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20202021学年北京市通州区初三第一学期期中数学试卷

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2020-2021北京市初三数学上期中试题(附答案)

2020-2021北京市初三数学上期中试题(附答案)

2020-2021北京市初三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+2x ﹣3的图象如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣42．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④3．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=4．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．75．已知()222226x y y x +-=+，则22xy +的值是（ ）A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 6．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．17．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．9．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x +=二、填空题13．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．15．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．16．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．17．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________． 18．关于x 的方程的260xx m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．19．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．20．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径为_____．三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小．23．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ． （I ）如图①，若BC 是⊙O 的直径，BC ＝4，求BD 的长； （Ⅱ）如图②，若∠ABC 的平分线交AD 于点E ，求证：DE ＝DB ．24．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线. （2）若3DE =30C ∠=︒，求»AD 的长.25．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项B ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项C ，y 的最小值是﹣4，该选项错误；选项D ，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下， ∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，∴﹣2ba ＞0， ∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0）， ∴a ﹣b+c=0，故②正确； ③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确； ④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确． 故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．3．A解析：A 【解析】 【分析】利用配方法把方程2680x x --=变形即可. 【详解】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17， 故选A ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，∴13m -=-，25n -=-， 解得：2m =-，7n =， 则275m n +=-+= 故选C . 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260xyx y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．D解析：D 【解析】 【分析】设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可． 【详解】解：设x 2﹣2x +1＝a ，∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0， ∴a 2+2a ﹣3＝0， 解得：a ＝﹣3或1，当a ＝﹣3时，x 2﹣2x +1＝﹣3， 即（x ﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解； 当a ＝1时，x 2﹣2x +1＝1，此时方程有解， 故选：D ． 【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.7．D解析：D 【解析】【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=12×OD×CD=12t2（0≤t≤3），即S=12t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．8．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．B解析：B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．C解析：C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12bx a =-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++，∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12bx a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.11．B解析：B 【解析】分析：∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜0；故①错误。

北京市通州区第三中学九年级上册期中试卷检测题

北京市通州区第三中学九年级上册期中试卷检测题

北京市通州区第三中学九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x ＝90时，“＝”成立，所以，当x ＝90时，函数取得最小值9， 此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ． 【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）； （2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x 千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12， 整理得：x 2﹣65x ﹣750=0， （x ﹣75）（x+10）=0， 解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%． 考点：一元二次方程的应用3．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k1，k2分别是方程x2－x－6＝0的两根．（1）求k1，k2的值；（2）连接AB，求tan∠OBA的值．【答案】（1）k1＝－2，k2＝3．（2）tan∠OBA＝63．【解析】解：（1）∵k1，k2分别是方程x2－x－6＝0的两根，∴解方程x2－x－6＝0，得x1＝3，x2＝－2．结合图像可知：k1＜0，k2＞0，∴k1＝－2，k2＝3．（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A，B分别在反比例函数2yx=-（x＜0），3yx=（x＞0）的图象上，∴S△ACO＝12×2-＝1 ，S△ODB＝12×3＝32．∵∠ AOB＝90°，∴∠ AOC＋∠ BOD＝90°，∵∠ AOC＋∠ OAC＝90°，∴∠ OAC＝∠ BOD．又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．∴SSACOODB∆∆＝2OAOB⎛⎫⎪⎝⎭＝23，∴OAOB6OAOB6∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝OAOB6．4．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6aa -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣66a -是负整数，即66a -是正整数． ∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．5．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0． （1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 2，方程的另一个根是5． 【解析】 【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0， ∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2， ∵m 2≥0， ∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根是2， ∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±，∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线22y ax bx =+-上的任意一点，过点P 作x 轴的垂线PD ，直线PD交直线AC 于点D ．①是否存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．②点Q 是坐标平面内的任意一点，若以O ，C ，Q ，D 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)213222y x x =+- (2)①存在，点P的坐标为(2-+-，(2--+，(2,3)--②1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，355Q ⎛- ⎝⎭，455Q ⎛- ⎝⎭【解析】 【分析】(1)将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中求解即可； (2)①先求出△PAC 的面积为4，再求出直线AC 的解析式为122y x =--．设点P 的横坐标为(t ,213222t t +-)，利用21442∆∆∆=-=⋅=+=PAC PDC PDA S S S OA PD t t 即可求解； ②先设出D 点坐标，然后再按对角线分成三种情况讨论即可求解． 【详解】解：(1)由题意得,将(4,0)A -，(1,0)B 两点坐标代入解析式中：1642020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴此抛物线的解析式为213222y x x =+-， 故答案为213222y x x =+-． (2)①存在点P ，使得PAC ∆的面积是ABC ∆面积的45．理由如下： 作出如下所示示意图：∵点(4,0)A -，(1,0)B ， ∴4OA =，5AB =， 令0x =，则2y =-， ∴(0,2)C -，∴2OC =， ∴1152522ABC S AB OC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴445545PAC ABC S S ∆∆==⨯=， 设直线AC 的解析式为y mx n =+，则有402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =--． 设点P 的横坐标为t ，则其纵坐标为213222t t +-， 即213,222P t t t ⎫⎛+- ⎪⎝⎭． ∵PD x ⊥轴，则点D 的坐标为1,22t t ⎫⎛-- ⎪⎝⎭． ∴2213112222222PD t t t t t ⎫⎛=+----=+ ⎪⎝⎭． ∵22111424222PAC PDC PDA S S S OA PD t t t t ∆∆∆=-=⋅=⨯⨯+=+． ∴244t t +=，即2440t t +-=或2440t t ++=，解得：1222t =-+，2222t =--，32t =-．∴点P 的坐标为(222,12)-+-，(222,12)--+，(2,3)--， 故答案为：(222,12)-+-或(222,12)--+或(2,3)--． ②分类讨论：情况一：当OC 为菱形的对角线时，此时DO=DC ，即D 点在线段OC 的垂直平分线， ∴D 点坐标(-2,-1)，将△OCD 沿y 轴翻折，此时四边形ODCQ 为菱形，故此时Q 点坐标为(2,-1)，如下图一所示，情况二：当OQ 为对角线时，DO=DQ ，如下图二所示，DQ=OC=OD=2，设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭x x ，则EO=-x ，DE=122x +，在Rt △EDO 中，由勾股定理可知：EO²+ED²=DO²， 故221(2)42++=x x ，解得80(),5舍==-x x ，此时Q 点坐标为816,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，情况三：当OD 为对角线时，OC=OQ=2，如下图三所示：设D 点坐标1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭m m ，则EO=|m|，DE=122m +，QE=2-(122m +)=12m ， 在Rt △QDO 中，由勾股定理可知：QE²+EO²=QO²， 故221()()42+=m m ，解得124545,==-m m ，此时Q 点坐标为4525,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或4525,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述，Q 点的坐标为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,55Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．故答案为1816,55Q ⎫⎛-- ⎪⎝⎭，2(2,1)Q -，34525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，44525,Q ⎫⎛-⎪ ⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积问题，菱形的存在性问题等，属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．7．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()3, 6C ，并与y 轴交于点()0, 3B ，点A 是对称轴与x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式;(2)如图①所示, P 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP 、AP ,求ABP ∆的面积的最大值;(3)如图②所示，在对称轴AC 的右侧作30ACD ∠=交抛物线于点D ,求出D 点的坐标;并探究:在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?若存在，求点Q 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）21233y x x =-++；（2）当92n =时，PBA S ∆最大值为818；（3）存在，Q 点坐标为((0,-或，理由见解析【解析】 【分析】(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S △PAB=S △BPO+S △APO-S △AOB,设P 21,233n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭求出关于n 的函数式，从而求S △PAB 的最大值. (3) 求点D 的坐标，设D 21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,过D 做DG 垂直于AC 于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t 的值即得D 的坐标;探究在y 轴上是否存在点Q ,使60CQD ∠=?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD 的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A 为圆心，AO 长为半径做圆交y 轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q 点. 【详解】解：()1抛物线顶点为()3,6∴可设抛物线解析式为()236y a x =-+将()0,3B 代入()236y a x =-+得396a =+ 13a ∴=-∴抛物线()21363y x =--+，即21233y x x =-++ ()2连接,3, 3OP BO OA ==，PBA BPO PAO ABO S S S S ∆∆∆∆=+- 设P 点坐标为21,233n n n ⎛⎫-++⎪⎝⎭1133222BPO x S BO P n n ∆=== 2211119323322322PAO y S OA P n n n n ∆⎛⎫==-++=-++ ⎪⎝⎭11933222ABO S OA BO ∆==⨯⨯=22231991919813222222228PBAS n n n n n n ∆⎛⎫⎛⎫=+-++-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴当92n =时，PBA S ∆最大值为818()3存在，设点D 的坐标为21,233t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭过D 作对称轴的垂线，垂足为G , 则213,6233DG t CG t t ⎛⎫=-=--++ ⎪⎝⎭30ACD ∠=2DG DC ∴=在Rt CGD ∆中有222243CG CD DG DG DG DG =+=-=)21336233t t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭化简得(1133303t t ⎛⎫---= ⎪⎝⎭13t ∴=（舍去），2333t =+∴点D(333+3,33AG GD ∴==连接AD ，在Rt ADG ∆中229276AD AG GD ++=6,120AD AC CAD ∴==∠=Q ∴在以A 为圆心，AC 为半径的圆与y 轴的交点上此时1602CQD CAD ∠=∠=设Q 点为(0,m), AQ 为A 的半径则AQ ²=OQ ²+OA ², 6²=m ²+3²即2936m +=∴1233,33m m ==-综上所述，Q 点坐标为()()0,330,33-或 故存在点Q ，且这样的点有两个点.【点睛】(1)本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件选用顶点式较方便； (2)本题是三角形面积的最值问题，解决这个问题应该在分析图形的基础上，引出自变量，再根据图形的特征列出面积的计算公式，用含自变量的代数式表示面积的函数式,然后求出最值.(3)先求抛物线上点的坐标问题及符合条件的点是否存在.一般先假设这个点存在，再根据已知条件求出这个点.8．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(0,2)A -． （1）若点(2,0)-也在该抛物线上，请用含a 的关系式表示b ；（2）若该抛物线上任意不同两点()11,M x y 、()22,N x y 都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y --<；当120x x <<时，()()12120x x y y -->；若以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B 、C （点B 在点C 左侧），且ABC ∆有一个内角为60，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点P 与点O 关于点A 对称，且O 、M 、N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠．【答案】（1）21b a =-；（2）22y x =-；（3）见解析.【解析】 【分析】（1）把点()0,2-、()2,0-代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案． （2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y 轴、开口向上，进而可得出0b =，由抛物线的对称性可得出ABC ∆为等腰三角形，结合其有一个60︒的内角可得出ABC ∆为等边三角形，设线段BC 与y 轴交于点D ，根据等边三角形的性质可得出点C 的坐标，再利用待定系数法可求出a 值，此题得解；（3）由（1）的结论可得出点M 的坐标为1(x ，212)x -+、点N 的坐标为2(x ，222)x -+，由O 、M 、N 三点共线可得出212x x =-，进而可得出点N 及点'N 的坐标，由点A 、M 的坐标利用待定系数法可求出直线AM 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点'N 在直线PM 上，进而即可证出PA 平分MPN ∠． 【详解】解：（1）把点()0,2-、()2,0-分别代入，得2420c a b c =-⎧⎨-+=⎩． 所以21b a =-．（2），如图1，当120x x <<时，()()12120x x y y --<，120x x ∴-<，120y y ->， ∴当0x <时，y 随x 的增大而减小；同理：当0x >时，y 随x 的增大而增大，∴抛物线的对称轴为y 轴，开口向上，0b ∴=．OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B 、C ， ABC ∴∆为等腰三角形，又ABC ∆有一个内角为60︒， ABC ∴∆为等边三角形．设线段BC 与y 轴交于点D ，则BD CD =，且30OCD ∠=︒， 又2OB OC OA ===，·303CD OC cos ∴=︒=，·301OD OC sin =︒=． 不妨设点C 在y 轴右侧，则点C 的坐标为(3，1)． 点C 在抛物线上，且2c =-，0b =，321a ∴-=，1a ∴=，∴抛物线的解析式为22y x =-．（3）证明：由（1）可知，点M 的坐标为1(x ，212)x -，点N 的坐标为2(x ，222)x -．如图2，直线OM 的解析式为()110y k x k =≠．O 、M 、N 三点共线，10x ∴≠，20x ≠，且22121222x x x x --=，121222x x x x ∴-=-， ()1212122x x x x x x -∴-=-，122x x ∴=-，即212x x =-， ∴点N 的坐标为12(x -，2142)x -． 设点N 关于y 轴的对称点为点'N ，则点'N 的坐标为12(x ，2142)x -． 点P 是点O 关于点A 的对称点，24OP OA ∴==，∴点P 的坐标为()0,4-．设直线PM 的解析式为24y k x =-，点M 的坐标为1(x ，212)x -，212124x k x ∴-=-，21212x k x +∴=，∴直线PM 的解析式为21124x y x x +=-．()222111221111224224·42x x x x x x x +-+-==-， ∴点'N 在直线PM 上，PA ∴平分MPN ∠． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a 、b 满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C 的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点'N 在直线PM 上．9．如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）存在．P （﹣34，1916）．（3）1539(,)24M --21139(,)24M - 3521(,)24M【解析】【分析】（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．∴4016440a ba b-+=⎧⎨++=⎩解得13ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣32）2+254．∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得k＝﹣14，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣14x+1．y BP＝﹣14x+1，y＝﹣x2+3x+4当y＝y BP时，﹣14x+1＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣34，x2＝4（舍去），∴y＝1916，∴P（﹣34，1916）．（3）1539 (,)24M--21139 (,) 24M-3521 (,) 24M理由如下，如图B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线32x=，设N(32，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,∴4-32=0-m，∴m=52-∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴1539 (,)24M--；或∴0-32=4-m，∴m=11 2∴﹣m2+3m+4=39 4 -,∴21139 (,) 24M-；第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，∴322 2m∴m=5 2∴﹣m2+3m+4=21 4∴3521(,)24M 综上所述，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为1539(,)24M -- 21139(,)24M - 3521(,)24M .【点睛】本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】 【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3）， 将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=， ①∠MAN=∠ABD 时， （Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时， 直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32），AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）；②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12，AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时， AD BD AM AN =，即3535=， 解得：AN=94， 故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -）， 则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<，故QH有最大值，当x=2时，其最大值为125．【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．综合与实践问题情境在一节数学活动课上，老师带领同学们借助几何画板对以下题目进行了研究.如图1，MN是过点A的直线，点C为直线MN外一点，连接AC，作∠ACD=60°，使AC=DC，在MN上取一点B，使∠DBN=60°．观察发现（1）根据图1中的数据，猜想线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；（2）希望小组认真思考后提出一种证明方法：将CB所在的直线以点C为旋转中心，逆时针旋转60°，与直线MN交于点E，即可证明（1）中的结论. 请你在图1中作出线段CE，并根据此方法写出证明过程；实践探究（3）奋进小组在继续探究的过程中，将点C绕点A逆时针旋转，他们发现当旋转到图2和图3的位置时，∠DBN=120°，线段AB、BD、CB的大小发生了变化，但是仍然满足一定的数量关系，请你直接写出这两种关系：在图2中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；在图3中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；提出问题（4）智慧小组提出一个问题：若图3中BC⊥CD于点C时，BC=2，则AC为多长？请你解答此问题.【答案】（1）AB+DB=CB；（2）见解析；（3）AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）23【解析】【分析】（1）根据图中数据直接猜想AB+DB=CB（2）在射线AM上一点E，使得∠ECB=60°，证明△ACE≌△DCB，推出EB=CB从而得出（1）中的结论；（3）利用旋转的性质和线段的和差关系以及全等三角形的性质得出线段关系；（4）过点C作∠BCE=60º，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.证明△ACE≌△DCB，得出BC=EC，结合△ECB为等边三角形，得出∠ECA=90°，在Rt△AEC中根据边长计算出AC的长度.【详解】综合与实践（1）AB+DB=CB（2）线段CE如图所示.证明：∵∠ECB=∠ACD=60º，∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB，∴∠2=∠1.∵∠ACD=∠DBN=60º, ∠ABD+∠DBN=180º，∴∠ABD+∠ACD=180º，∴在四边形ACDB中，∠CAB+∠3=180º.∵∠CAB+∠4=180º，∴∠4=∠3.又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB（ASA）∴EA=BD，EC=BC.又∵∠ECB=60°，∴△ECB为等边三角形,∴EB=CB.而EB=EA+AB=DB+AB,∴CB=DB+AB.（3） AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）证明：如图，过点C作∠BCE=60º，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.∵∠DCA=60º∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA即∠ECA=∠BCD∵∠DBN=120º∴∠DBA=60º又∵∠AFB=∠DFC∴∠EAF=∠BDC又∵AC=DC∴△ACE≌△DCB（ASA）∴BC=EC∴△ECB为等边三角形∴∠CEB=60º∵BC⊥CD∴∠ECA=∠BCD=90º∴在Rt△AEC中，∠CAE=30º∵BC=2，EC=BC∴AC=EC·tan60º= 23【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，根据题中条件适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等的性质得出线段关系是本题的关键.12．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，连接BE，在△BCE和△ACG中，，∴△BCE≌△ACG，∴BE=CG=2CF，即：BE=2CF．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．13．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD＝t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②t＝2或14.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．【详解】（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；（2）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝；②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴t＝2；当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴t＝14，综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．14．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【解析】试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，即可推出答案；（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=12AD，FH∥AD，FG=12BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．（2）答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ，由（1）知：FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∴FH=FG ，FH ⊥FG ， ∴（1）中的猜想还成立．（3）答：成立，结论是FH=FG ，FH ⊥FG ．连接AD ，BE ，两线交于Z ，AD 交BC 于X ，同（1）可证∴FH=12AD ，FH ∥AD ，FG=12BE ，FG ∥BE ， ∵三角形ECD 、ACB 是等腰直角三角形，∴CE=CD ，AC=BC ，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE ， 在△ACD 和△BCE 中AC BC ACD BCE CE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE ，∴AD=BE ，∠EBC=∠DAC ，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB ，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD ⊥BE ，∵FH ∥AD ，FG ∥BE ，∴FH ⊥FG ，即FH=FG ，FH ⊥FG ，结论是FH=FG ，FH ⊥FG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．15．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC 上的动点，将AD 绕点A 逆时针方向旋转60得到AE，连接DE．(1).如图，猜想ADE∆是_______三角形；（直接写出结果）(2).如图，猜想线段CA、CE 、CD之间的数量关系，并证明你的结论；(3).①当BD=___________时，30DEC∠=；（直接写出结果）②点D在运动过程中，DEC∆的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出DEC∆周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边三角形；（2）AC CD CE+=，证明见解析；（3）①BD为2或8时，30DEC∠=；②最小值为423+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到,60AD AE DAE=∠=，根据等边三角形的判定定理解答；（2）证明ABD ACE∆≅∆，根据全等三角形的性质得到BD CE=，结合图形计算即可；（3）①分点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据ABD ACE∆≅∆得到CE BD=，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）由旋转变换的性质可知，,60AD AE DAE=∠=，ADE∴∆是等边三角形，故答案为等边三角形；（2）AC CD CE+=，证明：由旋转的性质可知，60,DAE AD AE∠==，ABC∆是等边三角形60AB AC BC BAC∴∠︒＝＝，＝，60BAC DAE∴∠∠︒＝＝，BAC DAC DAE DAC∴∠+∠∠+∠＝，即BAD CAE∠∠＝，在ABD∆和ACE∆中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,ABD ACE SAS∴∆∆≌（）BD CE∴=，CE BD CB CD CA CD∴++＝＝＝；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=，当点D 在线段BC 上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，90AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，9060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，30BAD ∴∠︒＝，122BD AB ∴＝＝， 当点D 在线段BC 的延长线上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，30AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，3060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，90BAD ∴∠︒＝，28BD AB ∴＝＝，BD ∴为2或8时，30DEC ∠︒＝；②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长存在最小值，最小值为423+，理由如下：ABD ACE ∆∆≌，CE BD ∴＝，则DEC ∆的周长DE CE DC BD CD DE BC DE +++++＝＝＝，当CE 最小时，DEC ∆的周长最小，ADE ∆为等边三角形，DE AD ∴=， AD 的最小值为23，DEC ∴∆的周长的最小值为423+．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．四、初三数学 圆易错题压轴题（难）16．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；。

