5.【答案】B本题主要考查了点与直线的位置关系和两点间的距离公式的应用，做题时要善于转化，把求a的范围问题转化为求两点间的距离的问题，属于中档题．可分A，B在直线l的同侧还是两侧两种情况讨论直线l的可能，若A，B两点在直线l 的同侧，一定可作出两条直线，所以则当A，B两点分别在直线l的两侧时，还应该有两条，这时，只需a小于A，B两点间距离的一半即可．【解答】解：∵若A，B两点在直线l的同侧，可作出两条直线，∴若这样的直线l可作4条，则当A，B两点分别在直线l的两侧时，还应该有两条．∴2a小于A，B间距离，∵|AB|=√(1−0)2+(6√3−5√3)2=2．∴0<2a<2，∴0<a<1．故选B ．6.【答案】C本题主要考查直线的方程的应用，属于基础题．由直线平行可得−mn =−43，再由直线在y 轴上的截距为13，可得−1n =13，联立解得m ，n 的值．【解答】解：当n =0时，不合题意，所以n ≠0，由题意知：−mn =−43，即3m =4n ，且在y 轴上的截距为13，即−1n =13，联立解得：n =−3，m =−4．故选C ．7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】C本题考查直线点斜式方程、中点坐标公式，属于基础题.设所求直线的方程为y −1=k(x −2)，得Q 点坐标为(0,1−2k)，P 点纵坐标为0，所以根据中点坐标公式有0+(1−2k)2=1，解得k =−12，故所求直线的方程为x +2y −4=0．【解答】解：设所求直线的方程为y −1=k(x −2)．令x =0得y =1−2k ，所以Q 点坐标为(0,1−2k)，又因为M 为线段PQ 的中点，P 点纵坐标为0，所以根据中点坐标公式有0+(1−2k)2=1，解得k =−12，故所求直线的方程为x +2y −4=0．10.【答案】A本题主要考查两条直线的交点及两直线垂直的性质应用，属于基础题．联立方程2x +3y +1=0和x −3y +4=0，可求出交点坐标，垂直于直线3x +4y −7=0，可设为4x −3y +m =0，代入交点坐标即可求出该直线的方程．【解答】解：由{2x +3y +1=0,x −3y +4=0,得{x =−53y =79, 因为所求直线与直线3x +4y −7=0垂直，所以可设所求直线的方程为4x −3y +m =0，代入点(−53,79)，解得m =9，故所求直线的方程为4x −3y +9=0．故选A ．11.【答案】C本题考查直线的一般式向斜截式转化，属于基础题．将直线转化成斜截式，根据图象得两直线斜率、截距的不等关系，解不等式即可得解．【解答】解：l 1 :y =−1a x −ba ， l 2 : y =−1c x −dc ，由图象知：①−1a >−1c >0,②−ba <0,③−dc >0，解得：①c <a <0，②b <0，③d >0，故选C ．12.【答案】A【分析】本题考查两条平行线之间的距离公式，属基础题．在使用两条平行线间的距离公式时，要注意两直线方程中x，y的系数必须相同．【解答】解：直线l1:3x+4y+2=0可化为直线l1:6x+8y+4=0，则l1与l2之间的距离是√62+82=12，故选A．13.【答案】B本题考查了斜率计算公式、斜率与三点共线的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三点A(3,1)，B(−2,k)，C(8,11)在一条直线上，可得k AB=k AC，利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：∵三点A(3,1)，B(−2,k)，C(8,11)在一条直线上，∴k AB=k AC，即k−1−2−3=11−18−3，解得k=−9．故选B．14.【答案】D本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，是基础题．化标准方程求圆心与半径，由圆心到直线的距离易得结果．【解答】解：由题设知圆心为C(−1,−2)，半径r=1，而圆心C(−1,−2)到直线x−y+1=0距离为：d=√2=√2，因此，圆上点到直线的最短距离为d−r=√2−1，故选D．15.【答案】D本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．【解答】解：如图所示：∵点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，∵PA的斜率为4−0−3−1=−1，PB的斜率为2−03−1=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤−1，故选D．16.【答案】A【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：由直线y=−√33x+1，令x=0，解得y=1，故点B(0,1)，令y=0，解得x=√3，故点A(√3,0)，∵△ABC为等边三角形，且OA=√3，OB=1，根据勾股定理得：AB=2，故点C到直线AB的距离为√3，由题意△ABP和△ABC的面积相等，则P到直线AB的距离d=√32|−√33m+12|=√3，即−√33m+12=2或−√33m+12=−2，解得：m=−3√32(舍去)或m=5√32．则m的值为5√32．根据题意画出图形，令直线方程中x与y分别为0，求出相应的y与x的值，确定出点A与B的坐标，进而求出AB的长即为等边三角形的边长，求出等边三角形的高即为点C到直线AB的距离，由△ABP和△ABC的面积相等，得到点C与点P到直线AB的距离相等，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线AB的距离d，让d等于求出的高列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．此题考查了一次函数的性质，等边三角形的性质以及点到直线的距离公式．学生做题时注意采用数形结合的思想及转化的思想的运用，在求出m的值后要根据点P在第一象限舍去不合题意的解．17.【答案】−13【解析】【分析】本题考查两条直线垂直的斜率关系，两直线的交点问题，属于基础题．由两直线互相垂直得a=34，由点P(4,m)在直线34x+3y−12=0上，得m=3，再将点P(4,3)代入4x−y+b=0，即可求出结果．【解答】解：由题意，直线ax+3y−12=0与直线4x−y+b=0互相垂直，可得−a3×4=−1，解得a=34，由点P(4,m)在直线34x+3y−12=0上，得3+3m−12=0，解得m=3，再将点P(4,3)代入直线4x−y+b=0，得16−3+b=0，解得b=−13，故答案为−13．18.【答案】−5【解析】略19.【答案】320.【答案】52【解析】【分析】本题考查直线方程的求法，两直线垂直斜率之间的关系，属于基础题．由题意得OP ⊥l ，求出OP 的斜率即可得到直线l 的斜率，从而求出直线l 的方程，即可得到答案．【解答】解：由题意得OP ⊥l ，而k OP =2−01−0=2，∴k l =−12． ∴直线l 的方程为y −2=−12(x −1)，化成斜截式为y =−12x +52．当x =0时，y =52，∴直线l 在y 轴上的截距为52．故答案为52． 21.【答案】解：(1)当a =0时，直线m:x −3y −6=0，由{x −3y −6=0x −2y +3=0，解得{x =−21y =−9，即m 与n 的交点为(−21,−9)．当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0;当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入得b =−12，所以直线l 的方程为x −y +12=0．故满足条件的直线l 的方程为3x −7y =0或x −y +12=0．(2)设原点O 到直线m 的距离为d ，则d =22=√5，解得a =−14或a =−73，当a =−14时，直线m 的方程为x −2y −5=0，此时m//n;当a =−73时，直线m 的方程为2x +y −5=0，此时m ⊥n.【解析】本题主要考查了直线的截距式方程，两条直线平行与垂直的判定，点到直线的距离公式，属于中档题．(1)当a =0时，由题意可求出x 与y ，可求出m 与n 的交点，当直线l 过原点时，直线l 的方程为3x −7y =0，当直线l 不过原点时，设l 的方程为x b +y −b =1，将(−21,−9)代入即可求解．(2)求出原点O 到直线m 的距离d ，求出a ，当a =−14时，证明m//n ，当a =−73时，证明m ⊥n. 22.【答案】解：(1)由A 1A 2+B 1B 2=0⇒a +2(a −3)=0⇒a =2；(2)由(1)，l 2：x −y +3=0，又l 3//l 2，设l 3：x −y +C =0，把(1,−3)代入上式解得C =−4，所以l 3：x −y −4=0．【解析】本题考查了两条直线平行、两条直线垂直的条件，属于基础题．(1)利用两条直线垂直的充要条件即可得出．(2)根据平行可设l 3：x −y +C =0，代值计算即可．23.【答案】解：(1)由{2x −y =104x +3y =10，解得{x =4,y =−2., ∴A (4,−2). (2)直线3x −2y +4=0的斜率为32，垂直于直线3x −2y +4=0的直线斜率为−23，则过点A (4,−2)且垂直于直线3x −2y +4=0的直线的方程为y +2=−23(x −4)，即：2x +3y −2=0．【解析】本题考查求两直线的交点坐标，直线与直线的位置关系，直线方程的求法，属于基础题．(1)解方程组{2x −y =104x +3y =10，可得点A 的坐标; (2)由题可得直线3x −2y +4=0的斜率为32，则垂直于直线3x −2y +4=0的直线斜率为−23，由点斜式即可得出所求直线的方程． 24.【答案】解：(1)直线l ：(a +1)x +y −2−a =0，取x =0，y =a +2，取y =0，x =a+2a+1，即a +2=a+2a+1，解得a =−2或a =0，故直线方程为x −y =0或x +y −2=0．(2)l ：(a +1)x +y −2−a =0变换得到a(x −1)+x +y −2=0，故过定点A(1,1)，当直线l 与AO 垂直时，距离最大．k OA =1，故k =−1，解得a =0，故所求直线方程为x +y −2=0．【解析】本题考查了直线的截距、相互垂直时斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)取x =0，y =a +2，取y =0，x =a+2a+1，即a +2=a+2a+1，解得a ．(2)l ：(a +1)x +y −2−a =0变换得到a(x −1)+x +y −2=0，故过定点A(1,1)，当直线l 与AO 垂直时，距离最大，即可求解． 25.【答案】解：(1)因点B 在直线x +3y +1=0上，不妨设B(−3a −1,a)，由题意得(−3a −1)+1=0，解得a =0，所以B 的坐标为(−1,0)，故AB 边所在直线的方程为x−1−1−1=y−20−2，即x −y +1=0；(2)因|AC|=|BC|，所以点C 在线段AB 的中垂线x +y −1=0上由{x +y −1=0x +3y +1=0，解得x =2，y =−1，即C 的坐标为(2,−1)，又点A(1,2)，∴AC 边所在直线的方程为x−12−1=y−2−1−2，即3x +y −5=0．【解析】(1)利用点B 在直线上，设B(−3a −1,a)，利用中点坐标公式，求出点B 的坐标，然后再由两点式求出直线方程即可；(2)联立两条直线的方程，求出交点坐标即点C ，再由两点式求出直线方程即可．本题考查了直线方程的求解，主要考查了两点式直线方程的应用，涉及了中点坐标公式以及直线交点坐标的求解，属于基础题．。

