利用导数研究方程的根和函数的零点

利用导数研究方程的根和函数的零点

利用导数研究方程的根和函数的零点

5．(2009福建文)（本小题满分12分）

已知函数且 （I ）试用含的代数式表示； （Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；

5. 解法一：

（I ）依题意，得 由得（Ⅱ）由（I ）得（ 故 令，则或 ①当时， 当变化时，与的变化情况如下表：

+—+

单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R ③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为3

2

1(),3

f x x ax bx =++'(1)0f -=a b ()f x 1a =-()f x 1212

,()x x x x <1122

(,()),(,())M x f x N x f x MN ()f x M N 2'()2f x x ax b =++'(1)120f a b -=-+=21

b a =-3

2

1()(21)3

f x x ax a x =++-2

'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-'*()0f x =1x =-12x a =-1a >121

a -<-x '()f x ()f x x

(,12)a -∞-(2,1)a --(1)

-+∞'()

f x ()

f x ()f x (,12)a -∞-(1,)-+∞(12,1)

a --1a =121a -=-'()0f x ≥1x =-'()0f x =()f x 1a <121a ->-()f x (,1)-∞-(12,)a -+∞(1,12)

a --

综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R ；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（Ⅲ）当时，得 由，得

由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。

故 所以直线的方程为

由

得 令 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，

故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点解法二：

（I ）同解法一（Ⅱ）同解法一。（Ⅲ）当时，得，由，

得1a >()f x (,12)a -∞-(1,)-+∞(12,1)a --1a =()f x 1a <()f x (,1)-∞-(12,)a -+∞(1,12)

a --1a =-3

2

1()33

f x x x x =--3

'()230f x x x =--=1

2

1,3

x x =-=()f x (,1)-∞-(3,)+∞(1,3)

-()f x 1

2

1.3x x =-=5(1,(3,9)3

M N --MN 813

y x =--22133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨

⎪=--⎪⎩

3

2330

x

x x --+=3

2

()33

F x x x x =--+(0)30,(2)30F F =>=-<()F x (0,2)()F x (0,2)0

x MN ()f x ,M N 1a =-3

2

1()33f x x x x x =--2

'()230f x x x =--=1

21,3

x

x =-=

由（Ⅱ）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，

故所以直线的方程为由

得解得所以线段与曲线有异于的公共点14．(2009江西文)（本小题满分12分）

设函数．（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；

（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

14. 解：(1) , 因为,, 即 恒成立,

所以 , 得，即的最大()f x (,1)-∞-(3,)+∞(1,3)-()f x 1

2

1,3x x =-=5(1,(3,9)3

M N --MN 813

y x =--32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨

⎪=--⎪⎩

3

2330

x

x x --+=1

231, 1.3

x

x x =-==12331211

35119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪

∴⎨⎨⎨

=-==-⎩⎪⎪⎩

⎩MN ()f x ,M N 11

(1,3

-3

2

9()62

f x x x x a =-+-x ()f x m '≥m ()0f x =a '2

()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--(,)x ∈-∞+∞'()f x m ≥2

39(6)0x x m -+-≥8112(6)0m ∆=--≤34

m ≤-m

值为(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;

所以 当时,取极大值 ;

当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.23．(2009陕西文)（本小题满分12分）已知函数求的单调区间；

若在处取得极值，直线y=m 与的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。

23. 解析：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或

由解得

当时，的单调增区间为；的单调减区间为。

（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。

由（

1）中的单调性可知，

在处取得极大值，

3

4

-1x <'

()0f x >12

x <<'

(

)0f x <2x >'

()0f x >1x =()f x 5(1)2

f a =-2x =()f x (2)2f a =-(2)0f >(1)0f <()0f x =2a <52a >3

()31,0

f x x ax a =--≠()I ()f x ()II ()f x 1x =-()y f x ='22()333(),

f x x a x a =-=-0a

()0,

f x >0a <()f x (,)-∞+∞0a >'

()0f x >x '

()0f x ()f x (,)-∞+∞()f x (()f x 1x =-'

2

(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴=3

'

2

()31,()33,f x x x f x x =--=-'

()0f x =1

2

1,1x x =-=()f x ()f x 1x =-(1)1f -=