京教版九年级第一学期期中考试数学试题(含答案)

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2020-2021学年第一学期期中考试试题一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．抛物线213y x 的顶点坐标为（ ）A ．（1,3）B ．（-1,3）C ．（-1,-3）D ．（3,1）2．若32a b =(0ab ≠），则下列比例式中正确的是（ ） A ．32a b = B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ， 若AD :DB =1:2，则△ADE 与△ABC 的面积之比是（ ） A ．1:3 B ．1:4 C ．1:9D ．1:164．若将抛物线y = －x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．二次函数22y x x =-，若点A 1(1,)y -，B 2(2,)y 是它图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．不能确定6．若二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（ ） A ．0>b ，0<c ，0>∆ B ．0<b ，0<c ，0>∆ C ．0>b ，0>c ，0>∆ D ．0<b ，0>c ，0<∆7．如图,点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C ，D ，E （E 在格点上）122)3(212-+-=x y 2)3(212---=x y 2)3(2-+=x y 2)3(212++-=x y为顶点的三角形与△ABC 相似，则满足条件的点E 的坐标共有（ ） A ．6个 B ．5个C ．4个D ．3个8．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠ 与x 轴交于点A （－1,0），对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在（0,2）和（0,3）之间（包含这两个点）运动,有如下四个结论： ①抛物线与x 轴的另一个交点是（3,0）；②点()11,C x y ，()22,D x y 在抛物线上，且满足121x x <<，则12y y >； ③常数项c 的取值范围是23c ≤≤； ④系数a 的取值范围是213a -≤≤-． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若反比例函数ky x=的图象经过（-1，2），则的值为 . 10．请你写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的二次函数的解析式 .11．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，若在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米.12．如图，若点D 为ABC △的AB 边上一点，2=AD ，3=DB .若ACD B ∠=∠，则AC = .第11题 第12题 13．二次函数242y x x =--的最小值为 .14．若二次函数y =kx 2﹣4x +1的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 .k15．将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长度是 ．第15题 第16题16．如图是二次函数x x y 42+-=的图象，若关于x 的一元二次方程042=-+-t x x （t 为实数）在1<x<5的范围内有解，则t 的取值范围是 .三、解答题（本题共68分，第17~22题，每题5分，第23~26题，每题6分，第27~28题，每题7分） 17．已知二次函数822--=x x y .(1) 将822--=x x y 用配方法．．．．化成k h x a y +-=2)(的形式，并写出顶点坐标； (2) 求此函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标.yx–1–2–3–4–5–612345–1–2123456O18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E，DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．19．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．(1) 直接写出v关于t的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围）(2) 若船上的货物5天卸载完毕，则平均每天要卸载多少吨？20．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE=∠ACB．(1) 求证：△ABE∽△ACB；B A(2) 若AB=6，AE=4，求AC，CD的长．ED21．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：(2) 在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(3) 当-2<x<3时，求y的取值范围．22．已知二次函数321-+=bx x y 的图象与直线12+=x y 交于点A （-1,0）、点C （4，m ）. (1) 求1y 的表达式和m 的值；(2) 当21y y >时，求自变量x 的取值范围；(3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式.23．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+80（20≤x≤40）．设这种健身球每天的销售利润为w元．(1) 求w与x之间的函数关系式；(2) 该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？24．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=．求AF的长．B25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2 cm ，设BD 为x cm ，B D '为y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）(1) 通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：m 的值约为；(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3) 结合画出的函数图象，解决问题：①线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；②若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________．D'B D CA26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的表达式为222422y x mx m m =-+-+，线段AB 的两个端点分别为A （1，2），B （3，2）.(1) 若抛物线经过原点，求出m 的值；(2) 求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；(3) 若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC .(1) 在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；(2) 在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.EMNFA CEMN F AC备用图28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），如果点Q （x ，'y ）的纵坐标满足()()⎩⎨⎧<-≥-=时当时当y x x y y x yx y '，那么称点Q 为点P 的“关联点”.(1) 请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；(2) 若点P 在函数2-=x y 的图象上，其“关联点”Q 与点P 重合，求点P 的坐标；(3) 若点M （m ，n ）的“关联点”N 在函数y=2x 2的图象上，当0 ≤m ≤2 时，求线段MN 的最大值.参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1． A 2． C 3． C 4. A 5．C 6. B 7． A 8． D 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．-2 10.)0(32<+-=a x y 即可，答案不唯一 11. 6.4 12. 1013. -6 14.0,4≠<k k 15.2或71216. -5<t ≤4 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每题5分，第23~26题，每题6分，第27~28题，每题7分） 17．解：（1）y =(x －1)2－9．∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，－9）． （2）（4，0）（-2，0），（0,-8） 18.解：∵︒=∠90C ，AB DE ⊥，∴︒=∠=∠90C AED ． …………………………………………………………………………1分 又∵A A ∠=∠，∴AED ∆∽ACB ∆． ……………………………………………………………………………2分 ∴CBEDCA EA =． ……………………………………………………………………………………3分 又∵2=DE ，3=BC ，6=AC ， ∴326=EA ． ………………………………………………………………………………………4分 ∴4=AE ． ………………………………………………………………………………………5分 19．（1）tv 240=（2）48 20． （1）略 （2）AC=9，CD=215 21.解：(1) (2). 如图 (3) -6<y ≤2 …………………………5分25-=m22.（1）322--=x x y ，m=5； ………………2分 （2）x>4或x<-1 ………………4分（3）421-=b 421-=x y………………6分 23.解：（1）w =（x ﹣20）∙y=（x ﹣20）（﹣2x +80） =﹣2x 2+120x ﹣1600，w 与x 的函数关系式为：w =﹣2x 2+120x ﹣1600；………………………………1分 （2）w =﹣2x 2+120x ﹣1600=﹣2（x ﹣30）2+200，∵﹣2＜0， ∴当x =30时，w 有最大值．w 最大值为200．…………………………………3分 答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）当w =150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+200=150．解得 x 1=25，x 2=35．∵35＞28， ∴x 2=35不符合题意，应舍去． ………5分 24．解：方法一：∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，OD =12BD= ················ 1 ∵∠CBD =30°，∴∠ADB =30°．∵EO ⊥BD 于O ，∴∠DOF =90°．在Rt △ODF中，tan30°=3OF OD =， ∴OF=3．————————2∴FD =6．过O 作OG ∥AB ，交AD 于点G ． ∴△AEF ∽△GOF ． ∴AF EFGF OF=．∵EF=OF ，∴AF=GF ．∵O 是BD 中点，B∴G 是AD 中点． ·························· 4 设AF=GF=x ，则AD =6+x ． ∴AG =62xx x ++=． ························ 5 解得x =2．∴AF =2． (6)方法二：延长EF 交BC 于H ．由△ODF ≌△OHB 可知，OH =OF ． (3)∵AD ∥BC ， ∴△EAF ∽△EBH ．∴EF AFEH BH=． ∵ EF=OF ， ∴13AF BH =． ···························4 由方法一的方法，可求BH =6． ∴ AF =2．25．（1）0.9. ………………2分 （2）图略. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分26 . 解：（1）∵抛物线经过原点,1,021==m m ………1分 （2）222(2)2y x mx m m =--++22()2x m m =--+所以，顶点C 的坐标为(,2)m m ……………………3分（3）由顶点C 的坐标可知，抛物线的顶点C 在直线y=2x 上移动．HFEOA BCD当抛物线过点A 时，m=2或1； 当抛物线过点B 时，m=2或5．所以m=2时，抛物线与线段AB 有两个公共点，不符合题意． 所以1≤m ≤5且m ≠2. ……………………6分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. 又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分 其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°. 又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE .∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴ACAF AE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AF AE . ……7分28.（1）（3，2） ……1分 （2）∵点P 在函数y =x -2的图象上， ∴点P 的坐标为（x ，x -2），∵ x ＞x -2，根据关联点的定义，点Q 的坐标为（x ，2）又∵点P 和点Q 重合 ∴x -2=2 解得 x =4∴点P 的坐标是（4，2） ……3分 (3)点M (m ,n )的关联点是点N ，由关联点定义可知第一种情况：当m ≥n 时，点N 的坐标为（m ，m -n ） ∵点N 在函数y =2x 2的图象上， ∴m -n =2m 2，n =-2m 2 + m即m m y M +-=22，22m y N =∴mm y y MN N M +-=-=24……4分①当0≤m ≤41时，m m +-24＞0161814422+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=m m m MN∴当81=m 时，线段MN 的最大值是161……5分 ②当41＜m ≤2时，m m +-24＜0161814422-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=m m m MN∴当m =2时，线段MN 的最大值是14； ……6分 综合 ①与②，当m ≥n 时线段MN 的最大值是14 第二种情况：当m ＜n 时，点N 的坐标为（m ，n -m ） ∵点N 在函数y =2x 2的图象上， ∴n -m =2m 2即n =2m 2 +m ∴m m y M +=22，22m y N = ∴m y y MN N M =-=∵0 ≤m ≤2 ∴m MN =∴当m＜n时，线段MN的最大值是2；……7分综上所述，当m≥n时，线段MN的最大值是14；当m＜n时，线段MN的最大值是2.。