人教A版高中数学必修第二册强化练习题-7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(含答案)

人教A版高中数学必修第二册7.3*　复数的三角表示7.3.1　复数的三角表示式7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义基础过关练题组一　复数的三角形式及其与代数形式的互化)(3)z37π-isin6题组二　复数三角形式的乘、除运算6.已知复数z 1π12+2=3cos π6+isin π6,则z 1z 2的代数形式是( )π4+π12+isin12.(1)在复平面内画出复数z=1-i 对应的向量,并把z=1-i 表示成三角形式;(2)已知z 1=cos θ1+isin θ1,z 2=cos θ2+isin θ2,cos(π+θ1+θ2)=35,θ1,θ2∈0,试求z 1z 2.(结果表示为代数形式)题组三　复数三角形式乘、除运算的几何意义的应用13.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)在复平面内,复数z=a+bi(a,b ∈R)和向量OZ =(a,b)一一对应.现把与复数1+2i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为( )A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i14.(多选题)已知四边形OABC 为正方形,O 是坐标原点,且点B 在x 轴的上方,向量OA 对应的复数为2+i,则( )A.点B 对应的复数为1+3i B.向量OC 对应的复数为-1+2i C.向量BC 对应的复数为1+2i D.|AC |=1015.(2024上海建平中学期中)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,向量OA =-3cos π12,3sinπ12,将OA 绕点O 按顺时针方向旋转π4得到向量OB ,则点B 的坐标是 .答案与分层梯度式解析7.3*　复数的三角表示7.3.1　复数的三角表示式7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义基础过关练5.解析　(1)z 1=3cos π4+3sin i=322+322i.(2)z 2=3cos 4π3+i=-32-32i.(3)z 3=22cos 7π6-22sin i=-6+2i.6.D z 1z 2π12+isinπ6+isinπ4+isin =3+3i.故选D.7.B ∵1-3i=232i =2cos -+isin∴(1-3i)2022=22 022cos -20223π+isin -20223π=22 022.故选B.8.AD 设复数z 1=cos θ1+isin θ1,z 2=cos θ2+isin θ2,θ1,θ2∈R,因为OZ 1·OZ 2=0,所以OZ 1⊥OZ 2,即θ1-θ2=±π2+2kπ,k ∈Z,所以z 1z 2=cos θ1+isin θ1cos θ2+isin θ2=cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)=cos±±故选AD.9.答案　-12+32i解析　因为ω=-12+32i=cos 2π3+isin 2π3,所以ω10=cos2π3+isin=cos20π3+isin 20π3=cos 2π3+isin 2π3=-12+32i.10.答案　π3解析　∵z=3+i,∴z =3-i,∴zz =3+i 3-i==cos π3+isin π3,∴复数z=3+i 与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为π3.11.解析　(1)8cos4π3+isin×4cos5π6+=32++=32cos 13π6+isin cos π6+isin+12i =163+16i.(2)3(cos 225°+isin 225°)÷[2(cos 150°+isin 150°)]=32[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)]=62(cos 75°+isin 75°)=+6+24i =3−34+3+34i.(3)4÷cos π4+isin=4cos-+isin-=22-22i.12.解析　(1)z=1-i在复平面内对应的点为(1,-1),所以z对应的向量如图所示.则90°)=(2+i)i=-1+2i,故B正确;由四边形OABC是正方形可知,BC对应的复数为AO对应的复数,即-(2+i)=-2-i,故C不正确; |AC|=|OB|=10,故D正确.故选ABD.15.答案　-3,2解析　设向量OA 对应的复数是z,则z=-3cos π12+3isin π12=3cos11π12+所以OB 对应的复数是zcos π4+isin π4=44=3cos +=3cos2π3+=-32+332i,所以点B 的坐标是-32。

