云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)文科数学

云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差
s =
其中x 为样本平均数 柱体体积公式V
Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
锥体体积公式
13
V Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
球的表面积，体积公式
24R S π=，33
4R V π=
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数11i
i
-+（i 是虚数单位）化简的结果是
A ．i -
B ．i
C ．1
D ．1-
2．已知集合101x A x
x ⎧-⎫
=≥⎨⎬+⎩⎭
，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B ＝ A ．()2,1-- B ．()[)2,11,--+∞
C ．[)1,+∞
D ．()
()2,11,---+∞
3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝
A ．102
B ．51
C ．48
D ．36 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是
A ．9
10 B ．
89 C ．7
8
D ．67
正视图 侧视图
俯视图
1 1 1 6．开学不久，学校从某班的学生中随机抽取25名学生进行学情调查，经过一段时间再次从该班的学生中随机抽取15名学生进行健康状况调查，发现有5名学生上次被抽查过，据此估计该班的学生人数为
A ．75
B ．65
C ．60
D ．50 7．某四面体的三视图如图
2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是
A
B
C
D ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是
A ．17,49⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．2⎤
⎥⎣⎦
C ．8,39
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．23⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2
(1)()
f x f x +=-(()0)f x ≠，且(1)2013f =，则(2013)f ＝
A ．12013
B ．1
C ．4
D ．2013 10．已知方程ln 10x ax -+=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是
A ．()0,e
B ．[]1,e
C ．()0,1
D ．[]0,1
11．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；
③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
12．已知点P 在圆2
2
:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线
22
152
x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||
PQ QF +的最小值为
A
．1
B
．3+C
．4+D ．5+
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．已知1sin 3α=-
，且,02πα⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，则sin 2α＝ ． 14．直线cos sin 10x y θθ++=与圆221x y +=的位置关系为 ．
15．已知向量AB 与AC 的夹角为30°，且||6AB =，则||AB AC -的最小值是 ．
16．已知函数*
(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(
1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=，当[]1,2013m ∈，
且*
k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项a ；
（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，
90BAC ∠=，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．
（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；
（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF 的距离．
19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，满足2
2
9x y +≤的点(,)P x y 组成的平面区域（或集合）记为Ω，现从Ω中随机取点(,)M x y ．
（1）设,x Z y Z ∈∈，22
x y ξ=+，求5ξ=的概率；
（2）设,x R y R ∈∈，若直线(0)y x b b =-+>被圆22
9x y +=截得的弦长
为，求
A
B
C
E
F B 1
C 1 A 1
y x b ≥-+的概率．
20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ． （1）求抛物线的方程及12y y 的值；
（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：
1
2
k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||
1()2x m g x -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，其中m R ∈且0m ≠．
（1）判断函数()f x 的单调性；
（2）设函数(),2,
()(),2,
f x x h x
g x x ≥⎧=⎨
<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的
()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆O
P ，
F 为CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,
G
H ．
（1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；
（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，
极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,2,2
x y ⎧=+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t
为参数，
t R ∈）．
（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程；
（2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．
24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；
（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】 4．11717917()
172
a a S a +=
=，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选B ． 5．依题意，知11,2,0,12
i n S ===+
⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334
i n S ===++⨯⨯⨯ ……，
1111188,9,11223348999
i n S ===
++++=-=⨯⨯⨯⨯…. 故选B ． 6．设该班学生人数为n ，依题意知
255
15
n =，75n =，故选A ． 7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，
AB BC =
PB =D ．
8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，
用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8
,
39
z ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
．故选C ． 9．22
(4)()2(2)()
f x f x f x f x +=-
=-=+-
，故()f x 为周期函数，周期4T =，
(2013)(45031)(1)2013f f f =⨯+==∴．故选D ．
10．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，
令12ln ,1y x y ax ==-，直线21y ax =-过定点(0,1)-，
图1
设直线21y ax =-与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11
y x
'=， 所以切线斜率0000
ln 1
1,1,1x a x a x x +=
===∴， 当(0,1)a ∈时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点．故选C. 11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，
其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．
12．设双曲线22
152
x y -=的右焦点为F '
，则(0),0)F F '，由双曲线定义知
||||QF QF '=+
，||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，
min (||||)3QF PQ +=+∴ C.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析
】 15．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），
当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==．
16．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +
=+……
2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，
所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…．