2020—2021学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案

2020—2021学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案

2020—2021学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就明白了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：25．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+18．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时刻为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形能够运算不能直截了当测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为__________m．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范畴为__________．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为__________cm．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为__________．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，同时图象通过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．19．关于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范畴__________．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范畴；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．24．百货商店服装柜在销售中发觉：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范畴．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？26．阅读明白得：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；假如这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判定点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．五．综合运用（27、28题7分，29题8分，共22分）27．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y=kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．28．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍旧成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边通过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．29．如图，已知抛物线通过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．【考点】比例的性质．【分析】依照等式的性质，可得用x表示y，依照分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得y=．===7．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y=是解题关键，又利用了分式的性质．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考点】位似变换．【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可得：五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值．【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，∴五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积比是：1：4．故选：D．【点评】此题考查了位似图形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比得出答案是解题关键．3．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】依照相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ABC∽△ADE，A正确；∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，B正确；∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，C正确；D不符合两边成比例且夹角相等，D错误；故选：D．【点评】此题要紧考查学生对相似三角形的判定方法的把握情形，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就明白了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】依照三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再依照相似三角形的判定解答．【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题要紧应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】依照二次函数图象得出顶点位置，进而依照各选项排除即可．【解答】解：依照二次函数顶点坐标位于第三象限，只有选项D的顶点符合要求，故选：D．【点评】此题要紧考查了二次函数图象，依照图象得出顶点位置是解题关键．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】依照二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数通过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都通过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数通过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数通过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象通过一、三象限；小于0，通过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特点．【专题】运算题．【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判定y1与y2的大小．【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，∴y1＜y2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判定自变量取值范畴内，函数值的大小．10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时刻为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再依照正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后依照“SAS”可判定△OBE ≌△OCF ，因此S △OBE =S △OCF ，如此S 四边形OECF =S △OBC =16，因此S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t ，然后配方得到S=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判定．【解答】解：依照题意BE=CF=t ，CE=8﹣t ，∵四边形ABCD 为正方形，∴OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE 和△OCF 中，∴△OBE ≌△OCF （SAS ），∴S △OBE =S △OCF ，∴S 四边形OECF =S △OBC =×82=16，∴S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t=t 2﹣4t+16=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8）， ∴s （cm 2）与t （s ）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t ≤8． 故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先依照几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范畴．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形能够运算不能直截了当测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是2.4m ，在同一时刻测得某棵树的影长为15m ，则这棵树的高度约为10m ．【考点】相似三角形的应用． 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，通过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：因为=， 因此：树的高度=×树的影长=×15=10（m ）．故答案是：10．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后依照对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12．已知函数y=（k ﹣3）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范畴为k ≤4．【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】分为两种情形：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，求出△=b 2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k ﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X 轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，△=b 2﹣4ac=22﹣4（k ﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k ≤4；②当k ﹣3=0时，y=2x+1，与x 轴有交点；故k的取值范畴是k≤4，故答案为：k≤4．【点评】本题要紧考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的明白得和把握，能进行分类求出每种情形的k是解此题的关键．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为20cm．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由在▱ABCD中，且AE=4ED，易得DE：BC=1：5，△ADF∽△EBF，然后依照相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵AE=4ED，∴DE：AD=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE：BC=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=DF：BF=1：5，∵DF=4cm，∴BF=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练把握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特点．【分析】依照二次函数图象上点的坐标特点，把点P的坐标代入二次函数解析式运算即可得解；依照点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后依照顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特点，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为或3．【考点】相似三角形的判定．【分析】依照相似三角形的相似比求AF，注意分情形考虑．【解答】解：∵∠A=∠A，∴两种情形进行讨论：①当时，△ABC∽△AEF，即，解得：AF=；②当时，△ABC∽△AFE，即，解得：AF=3；综上所述：AF的长为或3；故答案为：或3．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练把握相似三角形的判定，分情形讨论是解决本题的关键．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①②③⑤．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特点．【分析】由抛物线满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；判定a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判定c与0的关系，然后依照对称轴及抛物线与x轴交点情形进行推理，进而对所得结论进行判定．【解答】解：∵（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象过（1，0）点，∵a＜b＜c，a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，故①③正确，∵图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象一定只是（﹣1，0）点，且另一交点坐标在（﹣1，0）右侧，∴a﹣b+c＜0，故②正确，∴图象对称轴一定在x轴的正半轴，∴0＜﹣＜1，∴a，b异号，∴a﹣2b＜0，故④此选项错误，∵b＜c，a+b+c=0，∴c=﹣（a+b），∴b＜﹣（a+b），即a+2b＜0，∴2b＜﹣a，∴＞，∴＞﹣，∴﹣＜，故⑤选项正确，故正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】运算题．【分析】第一依照∠ACD=∠B，∠A=∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到，再依照D是AB的中点和AB=10得到后代入以上比例式后即可求得AC的长．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．∵D是AB的中点，AB=10，∴．∴．∴AC2=50．∴（舍负）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，同时图象通过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化-对称．【分析】（1）直截了当利用对称性求解即可；（2）利用待定系数法把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式，解三元一次方程组可得y=x2﹣x﹣4．【解答】解：（1）∵二次函数图象的对称轴方程是x=1，∴此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标为：B′（﹣2，0）；（2）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式得：，解得：，故二次函数解析式为：．【点评】此题要紧考查了二次函数的概念、性质以及待定系数法求解析式，正确把握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．19．关于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范畴﹣1≤y＜3．【考点】二次函数的图象．【分析】（1）由于二次项系数是1，因此直截了当加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一样式转化为顶点式．（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；（3）依照函数图象回答即可．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1．∴抛物线的顶点式为故答案为：y=（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x …0 1 2 3 4 …y … 3 0 ﹣1 0 3 …函数图象如图所示：（3）依照函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范畴﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题要紧考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范畴是解题的关键．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）依照以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，能够得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．【解答】解：（1）如图：正确画出△AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出△A2B2C2，【点评】此题要紧考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）依照已知条件得到，由于∠A=∠A，因此得到△ADE∽△ACB；（2）依照相似三角形的性质得到∠ADE=∠C=90°，由垂直的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵，=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）∵△ABC∽△AED，∴∠ADE=∠C=90°，∴DE⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练把握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】第一由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，依照相似三角形的性质可知：，设DE=x，则EC=9﹣x，代入运算求出x的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD=BC=AB=9，∠D=∠C=90°，∴CF=BC﹣BF=2，在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED=90°，∵AE⊥EF于E，∴∠AED+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC，∴△ADE∽△ECF，∴，设DE=x，则E C=9﹣x，∴，解得x1=3，x2=6，∵DE＞CE，∴DE=6．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设DE=x，利用方程思想解决几何问题．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范畴；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）依照抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△＞0且m﹣2≠0，从而能够解答本题；（2）依照第一问求得的m的取值范畴，能够得到m的最大整数，从而能够求得抛物线与x 轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范畴是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△的值有关．24．百货商店服装柜在销售中发觉：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【分析】（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，依照题意列方程得，（40﹣x）=1200，解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）．答：每件童装降价20元；（2）设每天销售这种童装利润为y，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．【点评】此题要紧考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判定所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范畴．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？【考点】相似形综合题．【分析】（1）先判定△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2=135°，利用平角定义得到∠2++∠3=135°，则∠1=∠3，因此可依照有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）依照函数图象的顶点坐标可求出其最小值．【解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，∴，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y，∴，∴y=x2﹣x+1（0＜x）；（3）解：∵y=x2﹣x+1=，∴当x=时，y有最小值为，即BD=时，AE的最短长度是．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质定理和等腰直角三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理和二次函数的最值是解答此题的关键．26．阅读明白得：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；假如这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判定点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【考点】相似形综合题．。

