函数零点存在性定理
零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
函数的零点存在性定理ppt课件
结合思想，培养学生的辨证思 维能力，以及分析问题解决问 题的能力．
教学过程
（一）回顾旧知，发现问题 问题1 函数的零点： _________________________________ 问题2 求出函数的零点:
f (x) 4x 3 f (x) x2 2x 3
问题3 用上述方法能否求出下列函数的零点
2.数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想
【课后作业】
1.函数f (x) ex x 2 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 2.方程lg x x 0 的根所在的区间可能是 A.( ,0) B.(0.1,1) C.(1,2) D.(2,4)
f (x) x3 3x 5
f (x) ln x 2x 6
分析函数(画图)
f (x) 4x 3
f (x) x2 2x 3
问题1 分别找出上述函数零点所在的大致区间. 问题2 观察区间端点的函数值的符号变化问题.
总结归纳，形成概念:
函数零点的存在性定理： __________________________________ _______________________
【学习目标】
1 .知识和技能目标：掌握函数零点的存在性定理；正确判断
出零点所在的区间.
2 .过程与方法：有些函数通过求方程的根求零点,有些函数不
易通过求方程的根求出零点.以这个问题为突破口,引出零点存在 性.在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归 纳思想.
3 .情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形
讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立 吗？试举例并结合图形来分析.
高中数学讲义微专题10 函数零点的个数问题
微专题10 函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系 设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
函数零点存在定理
函数零点存在定理
函数零点存在定理又称为泰勒定理(Theorem of Existence of Zeroes)，是由英国数学家乔治·泰勒在1780年提出的一个定理，它宣称有限阶可导分数多项式必定存在相应的多项式上的零点，又称泰勒定理。
即：
设P(x)是n（n≥1）阶可导分数多项式，则P(x)在R上必存在至少一个零点。
该定理可以用来证明空间曲线的存在性，其证明的思路是：设P(x)为n（n≥1）阶可导分数多项式，令P(x)在R上的定义域为D，构造一定义域D′（D′⊂D），1）把D′拆分为n个小闭区间，2）用代数表示多项式P(x)在小闭区间[a,b]中的一个局部极值，3）由于P(x)是可导分数多项式，即D′中存在一个可导分数多项式的最小值，4）由此和函数零点存在定理相结合，即证明P(x)在定义域D′上必存在至少一个零点。
简言之，泰勒定理是指有限阶可导分数多项式的零点必定存在。
高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析
高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
高考数学专题函数零点的个数问题
第 10 炼函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x称为函数y f x x D 的零点2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ，那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得f x0 。
（1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续）① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程1lnx x 0 ，无法直接求出根，构造函数f x lnx x ，由f 1 0, f 0 即可判定21其零点必在1,1 中22、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
人教必修一数学《3.1.1.2函数与方程(2)函数零点的存在性定理》(课件)
C. a 1 或a 1 D. a 1 5
4 . 若方程2ax2 x 1 0在（0，1）内 恰有一个解，则a的取值范围是______。
「家庭作业」 1. 《考向标》 P71 — P72； 2. 自学教材：P89 — P91：
二分法求方程的近似解。
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
自我感悟
教材P87 — P88 通过对二次函数零 点所在区间其有的特点，得出一般函数 y = f (x)在区间［a，6］上是否存在零点 的“零点存在性定理”。
请你思考以下几个问题：
（1）为何规定函数 y = f (x)的图象是 连续不断的？
（2）为何只研究 f (a) ·f (b) < 0这个 情况？
（3）为何只说“存在 c (a，b) ，
使得 f (c) = 0”而不说到底有几个零点？ （4）要得出函数 y = f (x)在区间
［a，b］上零点个数，你认为应增加哪些 条件？
知识归纳
函数零点存在定理
如果函数y f ( x)在区间a，b上的图象
是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b) 0， 那么，函数 y f ( x)在区间(a，b)内有零点，即 存在c (a，b)，使得f (c) 0，这个也就是方程 f ( x) 0的根.
知识运用
1.教材P92 A组T 2
2. 求函数f ( x) ln x 2x b的零点个数.
