初一数学度中压轴题：定义新运算和程序运算
北师大版七年级数学上册专题2.5 新定义问题(压轴题专项讲练)(学生版)
专题2.5 新定义问题【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f （3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f （4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，12）＝ ，f （5，3）＝ ；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）．【思路点拨】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解题过程】解：（1）f （4，12）=12÷12÷12÷12=4，f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为：4；127．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误；②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为：②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（1a）n ﹣2（n 为正整数，a ≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）=127×9×（−18）×16 =−23．1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a 和b ，规定a ☆b ＝a b ﹣b 2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ） A ．﹣3B ．1C ．32D ．−322．（2023秋•东港区期末）已知a 、b 皆为正有理数，定义运算符号为※：当a ＞b 时，a ※b ＝2a ；当a ＜b 时，a ※b ＝2b ﹣a ，则3※2﹣（﹣2※3）等于（ ） A ．﹣2B ．5C ．﹣6D ．103．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a 、b ，都有a *b ＝b 3﹣1，则12*[3*（﹣1）]的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣9C ．−12D ．04．（2023秋•洪山区期末）定义：如果a 4＝N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．例如：因为72＝49，所以log 749＝2；因为53＝125，所以log 5125＝3．则下列说法中正确的有（ ）个．①log 66＝36；②log 381＝4；③若log 4（a +14）＝4，则a ＝50；④log 2128＝log 216+log 28； A ．4B ．3C ．2D ．15．（2023秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1−23=2×1×23−1，2−35=2×2×35−1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b ＝2ab ﹣1成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）A ．（﹣3，47）B ．（4，49）C ．（﹣5，611） D ．（6，713）6．（2023秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n +5；②当n 为偶数时，结果为n 2k；（其中k 是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n ＝26．则：若n ＝49，则第2021次“F ”运算的结果是（ ） A ．68B ．78C ．88D ．987．（2023秋•大连月考）我们对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义一种新的运算：|abcd|=ad ﹣bc ．则|−4−231|的值为 ．8．（2023秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a ﹣b +c ，图形表示﹣x +y ﹣z ，则+的值为 ．9．（2023秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a *b =a+1b ，则（13*12）*2＝ ． 10．（2023秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a 、b ，当a ≤b 时，都有a △b ＝a 2b ；当a ＞b 时，都有a △b ＝ab 2，那么，2△6＝ ；(−23)△(−3)= ．11．（2023秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x ⨂y ={x 2−2y ，x ＞y1，x =y−2xy ，x ＜y，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝ ．12．（2023•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：（1）x Θy ＝4x +y ，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； （2）[x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4； 根据以上规则，计算[1Θ(−12)]+[(−2)Θ194]= ．13．（2023秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b= a+b+|a−b|2．（1）计算：（﹣6）☆5＝．（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是．14．（2023秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a ﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．（1）计算3⨂（﹣5）的值．（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．15．（2023秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab ﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：（1）（﹣3）⨂6的值；（2）[2⨂（−32）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．16．（2023秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号，异号，并把绝对值；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得．（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝．（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：1a×b +1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)的值．17．（2023秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a ，b 满足等式a ﹣b ＝ab ．那么称a ，b 是“关联有理数对”，记作（a ，b ）．如：因为3−34=124−34=94，3×34=94．所以数对（3，34）是“关联有理数对”．（1）在数对①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57）中，是“关联有理数对”的是 （只填序号）；（2）若（m ，n ）是“关联有理数对”，则（﹣m ，﹣n ） “关联有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b ＝n ，那么b 为n 的“劳格数”，记为b ＝d （n ）．由定义可知：10b ＝n 与b ＝d （n ）表示b 、n 两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d （100）＝2． 理解运用：（1）根据“劳格数”的定义，填空：d （10﹣3）＝ ，d （1）＝ ；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m 、n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ），d （mn ）＝d （m ）﹣d （n ）；根据运算性质，填空：d(a 3)d(a)= ；（a 为正数）（3）若d （2）＝0.3010，计算：d （4）、d （5）；（4）若d （2）＝2m +n ，d （4）＝3m +2n +p ，d （8）＝6m +2n +p ，请证明m ＝n ＝p ．19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a ，b ，c ，计算a ﹣b ，a−c 2，b−c 3，将这三个数的最小值称为a ，b ，c 的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，﹣2，3的“分差”为−53．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；（3）调整﹣1，6，x 这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x 的值．20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：第一列第二列第一排 1 2第二排4 3然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为．（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．。
第一次月考重难点特训(二)之新定义下实数运算压轴题(原卷版)