2020-2021学年北京市通州区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市通州区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.二次函数y=−12(x−4)2+3图象的顶点坐标是()A. (−4,3)B. (−2,−3)C. (4,3)D. (2,3)2.已知2x=3y(xy≠0)，那么下列比例式中成立的是()A. x2=y3B. x3=y2C. xy=23D. x2=3y3.如图，在△ABC中，DE//BC，EF//AB，下列等式成立的是()A. ADDB =BFFCB. ADDB =ECAEC. ADDB =DEBCD. ADDB =EFAB4.下列结论①两个全等三角形是相似三角形；②所有正方形都相似；③任意两个等腰三角形都相似；④所有菱形都相似；⑤两个等腰直角三角形相似.其中结论正确的有()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.二次函数y=x2−2x−3的图象如图所示．当y<0时，自变量x的取值范围是()A. −1<x<3B. x<−1C. x>3D. x<−3或x>36.如图，函数y=−﹙x−1﹚2+c的图象与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一交点的横坐标为()A. −4C. −2D. −17.如图，点A在双曲线y=1x 上，点B在双曲线y=3x上，且AB//x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为()A. 1B. 2C. 3D. 48.在Rt△ABC中.∠ABC=90°，AB=3，BC=6，点D是AC边上一动点，过点D作DE⊥BC，垂足为E.作DF//CB，交AB于点F.四边形DEBF的面积S与线段DE之间关系的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.已知反比例函数y=kx，其图象所在的每个象限内y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的反比例函数关系式：______．10.如图，在△ABC中，DE//BC，如果AD=3，DB=4，AE=2.那么EC=______ ．212.如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果BEBC =23，那么BFFD=______ ．13.如图，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米．如果小明的身高为1.6米，那么路灯高地面的高度AB是______米．14.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=8，BD=2，那么CD=______．15.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x的图象与反比例函数y=mx的图象交于A，B两点，如果点A，B的纵坐标是y1，y2，那么y1+y2的值是______ ．16.△ABC的三边长为√2，√6，2，△A′B′C′的两边长为1，√3，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三条边长是______ ．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请在方格纸中画出两个相似但不全等的格点三角形，再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标．18.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=−x+1的图象与反比例函数y=kx图象相交于点A(m,2)．(1)求反比例函数的表达式；(2)在给定的平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的图象．19.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E是边DC上一点，连接AE，F为AE上一点.且∠BFE=∠C，AFFB =ADDE.求证：△ABF∽△AED．20.已知一次函数y1=kx+n与二次函数y2=x2+bx+c的图象都经过(1,−2)，(3,2)两点．(1)请你求出一次函数、二次函数的表达式．(2)当x取何值时，y1>y2．21.已知二次函数y=x2+ax−2(a≠0)．(1)它的图象与x轴有交点吗？说明你的理由．(2)如果二次函数y=x2+ax−2的图象的对称轴为x=1，请你求出它与x轴的交2点坐标，并求出两个交点之间的距离．22.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2米，喷水水流的轨迹是抛物线，如果要求水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1米，且水流米，那么水流的最高点距离地面是多少米？着地点C距离水枪底部B的距离为5223.在△ABC中，AB>AC，AD=AE，DE与BC的延长线交于M.求证：BM：CM=BD：CE．24.小明在学习完正比例函数y1=x和反比例函数y2=1之后，想自己试着研究函数y=x+x的图象和性质.请你结合学习函数的经验，帮助y1+y2的图象和性质，即y=1x小明补充完整学习探索过程．(1)函数y=1x+x自变量x的取值范围是______ ．(2)下表是y与x的几组对应值．x…−3−2−1−12−141412123…y…−103a−2−52−17417452252103…其中a的值是______ ．(3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点画出该函数的图象．(4)结合函数的图象，写出该函数的性质(两条即可)：______ ；______ ．25.如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点O，E分别是AC，AB的中点，连接OE.在直线AD上是否存在一点F，使得△OCF与△EOA相似，如果存在，请你画出点F，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．26.等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．(1)如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；(2)操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？(只需写出结论)②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c经过点(2,3)，对称轴为直线x=1．(2)如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1<0，x2>0，与y轴交于点C，求BC−AC的值；(3)将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP=OQ，直接写出点Q的坐标．28.已知直线y=√3x+4√3与x轴、y轴分别交于A，B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．(1)求C点坐标．(2)若动点P从A点出发，沿AC向点C运动(不与A，C重合)，同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C，A重合)，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(3)在(2)的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A，Q，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵y=−12(x−4)2+3，∴此函数的顶点坐标为(4,3)，故选：C．根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．2.【答案】B【解析】解：∵2x=3y(y≠0)，∴x3=y2或xy=32．故选：B．由2x=3y(y≠0)，根据比例的性质，即可求得答案．此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．3.【答案】A【解析】解：A、∵DE//BC，EF//AB，∴AD：DB=AE：EC，AE：CE=BF：CF，∴ADDB =BFFC，所以A选项的等式成立；B、∵EF//AB，∴ADDB =AEEC，所以B选项的等式不成立；C、∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，所以C选项的等式不成立；D、∵DE//BC，∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB =CEAC，∴BDAD ≠EFAB，所以D选项的等式不成立．故选：A．根据平行线分线段长比例定理和相似三角形的判定和性质进行判断即可．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：①两个全等三角形是相似三角形，正确，符合题意；②所有正方形都相似，正确，符合题意；③任意两个等腰三角形对应边不一定相等，所以不一定都相似，不正确，不符合题意；④所有菱形的对应角不一定都相等，所以不一定都相似，不符合题意；⑤两个等腰直角三角形相似，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．根据相似图形的定义分别判断即可确定正确的选项．考查了相似图形的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形以及相似多边形的判定．5.【答案】A【解析】【分析】先观察图象确定抛物线y=x2−2x−3的图象与x轴的交点，然后根据y<0时，得到所对应的自变量x的取值范围．本题考查了二次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．【解答】解：由图象可以看出：y<0时，自变量x的取值范围是−1<x<3；故选A．6.【答案】D【解析】解：∵y=−﹙x−1﹚2+c，∴抛物线的对称轴是直线x=1，∵函数的图象与x轴的一个交点坐标为(3,0)，∴1=x+3，2∴x=−1，∴另一交点的横坐标为−1．故选D．先确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解．本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．7.【答案】B【解析】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线y=1上，x∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=3上，且AB//x轴，x∴四边形BEOC的面积为3，∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3−1=2．故选：B．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．8.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，tanC=ABCB =12，设DE=x，在Rt△CDE中，CE=EDtanC=x12=2x，则BE=BC−CE=6−2x，则S=DE⋅BE=x(6−2x)=−2x2+6x(0≤x≤3)，该函数为开口向下的抛物线的一部分，且抛物线和x轴的交点坐标为(0,0)和(3,0)，故选：B．在Rt△ABC中，tanC=ABCB =12，设DE=x，在Rt△CDE中，CE=EDtanC=x12=2x，则BE=BC−CE=6−2x，即可求解．本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．9.【答案】y=1x(答案不唯一，k>0即可)【解析】解：∵在每个象限内y随着x的增大而减小，∴k>0．例如：y=1x(答案不唯一，只要k>0即可)．先根据反比例函数图象的性质确定k的正负情况，然后写出即可．本题是开放性题目，主要考查反比例函数图象的性质，答案只要符合要求即可．10.【答案】83【解析】解：∵DE//BC，∴CE：AE=BD：AD，∵AD=3，DB=4，AE=2，∴EC=83，故答案为：83．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到EC的长．考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．11.【答案】直线x=10【解析】解：∵y=−x2+20x=−(x−10)2+100，∴二次函数图象的对称轴是直线x=10．故答案为直线x=10．把二次函数化成顶点式，然后解题即可．本题考查了二次函数的对称轴，把二次函数写成顶点式是解题的关键．12.【答案】23【解析】解：ABCD是平行四边形，∴BC//AD，BC=AD∴△BEF∽△DAF∴BE：DA=BF：DF∵BC=AD∴BF：DF=BE：BC=2：3．由平行四边形的性质可证△BEF∽△DAF，再根据相似三角形的性质得BE：DA=BF：DF即可解．本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．13.【答案】5.6【解析】解：∵AB//CD，∴△ECD∽△EBA，∴CDAB =DEAE，而CD=1.6，AD=5，DE=2，∴AE=7，∴1.6AB =27，∴AB=5.6米．故答案为5.6．要求出AB的高，可利用相似三角形的性质，对应边成比例就可以求出．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．14.【答案】4【解析】解：由射影定理得，CD2=AD⋅DB，则CD=√8×2=4，故答案为：4．根据射影定理列式计算即可．本题考查的是射影定理，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．15.【答案】0的图象交于A，B两点，【解析】解：∵一次函数y=x的图象与反比例函数y=mx∴点A与点B关于原点对称，∴点A，B的纵坐标是互为相反数，∴y1+y2=0，故答案为0．利用正比例函数和反比例函数的性质即可判定点A与点B关于原点对称，从而得出y1+ y2=0．