北师大版高中数学必修《指数概念的扩充》课堂课件1
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§2 指数扩充及其运算性质
2.1 指数概念的扩充
1.理解分数指数幂的概念.(重点） 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化.（难点） 3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转 化的数学思想.
正整数指数幂:
指数
幂
an a a a
底数
n个
规定：
a0
1
（a 0）
1
an an （a 0，n N）
１.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式：
（1） b5 32; （2） b4 35 ; （3） b2n 3m (m, n N ).
例 2.计算
1
3
（1） 273 ； （2） 42 ．
解：（1）因为33 =27，
1
所以273 3
（2）因为82 =43，
【提升总结】
3
所以42 8
m
求 a n 是多少，关键是找到 b ,使得 bn am ，
北 师 大 版 高 中数学 必修《 指数概 念的扩 充》课 堂课件 1
【变式练习】
1
3
例 1.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式： （1） b5 32; （2） b4 35; （3） b5n 3m (m, n N ).
1
解：（1） b 325 ;
5
（2） b 34 ;
3m
（3） b 5n (m, n N )
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相仿，即
m
an
1
m
(a
0, m,
n
N,
且n
1)
an
规定：0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
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问题探究二
指数已经扩充为可以是任意的整数和分数了，也就 是可以是任意有理数了 思考：无理数指数幂有意义吗？
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2 的过剩近似值 1.5 1.42
1.415 1.414 3 1.414 22
10 2 的过剩近似值 31.622 776 60… 26.302 679 91… 26.001 595 63… 25.959 719 76… 25.954 938 25…
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101.4 101.41 101.414 101.4142 10 2 101.4143 101.415 101.42 101.5
10 2 是一个实数
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101.5 ,101.42 ,101.415 ,101.4143,101.41422 ,...
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10 2 的不足近似值
25.118 864 31… 25.703 957 82…
将正整数指数幂推广到整数指数幂
问题探究一 地球上臭氧含量 近似满足关系式 y=a xt ,其中a是臭氧的初始量,t是 时间(年)。臭氧含量y与时间t存在 指数关系，当 t是半年时，或15年零3个月时， 即指数是分数时情况又会怎么样？
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1
1和 a
1 a
(a
0)
指数扩大到了全体实数
注意：指数幂 a 中， a 一定大于０， a 也大于０
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1
2
例如, 82 8 2 2 ， 273 3 272 9
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注意:
m
an
不能理解为
m
个
a
相乘,如
a
1 2
不能认为半个
a
的乘积,
n
1
它的实质是根式的另一种写法,如 a 2 a .（ a 0 ）
25.941 793 62… 25.953 743 00… 25.954 340 62…
…
2 的不足近似值
1.4 1.41
1.414 1.414 2 1.414 21
…
101.4 ,101.41,101.414 ,101.4142 ,101.41421,...
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• 问题2：在 bn am 中，已知正实数a和正整 数m，n，如何用根式求正实数b？
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有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即
m
a n n am (a 0)
计算 （1） 83 ； （2） 92 ．
1
解：（１）因为 23 8 ，所以 83 2 ；
3
（２）因为 272 93 ，所以 92 27 ．
Hale Waihona Puke 北 师 大 版 高 中数学 必修《 指数概 念的扩 充》课 堂课件 1
• 问题1：在正整数指数幂的运算 bn a中，已 知正实数a和正整数n，如何用根式求正实 数b？
一、分数指数幂
给定正实数 a ，对于任意给定的整数 m, n（ m, n 互
素），存在唯一的正实数 b ，使得 bn am ，我们
把
b
叫作
a
的
m
次幂，记作
b
a
m
n.
n
整数指数幂 推广到了分
数指数幂
例如，b3
52 ,则b
2
53
;
x5
254
,
则x=25
4 5
.
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分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
m
11
1
a n a n a n a n (a 0).
m个
规定分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互化的
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正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义
2.1 指数概念的扩充
1.理解分数指数幂的概念.(重点） 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化.（难点） 3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转 化的数学思想.
正整数指数幂:
指数
幂
an a a a
底数
n个
规定：
a0
1
（a 0）
1
an an （a 0，n N）
１.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式：
（1） b5 32; （2） b4 35 ; （3） b2n 3m (m, n N ).
例 2.计算
1
3
（1） 273 ； （2） 42 ．
解：（1）因为33 =27，
1
所以273 3
（2）因为82 =43，
【提升总结】
3
所以42 8
m
求 a n 是多少，关键是找到 b ,使得 bn am ，
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【变式练习】
1
3
例 1.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式： （1） b5 32; （2） b4 35; （3） b5n 3m (m, n N ).
1
解：（1） b 325 ;
5
（2） b 34 ;
3m
（3） b 5n (m, n N )
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相仿，即
m
an
1
m
(a
0, m,
n
N,
且n
1)
an
规定：0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
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问题探究二
指数已经扩充为可以是任意的整数和分数了，也就 是可以是任意有理数了 思考：无理数指数幂有意义吗？
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2 的过剩近似值 1.5 1.42
1.415 1.414 3 1.414 22
10 2 的过剩近似值 31.622 776 60… 26.302 679 91… 26.001 595 63… 25.959 719 76… 25.954 938 25…
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101.4 101.41 101.414 101.4142 10 2 101.4143 101.415 101.42 101.5
10 2 是一个实数
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101.5 ,101.42 ,101.415 ,101.4143,101.41422 ,...
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10 2 的不足近似值
25.118 864 31… 25.703 957 82…
将正整数指数幂推广到整数指数幂
问题探究一 地球上臭氧含量 近似满足关系式 y=a xt ,其中a是臭氧的初始量,t是 时间(年)。臭氧含量y与时间t存在 指数关系，当 t是半年时，或15年零3个月时， 即指数是分数时情况又会怎么样？
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1
1和 a
1 a
(a
0)
指数扩大到了全体实数
注意：指数幂 a 中， a 一定大于０， a 也大于０
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1
2
例如, 82 8 2 2 ， 273 3 272 9
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注意:
m
an
不能理解为
m
个
a
相乘,如
a
1 2
不能认为半个
a
的乘积,
n
1
它的实质是根式的另一种写法,如 a 2 a .（ a 0 ）
25.941 793 62… 25.953 743 00… 25.954 340 62…
…
2 的不足近似值
1.4 1.41
1.414 1.414 2 1.414 21
…
101.4 ,101.41,101.414 ,101.4142 ,101.41421,...
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• 问题2：在 bn am 中，已知正实数a和正整 数m，n，如何用根式求正实数b？
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有时我们把正分数指数幂写成根式形式，即
m
a n n am (a 0)
计算 （1） 83 ； （2） 92 ．
1
解：（１）因为 23 8 ，所以 83 2 ；
3
（２）因为 272 93 ，所以 92 27 ．
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• 问题1：在正整数指数幂的运算 bn a中，已 知正实数a和正整数n，如何用根式求正实 数b？
一、分数指数幂
给定正实数 a ，对于任意给定的整数 m, n（ m, n 互
素），存在唯一的正实数 b ，使得 bn am ，我们
把
b
叫作
a
的
m
次幂，记作
b
a
m
n.
n
整数指数幂 推广到了分
数指数幂
例如，b3
52 ,则b
2
53
;
x5
254
,
则x=25
4 5
.
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分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
m
11
1
a n a n a n a n (a 0).
m个
规定分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互化的
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正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义