【重难点题型】1．（20234．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）对于任意实数x ，x 均能写成其整数部分[]x 与小数部分{}x 的和，其中[]x 称为x 的整数部分，表示不超过x 的最大整数，{}x 称为x 的小数部分，即[]{}x x x =+.比如[]{}1.7 1.7 1.710.7=+=+，[]1.71=，{}1.70.7=，[]{}1.7 1.7 1.720.3-=-+-=-+，[]1.72-=-，{}1.70.3-=，则下列结论正确的有（ ）①1233ìü-=íýîþ；②{}01x <…；③若{}20.3x -=，则 2.3x =；④{}{}{}1x y x y +=++对一切实数x 、y 均成立；⑤方程{}11x x ìü+=íýîþ无解．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．（2022秋·全国·七年级期末）a 不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2022a =（ ）A ．13B ．34C ．4D ．13-6．（2023春·江苏南通·九年级专题练习）已知{}min ,,a b c 表示取三个数中最小的那个数．例如：当2x =-时，()(){}23min 2,2,28---=-，当{}21min,,16x x x =时，则x 的值为（ ）A ．116B ．18C ．14D ．127．（2021·全国·九年级专题练习）从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,k S =L ，且将{},K k k M a b =与{},K k k M b a =视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{}(),,1,1i j j M a b i j i S j S =¹££££都有i i j j a b a b +¹+，则S 的最大值（ ）A ．10B ．6C ．5D ．48．（2022秋·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）若规定“!”是一种数学运算符号，且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，⋯，则100!98!的值为（ ）A ．9900B ．99！C ．5049D ．29．（2022秋·全国·八年级专题练习）观察下列等式：111122=-´，1112323=-´，1113434=-´，…111(1)1n n n n =-++将以上等式相加得到111111122334(1)1n n n ++++=-´´´++L ．用上述方法计算：111113355799101++++´´´´L 其结果为（ ）A ．50101B ．49101C ．100101D ．9910110．（2020春·浙江宁波·七年级统考期末）任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝s×t （s ，t 是正整数，且s≤t ），如果p×q 在n 的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最优分解，并规定：F （n ）＝p q ．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F （24）＝46＝23．给出下列关于F （n ）的说法：①F （6）＝23；②F （16）＝1；③F （n 2﹣n ）＝1﹣1n；④若n 是一个完全平方数，F （n ）＝1．其中说法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）一个两位数m 的十位上的数字是a ，个位上的数字是b ，我们把十位上的数字a 与个位上的数字b 的和叫做这个两位数m 的“衍生数”，记作()f m ，即()f m a b =+．如()52527f =+=．现有2个两位数x 和y ，且满足100x y +=，则()()f x f y +=______．12．（2022秋·河南驻马店·八年级校考阶段练习）对于任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如[]44=，31éù=ëû．现对72进行如下操作：72第一次728éù=ëû第二次82éù=ëû第三次21éù=ëû，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是______．13．（2022秋·湖南永州·八年级统考期末）某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ³时．112,()33k k k k x x T T T a ---æöæö=+-ç÷ç÷èøèø表示非负实数a的整数部分，例如(3.5)3,(0.8)0T T ==．按此方案，第2021棵树种植在点2021x 处，则2021x =_______．14．（2022秋·八年级单元测试）若记[]x 表示任意实数的整数部分例如：[]3.5352éù==ëû，， L ，则123420192020éùéùéùéùéùéù-+-++-ëûëûëûëûëûëûL （其中“+”“-”依次相间）的值为___________15．（2022秋·八年级课时练习）对于正数x 规定1()1f x x=+，例如：11115(3),()11345615f f ====++，则f (2020)＋f (2019)＋……＋f (2)＋f (1)＋1111()()()()2320192020f f f f ++¼++＝___________16．（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）对于正整数n ，定义2,10()(),10n n F n f n n ì<=í³î其中()f n 表示n 的首位数字､末位数字的平方和．例如：2(6)636F ==，2(123)(123)1F f ==2310+=．规定1()()F n F n =，()1()()k k F n F F n +=．例如：1(123)(123)10F F ==，()21(123)(123)F F F =(10)1F ==．按此定义2021(4)F =_____．17．（2023春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）对于一个各个数位均不为零的四位数M ，若M 的千位与百位组成的两位数能被它的个位和十位数字之和整除，则称M 是“整除数”．例如：M ：9176：∵()917691137¸+=¸=，∴9176是“整除数”．又如：M ：6726：∵()672667883¸+=¸=¼，∴6726不是“整除数”(1)判断7923，8457是否是“整除数”，并说明理由；(2)四位数100010010M a b c d =+++（1,,,9a b c d ££，a b ³，且a ，b ，c ，d 均为整数）是“整除数”，且108a b c d +=+，记()()()10511a cb d F M -+--=，当()F M 为整数时，求出所有满足条件的M ．18．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考开学考试）若一个四位数m 的千位数字与百位数字和的两倍等于其十位数字与个位数字的和．则称这个四位数m 为“扬帆数”．将“扬帆数”m 的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数m ¢，并记()99m m F m ¢-=．例如：1335m =．∵()13235+´=+，∴1335是“扬帆数”，此时()1335351313352299F -==-；又如：2345m =，∵()23245+´¹+，∴2345不是“扬帆数”．(1)判断1437，3578是否是“扬帆数”，说明理由；如果是，求出对应的()F m 的值；(2)若四位数100010010m a b c d =+++（19a b c d £££££，a b c d ,,,为整数），且()F m 能被8整除，求出所有满足条件的“扬帆数”m ．19．（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）若整数a 能被9整除，那么称整数a 为“长久数”．例如，因为27能被9整除，所以27是“长久数”．(1)判断324和64是否为“长久数”？请说明理由；(2)已知三位正整数t 的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为1(19x y £££，其中x ，y 为自然数），交换其十位上的数字和百位上的数字得到新数()s s t ¹，如果s 加上t 的和是“长久数”，求所有符合条件的三位正整数t ．20．（2022秋·北京海淀·七年级统考期末）对于由若干不相等的整数组成的数组P 和有理数k ，给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段AB ，使得将数组P 中的每一个数乘以k 之后，计算的结果都能够用线段AB 上的某个点来表示，就称k 为数组P 的收纳系数．例如，对于数组P ：1，2，3，因为11133´=，12233´=，1313´=，取A 为原点，B 为表示数1的点，那么(1)若24(8)0a b ++-=，则M 对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）．①A 是M 的“正比点”；②A 是M 的“反比点”；③B 是M 的“正比点”；④B 是M 的“反比点”；(2)若0ab ＞，且M 是A 的“正比点”，求ab的值；(3)若0ab ＜，且M 既是A ，B 其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出ab的值．23．（2022秋·北京西城·七年级北京四中校考期中）将n 个0或1排列在一起组成了一个数组，记为()12,,n A t t t =L ，其中，12,,,n t t t ×××都取0或1，称A 是一个n 元完美数组（2n ³且n 为整数）．例如：()0,1，()1,1都是2元完美数组，()0,0,1,1，()10,0,1，都是4元完美数组，但()3,2不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x 和y ，()x y x y x y =+--*，新运算2：对于任意两个n 元完美数组()12,,,n M x x x =L 和()12,,,n N y y y =L ， ()112212n n M N x y x y x y Ä=++×××+***，例如：对于3元完美数组()1,1,1M =和()0,0,1N =，有()100212M N Ä=++=．(1)在()0,0,0，()2,0,1，()1,1,1,1，()1,1,0中是3元完美数组的有：______；(2)设()()1,0,1,1,1,1A B ==，则A B Ä=______；(3)已知完美数组()1,1,1,0M =求出所有4元完美数组N ，使得2M N Ä=；m ，n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：()()()h m n h m h n +=×，请根据这种新运算解决以下问题：(1)若()11h =-，则()2h =______；()2019h =______；(2)若()7128h =，求()2h ，()8h 的值；(3)若()()442h h =，求()2h 的值．28．