高中数学必修二第二章经典练习题

高一数学必修二第二章经典练习题第I卷（选择题）请修改第I卷的文字说明一、单项选择1. 在空间，下列哪些命题是正确的（）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（）A 不存在与a平行的直线B 不存在与a垂直的直线C 与a垂直的直线只有一条D 与a平行的直线有无数条3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（）A 必有外接圆B 必有内切圆C 既有内切圆又有外接圆D 必是正方形4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°5. 若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P 到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（）A 是非等腰的直角三角形B 是等腰直角三角形C 是等边三角形D 不是A、B、C所述的三角形8. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等,是的中点,则所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.9. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED 与D1F所成角的大小是（）A． B。

C。

D。

10. 已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若B.若C.若D.若11. 在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )A． B． C． D．12. 已知直线、，平面、，且，，则是的.充要条件 .充分不必要条件.必要不充分条件 .既不充分也不必要条件13. 设表示两条直线，表示两个平面，下列命题中是真命题的是（）A． B．C．D．14. 在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）15. 在正方体中,为正方形中心,则与平面ABCD所成角的正切值为( )A. B. D.16. 在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（）A B C D17. 四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．1或418. 设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中真命题是( )A．若a，b与α所成角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α⊥β，则a⊥bC．若a？α，b？β，a⊥b，则α⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b19. 如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有 ( )A． 0条 B． 1条 C． 2条 D． 3条20. 已知AA/是两条异面直线的公垂线段，E、F分别是异面直线上任意两点，那么线段AA/与EF的长度关系是（）A EF<AA/B EF≤AA/C EF＞AA/D EF≥ AA/21. 已知、是平面，、是直线，下列命题中不正确的是（）A．若∥，，则 B．若，，则C．若，，则∥ D．若∥，，则∥22. 三个角是直角的四边形（）A．一定是矩形B．一定是空间四边形C．是四个角为直角的空间四边形D．不能确定23. 如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角 C1—BD—C的大小为（）Ａ．30°B．45°C．60°D．90°24. 直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的（）A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有25. 若平面外的一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行或相交26. 直线与平面平行的充要条件是（）A．直线与平面内的一条直线平行 B。

高中数学必修二 8 简单几何体的表面积与体积(精练)(含答案)

8.3 简单几何体的表面积与体积(精练)【题组一旋转体的体积】1．(2021·吉林·延边二中高一期中)阿基米德(Archimedes ，公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球(如图所示)，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为36π，则圆柱的体积为 ( )A ．36πB ．45πC ．54πD ．63π【答案】C 【解析】因为该球的体积为36π，设球的半径为R ，则34363R ππ=，解得3R =。

