函数零点存在性定理

函数零点存在性定理:

一般地，如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) . f(b)

(2) 并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x 2 -3x +2有f(0) f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点.

(3) 若f(x)在［a，b］上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a) . f(b)<0，则fx)在(a，b)上有唯一的零点.

函数零点个数的判断方法

(1) 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找岀零点.

特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0 在［0，2］上有两个等根，而函数f (x) =x 2-2x +1在［0，2］上只有一个零点

②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

⑵代数法：求方程f(x) =0的实数根.

例题1：

若函数f (x)唯一的一个零点同时在区间(0 ,16 )、( 0，8)、( 0，4 )、( 0，2)内，下列结论:

(1)函数f (x)在区间(0, 1)内有零点；

(2)函数f (x)在区间(0 , 1)或(1，2)内有零点；

(3)函数f (x)在区间［2，16 )内无零点；

(4)函数f (x)在区间(0 ,16 )上单调递增或递减.

其中正确的有________ (写岀所有正确结论的序号).

答案

由题意可确定f (x)唯一的一个零点在区间(0, 2)内，故在区间［2 ,16 )内无零点.

(3)正确，

(1)不能确定，

(2)中零点可能为1 ,

(4 )中单调性也不能确定.

故答案为：(3)

例题2:

已知函数沁；\" 6 7有零点，则实数的取值范围是()

例题3:

T^A={^|0

答案〔找作业答棄…2上魔方格)

負和B中y的取億範®不是⑴2}不合题意，故脯］睹环成立；

(■丰x刖更肓叵至不是匸、F刖柬值葩壶不是［「兀・不令更意、啟匚=戌立:

D中，0符合题意，

故选D.

例题4：

函数f (x) =3ax-2a+1 在［-1,1］上存在一个零点，则实数 a的取值范围是( )

A. a > 1/5;

B. a < -1 ;

C. -1 < a < 1/5 ;

D. a > 1/5 或a < -1

答案: 由题意可得f (-1 )X f ( 1 ) <0,解得

•••(5a-1 )(a+1 )>0

.'a > 1/5 或 a 二1 故选D

例题5:

若函数f(x)=x 2+log 2|X|-4的零点m € (a, a+1) , a€ Z,则所有满足条件的a的和为() 答案：-1

例题6：

已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表:

那么，函数f(x)在区间［1，6］上的零点至少有

A. 5个

B. 4个

C. 3个

D . 2个

答案：C