（2022秋·福建宁德·八年级统考期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算()()()()343341372i i i i -++=++-+=+；()()()21212221213i i i i i i i -´+=´+-´-=+-+=-；根据以上信息，完成下列问题：(1)填空：3i =__________，4i =_________；(2)计算：()()145i i -´-；(3)计算：232017...i i i i ++++．29．（2022春·重庆大渡口·八年级统考期末）对于任意个四位正数x ，若x 的各位数字都不为0，且十位数字与个位数字不相符，千位数字与百位数字不相等，那么称这个数为“多彩数”．将一个“多彩数”a 的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()a F ，例如，“多彩数”1234a =，去掉其中任意一位数后得到四个新三位数分别为：234，134，124，123，这四个三位数之和为234134124123615+++=，6153205¸=，所以()1234205F =．(1)计算()1564F 和()6321F ；(2)若“多彩数”890010b m n =++（19m ££，19n ≤≤，m ，n 都是正整数），()b F 也是“多彩数”且()b F 能被8整除，求b 的值．30．（2022春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）材料一：一个两位自然数m ，满足各位数字之和小于或等于9，各位数字互不相同且均不为0，称为“尚美数”．将m 的各个数位上的数字相加所得的数放在m 的前面，得到一个新数m ¢，将m 的各个数位上的数字相加所得的数放在m 的后面，得到一个新数m ¢¢，记()18m m T m ¢¢¢-=．例如：52m =时，752m ¢=，527m ¢¢=，()7525272552182T -==．材料二：若一个数M 等于另一个整数N 的平方，则称这个数是完全平方数．(1)直接判断：46______（填“是”或“不是”）“尚美数”，并直接写出：()27T =______；(2)已知两个“尚美数”()1018,16m a b a b =+££££，()1018,28n x y x y =+££££，若()T m 是一个完全平方数，且()2895m T n y +-=，规定m P n =，求P 的最小值．。
专题30代数中的新定义问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(学生版)
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题30代数中的新定义问题【例1】（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．【例2】（2022秋•西城区校级期中）将n 个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A ＝（t 1，t 2，…t n ），其中，t 1，t 2，…，t n 都取0或1，称A 是一个n 元完美数组（n ≥2且n 为整数）．例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算：新运算1：对于x 和y ，x *y ＝（x +y ）﹣|x ﹣y |，新运算2：对于任意两个n 元完美数组M ＝（x 1，x 2，…，x n ）和N ＝（y 1，y 2，…，y n ），M ⊗N =12（x 1*y 1+x 2*y 2+…+x n *y n ），例如：对于3元完美数组M ＝（1，1，1）和N ＝（0，0，1），有M ⊗N =12（0+0+2）＝1．（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1），（1，1，0）中是3元完美数组的有： ；（2）设A ＝（1，0，1），B ＝（1，1，1），则A ⊗B ＝ ；（3）已知完美数组M ＝（1，1，1，0）求出所有4元完美数组N ，使得M ⊗N ＝2；（4）现有m 个不同的2022元完美数组，m 是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C ，D 满足C ⊗D ＝0；则m 的最大可能值是多少？写出答案，并给出此时这些完美数组的一个构造．【例3】（2022秋•茅箭区校级月考）对x ，y 定义一种新运算T ，规定T （x ，y ）=ax 2+by 2x+y （其中a ，b 是非零常数，且x +y ≠0），这里等式右边是通常的四则运算．如：T （3，1）=a×32+b×123+1=9a+b 3+1，T （m ，﹣2）=am 2+4b m−2． （1）填空：T （4，﹣1）＝ （用含a ，b 的代数式表示）；（2）若T （﹣2，0）＝﹣2，且T （5，﹣1）＝6．①求a 与b 的值；②若T （3m ﹣10，﹣3m ）＝T （﹣3m ，3m ﹣10），求m 的值．【例4】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点． （1）判断函数y ＝2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y ＝ax 2+6x +c （a ≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）． ①求a ，c 的值；②若1≤x ≤m 时，函数y ＝ax 2+6x +c +14（a ≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．【例5】（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （n ≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（13，13）是函数y ＝x 图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y =2x 图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y =1x 图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y ＝ax ﹣3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数y ＝﹣（x ﹣n ）2﹣2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．一．解答题（共20题）1．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m 可以被9整除，且m 的百位上的数字比十位上的数字大2，则称m 为“够二数”；将m 的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为m '，F(m)=m−m′+1818999，例如：m ＝8424，∵8+4+2+4＝18＝9×2，4﹣2＝2，∴8424是“够二数”，F(8424)=8424−4248+1818999=6． （1）判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算F （m ）的值；（2）若一个四位正整数n =abcd 是“够二数”，且c F(n)为5的倍数，请求出所有的“够二数”n 的值．2．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数m ，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“倍和数”、例如：m ＝6132，∵6+2＝2×（1+3），∴6132是倍和数”；m ＝1374，∵1+4≠2×（3+7），∴1374不是“倍和数”；（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．（2）当一个“倍和数”m 千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数”m 的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为T （m ），记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为R （m ），令G （m ）=T(m)R(m)，当G （m ）能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m ．3．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．材料二：一个四位数N =abcd 满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数ab ，以及十位数字与个位数字组成的两位数cd 均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若p =ac −bd ，q =ad −bc ，则记F （N ）＝q ﹣p ．（1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；（2）若s ，t 都是“双巧数”，其中s ＝3010+100x +10y +z ，t ＝1100m +400+10n +2r ，（1≤x ，z ，n ≤9，1≤y ≤8，1≤m ≤5，1≤r ≤4，且x ，y ，z ，m ，n ，r 均为整数），规定K （s ，t ）=F(s)F(t)，当F （s ）+F （t ）＝12时，求K （s ，t ）的最大值．4．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“和谐数”．例如：m ＝7431，满足1+3＝4，2×3+1＝7，所以7431是“和谐数”．例如：m ＝6413，满足1+3＝4，但2×1+3＝5≠6，所以6413不是“和谐数”．（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；（2）若m 是“和谐数”，且m 与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”m ．5．（2021•北碚区校级模拟）定义一种新运算：对于实数x 、y ，有L （x ，y ）＝ax +by （其中a ，b 均为非零常数），由这种运算得到的数称之为线性数，记为L （x ，y ），其中x ，y 叫做线性数的一个数对，若实数x ，y 都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对．（1）若L （x ，y ）＝2x +7y ，则L （3，﹣2）＝ ，L （32，−12）＝ ； （2）已知L （5，13）=503，L （2，25）＝8． ①若L （m ﹣1，m +2）为正格线性数，求满足66＜L （m ﹣1，m +2）＜99的正格数对有哪些？②若正格线性数L （x ，y ）＝55，满足这样的正格数对中，有满足问题①的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．