解三角形中相关的取值范围问题

解决与三角形相关的取值范围问题

例1：在锐角ABC 中，2A B =，则c b

的取值范围是

例2：若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是

例3：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。（1）求B 的大小。 （2）若5b =，求ABC 周长的取值范围。

例4：在ABC 中，2222

3

a b c ab +=+，若ABC 32

，则ABC 的面积的最大值为

例5：（2008，江苏）满足2,2AB AC BC ==的ABC 的面积的最大值是

例6：已知角,,A B C 是ABC 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量

(1cos(),cos

)2A B m A B -=-+，5(,cos )82A B n -=，且9

8

m n ⋅= （1）求tan tan A B ⋅的值。 （2）求

222

sin ab C

a b c

+-的最大值。

通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。

巩固练习

1．在ABC 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为

2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是

3．在 Rt ABC 中，

2

C π

=，且,,A B C 所对的边,,a b c 满足a b xc +=，则实数x 的取值范围为

4．在锐角ABC 中，2A B =，1AC =，则BC 的取值范围是 5．在锐角ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，记cos cos M A C =，则M 的取值范围是

6．已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ，则a 的取值范围是 7．已知ABC 外接圆的半径为6，若面积22()ABC

S

a b c =--且

4

sin sin 3

B C +=，则sin A = ，ABC

S

的最大值为

8．在ABC 中，(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+ （1）求证：ABC 为直角三角形

（2）若ABC 外接圆的半径为1，求ABC 的周长的取值范围 9．在ABC 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c 23cos A A =（1）若222a c b mbc -=-，求实数m 的值 （2）若3a =ABC 面积的最大值。

解决与三角形相关的取值范围问题

例1：在锐角ABC 中，2A B =，则c b

的取值范围是 解析：由022

2

A B C A B ππ

π<=<<=--<且0

得64B ππ<<，所以2sin sin 3sin 2cos cos 2sin 4cos 1sin sin sin c C B B B B B B b B B B

+====-，又23cos ,22B ∈所以24cos 1(1,2)c

B b

=-∈ 点评：①本题易错在求B 的范围上，容易忽视“ABC 是锐角三角形”这个条件。②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。

例2：若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 解析：由题设知

2b ac

=，又余弦定理知

2222221

cos 2222

a c

b a

c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=

所以03

B π<≤

，又7sin cos 2)4

4

4

12

B B B B πππ

π

+=+<+

<

且所以2)2]4

B π

+∈即sin cos B B +的取值范围是2]。

点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。

例3：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。（1）求B 的大小。 （2）若5b =，求ABC 周长的取值范围。 解析：（1）由题意知cos cos 2cos a C c A b B +=，

由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B += 所以sin()2sin cos A C B B +=，于是1cos ,2

3B B π

==

（2）由正弦定理

sin sin sin 3

a b c A B C ===，所以 255sin()510sin()363333

a b c A C A A A ππ++=

++=+-+=++

又由02

A π<<

得26

6

3

A ππ

π

<+<

，所以 510sin()(10,15]6

a b c A π

++=++∈。

点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。 例4：在ABC 中，2222

3a b c ab +=+，若ABC 的外接圆半径为

32

2

，则ABC 的面积的最大值为

解析：又2

2

2

2

3

a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-=

=，所以22

sin 3

C =

， 又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-即222

1623

ab a b ab +=+≥ 所以12ab ≤，又由于12

sin 4223

S ab C ab ==≤，故当且仅当23a b ==时，ABC 的面积取最大值42点评：先利用余弦定理求cos A 的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。

例5：（2008，江苏）满足2,2AB AC BC ==的ABC 的面积的最大值是 解析：设BC x =，则2AC x =，