3 . 设f ( x) 3ax 1 2a在(1，1)上存在
x0，使f ( x0 ) 0，则a的取值范围是（ ）
A. a 1 B. a 1
5
5
零点存在定理及应用
零点存在定理及应用零点存在定理（Bolzano定理）是数学分析中的一个重要定理，它指出在某个区间内，如果一个连续函数在两个端点上取不同的符号，那么在这个区间内至少存在一个零点。
这个定理的发现者是卡尔·密特罗斯·博尔扎诺（Karl Mětros Bolzano），因此在他的名字之后也被称为博尔扎诺定理。
零点存在定理的形式化表述为：设f(x)是一个定义在闭区间[a,b]上的连续函数，且f(a)f(b)<0，则在开区间(a,b)内至少存在一个数x_0，使得f(x_0)=0。
这个定理的直观意义就是，如果一个连续函数在某个区间的两个端点上的取值符号不同，那么必然存在这个区间内的某个数值使得函数的值为零。
也就是说，连续函数在穿越x轴时必然会有一个交点。
零点存在定理在数学分析、微积分、实变函数等领域有着广泛的应用。
其中，最常见的应用之一就是用来证明方程在某个区间内存在根。
而方程的根在现实生活和工程领域中有着广泛的应用。
比如，在物理学中，零点存在定理可以用来证明某些物理规律下的方程存在实际物理意义的解；在工程领域中，零点存在定理可以用来解决工程设计中的方程求解问题。
另外，零点存在定理还可以用来证明介值定理（Intermediate Value Theorem）。
介值定理指出，如果一个连续函数在闭区间[a,b]上取不同的两个值f(a)和f(b)，那么在这两个值之间的任意数值都能在区间[a,b]内找到函数的一个对应的值。
这个定理在分析、微积分、实变函数等领域中有着重要的应用，可以用来证明和推导其他的性质和定理。
除了上述的应用之外，零点存在定理还可以用来解决数值分析中的零点近似问题。
通过对连续函数的区间进行逐步细化，就可以找到连续函数在某个区间内的一个零点。
这对于计算机科学、工程计算等领域中的数值计算问题具有重要的意义。
总之，零点存在定理在数学分析和相关领域中具有广泛的应用。
通过这个定理，我们可以证明方程的根的存在性，解决实际问题中的方程求解问题，推导其他定理和性质，以及解决数值计算中的零点近似问题。
高一数学函数的零点存在定理及其应用分析总结
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a, b)内有零点。
单调性判断：根据零点存在定理，如果函数f(x)在区间[a, b]上有零点，则f(x)在区间(a, b)上至少有一个单调区间。
应用实例：例如，判断函数f(x)=x^3-x在区间[-1, 1]上的单调性，可以通过零点存在定理来判断。
结合实际应用：结合实际例子，理解定理的应用方法和技巧
注意定理的局限性：了解定理的局限性和适用条件
掌握定理的应用范围：了解定理的应用条件和适用范围
感谢您的观看
注意事项：在使用零点存在定理判断函数单调性时，需要注意函数的连续性和零点的存在性。
在研究函数图像中的应用
求解函数方程：通过零点存在定理，可以求解函数方程，得到函数的解析式
确定函数图像的零点：通过零点存在定理，可以确定函数图像的零点位置
判断函数图像的性质：通过零点存在定理，可以判断函数图像的连续性、单调性等性质
研究函数图像的极限：通过零点存在定理，可以研究函数图像的极限，得到函数的极限值
在解决实际问题中的应用
零点存在定理在解决实际问题中的应用广泛，如求解方程、优化问题等
零点存在定理在解决实际问题时，需要注意定理的适用条件和范围，避免错误应用
零点存在定理在解决实际问题时，需要结合实际问题的具体情况，灵活运用
零点存在定理的数学表达
零点存在定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a, b)内至少有一个零点。
零点：函数f(x)的零点是指使得f(x)=0的x值。
பைடு நூலகம்
连续函数：如果函数f(x)在区间[a, b]上每一点x都有定义，且对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|f(x)-f(x0)|<ε，则称f(x)在区间[a, b]上是连续的。
零点存在定理的前提条件 -回复
零点存在定理的前提条件-回复零点存在定理是实分析中的一个重要定理，它断言了一个连续函数在某个区间上必然存在一个零点。
在讨论前提条件之前，我们首先来了解一下零点存在定理的具体表述。
零点存在定理（Bolzano 定理）：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a)f(b)<0，则必存在一个c\in(a,b)使得f(c)=0。
这个定理非常直观，它告诉我们，只要一个函数在某个区间上连续，并且函数在这个区间的两个端点上的函数值异号，那么在这个区间上一定存在至少一个点，使得函数的值等于零。
现在让我们来分析零点存在定理的前提条件，即函数连续和函数值异号。
首先，我们来了解一下连续函数的定义。
一个函数f(x)在某个区间上连续，意味着对于任意给定的x_0，当x足够接近x_0时，f(x)也会足够接近f(x_0)。
换句话说，函数在这个区间上没有断点、无间断。
接下来，我们考虑定理中的第二个前提条件：函数在区间的两个端点上的函数值异号。
这意味着函数在区间的两个端点上的函数值一个为正，一个为负。
这个条件比较容易满足，因为只要函数在区间的两个端点的函数值异号，我们就可以找到一条连接这两个端点的连续曲线，而且这个曲线肯定会与x轴相交，即存在函数的零点。