6．（2022秋•岳麓区校级期中）对x 定义一种新运算E ，规定E （x ）＝（ax +2）（2bx ﹣3），其中a ，b 是非零常数．如：当a ＝1，b ＝1时，E （x ）＝（x +2）（2x ﹣3）＝2x 2+x ﹣6．（1）当a ，b 满足(a −12)2+|b +6|=0时，计算E （x ）； （2）已知E(2−3x)=32x 2−2x −163，请求出a b 的值； （3）若当a ＝3，b ＝2时，关于x 的不等式组{E(x)−2x(6x +3)≤2k 4E(2+x)−E(2x −1)＜228恰好有5个整数解，求k 的取值范围．7．（2022春•五华区校级期中）阅读材料：对实数a 、b ，定义T （a ，b ）的含义为，当a ＜b 时T （a ，b ）＝a +b ；当a ≥b 时，T （a ，b ）＝a ﹣b ．例如：T （1，3）＝1+3＝4，T （2，﹣1）＝2﹣（﹣1）＝3；根据以上材料，回答下列问题：（1）若T （m 2+1，﹣1）＝6，则m ＝ ；（2）已知x +y ＝8，且x ＞y ，求T （4，x ）﹣T （4，y ）的值．8．（2022春•巴中期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x ﹣1＝3和x +1＝0为“美好方程”．（1）请判断方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是否互为“美好方程”；（2）若关于x 的方程x2+m ＝0与方程3x ﹣2＝x +4是“美好方程”，求m 的值； （3）若关于x 方程12022x ﹣1＝0与12022x +1＝3x +k 是“美好方程”，求关于y 的方程12022（y +2）+1＝3y +k +6的解．9．（2022春•岳麓区校级期末）对a ，b 定义一种新运算T ，规定：T （a ，b ）＝（2a ﹣b ）（ax﹣by ）（其中x ，y 均为非零实数）．例如：T （1，1）＝x ﹣y ．（1）已知关于x ，y 的方程组{T(1，3)=a +3T(2，0)=8a，若a ≤﹣1，求2x ﹣y 的取值范围； （2）在（1）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A （x ，y ）落在坐标轴上，将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位，得线段O 'A '，坐标轴上有一点B 满足三角形BOA '的面积为15，请直接写出点B 的坐标．10．（2022春•遵义期末）我们规定．关于x ，y 的二元一次方程ax +by ＝c ，若满足a +b ＝c ，则称这个方程为“幸福”方程．例如：方程2x +3y ＝5，其中a ＝2，b ＝3，c ＝5，满足a +b ＝c ，则方程2x +3y ＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福“方程组．根据上述规定，回答下列问题，（1）判断方程3x +5y ＝8 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；（2）若关于x ，y 的二元一次方程kx +（k ﹣1）y ＝9是“幸福”方程，求k 的值；（3）若{x =p y =q 是关于x ，y 的“幸福”方程组{mx +(m +1)y =n −1mx +2my =n的解，求4p +7q 的值．11．（2022秋•开福区校级期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y ＝x +1，其“青一点”为（1，2）．（1）①判断：函数y ＝2x +3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；②函数y =8x 的图象上的青一点是 ；（2）若抛物线y =(m −1)x 2+mx +14m 上有两个“青一点”，求m 的取值范围；（3）若函数y =x 2+(m −k +2)x +n 4−k 2的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当﹣1≤m ≤3时，n 的最小值为k ，求k 的值．12．（2022秋•雨花区期中）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1≠x 2），满足纵坐标相等，即y 1＝y 2，则称点A 、B 为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．（1）若点P （2022，p ）和点Q （q ，2023）为“高水平函数”y ＝|x +1|图象上的一对“高水平点”，求p +q 的值；（2）关于x 的函数y ＝kx +b （k 、b 为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；（3）若点M （1，m ）、N （3，n ）、P （x 0，y 0）都在关于x 的“高水平函数”y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ＞0）的图象上，点M 、P 为该函数的一对“高水平点”，且满足m ＜n ＜c ，若存在常数w ，使得式子：w +13＞−14x 02﹣x 0+2恒成立，求w 的取值范围．13．（2022秋•惠水县期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的“旋转函数”．小组同学是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参照小组同学的方法解决下面问题：（1）函数y ＝x 2﹣4x +3的“旋转函数”是 ；（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”，求（m +n ）2022的值；（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试求证：经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．14．（2022秋•长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（√3−1，3√3−3），……都是“一中点”．例如：抛物线y ＝x 2﹣4上存在两个“一中点”P 1（4，12），P 2（−1，−3）．（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“√”，若函数图象上不存在“一中点”的打“×”．①y ＝2x ﹣1 ；②y ＝x 2−1 ；③y ＝x 2+4 ．（2）若抛物线y ＝−12x 2+（23m +3）x −29m 2﹣m +1上存在“一中点”，且与直线y ＝3x 相交于点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），令t ＝x 12+x 22，求t 的最小值；（3）若函数y =14x 2+（b ﹣c +3）x +a +c ﹣2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当﹣1≤b ≤2时，a 的最小值为c ，求c 的值．15．（2022春•雨花区校级月考）定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2如（x 1＜x 2），分别以x 1，x 2为横坐标和纵坐标得到点M （x 1，x 2），则称点M 为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x 2﹣3x ＝0，求出该方程的衍生点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程为x 2﹣（5m +1）x +5m ＝0的衍生点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值；（3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的方程x 2+bx +c ＝0的衍生点M 始终在直线y ＝kx +2（k +3）的图象上？若有，请求出b ，c 的值；若没有，请说明理由．16．（2022秋•如皋市校级月考）定义：一个函数图象上若存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“1倍点”，若存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y ＝4x +3图象的“1倍点”，点（−32，﹣3）是函数y ＝4x +3图象的“2倍点”．（1）函数y ＝x 2﹣8的图象上是否存在“2倍点”？如果存在，求出“2倍点”；（2）若抛物线y ＝ax 2+5x +c 上有且只有一个“1倍点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当a ＞1时，求：①c 的取值范围；②直接写出∠EMN 的度数．17．（2022秋•开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．（1）①函数y ＝﹣2x +1图象上的“立信点”坐标为 ；②函数y ＝x 2+2x −2图象上的“立信点”坐标为 ．（2）若二次函数y ＝x 2+2（k +2）x +k 2的图象上存在A （x 1，x 1），B （x 2，x 2）两个“立信点”和1x 1+1x 2=−1且求k 的值；（3）若二次函数y ＝ax 2+bx +1（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s ＝b 2+4a ，当t ≤b ≤t +1时，s 有最小值t ，试求t 的值．18．（2022秋•岳麓区校级月考）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y ＝x ﹣1，令y ＝0，可得x ＝1，我们就说1是函数y ＝x ﹣1的零点．（1）求一次函数y ＝2x ﹣3的零点；（2）若二次函数y ＝x 2+bx +32b 的零点为x 1，x 2，A ，B 两点的坐标依次A （x 1，0），B （x 2，0），如果AB ＝2，求b 的值；（3）直线y ＝﹣2x +b 的零点为1，且与抛物线y ＝kx 2﹣（3k +3）x +2k +4（k ≠0）交于C 、D 两点，若m +1≤1k ≤m +2时，线段CD 有最小值3√5，求m ． 19．（2022•顺德区校级三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．（1）请直接写出函数y ＝2﹣x 的不动点M 的坐标；（2）若函数y =3x+8x+a有两个关于原点对称的不动点A ，B ，求a 的值； （3）已知函数y ＝ax 2+（b +1）x +（b ﹣1），若对任意实数b ，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a 的取值范围．20．（2022春•西城区校级期中）对任意的实数m 有如下规定：用[m ]表示不小于m 的最小整数，例如[52]＝3，[5]＝5，[﹣1.3]＝﹣1，请回答下列问题： （1）①0≤[x ]﹣x ＜1；②[x ﹣2022]＝[x ]﹣2022；③[3x ]＝3[x ]；④[x ]+[y ]＝[x +y ]；⑤若[x ]＝a （a 为整数），则a ﹣1＜x ≤a ．以上五个命题中为真命题的是 （填序号）．（2）关于x 的方程[x ﹣1]＝2x +1的解为 ．（3）某市出租车的起步价是13元（可行驶3千米），以后每多行1千米增加2.3元（不足1千米按1千米收费），现有某同学乘出租车从甲地到乙地共付费36元，如果他从甲地到乙地先步行800米，然后再乘坐出租车，车费也是36元．若该同学乘坐出租车从甲地出发去往乙地，由于突发情况，在距离乙地1公里处掉头原路返回，那么该同学返回甲地后应付费元．。