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：交点关于原点对称是解题的关键，16.【答案】√2【解析】解：∵△ABC的三边长分别为：√2，√6，2，∴△ABC的三边长之比为，1：√3：√2，比例系数是√2，∵△A′B′C′的两边长分别为1和√3，△ABC∽△A′B′C′，∴△A′B′C′的第三边的长应等于√2．故答案为：√2．先求出△ABC三边之比，再根据相似三角形对应边成比例解答即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，求出△ABC的三边之比是解题的关键．17.【答案】解：以边为主要条件，利用三边成比例来画．注意要有一个钝角而且要在格点上，所以这个钝角必须是135度，就先画一个135度的角，然后找在格点上的边长的相似比相等的相似三角形，A(0,−3)，B(6,−3)，C(9,0)，A′(0,0)，B′(4,0)，C′(6,2)．【解析】利用相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等画两个相似三角形，注意要有一个钝角．要有一个钝角而且要在格点上，所以这个钝角必须是135度，就先画一个135度的角，然后找在格点上的边长的相似比相等的相似三角形．本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大(或缩小)相同的倍数．18.【答案】解：(1)∵一次函数y=−x+1的图象经过点A(m,2)．∴2=−m+1，∴m=−1，∴A(−1,2)，∵A(−1,2)在反比例丽数y=k图象上，x∴k=−1×2=−2，∴反比例函数的解析式为y=−2；x(2)画出两函数图象，如图所示：．【解析】(1)把点A 的纵坐标代入一次函数解析式，得出A 点的坐标，进而得出反比例函数的解析式；(2)利用描点法在坐标系内画出两函数的图象．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．19.【答案】证明：∵AD//BC ，∴∠D +∠C =180°，∵∠BFE +∠AFB =180°，∠BFE =∠C ，∴∠D =∠AFB ，又∵AF FB =ADDE ，∴△ABF∽△AED ．【解析】由平行线的性质得出∠D +∠C =180°，证得∠D =∠AFB ，根据相似三角形的判定定理可得出结论．本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．20.【答案】解：(1)∵一次函数y 1=kx +n 与二次函数y 2=x 2+bx +c 的图象都经过(1,−2)，(3,2)两点．∴{k +n =−23k +n =2，{1+b +c =−29+3b +c =2，解得{k =2n =−4，{b =−2c =−1∴一次函数的解析式为y 1=2x −4，二次函数的表达式为y 2=x 2−2x −1．(2)观察图象可知，当1<x <3，y 1>y 2【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可．本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，学会利用数形结合的思想解决问题．21.【答案】解：(1)∵△=a 2−4×1×(−2)=a 2+8>0，故抛物线与x 轴有两个交点；(2)函数的对称轴x =−a 2=12，解得a =−1，则抛物线的表达式为y =x 2−x −2，令x 2−x −2=0，解得x =2或−1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(2,0)、(−1,0)，故两个交点之间的距离为2−(−1)=3．【解析】(1)根据△=a 2−4×1×(−2)=a 2+8>0，即可求解；(2)函数的对称轴x =−a 2=12，解得a =−1，则抛物线的表达式为y =x 2−x −2，令x 2−x −2=0，解得x =2或−1，即可求解．本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 22.【答案】解：由题目中所给的三点确定出的抛物线方程为：y =−85x 2+165x +2，求其最高点p ，由题目可知最高点p 的x 的值为1，代入原函数求解得：y =3.6米，答：水流的最高点距离地面是3.6米．【解析】要想求出水流最高点距地面高度，可以先以B为原点地面为x轴建立直角坐标系，由题目可知水流抛物线，过点(0,2)、(52,0)、(−12,0)，根据这三个点求出抛物线方程，求得最高点．本题主要考查了抛物线的求解，以及解决抛物线最值的问题．23.【答案】证明：过点C作CF//AB交DM于点F，∴∠EFC=∠ADE，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE，∵∠CEF=∠AED，∴∠EFC=∠CEF，CE=CF，由CF//AB可得△BMD∽△CMF，∴BMCM =BDCF，∴BMCM =BDCE，即BM：CM=BD：CE．【解析】要想证明BM：CM=BD：CE，就得证所在的三角形相似，显然△BMD与△CME 不相似，不妨我们作如图CF//CF，得到△BMD∽△CMF，即得到BM：CM=BD：CF.再由已知AD=AE和CF//AB得：CE=CF，等量代换得BM：CM=BD：CE．此题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，证明此题的关键是作辅助线得三角形相似，通过等量代换得出答案．24.【答案】x≠0−52该函数没有最小值没有最大值该函数图象关于原点对称【解析】解：(1)自变量x的取值范围：x≠0，故答案为x≠0；(2)把x=−2代入y=1x +x得，y=−12−2=−52，∴a=−5，2故答案为−5；2(3)描点、连线画出函数图象如图所示：(4)观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数没有最小值没有最大值；②该函数图象关于原点对称．故答案为：该函数没有最小值没有最大值；该函数图象关于原点对称(答案不唯一)．(1)分式的分母不等于零；+x即可求解；(2)把x=−2代入y=1x(3)根据题意描点、连线即可；再观察图象即可得出该函数的其他性质．本题综合考查了函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．25.【答案】解：存在，如图，点F即为所求．理由：∵OA=OC，OF⊥AC，∴FA=FC，∴∠AFO=∠CFO，∵∠BAD=∠AOF=90°，∴∠EAO+∠FAO=90°，∠FAO+∠AFO=90°，∴∠EAO=∠AFO=∠CFO，∵AE=EB，AO=OC，∴OE//BC，∴∠AEO=∠B=90°，∴∠AEO=∠FOC=90°，∴△CFO∽△CAE．【解析】过点O作OF⊥AC交AD于点F，连接CF，△OCF即为所求．本题考查相似三角形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】(1)证明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=150°，又∠EPF=30°，且∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=150°，∴∠BEP=∠CPF，∴△BPE∽△CFP(两角对应相等的两个三角形相似)．(2)解：①△BPE∽△CFP；②△BPE与△PFE相似．下面证明结论：同(1)，可证△BPE∽△CFP，得CPBE =PFPE，而CP=BP，因此BPPF =BEPE．又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．③由②得△BPE∽△PFE，所以∠BEP=∠PEF．分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM=PN．连AP，在Rt△ABP中，由∠B=30°，AB=8，可得AP=4．所以PM =2√3，所以PN =2√3，所以s =12PN ×EF =√3m.【解析】(1)找出△BPE 与△CFP 的对应角，其中∠BPE +∠BEP =150°，∠BPE +∠CPF =150°，得出∠BEP =∠CPF ，从而解决问题；(2)①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明，③小题先求出△BPE 中BE 上的高，再求出△PEF 中EF 上的高，得出关系式．这是一道操作探究题，它改变了多年来扬州市最后一道压轴题以二次函数为主线的呈现方式．它以每位学生都有的30°三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．问题的设置以问题串的形式呈现，层层推进，第1问入手容易，第2问深入困难，有一定的区分度，使不同层次的学生有不同的收获．同时通过本题的解答，一使同学们领悟到学习数学的方法，二是提醒教师学生在平时的教学中要注意变式练习．本题的第1问不难，用两角相等即可证得相似，第2问中的①由第1问类比即得，②要用到①中对应边成比例代换后方可证得，③一般学生都能想到作高，却想不到求这条高要用到角平分线、解直角三角形等知识．实际上三角板运动到特殊位置还有一些结论，感兴趣的学生不妨继续研究．27.【答案】解：(1)∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过点(2,3)，对称轴为直线x =1，∴{−4+2b +c =3b 2=1， 解得{b =2c =3， ∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)如图，设直线l 与对称轴交于点M ，则BM =AM ．∴BC −AC =BM +MC −AC =AM +MC −AC =2MC =2；(3)∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴顶点为(1,4)，∵将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，∴新抛物线的顶点为(1,0)，∴将原抛物线向下平移4个单位即可．设点P的坐标为(x,y)，则y=−x2+2x+3，点Q的坐标为(x,y−4)，则y>y−4．∵OP=OQ，∴x2+y2=x2+(y−4)2，∴y2=(y−4)2，∵y>y−4，∴y=−(y−4)，∴y=2，∴y−4=−2，当y=2时，−x2+2x+3=2，解得x=1±√2，∴点Q的坐标为(1+√2,−2)或(1−√2,−2)．【解析】(1)将点(2,3)代入y=−x2+bx+c，可得−4+2b+c=3，根据对称轴为直=1，把两个方程联立得到二元一次方程组，求解得出抛物线的表达式；线x=1，得出b2(2)设直线l与对称轴交于点M，根据抛物线的对称性得出BM=AM.那么BC−AC= BM+MC−AC=AM+MC−AC=2MC=2；(3)先利用配方法求出原抛物线的顶点为(1,4)，根据上下平移横坐标不变，纵坐标相加减得出新抛物线的顶点为(1,0).再设点P的坐标为(x,y)，则y=−x2+2x+3，点Q的坐标为(x,y−4)，根据OP=OQ列出方程进而求解即可．本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，二次函数图象与几何变换，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式等知识，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．28.【答案】解：(1)对于y=√3x+4√3，令y=√3x+4√3=0，解得x=−4，令x=0，则y=4√3，故点A、B的坐标分别为(−4,0)、(0,4√3)，=√3，故∠BAO=60°，则tan∠BAO=4√34∴∠ABO =30°，则AB =2AO =8，∵∠ABC =60°，故△ABC 为边长为8的等边三角形，则AC =8，故点C(4,0)；(2)①当点Q 在BC 上运动时，t 秒时，AP =t ，CQ =2t ，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则QH =QC ⋅sin∠ACB =2t ⋅sin60°=√3t ， 则S =12AP ⋅QH =12⋅t ⋅√3t =√32t 2， 当t =4时，函数取得最大值为8√3，②当点Q 在AB 上运动时，t 秒时，AP =t ，点Q 的纵坐标(16−2t)⋅√32， 同理可得：S =12⋅t ⋅(16−2t)⋅√32=−√32t 2+4√3t ， 该抛物线为开口向下的抛物线，当t >4时，S 随x 的增大而减小，故点Q 在点B 时，△APQ 的面积最大，当t =4时，函数取得最大值为8√3．即S ={√32t 2(0≤t ≤4)−√32t 2+4√3t(4<t ≤8)；(3)存在，理由：由(2)知，点Q 在点B 时，△APQ 的面积最大，此时t =4，点Q(0,4√3)，而点A(−4,0)，设点M 、N 的坐标分别为(0,m)、(a,b)，由点A 、Q 的坐标得，AQ =8，则AQ 2=64，①当AQ 是边时，点A 向右平移4个单位向上平移4√3个单位得到点Q ，同样点M(N)向右平移4个单位向上平移4√3个单位得到N(M)，且AQ =AM(AQ =AN)，则{0±4=am ±4√3=b 64=m 2+16或64=(a +4)2+b 2，解得{m =4√3a =4b =8√3(舍去)或{m =−4√3a =4b =0或{m =8+4√3a =−4b =8或{m =4√3−8a =−4b =−8，故点N 的坐标为(4,0)或(−4,−8)或(−4,8)；②当AQ 是对角线时，则MN 的中点即为AQ 的中点，且AM =AQ ，故{ 12(0−4)=12(a +0)12(0+4√3)=12(b +m)(−4)2+m 2=(a +4)2+b 2， 解得{ m =4√33a =−4b =8√33， 故点N 的坐标为(−4,8√33)，综上，点N 的坐标为(4,0)或(−4,−8)或(−4,8)或(−4,8√33).【解析】(1)对于y =√3x +4√3，令y =√3x +4√3=0，解得x =−4，令x =0，则y =4√3，则tan∠BAO =4√34=√3，故∠BAO =60°，则AB =2AO =8，而∠ABC =60°，故△ABC 为边长为8的等边三角形，即可求解；(2)点Q 在BC 上运动时，则S =12AP ⋅QH =12⋅t ⋅√3t =√32t 2，当点Q 在AB 上运动时，同理可得：S =12⋅t ⋅(16−2t)⋅√32=−√32t 2+4√3t ，即可求解； (3)分AQ 是边、AQ 是对角线利用菱形的性质即可求解．本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、解直角三角形等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．。

