【最高考系列】(教师用书)2016届高考数学一轮总复习 第二章 函数与导数课时训练 理

第二章 函数与导数

第1课时 函数及其表示

1. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数有________个．

① A ＝N ，B ＝N *

，f ：x→y＝|x －2|；

② A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4； ③ A ＝[－1，1]，B ＝{0}，f ：x→y＝0. 答案：2

2. 下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)

① y ＝x －1与y ＝（x －1）2

；

② y ＝x －1与y ＝x －1

x －1；

③ y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2

；

④ y ＝lgx －2与y ＝lg x

100

.

答案：④

解析：①中y ＝（x －1）2

的表达式为y ＝|x －1|，与y ＝x －1表达式不一致；②中y

＝x －1的定义域为{x|x≥1}，y ＝x －1

x －1

的定义域为{x|x>1}；③中y ＝4lgx 的定义域为

{x|x>0}，y ＝2lgx 2

的定义域为{x|x≠0}；④中两个函数定义域和表达式都一致．

3. 若f(x ＋1)＝x ＋1，则f(x)＝___________．

答案：x 2

－2x ＋2(x≥1)

解析：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，所以f(t)＝(t －1)2

＋1.

4. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函

数，且φ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝________． 答案：3x ＋5

x

(x≠0)

解析：由题可设φ(x)＝ax ＋b x ，代入φ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13＝16，φ(1)＝8，得a ＝3，b ＝5. 5. 已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，

x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝__________．

答案：2

解析：∵ f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a ＝4a ，∴ a ＝2.

6. 现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是____________．(填序号)

答案：③

解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的

速度又越来越快，故③正确．

7. 设函数f(x)＝⎩⎨

⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，

若f(a)＋f(－1)＝2，则a ＝__________．

答案：±1 解析：∵ f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝1＝1，∴ f(a)＝1，当a≥0时，f(a)＝a ＝1，a ＝1；当a<0时，f(a)＝－a ＝1，a ＝－1.∴ a＝±1.

8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2

＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，

若f(f(1))＞3a 2

，则a 的取值范围是________．

答案：(－1，3)

解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a ＝9＋6a ，若f(f(1))>3a 2

，则

9＋6a>3a 2，即a 2

－2a －3<0，解得－1

9. 已知函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0.

(1) 求f(0)的值；

(2) 试确定函数f(x)的解析式．

解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.

(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，

由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2

＋x －2.

10. 已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，

1，x<0，g(x)＝x ＋2.

(1) 若f(g(a))＝g(f(－1))，求a 的值；

(2) 解不等式f(1－x 2

)>f(2x)．

解：(1) 由条件，g(f(－1))＝3，g(a)＝a ＋2， 所以f(g(a))＝g(f(－1))即为f(a ＋2)＝3.

当a ＋2≥0，即a≥－2时，(a ＋2)2

＋1＝3，所以a ＝－2＋2； 当a ＋2<0，即a<－2时，显然不成立． 所以a ＝－2＋ 2.

(2) 由f(1－x 2

)>f(2x)，知⎩

⎪⎨⎪⎧1－x 2

>0，1－x 2

>2x ， 解得－1

所以不等式的解集为(－1，2－1)．

11. 是否存在正整数a 、b ，使f(x)＝x 2ax －2，且满足f(b)＝b 及f(－b)<－1

b

？若存在，

求出a 、b 的值；若不存在，说明理由．

解：假设存在正整数a 、b 满足题意．

∵ f(x)＝x 2ax －2，f(b)＝b ，∴ b

2ab －2

＝b ，即(a －1)b ＝2.

∵ a 、b∈N *

，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1或⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. 当a ＝3，b ＝1时，f(x)＝x 23x －2，此时－b ＝－1，∴ f(－b)＝f(－1)＝－15>－1＝－1

b

，

因此a ＝3，b ＝1不符合题意，舍去；

当a ＝2，b ＝2时，f(x)＝x 22x －2，此时－b ＝－2，∴f(－b)＝f(－2)＝－23<－12＝－1

b

，

符合题意．