所以圆柱的体积为：23654V ππ=⨯⨯=，故选：C.2．(2021·河北·保定市第二十八中学高一月考)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)如图2所示，设酒杯上部分(圆柱)的体积为1V ，下部分(半球)的体积为2V ，若122V V =，则半球的半径与圆柱的高之比为( )A ．4:3B ．3:4C ．1:2D ．5:3【答案】B 【解析】设圆柱的高为h ，半径为r ，则圆柱的体积为21=V r h π.而半球的体积为332412==323V r r ππ⨯. 因为122V V =，所以324=3r r h ππ，所以3=4r h . 故选：B3(2021·全国·高一课时练习)如图所示，半径为R 的半圆内(其中∠BAC =30°)的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为_____，体积为_____．2R 356R π 【解析】如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1，在半圆中可得∠BCA =90°，又∠BAC =30°，AB =2R ，∴AC ，BC =R ，CO 1，∴1AO S 圆锥侧=π=32πR 2，1BO S 圆锥侧=π×R R 2，∴S 几何体表=S 球+11AO BO S S +=圆锥侧圆锥侧R 2，πR 2．又V 球=43πR 3，∴V 几何体=V 球-(11AO BO V V +圆锥圆锥)=43πR 3-13×AB ×π×C 2143O =πR 3-22536R π⎫⨯=⎪⎪⎝⎭πR 3．2R ；356R π4．(2021·全国·高一课时练习)若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是__________.【解析】设圆锥的底面半径为r ，则22ππ=r ，所以1r =，圆锥的高h = 所以圆锥的体积213V r h π=5．(2021·全国·高一课时练习)若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为________．【答案】12【解析】解析：设球体的半径为R 2312=2=33R V R R ππ⋅圆锥，343V R π球＝，33213==423R V R V ππ圆锥球．故答案为：12【题组二旋转体的表面积】 1．(2021·全国·高一课时练习)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=AD=2，则四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成几何体的表面积为( )A ．(60+πB ．(60+)π C ．(56+πD ．(56+)π【答案】A 【解析】四边形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，如图所示：因为25r AB ==，所以圆台下底面面积125S π=，又因为CD =，135ACD ∠=，所以12ED r ==，25l ==，所以圆台的侧面积()()212225535S r r l πππ=+=+⨯=.圆锥的侧面积3111122222S r l ππ=⨯⨯=⨯⨯⨯.所以几何体的表面积为(123253560S S S S πππ=++=++=+.故选：A2．(2021·山东邹城·高一期中)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )A ．圆锥的母线长为18B ．圆锥的表面积为27πC ．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°D ．圆锥的体积为【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ，以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积为2S l π=，又圆锥的侧面积3S rl l ππ==圆锥侧，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以233l l ππ=⨯，解得9l =，所以圆锥的母线长为9，故选项A 错误；圆锥的表面积239336S S S πππ=+=⨯⨯+⨯=圆锥侧底，故选项B 错误；因为圆锥的底面周长为236ππ⨯=，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为α，则69πα=⋅，解得23πα=，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C 错误；圆锥的高h =所以圆锥的体积为2133V π=⨯⨯⨯=，故选项D 正确．故选：D ．3．(2021·重庆·垫江第五中学校高一月考)如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为则此圆锥的表面积为__________【答案】5π【解析】将圆锥侧面沿母线AB 剪开，其侧面展开图为扇形，如图，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，最短距离即为线段BM 长，则有BM = 而M 是线段AB '中点，又母线长为4，于是得22220AM AB BM +==，即2BAB π'∠=，设圆锥底面圆半径为r ，从而有：242r ππ=⋅，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S r r AB πππ=+⋅=.故答案为：5π4(2021·全国·高一课时练习)已知一块正方形薄铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米？【答案】()216cm π 【解析】由已知，可得这个无底的圆锥的母线长为8cm ，设圆锥的底面半径为cm r ，则282r ππ=⨯，所以2cm r =，所以圆锥的表面积即侧面积()22816cm S rl πππ==⨯=侧. 【题组三多面体的体积】1．(2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)在三棱锥P ABC -中，已知5PA BC PB AC PC AB ======，则该三棱锥的体积为___________.【答案】8【解析】如图，设长方体的三条棱长为,,a b c ，由题得22220a b +==；2213a c +=；222525b c +==，解之得2224,16,9a b c ===.所以2,4,3a b c ===. 所以该三棱锥的体积为112344243=832⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯.故答案为：82(2021·全国·高一课时练习)已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V ＝________cm 3.【答案】【解析】依题意，原几何体是由一个正方体上面接一个正四棱锥组成，其中正方体的棱长为1cm ，正方体的体积为1cm 3，正四棱锥的底面边长和侧棱长均为1cm ，体积为2113⨯=3)，所以该空间几何体的体积为(1V =cm 3.故答案为：3．(2021·全国·高一课时练习)球O 的球心为点O ，球O 3的圆锥，三棱锥V ABC -内接于球O ，已知,OA OB AC BC ⊥⊥，则三棱锥V ABC -的体积的最大值为_______．【解析】=O 的半径为r=，解得1r =， ,1OA OB OA OB ⊥==，AB ∴=AC BC ⊥，∴C 在以AB 为直径的圆上，∴平面OAB ⊥平面ABC ，∴O 到平面ABC 2，故V 到平面ABC 1+，又C 到AB∴三棱锥V ABC -的体积的最大值为，111)32⨯4．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且12AO BO CO A O B O C O =''=='，则O ABC O A B C V V --'''=___________. 【答案】18【解析】如题干图，12AO BO CO A O B O C O =''=='，可证AB //A ′B ′，AC //A ′C ′，BC //B ′C ′.所以平面//ABC 平面A B C '''三棱锥O ABC -和三棱锥O A B C '''-高之比也为12，由等角定理得∠CAB =∠C ′A ′B ′，∠ACB =∠A ′C ′B ′，所以△ABC ∽△A ′B ′C ′，由12AO BO CO A O B O C O =''=='，可得211()24ABC A B C S S '''==，所以O ABC O A B C V V --'''==111428⨯=. 故答案为：185．(2021·山东·日照神州天立高级中学有限责任公司高一月考)如图是边长为1的正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、1AA 的中点，现在沿三角形GFH 所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的______.【答案】148【解析】1111113222248A FGH V -=⨯⨯⨯⨯=,所以148A FGH V V -=正方体，故答案为：148. 6．(2021·黑龙江·哈师大附中高一期中)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，其中14AR AD =，13AP AC =，12AQ AB =，则:A PQR D BCPQ V V --=______．【答案】1:20【解析】作RG ⊥平面ABC ，作DH ⊥平面ABC ，则GH 共线，由14AR AD =，则14RG DH =，由12AQ AB =，13AP AC =，则16APQ ABC S S =，所以15APQBCPQ S S =，所以11113:154203APQ R APQA PQR D BCPQ D BCPQ BCPQ S RG V V V V S DH ----⋅===⨯=⋅，故答案为：1:20【题组四多面体的表面积】1．(2021·上海市控江中学高二期中)若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为___________.【答案】100【解析】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高5h '=，因此，侧面积28451002S +=⨯⨯=，所以所求的侧面积为100.故答案为：1002(2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)已知正三棱锥O ABC -的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的侧面积为___________.【答案】【解析】由题意作出图形如图：因为三棱锥P ABC -是正三棱锥，顶点在底面上的射影D 是底面的中心，在三角PDF 中， 2PD =，DF =，PF ∴==则这个棱锥的侧面积为1342⨯⨯=故答案为：3．(2021·全国·高一课时练习)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．【答案】80+【解析】如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，过点1B 作1B F BC ⊥，垂足为点F ，在1Rt B FB 中1(84)22BF =⨯-=，18B B =，故1B F =所以111(84)2BB C C S =⨯+⨯=梯形故四棱台的侧面积4S =⨯=侧，所以448880S =⨯+⨯=+表故答案为：80+4．(2021·全国·高一课时练习)已知正四棱台两底面边长分别为4cm,8cm ，侧棱长为8cm ，则它的侧面积为_______2cm ．【答案】【解析】作出正四棱台的一个侧面如图，设,E F 分别为,AD BC 的中点，过D 作DG BC ⊥于点G ．由题知4cm,8cm,8cm AD BC CD ===，得2cm,4cm DE FC ==，解得2cm GC =，在Rt DGC △中，DG =，即斜高为，所以所求侧面积为)21(1632)cm 2⨯+⨯=．答案：5．(2021·全国·高一课时练习)若五棱台11111ABCDE A B C D E -的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为______．【答案】5【解析】S S S =+表侧两底，则30255S S S =-=-=两底表侧．故答案为：5.6(2021·全国·高一课时练习)如图，已知正三棱锥S ABC -的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高3SO =，则此正三棱锥的表面积为___________．【答案】【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h '，侧面积、底面积分别为12,S S ，过点O 作OE AB ⊥，与AB 交于点E ，连接SE ，则,SE AB SE h '⊥=．由21 2S S =，即21322a h '⋅⋅=⨯，可得a '.由SO OE ⊥，则222SO OE SE +=，即2223h ⎫''+=⎪⎪⎝⎭．h '∴=6a =．222 6S ∴=== 1 S =∴表面积 1 2 S S S =+==故答案为：【题组五有关球的计算】1．(2021·新疆·新和县实验中学高一期末)若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是( )A ．1:B ．1:C ．2:4:9D ．【答案】A【解析】设三个球的半径分别为1R ，2R ，3R ，因为三个球的表面积之比为1:2:3，所以2221234π:4π:4π1:2:3R R R =，所以123::R R R =所以它们的体积之比为3333331231234π4π4π::::1:333R R R R R R == 故选：A.2．(2021·山东邹城·高一期中)已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2、1、1，且其顶点都在球面上，则该球的体积是( )AB ．6πC ．36πD ．【答案】A【解析】长方体1111ABCD A B C D -=长方体1111ABCD A B C D -343π⨯=⎝⎭．故选：A ．3．(2021·全国·高一课时练习)两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是________．【解析】设大球的半径为R ，则有3334421,233R R ππ=⨯⨯=，所以R =4．(2021·全国·高一课时练习)一个底面直径是32cm 的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9cm 且无溢出，则这个球的表面积是________．【答案】2576cm π【解析】由题意，上升的水的体积即为球的体积，若球的半径为R ，即23324923R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，解得12R =，故这个球的表面积224412576S R πππ=⨯=⨯=．故答案为：2576cm π5．(2021·全国·高一课时练习)如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的表面积为________．【答案】6π【解析】如图，连接AC ，BD 交点为O ，设球的半径为r ，由题意知：SO AO OC OD OB r =====．则AB =，四棱锥的体积为21)3V r =⨯⨯=r = ∴该半球的表面积为22214362S r r r ππππ=⨯+==．故答案为：6π6．(2021·全国·高一课时练习)在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为为【答案】48π【解析】因为四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为所以该四棱锥是正四棱锥，取正方形ABCD 的中心1O ，连接1SO ，AC ，则点1O 为AC 的中点，如图，则球心O 在1SO 上，因为正方形ABCD 边长为6AC ==，所以13AO =，因为SA =，所以1SO ==设四棱锥S ABCD -外接球的半径为r ，则11OO SO SO r =-，在1Rt AOO 中，22211AO AO OO =+，即)2223r r =+，解得：r =所以该四棱锥外接球的表面积为(224π4π48πr =⨯=.【题组六综合运用】1(2021·全国·高一课时练习)如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x 的圆柱．(1)求出此圆锥的侧面积；(2)用x 表示此圆柱的侧面积表达式；(3)当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．【答案】(1)；(2)224(02)S x x x ππ=-+<<圆柱侧；(3)π.【解析】(1)圆锥的底面半径R 与高H 均为2，则圆锥的母线长为L =2S RL ππ==⨯⨯=圆锥侧．(2)设圆柱的半径为r ，则222r x -=，解得2r x =-，且02x <<；所以圆柱的侧面积为222(2)24(02)S rx x x x x x ππππ==-=-+<<圆柱侧．(3)22242(1)1S x x x πππ⎡⎤=-+=--+⎣⎦圆柱侧，02x <<；当1x =时，S 圆柱侧取得最大值为2π，此时1r =，圆柱的体积为2211V r x πππ==⋅⋅=圆柱．2．(2021·贵州·高一月考)在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =6，BC =8，16AA =.(1)求三棱锥1D ABC -的体积；(2)在三棱柱111ABC A B C -内放一个体积为V 的球，求V 的最大值.【答案】(1)48；(2)323π. 【解析】(1)由长方体的几何特征知，1D 到平面ABC 的距离为116DD AA ==, 又1242ABC S AB BC =⋅=,所以11112464833D ABC ABC V S DD -=⋅=⨯⨯=； (2)设球的半径为R ，若该球与三棱柱111ABC A B C -的三个侧面均相切，则R 为ABC 的内切圆的半径，则()1242R AB AC BC ++=, 又=6+10+8=24AB AC BC ++，此时2R =；若该球与三棱柱111ABC A B C -的上下底面均相切，此时126R AA ==,3R =;所以在三棱柱111ABC A B C -内放一个体积为V 的球，该球半径最大为2，3max 4=2=3323V ππ⨯.3．(2021·浙江路桥·高一月考)如图所示，在平面五边形ABCDE 中，2AB AE CD ===，1BC =，DE =90ABC ∠=︒，90AED ∠=︒，分别沿AC ，AD 将ABC 与ADE 折起使得B ，E 重合于点P ．试求：(1)三棱锥A PCD -的体积；(2)三棱锥A PCD -的外接球的表面积．【答案】(2)8π．【解析】(1)PD =1PC =，2CD =，则222 PC PD CD PC PD +=⇒⊥，又AP PD ⊥，AP PC ⊥，PC PD D ⋂=，AP ⊥平面PCD .所以111111233232A PCD PCD V S AP PC PD PA -=⋅=⨯⋅⋅⋅=⨯⨯=△ (2)将三棱锥补成长方体知三棱锥A PCD -的外接球的直径即为长方体的体对角线长，即2R R ==，所以球的表面积为24π8πR =． 4．(2021·河北定州·高一期中)定州市某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是3160000cm 3(1)求正方体石块的棱长；(2)为争创全国文明城市，现将表面脏污，棱角轻微磨损的多面形石凳(图(1))打磨成一个球形的石凳，并用一种环保底漆全面粉刷.已知这种底漆一瓶的净含量为235克，可粉刷21.5m 左右，求此球形石凳最大时，一瓶环保底漆大约可以粉刷几个球形石凳？(精确到1)(π按3.14算)【答案】(1)40cm ；(2)3个.【解析】(1)设正方体石块的棱长为a ，则每个截去的四面体的体积为3113222248a a a a ⨯⨯⨯⨯=. 由题意可得331600008483a a ⨯+=，解得40a =.故正方体石块的棱长为40cm ；(2)当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大.此时正方体的棱长正好是球的直径，∴球形石凳的表面积224041600cm 2S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 41.51031600π⨯≈，所以一瓶环保底漆大约可以粉刷3个球形石凳.5．(2021·湖北孝感·高一期中)如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形ABC 的边长为2cm ，侧棱14cm AA =，若侧面11AA B B 水平放置时(如下图2)，水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点．(1)求容器中水的体积；(2)当容器底面ABC 水平放置时(如图1)，求容器内水面的高度．【答案】(1))3cm ；(2)3cm ．【解析】(1)在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为)222112sin 601sin 6022S cm =⨯⨯︒-⨯⨯︒=，又高为4cm所以水的体积为)34V cm ==，(2)设图1中水高度为cm h ，则212sin 602V h =⨯⨯︒⨯=3h =．所以当容器底面ABC 水平放置时，容器内水面的高度为3cm ．6．(2021·福建宁德·高一期中)如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为15π，底面半径为3r =.(Ⅰ)若正四棱柱的底面边长为a =(Ⅱ)求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.【答案】(Ⅰ)16123π-；(Ⅱ)【解析】设圆锥母线长为l ，高为h ，正四棱柱的高为1h(Ⅰ)由S rl π=圆锥侧，有315l ππ=，故5l =，由222h r l +=，故4h =，所以圆锥体积为2211341233V r h πππ==⨯⨯=圆锥由a =2，由图可得11h r h r -=，所以11318433r h h r --==⨯=，故正四棱柱的体积为21816233V a h ==⨯=正四棱柱所以该几何体的体积为16123V V π-=-圆锥正四棱柱 (Ⅱ)由图可得12r h h r =，即13243h =，即1312h +=由13h +≥，当且仅当136h ==时左式等号成立，有112h a ⇒≤12h =，a =故正四棱柱侧面积14S h a =≤侧12h =，a =所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为7．(2021·福建福州·高一期中)如图所示的圆锥，顶点为O ，底面半径是5cm ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm ，这个平面与母线OA 交于点B ，线段AB 的长为10cm ．(提示：本题的数据有长度单位)(1)求圆台的体积和圆台的侧面积；(2)把一根绳从线段AB 的中点M 开始到点A ，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；【答案】cm 3，75πcm 2；(2)25cm. 【解析】(1)作出圆锥的轴截面和沿OA 剪开的侧面展开图，如下图由下底面半径是5cm ，上底半径为2.5cm ，AB 的长为10 cm ，可得：10OB =cm ，因此圆台的体积为：223115 2.5(33cm )V ππ=⨯⨯⨯=，侧面积为：2520 2.510)75cm (S πππ=⨯⨯-⨯⨯=．(2)由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10π，所以，侧面展开图的圆心角为2π，在直角三角形MOA '中15OM =，可得25(cm)MA '=，所以最短时候，绳长为25cm。