备战初一下期末考·新定义压轴题[1]
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【备战初一下期末考·新定义压轴题】一．解答题（共9小题）1．（2018春•朝阳区期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点A ，给出如下定义：若存在点B（不与点A 重合，且直线AB 不与坐标轴平行或重合），过点A 作直线//m x 轴，过点B 作直线//n y 轴，直线m ，n 相交于点C ．当线段AC ，BC 的长度相等时，称点B 为点A 的等距点，称三角形ABC 的面积为点A 的等距面积．例如：如图，点(2,1)A ，点(5,4)B ，因为3AC BC ==，所以B 为点A 的等距点，此时点A 的等距面积为92． （1）点A 的坐标是(0,1)，在点1(1,0)B -，2(2,3)B ，3(1,1)B --中，点A 的等距点为 ．（2）点A 的坐标是(3,1)-，点A 的等距点B 在第三象限，①若点B 的坐标是91(,)22--，求此时点A 的等距面积； ②若点A 的等距面积不小于98，求此时点B 的横坐标t 的取值范围．2．（2018春•顺义区期末）对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数” n 的各个数位上的数字之和记为()F n ．例如135n =时，(135)1359F =++=．（1）对于“相异数” n ，若()6F n =，请你写出一个n 的值；（2）若a ，b 都是“相异数”，其中10012a x =+，350(19b y x =+，19y ，x ，y 都是正整数），规定：()()F a k F b =，当F （a ）F +（b ）18=时，求k 的最小值． 3．（2017春•东城区期末）对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)P a b ，若点P '的坐标为(,)a kb ka b ++（其中k 为常数，且0)k ≠，则称点P '为点P 的“k 属派生点”． 例如：(1,4)P 的“2属派生点”为(124,214)P '+⨯⨯+，即(9,6)P '．（1）点(1,6)P -的“2属派生点” P '的坐标为 ；（2）若点P 的“3属派生点” P '的坐标为(6,2)，则点P 的坐标 ；（3）若点P 在x 轴的正半轴上，点P 的“k 属派生点”为P '点，且线段PP '的长度为线段OP长度的2倍，求k 的值．4．（2017春•丰台区期末）对x ，y 定义一种新运算T ，规定：(T x ，)()(2)y mx ny x y =++（其中m ，n 均为非零常数）．例如：(1,1)33T m n =+．（1）已知(1,1)0T -=，(0,2)8T =．①求m ，n 的值；②若关于p 的不等式组(2,2)4(4,32)T p p T p p a ->⎧⎨-⎩恰好有3个整数解，求a 的取值范围； （2）当22x y ≠时，(T x ，)(y T y =，)x 对任意有理数x ，y 都成立，请直接写出m ，n 满足的关系式．5．（2018春•石景山区期末）对x ，y 定义一种新运算T ，规定22(,)ax by T x y x y+=+（其中a ，b 是非零常数，且0)x y +≠，这里等式右边是通常的四则运算． 如：22319(3,1)314a b a b T ⨯+⨯+==+，24(,2)2am b T m m +-=-． （1）填空：(4,1)T -= （用含a ，b 的代数式表示）；（2）若(2,0)2T -=-且(5,1)6T -=．①求a 与b 的值；②若(310T m -，)(m T m =，310)m -，求m 的值．6．（2018春•门头沟区期末）定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f （a ）． 例如：12a =，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为211233+=，和与11的商为33113÷=，所以(12)3f =．根据以上定义，回答下列问题：（1）填空：①下列两位数：30，31，33中，“迥异数”为 ．②计算：(23)f = ，(10)f m n += ．（2）如果一个“迥异数” b 的十位数字是k ，个位数字是2(1)k +，且f （b ）11=，请求出“迥异数” b ．（3）如果一个“迥异数” m 的十位数字是x ，个位数字是4x -，另一个“迥异数” n 的十位数字是5x -，个位数字是2，且满足()()8f m f n -<，请直接写出满足条件的x 的值．7．（2017春•东城期末）对于有理数a ，b ，定义{min a ，}b 的含义为：当a b 时，{min a ，}b b =；当a b <时，{min a ，}b a =．例如：{1min ，2}2-=-，{3min -，3}3-=-．（1）{1min -，2}= ；（2）求2{1min x +，0}；（3）已知{25min k -+，1}1-=-，求k 的取值范围；（4）已知{min 5，2224m n m n --- }5=．直接写出m ，n 的值．（2019七下期中•四中)在平面直角坐标系中，我们定义，两个点之间的“直角距离”为这两个点的横坐标差的绝对值加上纵坐标差的绝对值，即在平面直角坐标系x 0y 中，任意两点A (x A ，y A )与B (x B ，y B )之间的“直角距离”表示为：D AB =B A B A y -y x -x +，对于平面内的一个动点P ，若D AP =D BP ，则称动点P 的轨迹为A 、B 两点的“等距线”例如：已知点M (1，-2),，点N (3，-5)，则D MN =5)2(513=---+-.已知点A (1，0)，点B (-1，4)，C (1，3)，D (-1，1)(1)计算以下格点之间的直角距离：D AC = ，D BC = ，D AD = ，D BD = .(2)我们定义，到点A 的直角距离为n 的点组成的图形为“A -n 等距图形”,如上图中正方形GHIJ 为A -1等距图形.请在上图坐标系中画出A 3等距图形，A 4等距图形，B 3等距图形，B 4等距图形.（这样，我们发现点A 和点B 的等距线为圈中的射线DF 、线段CD 及射线CE 组成的折线.)(3)试看在下图坐标系中分别画出到A -5等距矩形，A -6等距图形，E -5等距图形，E -6等距图形，并画出点A 和点E 的等距线.中学考试（考前、考中、考后）注意事项，家长们务必要注意！面对中学考试，具体有哪些注意事项呢？今天老师就按照考前、考中、考后一一为大家讲解一下，家里有中学生的家长，一定要认真阅读哟，有必要的话也可以收藏下来。
初一数学期中考试压轴题【呕心沥血整理版】
初一数学期中考试压轴题:探索类附加题【难度】★★★★☆【考点】有理数计算、分数拆分、方程思想【清华附中期中】解答题：有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能表示为3个连续的正整数的和，求这8个连续的正整数中最大数的最小值.（4分）【解析】设这八个连续正整数为：n,n+1……n+7；和为8n+28可以表示为七个连续正整数为：k，k+1……k+6;和为7k+21所以8n+28=7k+21,k=（8n+7）/7=n+1+n/7，k是整数所以n=7,14,21,28……当n=7时，八数和为84=27+28+29，不符合题意，舍当n=14时,八数和为140，符合题意【答案】最大数最小值：21【难度】★★★★★【考点】倒数的定义、有理数计算、分类讨论思想【人大附中期中】已知x，y是两个有理数,其倒数的和、差、积、商的四个结果中，有三个是相等的，(1）填空:x与y的和的倒数是；(2）说明理由。
【解析】设x，y的倒数分别为a，b（a≠0，b≠0，a+b≠a-b)，则a+b，a-b，ab，a/b中若有三个相等,ab=a/b，即b²=1,b=±1分类如下：①当a+b=ab=a/b时：如果b=1，无解；如果b=—1，解得a=0.5②当a—b=ab=a/b时：如果b=1，无解；如果b=—1，解得a=-0。
5所以x、y的倒数和为a+b=—0。
5，或-1。
5【难度】★★★★☆【考点】绝对值化简【101中学期中】将1，2，3,…，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数,现将每组中的两个数记为a，b，代入中〈=”" p=”” style="max—width： 100％； border： 0px；”>进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____【解析】绝对值化简得:当a≥b时，原式=b；当a所以50组可得50个最小的已知自然数，即1,2,3,4 (50)【答案】1275【老杨改编】这50个值的和的最大值为____【解析】因为本质为取小运算，所以100必须和99一组，98必须和97一组,最后留下的50组结果为:1，3，5，7……99=2500 【难度】★★★★☆【考点】有理数计算【清华附中期中】在数1,2，3，4……1998，前添符号“+”或“—”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少?（6分）【解析】最小的非负数为“0”,但是1998个正数中有999个奇数，999个偶数，他们的和或者差结果必为奇数，因此不可能实现“0”可以实现的最小非负数为“1”,如果能实现结果“1”，则符合题意相邻两数差为1，所以相邻四个数可以和为零，即n-（n+1）—(n+2)+n+3=0从3,4,5，6……1998共有1996个数,可以四个连续数字一组，和为零【答案】—1+2+3—4-5+6+7……+1995—1996-1997+1998=1【老杨改编】在数1,2,3,4……n，前添符号“+”或“-”，并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?【解析】由上面解析可知，四个数连续数一组可以实现为零如果n=4k，结果为0;(四数一组，无剩余）如果n=4k+1，结果为1;（四数一组，剩余首项1）如果n=4k+2，结果为1；(四数一组，剩余首两项-1+2=1)如果n=4k+3,结果为0;(四数一组，剩余首三项1+2—3=0）初一数学期中考试压轴题：列方程解应用题【难度】★★★☆☆【考点】表格阅读题,列一元一次方程解应用题【五中分校期中】某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数，每班人数均在100以内）去游该公园，如果两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元.(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票,则可以节约多少钱？(2）两班各有多少名学生？【解析】(1）节省=486—103＊4=74元(2)设甲班有x人，则乙班有（103—x）人103*4.5=463。