2020-2021学年北京市九年级上册期中数学试卷

2020-2021学年北京市九年级上册期中数学试卷

2020-2021学年北京市九年级上册期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=(x+2)2−2的顶点坐标是【】A. (2,−2)B. (2,2)C. (−2,2)D. (−2,−2)2.已知⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的位置关系是()A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定3.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转50°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为130°，则∠C的度数是()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°4.如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOB=68°，则∠ACB的度数为()A. 68°B. 60°C. 34°D. 22°5.将二次函数y=−2x2+8x+10化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为()A. y=−2(x−2)2+9B. y=−2(x−2)2+18C. y=−2(x+2)2+9D. y=−2(x+2)2+186.已知函数y=−x2+bx+c，其中b>0，c<0，此函数的图象可能是()A. B.C. D.7.如图，AB，CD是⊙O的直径，AE⏜=BD⏜，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是()A. 32°B. 60°C. 68°D. 64°8.如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB=40°，则∠ACB的度数是()A. 10°B. 20°C. 40D. 70°9.如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，那么AC⏜和BD⏜的大小关系是()A. AC⏜>BD⏜B. AC⏜<BD⏜C. AC⏜=BD⏜D. 无法确定10.四位同学研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数)，甲发现x=1时，函数有最小值，乙发现函数有最小值−4，丙发现1是方程x2+bx+c=0的一个根，丁发现x=2时，y=−3；已知这四位同学只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.把抛物线y=3x2沿y轴向下平移2个单位后，所得新抛物线的函数表达式是______．12.如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：________．13.一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的底面圆的半径为______ cm．14.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于______ ．15.如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−2,p)，B(5,q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是_____．16.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上．若AB⌢=BC⌢，∠AOB=60°，则∠D=________．17.已知抛物线y=x2+3x−4与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)，则x12−3x2+15=______．18.如图，抛物线y=−x2+c经过正方形OBAC的顶点A，B，C，则c=．三、解答题（本大题共10小题，共54.0分）19.下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P．作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；②以A为圆心，AO为半径作圆，交⊙O于点M；③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线．根据小芸设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明：证明：连接OM，由作图可知，A为OP中点，∴OP为⊙A直径，∴∠OMP=______°，(______)(填推理的依据)即OM⊥PM．又∵点M在⊙O上，∴PM是⊙O的切线．(______)(填推理的依据)20.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM=18，BM=8，求CD的长．21.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°．(1)求证：△ADE∽△BEC．(2)若AD=1，BC=3，AE=2，求AB的长．22.已知抛物线y=x2−(m+2)x+(2m−1)．(1)求证：抛物线与x轴一定有两个交点；(2)点A(−2,y1)、B(1,y2)、C(4,y3)是抛物线上的三个点，当抛物线经过原点时，比较y1、y2、y3的大小关系．23.如图，抛物线y=x2−3x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,−4)．(1)求k的值；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)设抛物线y=x2−3x+k的顶点为M，求△ABM的面积．24.如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且AC⏜=BD⏜，过点O作OE⊥AC于点E，⊙O的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G．(1)求证：∠F=∠B；(2)若AB=12，BG=10，求AF的长．25.某班“数学兴趣小组”对函数y=x2−4|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…−92−4−3−2−10123492…y…m0−3−4−30−3−4−3094…其中，m=_________．(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有____个交点，所以对应的方程x2−4|x|=0有____个实数根；②方程x2−4|x|=2有________个实数根；③关于x的方程x2−4|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是________．26.某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：若调整价格，每件涨价1元，每星期要少卖出10件；每件降价1元，每星期可多卖出20件．(1)设每件降价x元，每星期的销售利润为y元；①请写出y与x之间的函数关系式；②确定x的值，使利润最大，并求出最大利润；(2)若涨价x元，则x=______元时，利润y的最大值为______元．(直接写出答案，不必写过程)27.已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F．(1)若点D是AB的中点，①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形(保留作图痕迹，不写作法)；②如图2，连结EF，若，求线段EF的长；③请写出求线段EF长度最小值的思路．(2)如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是______．28.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称且交y轴负半轴于点C，与x轴交于点A、B，已知AB=6，OC=4，⊙C的半径为√5，P为⊙C上一动点．(1)求出二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值是多少？答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标．【解答】∵抛物线为y=(x+2)2−2，∴顶点坐标为(−2,−2)．故选D．2.【答案】B【解析】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6>3，∴直线l与⊙O相交．故选：B．直接根据直线与圆的位置关系可得出结论．本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d<r时直线l和⊙O相交是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理.根据旋转的性质可知∠C的度数和∠B的度数相等，在△AOB中求出∠B的度数即可．【解答】解：∵∠AOC的度数为130°，∠AOD=∠BOC=50°，∴∠AOB=130°−50°=80°，∵△AOD中，AO=DO，∴∠A=12(180°−50°)=65°，∴△ABO中，∠B=180°−80°−65°=35°，由旋转可得，∠C=∠B=35°．故选C．4.【答案】C【解析】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∴∠ACB=12∠AOB=12×68°=34°．故选：C．直接根据圆周角定理求解即可．本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=−2x2+8x+10=−2(x2−4x+4)+8+10=−2(x−2)2+18，即y=−2(x−2)2+18．故选：B．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数.根据已知条件“a<0、b>0、c<0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a=−1<0，b>0，c<0，>0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=−b2a故选D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，灵活应用是本题的关键.根据弧相等，可得∠BOD=∠AOE=32°，利用对顶角相等可得∠AOC的度数，由∠COE=∠AOE+∠AOC即可求出结论．【解答】解：∵AE⏜=BD⏜，∠AOE=32°，∴∠BOD=∠AOE=32°，∴∠AOC=∠BOD=32°，∴∠COE=∠AOE+∠AOC=64°．故选D．8.【答案】B【解析】解：∵∠AOB=40°，∠AOB=20°．∴∠ACB=12故选B．∠AOB，即可计算出∠ACB．根据圆周角定理得到∠ACB=12本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．9.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．根据圆心角、弧、弦的关系直接进行求解即可．【解答】解： ∵∠AOB =∠COD ，∴∠AOB +∠BOC =∠COD +∠BOC ，即∠AOC =∠BOD ，∴AC⏜=BD ⏜． 故选C ．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b 、c 值是解题的关键．【解答】解：假设甲和乙和丁的结论正确，则抛物线的顶点坐标为(1,−4)，图象经过(2,−3)， 代入y =x 2+bx +c(b,c 是常数)解得：{b =−2c =−3∴抛物线的解析式为y =x 2−2x −3当x =1时，则y =−4≠0，∴.丙的结论不正确∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故选C ．11.【答案】y =3x 2−2【解析】解：把抛物线y =3x 2向下平移1个单位，所得的新抛物线的函数表达式为：y =3x 2−2．故答案为：y =3x 2−2．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．本题考查主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12.【答案】答案不唯一，如：△ADF∽△ECF【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．利用平行四边形的性质得到AD//CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．13.【答案】2【解析】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=120π⋅6，180解得：r=2cm，故答案为2．圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，列方程求解．主要考查了圆锥的侧面展开图扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】1【解析】【分析】本题考查了切线长定理、切线的性质和直角三角形的性质，是基础知识，要熟练掌握．根据切线的性质求得∠APO=30°，∠PAO=90°，再由直角三角形的性质得AO=1．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴∠APO=∠BPO=12∠APB，∠PAO=90°，∵∠APB=60°，∴∠APO=30°，∵PO=2，∴AO=1．故答案为：1．15.【答案】x<−2或x>5【解析】[分析]直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n>ax2+bx+c的解集．[详解]解：∵直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−2,p)，B(5,q)两点，∴关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是：x<−2或x>5．故答案为：x<−2或x>5．[点睛]此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．16.【答案】30°【解析】【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB⌢=BC⌢，∴∠BDC=12∠AOB=12×60°=30°．故答案为30°．17.【答案】28【解析】【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c(a,b ，c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了根与系数的关系． 根据抛物线与x 轴的交点问题，可判断x 1、x 2为方程x 2+3x −4=0的两根，利用一元二次方程解的定义得到x 12=−3x 1+4，则x 12−3x 2+15=−3(x 1+x 2)+19，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2=−3，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵抛物线y =x 2+3x −4与x 轴的两个交点为(x 1,0)、(x 2,0)，∴x 1、x 2为方程x 2+3x −4=0的两根，∴x 12+3x 1−4=0，x 1+x 2=−3，∴x 12=−3x 1+4，∴x 12−3x 2+15=−3x 1+4−3x 2+15=−3(x 1+x 2)+19，∵x 1+x 2=−3，∴x 12−3x 2+15=−3×(−3)+19=28．故答案为28．18.【答案】 2【解析】【分析】题考查了二次函数图象上点的坐标特征，表示出C 点坐标是解题的关键.用c 表示出C 点坐标，代入y =−x 2+c 求解即可．【解答】解：由题图，可知AO =c ，则C(c 2，c 2).将C(c 2，c 2)代人y =−x 2+c ，得−c 24+c =c 2， 解得c 1=0(舍去)，c 2=2．19.【答案】解：(1)补全图形，如图所示：(2)90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【解析】解：(1)见答案；(2)证明：连接OM，由作图可知，A为OP中点，∴OP为⊙A直径，∴∠OMP=90°，(直径所对的圆周角是直角)，即OM⊥PM．又∵点M在⊙O上，∴PM是⊙O的切线．(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)，故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】(1)根据作图步骤利用尺规作图可得；(2)①根据“直径所对圆周角是直角”可得；②根据“经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作图及圆周角定理、切线的判定．20.【答案】解：连接OC，∵AM=18，BM=8，∴半径OC=OA=OB=13，∴OM=5，∵直径AB⊥弦CD于点M，∴CD=2CM=2DM，在Rt△OCM中，由勾股定理得：CM=√132−52=12，∴CD=24．【解析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，关键是能构造直角三角形、求出CM 长和得出CD=2CM.连接OC，求出半径OC和OM，根据勾股定理求出CM，根据垂径定理得出CD=2CM，即可求出答案．21.【答案】(1)证明：∵AD//BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，∴∠ADE+∠AED=90°．∵∠DEC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC；(2)解：∵△ADE∽△BEC，∴BEAD =BCAE，即BE1=32，∴BE=1.5，∴AB=AE+BE=3.5．【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：(1)利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；(2)利用相似三角形的性质求出BE的长度．(1)由AD//BC、AB⊥BC可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；(2)根据相似三角形的性质即可求出BE的长度，结合AB=AE+BE即可求出AB的长度．22.【答案】(1)证明：y =x 2−(m +2)x +(2m −1)，∵△=[−(m +2)]2−4×1×(2m −1)=(m −2)2+4>0，∴抛物线与x 轴一定有两个交点；(2)解：∵抛物线y =x 2−(m +2)x +(2m −1)经过原点，∴2m −1=0．解得：m =12， ∴抛物线的解析式为y =x 2−52x.当x =−2时，y 1=9；当x =1时，y 2=−32；当x =4时，y 3=6．∴y 2<y 3<y 1．【解析】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，二次函数与一元二次方程，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得m 的值是解题的关键．(1)根据一元二次方程的根的判别式求出即可；(2)由抛物线经过原点可求得m =12，从而得到抛物线的解析式，然后可求得y 1、y 2、y 3的值，然后再比较大小即可． 23.【答案】解：(1)将点C(0,−4)代入y =x 2−3x +k 得−4=k ．故k 的值为−4．(2)由(1)得抛物线为y =x 2−3x −4，∴令y =0，得0=x 2−3x −4，解得，x 1=4，x 2=−1．故抛物线与x 轴的交点坐标，点A(−1,0)；点B(4,0)．(3)如图，∵抛物线为y =x 2−3x −4，化为顶点式得：y =(x −32)2−254．∴顶点M 为(32,−254)∴△ABM 的高为254∵|AB|=|4−(−1)|=5，∴S△ABM=12×5×254=1258，故△ABM的面积为1258．【解析】(1)将点C代入抛物线y=x2−3x+k即可求出k值(2)令y=0解一元二次方程，即可求出两交点的坐标(3)求出点M的坐标，即可求S△ABM此题考查的二次函数与一元二次方程的解，在二次函数中考查与x轴交点及顶点的坐标的理解，求与x轴的交点用的是十字相乘法：x2−3x−4=(x+1)(x−4)=0，即可求两根，此题中的求顶点也可以用顶点坐标公式(−b2a ,4ac−b24a)进行求解．24.【答案】解：(1)证明：∵AC⏜=BD⏜，∴AD⏜=BC⏜．∴∠GAB=∠B，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AO．∴∠GAB+∠GAF=90°．∵OE⊥AC，∴∠F+∠GAF=90°．∴∠F=∠GAB，∴∠F=∠B；(2)连接OG．∵∠GAB=∠B，∴AG=BG．∵OA=OB=6，∴OG⊥AB．∴OG=√BG2−OB2=√102−62=8，∵∠FAO=∠BOG=90°，∠F=∠B，∴△FAO∽△BOG，∴AFOA =OBOG，∴AF=OB⋅OAOG =6×68=92．【解析】【试题解析】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．(1)根据圆周角定理得到∠GAB=∠B，根据切线的性质得到∠GAB+∠GAF=90°，证明∠F=∠GAB，等量代换即可证明；(2)连接OG，根据勾股定理求出OG，证明△FAO∽△BOG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．25.【答案】(1)94；(2)解：如图所示；(3)解：由函数图象知：①函数y=x2−4|x|的图象关于y轴对称；②当x>2时，y随x的增大而增大；(4)3，3，2，−4<a<0.【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．(1)把x=−92代入函数解释式即可得m的值；(2)描点、连线即可得到函数的图象；(3)根据函数图象得到函数y =x 2−4|x|的图象关于y 轴对称；当x >2时，y 随x 的增大而增大；(4)①根据函数图象与x 轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y =x 2−4|x|的图象与直线y =2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a 的取值范围是−4<a <0．【解答】(1)解：把x =−92代入y =x 2−4|x|得y =94， 即m =94．故答案为94；(2)见答案；(3)见答案；(4)解：①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2−4|x|=0有3个实数根；②如图，∵y =x 2−4|x|的图象与直线y =2有两个交点，∴x 2−4|x|=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2−4|x|=a 有4个实数根，∴a 的取值范围是−4<a <0．故答案为3，3，2，−4<a <0. 26.【答案】(1)①根据题意可得：y =(60−40−x)(300+20x)=−20(x −52)2+6125 ②当x =52时，最大利润为6125元．(2)5；6250 .【解析】解：(1)见答案．(2)根据题意可得：y =(20+x)(300−10x)=−10(x −5)2+6250∴当x =5时，最大利润为6250元．故答案为：5，6250．【分析】(1)①根据利润=每件商品利润×数量，可求y 与x 之间的函数关系式；②根据二次函数的性质，可求最大利润；(2)根据题意可得：y =(20+x)(300−10x)=−10(x −5)2+6250，即可求y 的最大值．本题考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质解决问题是本题的关键．27.【答案】解：(1)①如图1所示：②如图2，连结CD，FD，∵AC=6，BC=8，AB=10∴AC2+BC2=AB2∴ΔABC是直角三角形∴EF是⊙O的直径∵D是AB中点，∴DA=DB=DC=5∴∠B=∠DCB∵EF//AB∴∠A=∠CEF∵∠CDF=∠CEF∴∠A=∠CDF∴CD是⊙O的直径，∴EF=CD=5③∵AC2+BC2=AB2∴EF是⊙O的直径，∵CD是⊙O的弦∴EF≥CD ∴当CD是⊙O的直径时，EF最小，(2)24 5【解析】【分析】此题是一个圆的综合题目，主要考查圆周角定理，三角形面积和勾股定理及基本作图．(1)①用尺规作图，找到符合条件的点，②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和同圆的半径相等求解；③根据直径是圆中最大的弦求解；(2)根据三角形的面积公式求解．【解答】解：(1)①见答案②见答案③见答案(2)如图3，由(1)③知，CD是⊙O的直径时，EF最小，即：最小值为CD，当点D在边AB上运动时，只有CD⊥AB时，CD最小，由(1)②知，△ABC是直角三角形，∴SΔABC=12AC·BC=12AB·CD∴AC·BC=AB·CD∴CD=24 5故答案为245．28.【答案】解：(1)∵AB=6，OC=4且图象关于y轴对称，∴A(−3,0)，B(3,0)，C(0,−4)，设二次函数解析式为y =ax 2−4，将A(−3,0)代入得9a −4=0，解得a =49， ∴二次函数解析式为y =49x 2−4； (2)存在点P ，使得△PBC 为直角三角形． 当PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图1，连接BC ，则CP 1=CP 2=√5， ∵OB =3.OC =4，∴BC =5∵BP 1和BP 2为切线，∴CP 1⊥BP 1，CP 2⊥BP 2，∴BP 1=BP 2=√52−(√5)2=2√5，过点P 2作P 2E ⊥x 轴于E ，P 2F ⊥y 轴于F ，∵∠CP 2F =∠BP 2E ，∴△CP 2F∽△BP 2E ，∴P 2F P 2E =CF BE =CP 2BP 2=√52√5=12， ∴BE =2CF ，P 2E =2P 2F ，设OE =x ，则P 2F =x ，OF =P 2E =2x ，∴3−x =2(2x −4)，解得x =115， ∴P 2E =2x =225， ∴P 2(115,−225)； 过P 1作P 1G ⊥x 轴于G ，P 1H ⊥y 轴于H.同理求得P 1(−1,−2)；当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形，过P 4作P 4H ⊥y 轴于H ，如图2，则△BOC∽△CHP 4，∴CH OB =P 4HOC =P 4C BC，即CH 3=P 4H 4=√55， ∴CH =3√55，P 4H =4√55， ∴P 4(4√55,−3√55−4)，同理可得P 3(−4√55,3√55−4)，综上所述：点P 的坐标为(−1,−2)或(115,−225)或(4√55,−3√55−4)或(−4√55,3√55−4)；(3)如图3，连接AP，AC=BC=5，∵OB=OA，BE=EP，∴OE为△ABP的中位线，∴OE=12AP，∴当AP最大时，OE最大，而当P在AC的延长线上时，AP最大，最大值为5+√5，∴OE的最大值为5+√52．【解析】(1)利抛物线对称性得到A(−3,0)，B(3,0)，再设顶点式y=ax2−4，然后把A 点坐标代入求出a即可；(2)当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，则CP1=CP2=√5，利用切线性质和勾股定理计算出BP1=BP2=2√5，过点P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，证明△CP2F∽△BP2E，利用相似比得到BE=2CF，P2E=2P2F，设OE=x，则P2F=x，OF=P2E=2x，则3−x=2(2x−4)，解方程求出x可得到P2坐标；过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H.同理求得P1(−1,−2)；当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过P4作P4H⊥y轴于H，如图2，证明△BOC∽△CHP4，利用相似比可计算出CH=3√55，P4H=4√55，从而得到P4坐标，同理可得P3(−4√55,3√55−4)，(3)如图3，连接AP，先判断OE为△ABP的中位线得到OE=12AP，则当AP最大时，OE最大，利用点与圆的位置关系判断当P在AC的延长线上时，AP最大，最大值为5+√5，从而得到OE的最大值．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和切线的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；合理构建相似三角形，利用相似比计算线段的长或表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷及答案