高中必修二数学练习题及讲解答案

高中必修二数学练习题及讲解答案### 高中必修二数学练习题及讲解答案#### 练习题一：函数的性质题目：已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) ，求该函数的单调区间。

解答：首先，我们需要找到函数的导数来确定其单调性。

对 \( f(x) \) 求导得到 \( f'(x) = 4x - 3 \)。

令 \( f'(x) = 0 \) 求得极值点：\[ 4x - 3 = 0 \]\[ x = \frac{3}{4} \]接下来，我们分析 \( f'(x) \) 的正负来确定单调性：- 当 \( x < \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) < 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, \frac{3}{4}) \) 上单调递减。

- 当 \( x > \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) > 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \) 上单调递增。

因此，函数 \( f(x) \) 的单调递减区间为 \( (-\infty,\frac{3}{4}) \)，单调递增区间为 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \)。

#### 练习题二：三角函数的图像与性质题目：已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且 \( \alpha \) 位于第一象限，求 \( \cos(\alpha) \) 的值。

解答：根据正弦和余弦的关系，我们知道：\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，代入上式得：\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \frac{9}{25} + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} \]\[ \cos^2(\alpha) = \frac{16}{25} \]因为 \( \alpha \) 在第一象限，余弦值为正，所以：\[ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \]#### 练习题三：不等式的解法题目：解不等式 \( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。

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高中数学必修二练习题及答案解析时间120分钟，满分150分。