所以，零点存在定理的前提条件可以简单总结为，函数在某个区间上连续，并且函数在这个区间的两个端点上的函数值异号。
接下来，我们需要思考为什么这些前提条件是成立的。
这涉及到实数的基本性质和函数连续性的相关知识。
首先，我们知道实数集上存在公理，例如阿基米德性公理、稠密性公理等。
这些公理保证了实数集的完备性，即实数集中没有空隙，任意两个实数之间都存在有理数。
这个完备性是实分析理论的重要基础之一。
其次，函数连续性的概念也是基于实数集的完备性。
连续函数的定义就是基于实数集中的点之间的距离来描述的。
因此，当我们讨论函数在某个区间上连续时，实际上是在讨论实数集中点与点之间的距离的性质。
零点存在性定理
2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图） 简图） 简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能 问题 ： 表示函数？ 表示函数？ 问题2： 问题 ：你能从中分析 函数有哪些零点吗？ 函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 设问激疑 延伸拓展 例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。 的零点个数。
再次思考问题： 再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
∴选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移 初步应用 理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤： 求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； 解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点 如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。
零点存在性定理
随着数学研究的不断深入，有望出现新的证明方法和思路，为定理的证明和应用提供新 的视角和途径。
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在微分方程中的应用
初始值问题的解的存在性
对于某些微分方程的初始值问题，可以利用零点存在性定理证明解的存在性。
周期解的存在性
对于某些具有周期性的微分方程，可以利用零点存在性定理证明周期解的存在性。
03
零点存在性定理的推广和深 化
推广到高维空间
零点存在性定理最初是在一维实数线上证明的，但后来被推 广到了高维空间。在高维空间中，零点存在性定理的应用更 加广泛，涉及到许多重要的数学问题，如多元函数的零点、 向量场的奇点等。
零点存在性定理
目录
• 零点存在性定理的概述 • 零点存在性定理的应用 • 零点存在性定理的推广和深化 • 零点存在性定理的进一步思考 • 零点存在性定理的实践应用案例 • 总结与展望
01
零点存在性定理的概述
定理的定义
• 零点存在性定理：如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c \in (a, b)$， 使得$f(c) = 0$。
零点存在性定理的证明和应用推 动了数学的发展，激发了众多数 学家和学者的研究热情，促进了 数学理论的不断完善和进步。
对未来研究的展望
探索更多应用领域
随着科学技术的不断进步，零点存在性定理有望在更多领域得到应用和推广，例如在数 据分析、机器学习等领域。
深化定理的理解
尽管零点存在性定理已经得到了广泛的应用和证明，但对其本质和内在机制的理解仍需 进一步深化和研究，以推动数学理论的进一步发展。
06
新教材高中数学第三章零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修第一册ppt
只有一根在 (m，n)之间
图像
满足条件
f（m）>0， f（n）<0， f（p）>0 Δ＝0， m<－2ba<n，
或 f(m)· f(n)<0
【补偿训练】
4x2＋(m－2) x＋m－5＝0 的一根在区间(－1，0) 内，另一根在区间(0，2) 内，则
m 的取值范围是( )
A．53，5
当 3<k<4 时，直线 y＝k 与 g(x)的图像有 4 个交点．
利用函数的图像判断零点个数 (1)原理：函数的零点个数⇐ 方程的根的个数⇐ 移项拆分为两个函数，作图观察交点个 数． (2)关键：拆分成的两个函数应方便作图．
函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个不等零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，求实数 k 的 取值范围． 【解析】因为函数 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k 有两个零点 x1，x2，且 0<x1<1<x2<2，所 以设 f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k，画出函数的大致图像如图．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)函数 y＝2x－1 的零点是12，0 .( × )
提示：函数 y＝2x－1 的零点是12 .