初一数学压轴题
•解答题(共19小题)1. (2013?扬州)如果10b=n,那么b为n的劳格数，记为b=d (n),由定义可知：10b=n与b=d (n)所表示的b、n两个量之间的同一关系.(1)根据劳格数的定义，填空：d (10) = ____________ , d (10「1 2) = __________ ;(2)劳格数有如下运算性质：若m n为正数，则d (mr) =d (m) +d (n), d (卫)=d(m)ri-d (n).根据运算性质，填空：］'= (a为正数)，若(2)=,则(4)= ,d (.a)d (5) = ___________ , d () = __________ ；(3)如表中与数x对应的劳格数d (x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.x 3 5 6 8 9 12 27d (x) 3a- b+c 2a-b a+c 1+a-b - c 3 - 3a- 3c 4a- 2b 3 - b - 2c6a-3b2. (2012?安庆一模)先阅读下列材料，再解答后面的问题.一般地，若a n=b(a>0且a^ 1, b>0),则n叫做以a为底b的对数，记为log a b(即log a b=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log 381 (即log 381=4).1 计算以下各对数的值：log 24= ___________ , log 216= __________ ,log 264= __________ .(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式；(3) ________________________________________ 猜想一般性的结论：log a M+log a N____________________________________________ ( a> 0 且1, M> 0, N> 0),并根据幕的运算法则：a m?a n=a m+n以及对数的含义证明你的猜想.3. (2012?沈阳模拟)认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：(a+b) 1=a+b, (a+b) 2=a2+2ab+R，(a+b) 3= (a+b) 2(a+b) =a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对(a+b) n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)多项式(a+b) n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；(2)请你预测一下多项式(a+b) n展开式的各项系数之和.(3)结合上述材料，推断出多项式(a+b) n(n取正整数)的展开式的各项系数之和为S， (结果用含字母n的代数式表示).4. (2009?佛山)阅读材2料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法•配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2± 2ab+S= (a± b)2例如：（X- 1）2+3、（X- 2）2+2X、（丄x - 2）2丄X2是X2- 2x+4的三种不同形式的配方（即“余2 4项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分）•请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出X2- 4X+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b配方（至少两种形式）;（3）已知a2+b2+c2- ab- 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.5. （2007?东营）根据以下10个乘积，回答问题：11X29; 12X28; 13X27; 14X26; 15X25; 16X24; 17X23; 18X22; 19X21; 20X20.（1）试将以上各乘积分别写成一个“口2-?2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用a1b1, a2b2,…,anbn表示n 个乘积，其中a1, a2, a3,…，a n, 4, b2, b，…,b n为正数•试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论.（不要求证明）6. （2006?浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22- 02, 12=42- 22, 20=6 - 42,因此4, 12, 20都是“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么?8. （2015?于洪区一模）如图1,在厶ABC中，/ ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC Z BAC=90 ,①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CF BD所在直线的位置关系为____________ ，线段CF BD的数量关系为____________ ;②当点D在线段BC的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果A盼AC, / BAC是锐角，点D在线段BC上，当/ACB满足什么条件时，CF丄BC （点C、F不重合），并说明理由.9. （2015?菏泽）如图，已知/ ABC=90 , D是直线AB上的点，AD=BC（1）如图1,过点A作AF丄AB并截取AF=BD连接DC DF CF,判断△ CDF的形状并证明；（2）如图2, E是直线BC上一点，且CE=BD直线AE CD相交于点P,Z APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.10. （2015?铁岭一模）已知：△ ABC中，BD CE分别是AC AB边上的高，BQ=AC点F在CE的延长线上，CF=AB求证：AF丄AQ11. （2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ ABD △ ACE拼在一起（图1）. △ ABD不动，（1）若将△ ACE绕点A逆时针旋转，连接DE, M是DE的中点，连接MB MC（图2）,证明:MB=MC（2）若将图1中的CE向上平移，/ CAE不变，连接DE M是DE的中点，连接MB MC（图3）,判断并直接写出MB MC的数量关系.（3）在（2）中，若/ CAE的大小改变（图4）,其他条件不变，则（2）中的MB MC的数量关系还成立吗？说明理由.12. （2012?昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中, AB=AD / B=Z D=90，E、F分别是边BC CD上的点，且/ EAF二/ BAD2求证：EF=BE+FD（2）如图，在四边形ABC冲，AB=AD Z B+Z D=18C°，E、F分别是边BC CD上的点，且/ EAF=Z BAD （1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中AB=AD Z B+Z ADC=180，E、F分别是边BC CD延长线上的点，且Z EAF= Z BAD （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请2写出它们之间的数量关系，并证明.13. （2011?泰安）已知：在厶ABC中, AC=BC Z ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB 边上一点.（1）直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G （如图1），求证：AE=CG（2）直线AH垂直于直线CE垂足为点H,交CD的延长线于点M （如图2）,找出图中与BE 相等的线段，并证明.14. （2005?扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分.）在厶ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC 直线MN经过点C,且ADI MN f D, BE L MN于 E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：©△ ADC^ CEB ② DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD- BE(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE AD BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.注意：第(2)、(3)小题你选答的是第2小题.15. (2012?淮安)阅读理解如图〔，△ ABC中，沿/ BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B 1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿/B rAC的平分线AB+1折叠，点B n与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，/ BAC>^ ABC的好角.小丽展示了确定/ BAC>^ABC的好角的两种情形.情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角/BAC的平分线AB折叠，点B与点C重合；情形二：如图3,沿/ BAC的平分线AB折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/B 1AC的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合.探究发现("△ ABC中,/ B=2Z C,经过两次折叠，/ BAC是不是△ ABC的好角？_____________ (填是”或“不是”)(2)小丽经过三次折叠发现了/ BAC是△ ABC的好角，请探究/B与/C (不妨设/ B>Z C) 之间的等量关系.