一、选择题1.若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为A. 3B. 4C. 5D. 63.已知平面a和直线1,则a内至少有一条直线与1A.平行B.相交C.垂直D.异面4.长方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB, A1D1 所成的角等于A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a , 使得A. a? a , b? aB. a? a , b〃 aC. a± a , b± aD. a? a , b± a6.下面四个命题：若直线a, b异面，b, c异面，则a, c异面;若直线a, b相交，b, c相交，则a, c相交；若a〃b,则a, b与c所成的角相等；若a_Lb, b±c,则a〃c.其中真命题的个数为A. 4B. 3C. 2D. 17.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E, F分别是线段A1B1, B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E-B1F,有下面四个结论：EFXAA1；②EF//AC；③EF与AC异面；④EF〃平面ABCD.其中一定正确的有A.①②B.②③C.②④D.①④8.设a, b为两条不重合的直线，a, B为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是A.若a, b与a所成的角相等，则a〃bB.若a〃 ci , b〃 B , ci 〃 B，贝U a〃bC.若a?ct , b?B , a//b,贝I] a 〃 BD.若a_L ci , b± B , a _L B，则a_Lb9.已知平面ci上平面B , Q C B =1,点AC a , A?l, 直线AB//1,直线AC±1,直线m〃a, n〃 B ,则下列四种位置关系中，不一定成立的是A. AB〃mB. AC±mC. AB〃BD. AC± B10.）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为43A. — B. .533C. 4D. -511.已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB = AC = 3, BC = 2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为11A. B. C. 0D. -212.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA_L平面ABCD, PA=AB,则PB与AC所成的角是A.90°B. 60°C. 45°D. 30°二、填空题13.下列图形可用符号表示为14.正方体ABCD-A1B1C1D1 中，二面角C1-AB-C 的平面角等于.15.设平面a 〃平面B , A, CC ci , B, DC B ,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面a, B之间，AS = 8, BS = 6, CS = 12,则SD=.16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:AC±BD；AACD是等边三角形；AB与平面BCD成60°的角；AB与CD所成的角是60° .其中正确结论的序号是.三、解答题17.如下图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AABC与AA1B1C1都为正三角形且AA1±面ABC, F、Fl分别是AC,A1C1的中点.求证：平面AB1F1 〃平面C1BF；平面AB1F11 平面ACC1A1.［分析］本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件.18.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA_L平面ABCD, AB = 4, BC = 3, AD = 5, ZDAB= ZABC = 90° , E 是CD的中点.证明：CD 平面PAE；若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.19.如图所示，边长为2的等边APCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC = 2, M为BC的中点.证明：AM1PM；求二面角P-AM—D的大小.20.如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形, B1CXA1B证明：平面AB1C1平面A1BC1；设D是A1C1上的点，且A1B〃平面B1CD,求AID DC1 的值.221.如图，AABC 中，AC = BC = 2, ABED 是边长为1的正方形，平面ABEDX底面ABC,若G, F分别是EC, BD的中点.求证：GF〃底面ABC；一、选择题1、给出的下列命题中，正确命题的个数是梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面A.1B.C.D.参考答案与解析：思路解析:逐个对各选项分析：梯形是一个平面图形，所以其四个顶点在同一个平面内，①对;两条平行直线是可以确定一个平面的，三条平行直线有可能确定三个平面,②错；三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上,③错;设这四条直线分别为11、12、13、14,取其中两条相交直线11和12,则它们可确定一个平面Q,取13,设其与11、12的交点分别为A、B,则由题意知这两点不同，且AE 11, 12,所以有A、BC ci ,从而13£ a ；同理可证明14F Q .所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面，④对.答案:B主要考察知识点：空间直线和平面2、如图2-1-17,空间四边形SABC中，各边及对角线长都相等，若E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于A.90°B. 60°C. 45°D. 30°图2-1-17参考答案与解析:思路解析:求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上,为此取SB的中点G,连结GE、GF、BE、AE.由三角形中位线定理得GE二BC, GF-SA,且GF//SA,所以ZGFE就是EF与SA所成的角.若设此空间四边形边长为a,那么GF=GE二a, EA二a, EF二成的角为45° .答案:Ca,因此Z\EFG为等腰直角三角形，ZEFG-450,所以EF与SA所主要考察知识点：空间直线和平面3、如果直线a 〃平面Q,那么直线a与平面a内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交参考答案与解析:思路解析:利用线面平行的定义.直线a〃平面Q,则a与a无公共点，与a内的直线当然均无公共点.答案:D主要考察知识点：空间直线和平面4、若点M在直线a上，a在平面a内，则M、a、a间的上述关系可记为A. M G a, a G ciB. a, aC. Ma, a aD. Ma, a a a参考答案与解析:B主要考察知识点：空间直线和平面5、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M,贝UA.M 一定在直线AC上B.M 一定在直线BD上C.M可能在AC±,也可能在BD上D.M不在AC±,也不在BD上参考答案与解析:A 主要考察知识点：空间直线和平面6、下列说法正确的是A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面a和平面B有不同在一条直线上的三个交点参考答案与解析:解析：A错，不共点的三点;B错，如空间四边形;D错,两平面的三个交点在同一直线上.答案：C主要考察知识点：空间直线和平面7、若点M在直线a上,a在平面a内，则M, a, a间的上述关系可记为A. M G a, a G aB. M £ a,c. , D.,参考答案与解析:解析：要明确数学符号语言的表示.答案：B主要考察知识点：空间直线和平面8、异面直线是指A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线参考答案与解析:解析：A错,有可能平行；B错，有可能平行或相交；C错,有可能平行或相交；D正确.主要考察知识点：空间直线和平面9、若a〃 a , b〃 Q ,则直线a、b的位置关系是A.平行B.相交C.异面D. A、B、C均有可能参考答案与解析:解析：平行、相交、异面都有可能，此题的难点在于可能选平行，易和平行公理混淆.答案：D主要考察知识点：空间直线和平面10、下列命题：若直线1平行于平面。