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷及答案

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷及答案一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x = 2．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65° 4．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x += 5．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）A ．0a ≥B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +<7．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．2C ．2D 2 8．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠9．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．1∶2B ．1∶2C ．3∶2D ．1∶3 10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0；③213a -≤≤-； ④248acb a ->；其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 11．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y x =B ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-12．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41 B ．-35 C ．39 D ．45二、填空题13．已知方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．15．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．16．如图，将正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是_____．17．现有甲、乙两个盒子，甲盒子中有编号为4，5，6的3个球，乙盒子中有编号为7，8，9的3个球．小宇分别从这两个盒子中随机地拿出1个球，则拿出的2个球的编号之和大于12的概率为_____．18．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm19．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转150 ，得到ADE V ，这时点B C D 、、恰好在同一直线上，则B Ð的度数为______．三、解答题21．已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为10，OE 、OF 分别交AB 于点E 、F ，OF 的延长线交⊙O 于点D ，且AE=BF ，∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形；（2）当AE=OE 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）22．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．23．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．24．已知关于x 的一元二次方程225x x m --=（）（）（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两实数根12,x x 满足221233x x +=，求实数m 的值.25．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.2．C解析：C【解析】【分析】把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．【详解】∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）=a2x12+2ax1+1-2+ac=a（ax12+2x1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N＜0，∴M＜N．故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．3．B解析：B【解析】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.4．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B ．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．5．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案.【详解】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．B解析：B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．D解析：D【解析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．8．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠； 综上，116k …．故选B. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.9．B解析：B【解析】【分析】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248acb a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0，∴224b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2a+b=0． ∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤． 解得：213a -≤≤-， 故③正确；④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0， ∴224b c a-<， ∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．11．C解析：C【解析】【分析】根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数.【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，∴另一边为12-x ，故面积2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =- 故选C【点睛】此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.12．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a 3ab 8b 2a ++-=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2 =39．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a；熟练掌握韦达定理是解题关键． 二、填空题13．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为 解析：94【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题． 15．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k 的新方程通过解新方程来求k 的值【详解】∵方程x2+kx −3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了解析：2【解析】【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1，∴把x=1代入，得12+k×1−3=0，解得，k=2.故答案是：2.【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用. 16．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为OC＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C的位置然后求出翻转B前进的距离连接CE过点D作解析：(4038，【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×32＝23，∴点C的坐标为（4038，23），故答案为：（4038，23）．【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．17．【解析】【分析】列举出所有情况找出取2个球的编号之和大于12的情况即可求出所求的概率【详解】列树状图得：：共有9种等可能的情况其中编号之和大于12的有6种所以概率=故答案为：【点睛】此题主要考查了利解析：2 3【解析】【分析】列举出所有情况，找出取2个球的编号之和大于12的情况，即可求出所求的概率．【详解】列树状图得：：共有9种等可能的情况，其中编号之和大于12的有6种，所以概率= 62 93 ，故答案为：23．【点睛】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn是解题的关键．18．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．19．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π，则r=3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算．20．15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°AD=AB再判断出△BAD是等腰三角形最后用三角形的内角和定理即可得出结论详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE∴∠BAD=150°AD=解析：15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=12（180°-∠BAD）=15°，故答案为15°．点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）503 25π-．【解析】【分析】（1）作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出结论．（2）在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的长，根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出结论．【详解】解：（1）证明：作OC⊥AB于点C，∵OC⊥AB，∴AC=BC．∵AE=BF，∴EC=FC．∵OC⊥EF，∴OE=OF．∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形．；（2）∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°．∴∠AOF=90°．∵AO=10，∴OF=3103 tan1033AO AOE⋅∠=⨯=．∴110350310233ACFS=⨯=V,2901025360AODSππ⋅⋅==扇形．∴50325ACFAODS S Sπ∆=-=-阴影扇形22．每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【解析】试题分析：首先设每个粽子的定价为x元，然后根据题意得出方程，从而求出x的值，然后根据售价不能超过进价的200%，从而得出x的取值范围，从而得出答案.试题解析：设每个粽子的定价为x 元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x ﹣3）（500﹣10×）=800， 解得x 1=7，x 2=5．∵售价不能超过进价的200%， ∴x ≤3×200%．即x≤6． ∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．考点：一元二次方程的应用23．（1）18；（2）12【解析】【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A 通道通过的情况数占总情况数的多少即可；（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B 通道通过的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：（1）画树状图得：共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A 通道通过的情况数有1种，所以都选择A 通道通过的概率为18， 故答案为：18； （2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B 通道通过的有4种情况， ∴至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率为4182=． 【点睛】考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．24．（1）详见解析；（2）实数m 的值为2±【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△=b 2-4ac ，即可得出△249m =+，结合4m 2≥0可得出△＞0，进而可证出：无论m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得出212127,10x x x x m +==-Q g ，结合x 12+x 22=33可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）证明：Q 关于x 的一元二次方程225x x m --=（（）整理，得227100x x m -+-=249410m =--V （）249404m =-+249m =+2240490m m ∴≥∴+>∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）： 212127,10x x x x m +==-Q g221233x x +=()21212233x x x x ∴+-= ()24921033m --=解得m =答：实数m 的值为【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x 12+x 22=33，找出关于m 的一元二次方程．25．(1) 2m <；(2) m 的值是1.【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m 的不等式，解之可得； （2）由（1）中m 的范围且m 为非负整数得出m 的值，代入方程，解之可得．【详解】解：（1）根据题意得：()()22410m --->，解得：2m <.故m 的取值范围为2m <；（2）由（1）得：2m <m Q 为非负整数， 0m ∴=或1，把0m =代入原方程得：2210x x --=，解得：11x =21x =，0m =不合题意舍去；把1m =代入原方程得：220x x -=，解得：10x =，22x =.故m的值是1.【点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题关键．。

2020-2021学年度九年级(上)期中数学试卷 (附答案)

2020-2021学年度九年级(上)期中数学试卷 (附答案)

2020-2021学年度九年级（上）数学期中试卷（附答案）一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共18分）1．（3分）如下图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，A、B、C三点在圆O上，∠B＝36°，则∠A O C的度数为（）A．36°B．54°C．72°D．90°3．（3分）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）4．（3分）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AP上运动，则OP的最小值是（）A．2B．3C．4D．55．（3分）已知函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，（x，2017）、（x，2017）是12该函数图象上的两个点，则当x=122时，函数值y＝（A．﹣2017B．c C．0）D．c﹣20176．（3分）下表中所列x，y的数值是某二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x＜x＜x＜x＜x＜x＜x，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（）①a 1234567＞0；②9＜m＜16；③k≤9；④b2≤4a（c﹣k）x… (x1x2)mx3x4kx5x6mx7……y169916 A．①②B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）函数y=√3−中，自变量x的取值范围是．8．（3分）如图，将正三角形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正三角形重合，那么旋转的角度至少是度．9．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根分别是x，x，那么（1+x）（1+x）的值1212是．10．（3分）如图，将△AB C绕点A逆时针方向旋转到△A DE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠B＝125°，∠E＝30°，则∠α＝°．11．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为12．（3分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，有下列结论：．①二次三项式ax2++的最大值为4；②4+2+＜0；③一元二次方程2++＝1的bx c a b c ax bx c 两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）三、本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．x2﹣2x﹣15＝0．̂̂14．（6分）如图，在⊙O中，=A40D，∠＝°，求∠的度数．15．（6分）如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽1度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池41面积的，求道路的宽．616．（6分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B′落到BC边上，∠B＝50°．求∠CB′C′的度数．17．（6分）已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的解析式；（2）填空：该抛物线的对称轴是；顶点坐标是；当x＝时，y随x的增大而减小．18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BA D是它的个外角，OP⊥B C交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的角平分线AF；（2）在图2中，画出△ABC的外角∠BA D的角平分线A G．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2＝0．（1）不解方程，判别方程的根的情况；（2）方程有两个不相等的正整数根时，求整数a的值．20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且O D∥B C，O D与AC 交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CA D的度数；（2）若AB＝4，A C＝3，求DE的长．21．（8分）如图，△OB D中，O D＝B D，△OB D绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OA C，此时B，D，C三点正好在一条直线上，且点D是B C的中点．（1）求∠C O D度数；（2）求证：四边形O D A C是菱形．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．。

北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析

北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析

北京中2020-2021学年度初三上学期期中数学试卷及参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（)A. 6, 7, 8 B. 2, 3, 4C. 3, 4, 6D. 6, 8, 102.下列各式中，运算正确的是（） C. 2 + 0 = 27? D.后7 = -2A. 712=273A. 2B. 3ZACB = 90°,匕8 = 30°，点D 为AB 的中点，若AC = 2,则CD 的长为（C. 4D. 54.右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成.若要在①，②，③.④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）---1②1—③ 1---1A.区域①处B.区域②处C.区域③处D.区域④处5.用配方法解方程F-4x -1 = 0,方程应变形为（）A. (*+2)2=3 B. (x + 2)'=5 C. (x-2)=3D. (x -2)2=56.下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）A. 一组邻边相等的平行四边形 B. 一条对角线平分一组对角的四边形C.四条边都相等的四边形D.对角线互相垂直平分的四边形7.若。

，b , c 满足，“+ +c = U,则关于x 的方程四勺队+。

= 0（。

0）的解是（ ）1一/? +。

=（）,A. 1, 0 B. -1. 0 C. 1, -1 D.无实数根8.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数.得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如下信息:平均数中位数众数in67则卜列选项正确的是（）A.可能会有学生投中了8个B.五个数据之和的最大值可能为30C.五个数据之和的最小值可能为20D.平均数川一定满足4.2<w<5.8Z间9.如朗b将矩形ABCD和正方形的分别沿对角线AC和EG剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN,中间空白部分的四边形KRST是正方形.如果正方形与正方形KRST的而积分别是16和1,则矩形ABCD的面枳为（）第9题图2D.2510.如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.设AE=x.矩形fCFG的而积为），，则y^x之间的关系描述正确的是（）A.y与】之间是函数关系，旦当x增大时，y先增大再减小B.y与工之间是函数关系，且当x增大时，，，先减小再增大C.），与工之间是函数关系，且当A■增大时，），一直保持不变D.y与x之间不是函数关系二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.vT算：已知x=J5+JJ,y=则TY=12.使二次根式有意义的;v的取值范围是13.如图.在平行四边形ABCD中，ED=2,8C=5,ZABC的平分线交4D于点E.则CD的长为__________14.写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2,此方程可以是.15.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20） 3．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 6．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ） A ．2(2)3x += B ．2(2)5x += C ．2(2)3x -= D ．2(2)5x -= 7．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB 的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°8．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 9．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 10．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 11．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ）A ．-41B ．-35C ．39D ．45 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．18．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .19．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.20．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.22．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．23．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．求证：PA是的切线；若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.2．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 3．A解析：A【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3可得：x≤﹣3．【详解】∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a取何值，x≤﹣3．故选D．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x2-4x-1=0，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.8．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．9．D解析：D【解析】【分析】求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．【详解】x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键10．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．11．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a3ab8b2a++-=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=ba-，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．12．A 解析：A 【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．二、填空题13．8【解析】【分析】连接AD 根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°故可得出AD=BD 再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形利用勾股定理求出AB 的长在Rt△ABC 中利用勾股定解析：8【解析】【分析】连接AD ，根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，∵∠ACB=90°，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴2．∵AB 是⊙O 的直径，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AB=22AD BD +=10．∵AC=6，∴BC=2222106AB AC -=-=8．故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．14．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864．故答案为：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x ）即100（1-x ）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1-x ）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x ）（1-x ），即100（1-x ）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（1-x ）2元．根据题意，得100（1-x ）2=64，即（1-x ）2=0.64，解得x 1=1.8，x 2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO ∴∠QOP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°18．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单 解析：25(1)1y x =-+-【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可．【详解】抛物线251y x =-+的顶点坐标为（0，0），∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度，∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2），∴所得抛物线的解析式是()2511y x =-+-．故答案为：()2511y x =-+-．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 19．x1=1x2=2【解析】【分析】整体移项后利用因式分解法进行求解即可得【详解】x(x-2)-(x-2)=0x-1=0或x-2=0所以x1=1x2=2故答案为x1=1x2=2【点睛】本题考查了解一元二解析：x 1=1, x 2=2.【解析】【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.【详解】x(x-2)-(x-2)=0，()()120x x--=，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2，故答案为x1=1，x2=2.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.20．-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根代入可得9-3+c=0解得c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0即（x+2）（x-3）=0解得x=-2或x=3即可得方程的另一个根是x=解析：-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，代入可得9-3+c=0，解得，c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得，x=-2或x=3，即可得方程的另一个根是x=-2．三、解答题21．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【详解】（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得10 930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．23．（1）x=﹣2或x=4；（2）52＜x＜3【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）分别求不等式，再确定公共解集．【详解】解：（1）∵（x+2）（x ﹣4）=0，∴x+2=0或x ﹣4=0，解得：x=﹣2或x=4；（2）解不等式x ﹣3（x ﹣２）＜1，得：x ＞52， 解不等式12x -＜1，得：x ＜3， ∴不等式组的解集为52＜x ＜3． 【点睛】 考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．24．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000∵k=﹣200＜0，∴P随x的增大而减小，∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA；，；而，；而，；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。

2020年北京市通州区初三统一练习(一)初中数学

2020年北京市通州区初三统一练习(一)初中数学

16. ：如图，四边形 ABCD 是矩形〔 AD ＞AB〕，点 E 在 BC 上，且 AE =AD，DF ⊥AE，垂足 为 F． 请探求 DF 与 AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．
17．某超级市场销售一种运算器，每个售价
48 元．后来，运算器的进价降低了 4% ，但售
价未变，从而使超市销售这种运算器的利润率提高了
5% ．这种运算器原先每个进价是多少
元？〔利润 售价 进价，利润率
利润 100% 〕 进价
18. 如图，在一次数学活动课上， 老师带领学生去测教学楼的高度． 在阳光下，测得身高 1.65m
的小李 ( BC )的影长 ( BA )为 1.1m ，同时测得教学楼 DE 的影长 DF 为 12.1m．
〔 1〕请你在图中画出现在教学楼 DE 在阳光下的投影 DF ；
6.1
x
100
1000
10000
6.01
6.001
6.0001
1
1
① 6 (x >0) 的值随着 x 的增大越来越小；② 6 (x >0) 的值有可能等于 2 ；
x
x
③6
1 (x >0) 的值随着 x 的增大越来越接近于
2 .其中，估量正确的有
x
Ａ． 3 个
Ｂ． 2 个 Ｃ． 1个
Ｄ． 0 个
7. 如图 , AB 是⊙ O 的直径 , CD 是弦 , 且 CD ⊥ AB, 假设 BC=8, AC=6, 那么 sin∠ ABD 的值为
图是
5. 学校开展为贫困地区捐书活动，以下是
5 名同学捐书的册数： 2， 2， x ， 4， 9．其中 x
是这组数中看不清的数字，但又知这组数据的平均数是

2021年北京市通州区初三年级第一次中考模拟考试数学试题(含答案)

2021年北京市通州区初三年级第一次中考模拟考试数学试题(含答案)