根据以上内容猜想：若经过n次折叠/ BAC>^ ABC的好角，则/B与/C(不妨设/ B>Z C)之间的等量关系为______________ .应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.16. (2011?房山区一模)已知：等边三角形ABC(1)如图1，P为等边△ ABC外一点，且/ BPC=120 .试猜想线段BP PC AP之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)如图2，P为等边△ ABC内一点，且/ APD=120 .求证：PA+PD+P>BD17. (2010?丹东)如图，已知等边三角形ABC中，点D, E，F分别为边AB, AC，BC的中点, M为直线BC上一动点，△ DMh为等边三角形(点M的位置改变时，△ DMN也随之整体移动).(1)如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；(2)如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.18. （2006?西岗区）如图，以△ ABC的边AB AC为直角边向外作等腰直角△ ABE ft^ACD M 是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明.①画出将厶ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②/ BAC=90 （如图）附加题：如图，若以△ABC的边AB AC为直角边，向内作等腰直角△ABE ffiA ACD其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系.19. （2006?大连）如图1，Rt△ ABC中AB=AC点D E是线段AC上两动点，且AD=EC AM 垂直BD,垂足为M, AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△ DEF 的形状，并加以证明.说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明.1、画出将△ BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形;2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形(AC// KN,如图2).附加题：如图3,若点D E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断厶DEF勺形状，并说明理由.参考答案与试题解析一•解答题(共19小题)1. (2013?扬州)如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d (n)，由定义可知：10b=n与b=d (n)所表示的b、n两个量之间的同一关系.(1)根据劳格数的定义，填空：d (10) = 1 ，d (10「2) = - 2 ;(2)劳格数有如下运算性质：若m n 为正数，则 d (mr) =d (m) +d (n)，d (§) =d (m) - d (n).n根据运算性质，填空：□ / 3 \\ - = 3 (a 为正数)，若 d (2)=，则 d (4) = _________ ，d (5) = ____ ，d ()=-;(3)如表中与数x对应的劳格数d (x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正.x 3 5 6 8 9 12 27d (x) 3a- b+c 2a-b a+c 1+a— b - c 3 - 3a- 3c 4a- 2b 3 - b - 2c6a- 3b【考点】整式的混合运算；反证法.【专题】压轴题.【分析】(1)根据定义可知，d (10)和d (10「2)就是指10的指数，据此即可求解； j ( 3 \(2) 根据 d ( a 3)=d ( a?a?a ) =d ( a )+d ( a )+d ( a )即可求得.二 的值； d laj(3) 通过9=32, 27=33,可以判断d (3)是否正确，同理以依据5=10-2,假设d (5)正 确，可以求得d (2)的值，即可通过d (8), d (12)作出判断.【解答】解：(1) d (10) =1, d (10「2) =- 2;故答案为：1,- 2;因为d (2)= 故 d (4) =d (2) +d (2)=,d (5) =d (10)- d (2) =1 -=,d () =d (8X 10-2) =3d (2) +d (10-2)=-; (3)若 d (3)工2a - b ,则 d (9) =2d (3)工4a - 2b , d (27) =3d (3)工 6a - 3b ,从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾,••• d ( 3) =2a- b ,若 d (5)工a+c ,则 d (2) =1 - d (5)工 1 - a - c , ••• d ( 8) =3d (2)工 3 - 3a - 3c , d (6) =d (3) +d (2)工 1+a- b -c ,表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾.d ( 5) =a+c.(2) d ( J) =3d 〔且) d (G d (a)•••表中只有d ()和d (12)的值是错误的，应纠正为：d () =d (3) +d (5)-仁3a-b+c- 1,d (12) =d (3) +2d (2) =2- b-2c.【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键.2. (2012?安庆一模)先阅读下列材料，再解答后面的问题.一般地，若a n=b(a>0且a^ 1, b>0),则n叫做以a为底b的对数，记为log a b(即log a b=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为log 381 (即log 381=4).(1)计算以下各对数的值：log 24= 2 , log 216= 4 , log 264= 6 .(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式；(3)猜想一般性的结论：log a M+log a N= log a (MN (a>0且a^ 1, M>0, N>0),并根据幕的运算法则：a m?a n=a m+n以及对数的含义证明你的猜想.考点】同底数幂的乘法．【专题】压轴题；新定义．【分析】(1)根据材料叙述，结合22=4，24=16，26=64 即可得出答案；(2)根据( 1)的答案可得出log 24、log 216、log 264 之间满足的关系式；(3)设log a M=b, log a N=b，贝U a b1=M a b2=N,分别表示出MN及b i+b2的值，即可得出猜想.【解答】解：( 1) log 24=2，log 216=4，log 264=6；( 2) log 24+log 216=log 264；( 3)猜想log a M+log a N=log a (MN).证明：设log a M=b, log a N=b,贝U a b1=M a b2=N,故可得MN=b a1?a b2=a b1+b2，b1+b2=log a( MN)，即log a M+log a N=log a(MN).【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息.3. ( 2012?沈阳模拟)认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法贝，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：a+b) 1=a+b, (a+b) 2=a2+2ab+6, (a+b) 3= (a+b) 2(a+b) =a3+3a2b+3ab2+b3,…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和.（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S, （结果用含字母n的代数式表示）.【考点】完全平方公式.【专题】压轴题；阅读型；规律型.【分析】（1）由题意可求得当n=1, 2, 3, 4,…时，多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；（2）首先求得当n=1, 2, 3, 4…时，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和，即可求得答案；（3）结合（2）,即可推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和.【解答】解：（1）v当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系米斤％n Jl x 0数为：0=当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1亠二,当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=丄,2当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=^ ,2•••多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：11 :（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n;1 1（3）・••当n=1时，多项式（a+b）展开式的各项系数之和为：1+仁2=2, 当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=2，当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=2, 当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+仁16=2,•••多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2.【点评】此题属于规律性、阅读性题目•此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键.4. （2009?佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方2式的方法叫做配方法•配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2± 2ab+b2= （a± b）2例如：(X- 1) 2+3、(X- 2) 2+2X、(丄x - 2) 2+-」x2是X2- 2x+4的三种不同形式的配方(即“余[2 4项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分)•请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出X2- 4X+2三种不同形式的配方；(2)将a2+ab+b配方(至少两种形式);(3)已知a2+b2+c2- ab- 3b- 2c+4=0,求a+b+c 的值.