(2)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上 f(a)f(b)>0，则在区间(a，b)上一定没有零点．( × )
提示：如 f(x)＝x2 在区间(－1，1)上有 f(－1)f(1)＝1×1＝1>0，但是在区间(－1，1)
)
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路导引】令 f(x)＝0，移项后转化为两个初等函数，利用图像的交点个数判断． 【解析】选 C.令 f(x)＝1x －x2＋1＝0， 得|1x |＝x2－1，则函数 f(x)的零点个数，
零点定理-
零点定理零点定理是一个非常重要的概念，它是数学中一个基本而又重要的定理。
零点定理可以帮助我们确定一些方程的解，它的应用非常广泛，不仅在数学中，还可以在工程科学、物理、经济学等领域中发挥重要作用。
在下面的文章中，我将详细介绍零点定理的概念、原理和应用。
一、零点定理的概念零点定理指的是一个多项式函数在定义域内的零点的存在性和数量问题。
它可以表示为：存在一个多项式函数f(x)，如果在定义域[a,b]内，f(a)和f(b)的符号不同，那么f(x)至少有一个零点在[a,b]区间内。
这个定理的实质是解决了多项式函数在定义域内存在零点的问题。
二、零点定理的原理零点定理的原理是基于中间值定理衍生出来的。
中间值定理是指：如果f(x)是一个连续的函数，在区间[a,b]上，且f(a)和f(b)的符号不相同，那么f(x)在[a,b]内至少有一个零点。
根据中间值定理，我们可以知道，在一个连续的函数中，如果在某个区间上，函数值在两个点的符号不相同，那么在这个区间上，至少存在一个x，使得f(x)=0。
因此，由中间值定理延伸出来的零点定理可以帮助我们更加方便地计算函数的零点。
三、零点定理的应用零点定理在数学中的应用非常广泛，它可以用于解决多项式方程的根的数量和位置问题，同时也可以用于求解非线性方程的近似解。
除此之外，零点定理还可以应用于工程科学、物理、经济学等领域。
1.解决多项式方程的根的数量和位置问题。
一个多项式方程在某个区间内的零点数量和位置是非常重要的问题。
零点定理可以帮助我们判断这个多项式方程在该区间内是否有零点，如果有，我们还可以利用细化区间的方法进一步确定零点的位置。
这对于求解多项式方程的根非常有用。
2.求解非线性方程的近似解零点定理还可以用于求解非线性方程的近似解。
在这种情况下，我们可以使用迭代法来逼近这个方程的零点。
具体地，我们可以将该方程转化为一个同样有零点的方程，例如，可以将该方程转化为一个多项式方程，然后使用零点定理来求解这个方程的根。
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函数零点存在性定理:
一般地，如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) . f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c € (a, b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x) =0的根•特别提醒：⑴根据该定理，能确定f(x) 在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一.
(2) 并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x 2 -3x +2有f(0) f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点.
(3) 若f(x)在［a，b］上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a) . f(b)<0，则fx)在(a，b)上有唯一的零点.
函数零点个数的判断方法
(1) 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找岀零点.
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0 在［0，2］上有两个等根，而函数f (x) =x 2-2x +1在［0，2］上只有一个零点
②函数的零点是实数而不是数轴上的点.
⑵代数法：求方程f(x) =0的实数根.
例题1：
若函数f (x)唯一的一个零点同时在区间(0 ,16 )、( 0，8)、( 0，4 )、( 0，2)内，下列结论:
(1)函数f (x)在区间(0, 1)内有零点；
(2)函数f (x)在区间(0 , 1)或(1，2)内有零点；
(3)函数f (x)在区间［2，16 )内无零点；
(4)函数f (x)在区间(0 ,16 )上单调递增或递减.
其中正确的有________ (写岀所有正确结论的序号).
答案
由题意可确定f (x)唯一的一个零点在区间(0, 2)内，故在区间［2 ,16 )内无零点.
(3)正确，
(1)不能确定，
(2)中零点可能为1 ,
(4 )中单调性也不能确定.
故答案为：(3)
例题2:
已知函数沁；\" 6 7有零点，则实数的取值范围是()
例题3:
T^A={^|0<X<2}( B={y|l<y<2},下列图形表示集合堆傑合B的函数时图彖的是( )
答案〔找作业答棄…2上魔方格)
負和B中y的取億範®不是⑴2}不合题意，故脯］睹环成立；
(■丰x刖更肓叵至不是匸、F刖柬值葩壶不是［「兀・不令更意、啟匚=戌立:
D中，0<X£2, l£y<2>符合题意，
故选D.
例题4：
函数f (x) =3ax-2a+1 在［-1,1］上存在一个零点，则实数 a的取值范围是( )
A. a > 1/5;
B. a < -1 ;
C. -1 < a < 1/5 ;
D. a > 1/5 或a < -1
答案: 由题意可得f (-1 )X f ( 1 ) <0,解得
•••(5a-1 )(a+1 )>0
.'a > 1/5 或 a 二1 故选D
例题5:
若函数f(x)=x 2+log 2|X|-4的零点m € (a, a+1) , a€ Z,则所有满足条件的a的和为() 答案：-1
例题6：
已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表:
那么，函数f(x)在区间［1，6］上的零点至少有
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D . 2个
答案：C。