图3
图2
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，
所以数列{}n a 为等比数列，公比3
2
q =
，由11134S a a ==+得12a =-， 故1
1
132()2n n n a a q
n --⎛⎫==-∈ ⎪
⎝⎭
*N ．
……………………………………………（6分）
（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++
++
23
2
1
3333321234(1)22222n n n n --⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣
⎦
，① 234
1
33333332234(1)22
22222n n
n T n n -⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
，② ①-②得231
1
3333321+222222n n
n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-⨯=-+++
+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
， ………（8分）
23
1
3333341+22222n n
n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+++
+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
31332444(2)8()32212
n
n n
n n n ⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，
11||BC B C =∴，
∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，
2
2222
2113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴， 2
22222
13||||||44EF EC CF a a
⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭， 222222111119
||||||244B F B C C F a a a =+=+=，
有22222211339
||||||244B E EF a a a B F +=+==，
1B E EF ⊥∴，
又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =，
1B E ⊥∴平面AEF ．
…………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：由条件知，
1||||||||AE B E EF AF =，
11||||3AB B F ==，
…………………………………………………………（8分）
AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF =
=⨯=△∴， 在
1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=
11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =
∠=⨯=△∴， ………………（10分）
设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S =△△，
所以213
d =
=，
即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当,x y ∈∈Z Z 时，圆229x y +=内共有29个点， 满足225x y +=的点有8个，
所以8(5)29
P ξ==
． ……………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）当直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=
截得的弦长为时， 设圆心O 到直线(0)y x b b =-+>的距离为d ，
由2
22
32d ⎛+= ⎝⎭
，d =3b =． ………………………………（8分）
满足y x b -+≥的(,)M x y
位于弦长为的弓形内，
所以y x b -+≥的概率为9π9
1142==
9π42π
S P S -=-弓形圆
． ………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12
p
x =
=，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．
………………………………………………（2分）
设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．
………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，
则2234
3434112122212212343412
4444
y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y -
-+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）
设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．
………………………………………………………………（10分）
故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --+
+--=====++-，为定值． …………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，22222
(4)(2)(2)
()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，
当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，
所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（6分） （Ⅱ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，1
1121()()416
mx h x f x x ==+，
由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
； ……………………………………（8分） 当2m ≥，22x <时，22
2||
22111()()2222x m m x m
x h x g x --⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
====⋅ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，在(,2)-∞上单调递增， 从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫
⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
……………………………（10分）
对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需2
1162m m -⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
，即2
10162m m -⎛⎫-< ⎪
⎝⎭
成立即可．
记函数2
1()162m m H m -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭，易知2
1()162m m H m -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，
所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】
（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ，
∴EAB APD ∠=∠．
在HGF △和AGP △中，,
,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）
∴GH GP GF GA =．
又∵GC GD GF GA =， ∴GP GH GC GD =． ……………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，
∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）
∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=， ∴63
29
GP GH GC GD ⨯=
==， ∴4PC =．
∵PA 是⊙O 的切线，
∴2PA PC PD =，PA =．
………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）
由22222
12
3(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ
=
⇒+=+， 而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
所以223412x y +=，即22143x y +=，
故椭圆C 的直角坐标方程为22
143
x y +=．
……………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -， 点1(1,0)F -到直线l
的距离1d == 点2(1,0)F 到直线l
的距离2d =
，
12d d +=12,F F 到直线l
的距离之和为 …………………（10分）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．
1,15,5,
|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨
-+>->->⎩⎩⎩
≤≥或或 111
22
x x ⇒<>或，
所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
……………………………（5分）
（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．
由62,1,
|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪
-+-=⎨⎪->⎩
≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，
故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥．
……………（10分）
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）·双向细目
表文科数学。