2022版人教A版高中数学必修第二册练习题--频率与概率

2022版人教A版高中数学必修第二册--10.3频率与概率10.3.1频率的稳定性10.3.2随机模拟基础过关练题组一频率与概率的意义1.下列说法中正确的是()A.任何事件发生的概率总是在区间(0,1)内B.频率是客观存在的,与试验次数无关C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的,在试验前不能确定2.(2020江苏无锡高一下期末)某医院治疗一种疾病的治愈率为50%,下列说法正确的是()A.如果第1位病人没有被治愈,那么第2位病人一定能被治愈B.2位病人中一定有1位能被治愈C.每位病人被治愈的可能性是50%D.所有病人中一定有一半的人能被治愈3.(2021安徽淮南高一下月考)下列结论正确的是()A.事件A发生的概率P(A)=0.001,则事件A是不可能事件B.事件A发生的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380名有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其有明显疗效的可能性为76%D.某奖券的中奖率为50%,则某人购买此种奖券10张,一定有5张中奖4.下列说法中,不正确的是()A.某人射击10次,击中靶心8次,则他击中靶心的频率是0.8B.某人射击10次,击中靶心7次,则他击不中靶心的频率是0.7C.某人射击10次,击中靶心的频率是12,则他击中靶心5次D.某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心的次数应为4次5.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是()A.1999B.11000C.9991000D.12题组二用频率估计概率6.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如表:卡片号码12345678910取到的次数101188610189119则取到的号码为奇数的概率估计值是()A.0.53B.0.5C.0.47D.0.377.从一堆苹果中任取20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布表如下:分组[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数1231031则在这堆苹果中随机抽取一个,其质量不小于120克的概率为.题组三用随机模拟方法估计概率8.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于()A.产生的随机数的大小B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果D.产生随机数的方法9.一个袋子中有红、黄、蓝、绿各一个小球,有放回地从中任取一个小球,将“三次抽取后,红色小球、黄色小球都取到”记为事件M,用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用计算机随机产生0,1,2,3四个随机数,分别代表红、黄、蓝、绿四个小球,以每三个随机数为一组,表示取小球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:110321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计事件M发生的概率为()A.29B.13C.518D.2310.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a到整数b之间(包括a,b,且a<b)的每个整数出现的可能性是.11.一个袋中有7个大小、形状相同的小球,其中6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验计算恰好第三次取到红球的概率.能力提升练题组一用频率估计概率1.(2021黑龙江哈尔滨三校高二上期末联考,)随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n 2 100 1 000根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是()A.715B.25C.1115D.13152.(多选)(2021山东菏泽一中高二上月考,)小张上班从家到公司开车有两种方案,所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如下表所示:所需时间(分钟)30405060方案一0.50.20.20.1方案二0.30.50.10.1则下列说法正确的是()A.任选一种方案,“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B.从所需的平均时间看,方案一比方案二更节省时间C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司,小张应该走方案一D.若小张上、下班选择不同的方案,则所需时间之和大于100分钟的概率为0.043.()某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85a a1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.题组二随机模拟方法的应用4.(2020山东济南历城二中高一下月考,)为了配合新冠疫情防控,某市组织了以“停课不停学,成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动,为了了解一周内学生的线上学习情况,从该市抽取了1 000名学生进行调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图.(1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2名线上学习时间在[200,300)内的概率P,特设计如下随机模拟试验:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,依次用0,1,2,3,…,9的前若干个数字表示线上学习时间在[200,300)内,剩余的数字表示线上学习时间不在[200,300)内;再以每三个随机数为一组,代表线上学习的情况.假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数,请根据这批随机数估计概率P;907966191925271569812458932683431257393027 556438873730113669206232433474537679138598 602231(2)为了进一步进行调查,用比例分配的分层随机抽样方法从这1 000名学生中抽取20名学生,在抽取的20人中,再从线上学习时间在[350,450]内的同学中任意选择2名,求这2名同学来自同一组的概率.答案全解全析基础过关练1.C必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,所以任何事件发生的概率总在区间[0,1]内,故A中说法错误;B,D混淆了频率与概率的概念.故选C.2.C治愈率为50%是一种概率,只是一种可能性,针对具体的个体并不一定发生,故A、B、D均不正确,C正确.故选C.3.C对于A,P(A)=0.001只说明事件A发生的可能性很小,但不是不可能事件;对于B ,P (A )=0.999只说明事件A 发生的可能性很大,但不是必然事件; 对于D ,该人不一定有5张中奖,可能一张也不中; 易知C 正确.故选C.4.B 某人射击10次,击中靶心8次,所以他击中靶心的频率是810=0.8,故A 中说法正确;某人射击10次,击中靶心7次,所以他击不中靶心的频率是10-710=0.3,故B 中说法不正确;某人射击10次,击中靶心的频率是12,所以他击中靶心10×12=5(次),故C中说法正确;某人射击10次,击中靶心的频率是0.6,所以他击不中靶心10×(1-0.6)=4(次),故D 中说法正确.故选B.5.D 抛掷一枚质地均匀的硬币,每次都只出现两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结果出现的可能性相等,故所求概率为12.6.A 由题表得,取到的号码为奇数的频率是10+8+6+18+11100=0.53,所以取到的号码为奇数的概率的估计值为0.53. 7.答案 0.7解析计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率,来估计随机抽取一个苹果,其质量不小于120克的概率,由题意知10+3+120=0.7.8.B 随机数数量越多,概率越接近实际数.9.B 由题表中数据知表示事件M 发生的随机数有110,021,001,130,031,103,共6组,由此可以估计事件M 发生的概率P =618=13.故选B.10.答案1b -a+1解析 [a ,b ]中共有(b -a +1)个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出现的可能性是1b -a+1.11.解析本题答案不唯一.用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.例如,产生20组随机数:666743671464571561156567732375 716116614445117573552274114662相当于进行了20次试验,在这些数组中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是567和117,共两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为220=0.1.能力提升练1.C由题意,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200+2 100=3 300,由此估计对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为33004500=1115,故选C.2.BD“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件,A错误;方案一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+60×0.1=39(分钟),方案二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40(分钟),所以方案一比方案二更节省时间,B正确;方案一所需时间小于45分钟的概率为0.7,方案二所需时间小于45分钟的概率为0.8,所以小张应该选择方案二,C错误;若所需时间之和大于100分钟,则方案一、方案二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情况,概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04,D正确.故选BD.3.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.=0.55,故P(A)的估计值为由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+502000.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30=0.3,200故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得下表:保费0.85a a1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a(元).因此续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元.4.解析(1)由题中频率分布直方图可知,线上学习时间在[200,300)内的频率为(0.002+0.006)×50=0.4,所以可以用数字0,1,2,3表示线上学习时间在[200,300)内,数字4,5,6,7,8,9表示线上学习时间不在[200,300)内.观察题中随机数组可得,3名同学中恰有2名线上学习时间在[200,300)内的有191,271,812,932,431,393,027,730,206,433,138,602,共12组.用频率估计概率可得,该市3名同学中恰有2名线上学习时间在[200,300)内的概率P=12=0.4.30(2)抽取的20人中,线上学习时间在[350,450]内的同学有20×(0.003+0.002)×50=5(人),其中线上学习时间在[350,400)内的同学有3名,设为A,B,C,线上学习时间在[400,450]内的同学有2名,设为a,b,则从5名同学中任取2名的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,用M表示“2名同学来自同一组”这一事件,则=0.4.M={(A,B),(A,C),(B,C),(a,b)},共4个样本点,所以P(M)=410。

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高中数学必修二经典练习题Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】高一数学必修二第二章经典练习题第I卷（选择题）请修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单项选择1. 在空间，下列哪些命题是正确的（）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A．仅②不正确B．仅①、④正确C．仅①正确D．四个命题都正确2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α内（）A 不存在与a平行的直线B 不存在与a垂直的直线C 与a垂直的直线只有一条D 与a平行的直线有无数条3. 平面α内有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（）A 必有外接圆B 必有内切圆C 既有内切圆又有外接圆D 必是正方形4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( )A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（）A 是非等腰的直角三角形B 是等腰直角三角形C 是等边三角形D 不是A、B、C所述的三角形8. 已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE SD，所成的角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.239. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED 与D1F所成角的大小是（）A．15B。