2021年北京市通州区初三年级第一次中考模拟考试数学试题数 学一、选择题（共8小题）.1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届，第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是2.据北京晚报报道，截止至2021年3月14日9：30时，北京市累计有3340000人完成了新冠疫苗第二针的接种，将3340000用科学记数法表示正确的是 A. 433410⨯B. 43.3410⨯C. 63.3410⨯D. 73.3410⨯3.() A.1B.2C.3D.44.不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别.从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是 A.15B.25C.12D.355.如果2a b -=，那么代数式222a b ab a a b⎛⎫+-⋅ ⎪-⎝⎭的值是A.2B.-2C.12D. 12-6.若实数,,,p q m n 在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足0p q m n +++=，则绝对值最小的数是A. pB. qC. mD. n7.2021年3月12日，为了配合创建文明、宜居的北京城市副中心，通州区某学校甲，乙两班学生参加城市公园的植树造林活动，已知甲班每小时比乙班少植2棵树，甲班植50棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同，如果设甲班每小时植树x 棵，那么根据题意列出方程正确的是()A.60702x x =+ B.60702x x =+ C. 60702x x=- D.60702x x =-8.为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放来达标的企业要限期整改.甲、乙两个企业的污水排放量W 与时间t 的关系如图所示，我们用t W 表示t 时刻某企业的污水排放量，用1212t W W t t +---的大小评价在1t 至2t 这段时间内某企业污水治理能力的强弱，已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：① 在12t t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在1t 时刻，乙企业的污水排放量高；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④在112230,,t t t t t t t t 这三段时间中，甲企业在23t t t 的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是 A. ①②③B. ①③④C. ②④D. ①③二、填空题(共8个小题，每小题2分，共16分)9.在函数y =x 的取值范围是 .10.写出二元一次方程25x y +=的一组解： .11.某立体图形的三视图中，主视图是矩形，请写出一个符合题意的立体图形名称： . 12.某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表.则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为 (13.下图中的平面图形由多条直线组成，计1+2+3+4+5=∠∠∠∠∠ .14.在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数()0y mx m =≠的图象与反比例函数()0ky k x=≠图象的一个交点坐标为(),p q ，则其另一个交点坐标为a b c >>15.如图所示，在正方形网格中，点,,,A B C D 为网格线的交点，线段AC 与BD 交于点O .则ABO 的面积与CDO 面积的大小关系为：ABOSCDO S(填“＞”，“=”或“＜”).16.某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品.一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比.例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为5，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔订单的生产时间(单位：小时)依次为,,a b c ，其中a b c >>，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是a b c >>三、解答题(共12小题，17-25题，每小题5分，26题7分，27，28每小题8分，共68分)17.计算：11(3)6cos304π-︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭18.解不等式组：2644113x x x -+⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并将其解集在数轴上表示出来.19.下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l 及直线l 外一点P . 求作：直线PQ ，使得PQ l . 小于同学的作法：如下， (1)在直线l 的下方取一点O ； (2)以点O 为圆心，OP 长为半径画圆，O 交直线l 于点,C D (点C 在左侧)，连接CP ； (3)以点D 为圆心，CP 长为半径画圆，交O 于点,Q N (点Q 与点P 位于直线l 同侧)；(4)作直线PQ ； 所以直线PQ 即为所求.请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题. (1)使用直尺和圆规，完成作图；(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明： 证明：连接DPCP DQ =CP DQ ∴= ( )(填推理的依据). PDC DPQ ∴∠=∠ ( ) (填推理的依据). PQ l ∴ ( ) (填推理的依据).20.已知关于x 的方程2420x x k -+-=有两个不相等的实数根.(1)求实数k 的取值范围；(2)请你给出一个k 的值，并求出此时方程的根.21.已知：如图，在ABC 和DEF 中，点B 、E 、C 、F 四点在一条直线AD 上，且,,BE CF AB DE B DEF ==∠=∠.求证：ABC DEF ≅22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,4)A 为双曲线ky x=上一点. (1)求k 的值；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2(0)y mx m =-≠的值大于ky x=的值，直接写出m 的取值范围.23.如图，在四边形ABCD 中，90BCD ︒∠=，对角线,AC BD 相交于点N ,点M 是对角线BD 中点，连接,AM CM .如果,AM DC AB AC =⊥，且AB AC =.(1)求证：四边形AMCD 是平行四边形. (2)求tan DBC ∠的值.24.截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入，小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度(亿元)，并对数据进行整理、描述和分析，下面是小凯给出的部分信息.a.反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下(数据分成8组；020,2040,4060,6080,80100,100120,120140,x x x x x x x ≤≤<<<<<<<<140160x )b.2020年中央财政脱贫专项资金在2040x <这一组分配的额度是(亿元)： 25 2828303737383939(1)2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为 (亿元)；(2)2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第 名；(3)小凯在收集数据时得到了2016-2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A 和自治区B 的分配额度变化图：① 比较2016年—2020年中央财政脱贫专项资金对自治区,A B 的分配额度，方差2A s 2B s (填写“>”或者“<”）；②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区,A B 脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法.25.已知：如图，点,,A C D 在O 上，且满足45C ︒∠=，连接,OD AD .过点A 作直线AB OD ，交CD 的延长线于点B . (1)求证：AB 是O 的切线；(2)如果2OD CD ==，求AC 边的长.26.已知二次函数221(0)y ax ax a =-+≠.(1)求此二次函数图象的对称轴；(2)设此二次函数的图象与x 轴交于不重合两点()1,0M x ，()2,0N x (其中12x x <)，且满足1262x x <-，求a 的取值范围.27.已知点P 为线段AB 上一点，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60︒，得到线段AC ；再将线段BP 终点B 逆时针旋转120︒，得到线段BD ；连接AD ，取AD 中点M ，连接,BM CM . (1)如图1，当点P 在线段CM 上时，求证：PMBD ；(2)如图2，当点P 不在线段CM 上，写出线段BM 与CM 的数量关系与位置关系，并证明.28在平面直角坐标系xOy 中.任意两点()()1122,,,P x y Q x y ，定义线段PQ 的“直角长度”为PQ 2121d x x y y =-+-.(1)已知点(3,2)A . ①OA d = ；②已知点(,0)B m ，若6AB d =，求m 的值；(2)在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”.已知点(3,3)M .①点(0,)(0)D d d ≠.如果OMD 为“和距三角形”，求d 的取值范围；②在平面直角坐标系O x y 中，点C 为直线4y x =--上一点，点K 是坐标系中的一点，且满足1CK =，当点C 在直线上运动时，点K 均满足使OMK 为“和距三角形”，请你直接写出点C 的横坐标C x 的取值范围.2021年北京市通州区初三年级第一次中考模拟考试数学试题参考答案一、选择题：(共8个小题，每小题2分，共16分)9. 2x ；10.例如：12x y =⎧⎨=⎩11.答案不唯一.例如：圆柱、长方体等；12.0.35；13.360°；14.(,)p q --；15.=；16.c 、b 、a.三、解答题(共12小题，17-22题每题5分，23，24题每题7分，25题8分，共64分) 17.解：原式=146=-+……………………………………………………………3=--………………………………………………………………………………18.解：264x -+22x --……………………………………………………………………………… 1x ……………………………………………………………………………………4113x x +>-…………………………………………………………………………… 4133x x +>-………………………………………………………………………… 4x >-………………………………………………………………………………………………………………∴原不等式组的解集为41x -<≤19.(1) . (2)在同圆中，等弧所对的圆周角相等………………………………………………4分； 内错角相等，两直线平行…………………………………………………………5分； 20.(1)方程有两个不相等的实数根2(4)4(2)840k k ∴∆=--⋅-=+>………………………………………………1分； 2k ∴>-……………………………………………………………………………2分；(2)答案不唯一21,(2)1k x =--=…………………………………………………………………3分； 121,3x x ∴==……………………………………………………………………5分；21.证明：BE CF =BC EF ∴=………………………………………………………………………1分 ∴在ABC 与DEF 中AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………4分 ()ABC DEF SAS ∴≅……………………………………………………………5分22.解：(1)将点(1,4)A 带入ky x=…………………………………………………………1分 4k =………………………………………………………………………………3分(2)当2x >时，4y x=的函数值随着x 的增大而减小； 当2x =时4222m - 2m ………………………………………………………………………………5分23.(1)证明：90DCB ︒∠=在Rt DCB 中，点M 为DB 中点 12MC BD BM ∴==………………………………………………………………… 在ABC 中，AB AC =ABM ACM ∴≅BAM CAM ∴∠=∠AM BC ∴⊥………………………………………………………………………… 90DCB ︒∠=AM DC ∴,AM DC =∴四边形AMCD 是平行四边形(2)延长AM 交BC 于点Q ，AM BC ⊥AM DC ∴M 是BD 中点，12MQ DC ∴=又AM DC = ……………………………………………………………………4分；12MQ AM ∴=Rt ACB 中，,AB AC AM BC =⊥AQ BQ ∴=1tan 3MQ DBC BQ ∴∠==……………………………………………………………5分； 24.解： (1)37.5……………………………………………………………………………1分； (2）6；………………………………………………………………………………2分；(3) ①＞……………………………………………………………………………3分 ②言之有理即可…………………………………………………………………5分25.证明：连接OA45C ︒∠=290O C ︒∴∠=∠=…………………………………………………………………1分 OD AB90OAB ︒∴∠= O 过点AAB ∴是O 切线于点A …………………………………………………………2分(2)分别连接,OC AD ，作DH AC ⊥于H ………………………………………1分 2OC OD CD ===OCD ∴是等边三角形60OCD ︒∴∠=……………………………………………………………………2分 45ACD ︒∠=15OCA OAC ︒∴∠=∠=2CD = 2DH CH ∴==…………………………………………………………………3分 ,90OA OD AOD ︒=∠=45OAD ︒∴∠=30CAD ︒∴∠=又1tan tan 303DH CAD AH ︒∠=== 6AH ∴=…………………………………………………………………………4分 26AC DH AH ∴=+=+……………………………………………………5分 26.解：(1）(2)12a x a --==…………………………………………………………………2分 (2) 1212262x x x x +<⋅+=24x ∴<……………………………………………………………………………3分 若0a >时，当1x =时，210,1a a a -+<>……………………………………5分 若0a <时，当4x =时，116810,8a a a -+<<-…………………………………7分 所以1a >或18a <-27.证明，(1）点P 在线段CM 上…………………………………………………………1分 APC ∴为等边三角形60CPA ︒∴∠=120APM ︒∴∠=………………………………………2分又120ABD ︒∠=PMBD ∴…………………………………………………………………………3分 (2)延长BM 至点F ，使得, MF MB =，连接,,,AF BC FC PC猜想：,3CM MB CM MB ⊥=4分证明；,AM MD FM BM ==∴四边形AFCB 为平行四边形,AF BD AF BD ∴=18060BAF ABD ︒∴∠=-∠=120CAF ︒∴∠=APC 是等边三角形，,120AC CP CPB ︒∴=∠=PB DB AF ==CAF CPB ∴≅……………………………………………………………………6分 ,12CF CB ∴=∠=∠60FCB ︒∴∠=CBF ∴是等边三角形 ……………………………………………………………7分 又FM BM =,CM MB CM ∴⊥=…………………………………………………………8分(1)①5；……………………………………………………………………………分 ②(1,0)-或(7,0)，1m ∴=-或7；…………………………………………………(2)据题意，锐角三角形不可能为“和距三角形”①3d 且0d ≠②据题意，点K 的轨迹是以点C 为圆心，半径为1的圆232C x ∴---或21c x -+<……………………………………………8分[注]学生正确答案如果与本答案不同，请老师参照此评分标准给分。

2022-2023学年北京市通州区九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年北京市通州区九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知3y=2x(y≠0)，那么下列比例式中成立的是( )A. y3=x2B. y2=x3C. xy=23D. x2=3y2. 下列点坐标，是二次函数y=2(x−1)2−4图象的顶点坐标的是( )A. (2,4)B. (−1,−4)C. (−1,4)D. (1,−4)3. 下列说法正确的是( )A. 任意两个矩形一定相似B. 任意两个菱形一定相似C. 任意两个正方形一定相似D. 任意两个平行四边形一定相似4. 如图，△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A.B.C.D.5. 把二次函数y=x2的图象向左平移2个单位，然后向上平移1个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为( )A. y=(x+2)2+1B. y=(x+2)2−1C. y=−(x−2)2+1D. y=(x−2)2−16. 已知点(1,y1)，(2,y2)，(−3,y3)都在函数y=−2x2的图象上，则下列结论正确的是( )A. y3<y2<y1B. y1<y2<y3C. y1<y3<y2D. y2<y1<y37. 如图，数学兴趣小组利用标杆BE测量学校古树CD的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14m，则古树CD的高度是( )A. 9mB. 10mC. 12mD. 16m8. 如图，在▱ABCD中，点E是AD边上的点，线段BE与AC交于点F，如果AE：AD=1：3，AF=3，那么AC的长是( )A. 3B. 6C. 9D. 129. 一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.10. 在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是( )A. P→A→QB. P→B→QC. P→C→QD. P→D→Q二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上(不与点A，C重合)，只需添加一个条件即可证明△ABC和△BDC相似，这个条件可以是(写出一个即可)．12. 如图，直线l1//l2//l3，直线l4，l5被直线l1、l2、l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB=4，BC=6，DE=3，则EF的长是______．13. 若二次函数y=x2−2x+k的图象与x轴只有一个公共点，则k=______．14. 已知二次函数y=x2−4x+7，将这个二次函数表达式用配方法化成y=(x−ℎ)2+k的形式______．15. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图(1)所示．如图(2)所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是cm．16. 某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y(万件)与x之间的函数表达式为______．17. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高．如果AD=3，BD=2，那么CD 的长为______．18. 若函数y=(a−1)x2−4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______．三、解答题（本大题共10小题，共64.0分。

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