浅谈纳什均衡

浅谈纳什均衡

第一次接触到纳什均衡是在电影《美丽心灵》里边，主人公约翰·纳什经过不断探索和创新提出了他梦想的原创理论——纳什均衡定律。

关于纳什均衡的来源，有一段有趣的小故事。约翰·纳什假设有四男五女，其中有位女士长得非常漂亮以至于所有的男士都去追求这个女士。由于漂亮女士的天生孤傲，她拒绝了所有人的追求。于是这四个男士退而求其次，去追求另外四个女士。而这四个女士都不想作为第二个选择，所以都拒绝了这四个男士，公共利益为零。这时，约翰·纳什就想道：如果这四个男士一开始都不去追求那位漂亮女士而是直接去追求那四个不那么漂亮的女士，那么毫无疑问都会成功，这时公共效益达到最大。不管信还是不信，这个故事便是纳什均衡的最初来源了。

亚当·斯密，现代经济学之父，曾经提出：在竞争中，个人的野心往往会促进公共效益。但是约翰·纳什在普林斯顿大学发表的博士论文彻底推翻了统治了经济学界100多年的亚当·斯密的重要理论。经过一段时间后，纳什的理论像是一个炸弹爆炸在了各相关学界，引起了相当大的轰动。约翰·纳什也由于他的原创理论获得了1994年的诺贝尔经济学奖。

随着时间的推移，纳什的理论逐渐进入到博弈学领域，并且成为博弈学界不可或缺的支撑理论。

纳什均衡的定义：假设有n个局中人参与博弈，给定其他人策略

的条件下，每个局中人选择自己的最优策略（个人最优策略可能依赖于也可能不依赖于他人的战略），从而使自己利益最大化。所有局中人策略构成一个策略组合（Strategy Profile）。纳什均衡指的是这样一种战略组合，这种策略组合由所有参与人最优策略组成。即在给定别人策略的情况下，没有人有足够理由打破这种均衡。纳什均衡，从实质上说，是一种非合作博弈状态。纳什均衡达成时，并不意味着博弈双方都处于不动的状态，在顺序博弈中这个均衡是在博弈者连续的动作与反应中达成的。纳什均衡也不意味着博弈双方达到了一个整体的最优状态。

标准定义，在博弈G=﹛S1,…,Sn：u1,…,un﹜中，如果由各个博弈方的各一个策略组成的某个策论组合（s1*,…,sn*）中，任一博弈方i的策论si*，都是对其余博弈方策略的组合（s1*,…s*i-1,s*i+1,…,sn*）的最佳对策，也即ui（s1*,…s*i-1, si*,s*i+1,…,sn*）≥ui（s1*,…s*i-1, sij*,s*i+1,…,sn*）对任意sij∈Si都成立，则称（s1*,…,sn*）为G的一个纳什均衡。

关于纳什均衡最经典的案例莫过于囚徒困境了，关于这个经典案例已经分析得太多太多，这里就不详细介绍了。

那么就通过生活中的例子来简单加入纳什均衡定理吧。话说马上就要期末考试了，有小A同学和小B同学两位刻苦学习的好孩子。他们相约一起复习，假设两人对各个学科的掌握情况不一致，小A对《经济学原理》比较熟络，而小B则更加擅长于《博弈与实践》课程。于是他们两个就打起了小算盘：如果小A和小B都自己复习自己所掌握

的知识，那么他们两个分别的效益假设为（5,5）；如果小A将自己擅长的经济学知识方法给了小B,但是小B由于自私不打算教给小A任何知识，则由于比较的效果，两个人的效益分别为（4,7）；相反的，如果小A自私而小B无私的话，两个人的效益分别为（7,4）；当然还有最后一种情况，就是假设他们两个都是无私的，共享复习资料，则两个人获得的效益分别为（6,6）。

经过简单分析可以看出，不管小A作何种决策，小B总是会选择自私的方法对自己更加有利，同理小A也是，那么我们可以看到最终的结果就是他们两个人都选择了自私的方案，然后各自得到5的收益。这就是一个简单的纳什均衡，他们不会改变自己的策略来打破这个均衡。

虽然纳什均衡有着很强的解释力，但是我觉得它也不是那么完美的理论，随着时代的发展，随着新事物的不断涌现，也许纳什均衡定理将无法解决那些问题，那么纳什均衡定理就可能会被取代，当然，也可能会被进一步的完善。

至于将来博弈学界会出现什么样新的支撑理论，就期待吧。