13C。

12D。

3210. 已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( )A.若//,,//m n m n αα⊂则B.若,,m m n n αβα⋂=⊥⊥则C.若//,//,//m n m n αα则D.若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=则11. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．9012. 已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件13. 设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，下列命题中是真命题的是（）A ．////b b c c αα⊂⎫⇒⎬⎭ B ．////b c b c αα⊂⎫⇒⎬⎭C ．//c c ααββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭D ．//c c αβαβ⎫⇒⊥⎬⊥⎭14. 在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（）15. 在正方体1111D C B A ABCD -中,O 为正方形ABCD 中心,则O A 1与平面ABCD 所成角的正切值为( ) A.2 B.22 D.3316. 在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是11A C 的中点，则直线CE 垂直于（）A ACB BDC 1AD D 11A D17. 四条不共线的线段顺次首尾连接，可确定平面的个数是（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．1或418. 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中真命题是( )A ．若a ，b 与α所成角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α⊥β，则a ⊥bC ．若a α，b β，a ⊥b ，则α⊥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥bA ．点H 是1A BD ∆的垂心B ．AH 垂直平面11CB DC ．AH 的延长线经过点1CD ．直线AH 和1BB 所成角为4529. 空间四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，且AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 是（） A ．菱形 B ．矩形 C ．梯形 D ．正方形30. 命题：（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影；（2）两条异面直线在同一平面内的射影是两条相交直线；（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线；（4）一个锐角在一个平面内的射影一定是锐角。

以上命题正确的有（） A 0个 B 1个 C 2个 D3个31. 正四棱锥P ABCD -的所有棱长相等,E 为PC 的中点,那么异面直线BE 与PA 所成角的余弦值等于( ) A.12B.22C.23D.3332. 对于任意的直线l 与平面α,在平面α内必有直线m ,使m 与l ( )(A)平行（B ）相交(C)垂直 (D)互为异面直线33. 已知a 、b 、c 均是直线，则下列命题中，必成立的是 ( ） A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c B ．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交C ．若a 在正四棱锥P-ABCD 中，点P 在底面上的射影为O ，E 为PC 的中点，则直线AP 与OE 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．都有可能35. 三棱锥P －ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，△ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( ) A ．7 B ． C ．8 D ．936. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（）（A ） 34 (B) 54 (C) 74 (D) 3437. 已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（）A ． //a b ，//b α，则//a αB ． a ，b α⊂，//a β，//b β，则//αβC ． a α⊥，//b α，则a b ⊥D ．当a α⊂，且b α⊄时，若b ∥α，则a ∥b38. 与空间四点距离相等的平面共有（） A ．3个或7个 B ．4个或10个 C ．4个或无数个 D ．7个或无数个39. 已知直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂，，，m γ⊥，则有( )（A ）αγ⊥且//m β （B ）αγ⊥且l m ⊥ （C ）//m β且l m ⊥ （D ）//αβ且αγ⊥40. 在棱长为1的正方体ABCD-1111D C B A 中，C A 1与平面ABCD 所成的角为( )A 、6πB 、33arctanC 、3πD 、22arctan第II 卷（非选择题）请修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题41. 已知直线a 和平面βα,,试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系,构造出一个条件,使之能判断出α⊥β ,这个条件可以是 .42. 已知三个平面α、β、γ，α∥β∥γ，a,b 是异面直线，a 与α，β，γ分别交于A 、B 、C 三点，b 与α、β、γ分别交于D 、E 、F 三点，连结AF 交平面β于G ，连结CD 交平面β于H ，则四边形BGEH 必为__________．43. m 、n 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ①若α⊥m ,β⊂m ,则βα⊥;②若α⊂m ,α⊄n ,m 、n 是异面直线,则βα⊥; ③若α⊂m ,α⊂n ,m ∥β,n ∥β,则α∥β;④若m =βα ,n ∥m ,α⊄n ,β⊄n ,则n ∥α且n ∥β. 其中正确命题序号是 .44. 已知平面,,αβγ,直线,l m 满足:,,,αγγαγβ⊥==⊥m l l m ,那么①m β⊥; ②l α⊥; ③βγ⊥; ④αβ⊥.可由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号都填上).45. 已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.11题图（i ）当满足条件时，有β//m ；（ii ）当满足条件时，有β⊥m . （填所选条件的序号）评卷人得分三、解答题46. 如图,四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形,且PA=AD=1,AB=2, 120PAB ∠=,90PBC ∠=.(1)求证:平面PAD ⊥平面PAB ; (2)求三棱锥D －PAC 的体积;47. 如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥， AD AB ⊥，24CD AB ==，2AD =，E 为CD 的中点，将BCE ∆沿BE 折起，使得⊥CO DE ，其中点O 在线段DE 内. （1）求证：CO ⊥平面ABED ；（2）问CEO ∠(记为θ)多大时, 三棱锥C AOE -的体积最大最大值为多少48. 如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ⊥面ABCD,E 是PC 的中点.求证:(1)PA∥平面BDE (2)平面PAC ⊥平面BDEABCDOPE49. 如图，已知四棱台ABCD –A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1=2.（ I ）求证：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1；（Ⅱ）求四棱台ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积；（Ⅲ）求二面角B —C 1C —D 的余弦值．50. 如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．,,,A A B B ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点，1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '',DE ,D E ''的中点．（1）证明：12,,,O A O B ''四点共面；（2）设G 为AA '中点，延长1A O ''到H '，使得11O H A O ''''=．证明：2BO '⊥平面H B G ''．A 'BE 'CC 'EAB 'DD 'GH '2O1O '2O '参考答案一、单项选择1.【答案】B【解析】①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D【解析】∵AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，∴A 不成立；又平面PAB ⊥平面PAE ，∴平面PAB ⊥平面PBC 也不成立；∵BC ∥AD ，∴BC ∥平面PAD ，∴直线BC ∥平面PAE 也不成立．在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴D 正确．5.【答案】D6.【答案】D【解析】设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m 、n ，直线m 、n 确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．7.【答案】C8.【答案】连接AC 、BD 交于O,连接OE,因OE∥SD.所以∠AEO 为所求.设侧棱长与底面边长都等于2,则在⊿AEO 中,OE ＝1,AO ＝2,AE=3122=-, 于是3331132)2(1)3(cos 222==⨯⨯-+=∠AEO 【答案】C9.【答案】A 10.【答案】D11.【答案】C【解析】取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，AE DE ∴⊥，因此AD 与平面11BB C C 所成角即为ADE ∠，设AB a =，则3AE a =，2aDE =，即有0tan 3,60ADE ADE ∠=∴∠=．12.【答案】B 13.【答案】C 14.【答案】A【解析】∵CD 在平面BCD 内，AB 是平面BCD 的斜线，由三垂线定理可得A.15.【答案】A16.【答案】B 17.【答案】D【解析】可以是平面四边形，也可以是空间四边形，所以正确选项为D.18.【答案】 D【解析】正四棱锥P －ABCD 中，PA 、PC 与底面ABCD 所成角相等，但PA 与PC 相交，∴A 错；如图(1)正方体中，a ∥b ∥c ，满足a ∥α，b ∥β，α⊥β，故B 错；图(2)正方体中，上、下底面为β、α，a 、b 为棱，满足a α，b β，a ⊥b ，但α∥β，故C 错；19.【答案】Ｃ【解析】在平面DAB 内过点Ｂ与直线BC 成60°角的直线共有２条，故在平面DAB内过点Ｐ与直线BC成60°角的直线共有２条。