【考点】完全平方公式.【专题】压轴题；阅读型.【分析】(1) (2)本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得2 2 2X - 4X+2和a +ab+b的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；(3)通过配方后，求得a, b, c的值，再代入代数式求值.【解答】解：(1) X2- 4X+2的三种配方分别为:X2- 4X+2= (X - 2) 2- 2，X2- 4X+2= (x+.2-(2 一?+4) X，X2- 4x+2=(讣自X_h；”)2- X2;(2) a2+ab+b2= (a+b) 2- ab，2 2a +ab+b=(3) a2+b2+c2- ab- 3b- 2c+4,=(a2- ab+〒b2) + b2- 3b+3) + (c2- 2c+1),=(a2- ab+丄b2) +—(b2- 4b+4) + (c2- 2c+1),|4 4=(a-_b) 2+ (b-2) 2+ (c- 1) 2=0,2 4从而有a-丄b=0, b- 2=0, c- 1=0,即a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.【点评】本题考查了根据完全平方公式：a2± 2ab+b2= (a± b) 2进行配方的能力.5. (2007?东营)根据以下10个乘积，回答问题：11X 29; 12X 28; 13X 27; 14X 26; 15X 25;16X 24; 17X 23; 18X 22; 19X 21; 20X 20.(1)试将以上各乘积分别写成一个“口2-?2” (两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)若用ab, a2b2，…，a n b n表示n个乘积，其中a1, a2, a3,…，a n, b, b2, b3,…, b n为正数.试由(1)、(2)猜测一个一般性的结论.(不要求证明)【考点】平方差公式.【专题】压轴题.【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差•如11X 29;可想几加几等于29,几减几等于11,可得20+9和20- 9,可得11X 29=20^ - 92,同理思考其它的.【解答】解：（1）11X 29=202- 92; 12X 28=20" - 82; 13X 27=2庁-72;14X 26=2庁-62; 15X 25=20^ - 52; 16X 24=20^ - 42;17X 23=20" - 32; 18X 22=20" - 22; 19X 21=20"- 12;20X 20=20 - 02. （4 分）例如，11X29;假设11X 29=口2-O2,因为口2-O2= （□ +O）（□-O）;所以，可以令口-O =11,口+O=29.2 2解得，口=20,O =9.故11X 29=20 - 9 . （5 分）（或11X 29= （20 - 9）（20+9）=202- 92. 5 分）（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11X 29v 12X 28v 13X 27v 14X 26v 15X 25 v 16X 24v 17X 23v 18X 22v 19X 21v 20X 20. （7 分）（3）①若a+b=40, a b 是自然数，则ab< 202=400. （8 分）②若a+b=40,则ab< 202=400. （8 分）③若a+b=m a、b是自然数，则ab w 埠）2. （9分）④若a+b=m则ab w （詈）（9分）⑤若a i+b i=a2+b2=a3+b3=a n+b n=40.且|a i - b i| > |a 2 - b2| > |a 3 - b a| >> |a n - b n| ,贝U a i b i Wa 2b2<a 3b3< Wa n b n. （10 分）⑥若a i+b i=a?+b2=a3+b3=a n+b n=m 且|a i - b i| > |a 2 - b2| > |a 3 - b s|》|a n- b n| ,贝U a i b i Wa 2b2<a 3b3W… Wa n b n. （i0 分）说明：给出结论①或②之一的得（i分）；给出结论③或④之一的得（2分）；给出结论⑤或⑥之一的得（3分）.【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式.6. （2006?浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：4=22- 02, i2=42- 22, 20=6 - 42,因此4, I2, 20都是“神秘数”（1）28和20I2这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么?考点】平方差公式．【专题】压轴题；新定义．【分析】(1)试着把28、2012 写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；(2)化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；(3)设两个连续奇数为2k+1和2k- 1,则(2k+1) 2-( 2k- 1) 2=8k=4X2k,即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．【解答】解：(1)设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x- 2两数的平方差得到，则x2-( x- 2) 2=28，解得：x=8,.°. x- 2=6,即28=82- 62，设2012是y和y - 2两数的平方差得到，则y2-( y- 2) 2=2012，解得：y=504，y- 2=502，即2012=5042- 5022，所以28，2012都是神秘数．2)(2k+2) 2-(2k) 2=(2k+2- 2k) (2k+2+2k) =4(2k+1)，•••由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍.(3)设两个连续奇数为2k+1和2k- 1,则(2k+1) 2-( 2k- 1) 2=8k=4X2k,即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．•两个连续奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．7．( 2007?淄博)根据以下10 个乘积，回答问题：11 X 29；12X 28；13X 27；14X 26；15X 25；16X 24；17X 23；18X 22；19X 21 ；20X 20．(1)试将以上各乘积分别写成一个“口2-O2” (两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由( 1)、(2)猜测一个一般性的结论． (不要求证明)【考点】整式的混合运算；绝对值．专题】压轴题；规律型．【分析】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可.(2)减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可.(3)根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小.【解答】解：(1) 11 X 29=202- 92; 12X 28=20" - 82; 13X 27=20" - 72;14X 26=20" - 62; 15X 25=20"- 52; 16X 24=20"- 42;17X 23=20" - 32; 18X 22=20"- 22; 19X 21=20"- 12;20X 20=20" - 02•••( 4 分)例如，11X29;假设11X 29=口2-O2，因为口2-O2= (□ +O) (□-O)；所以，可以令口-O =11,口+O=29.2 2解得，口=20,O =9.故11X 29=20 - 9 .(或11X 29= ( 20 - 9) (20+9) =20 - 9(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11X 29v 12X 28v 13X 27v 14X 26v 15X 25 v 16X 24v 17X 23v 18X 22v 19X 21v 20X 20(3)①若a+b=40, a，b 是自然数，则ab< 202=400.②若a+b=40,则ab<202=400. •••( 8 分)③若a+b=m a，b是自然数，则ab w 埠)J④若a+b=m 贝U ab w （迎）2.2⑤若a, b的和为定值，则ab的最大值为（业）2 .2⑥若a i+b i=a2+b2=a3+b B=・.=a n+b n=40.且|a i - b i| > |a 2 - b2| > |a 3 - b a|》|a n- b n| ,则a i b i<a2b2<a3b3<^<a n b n. •••（10 分）⑦若a i+b i=a2+b2=a3+b3=・.=a n+b n=m 且|a i - b i| > |a 2 - b2| > |a 3 - b s|》|a n- b n| ,贝U a i b i Wa2b2<a3b3W・・Va n b n.⑧若a+b=ma, b差的绝对值越大，则它们的积就越小.说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2分）；给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）.【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键.8. （2015?于洪区一模）如图1,在厶ABC中，/ ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC Z BAC=90 ,①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2,线段CF BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF BD的数量关系为相等；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果A盼AC, / BAC是锐角，点D在线段BC上，当/ACB满足什么条件时，CF丄BC（点C、F不重合），并说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】压轴题；开放型.【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立•由正方形ADEF的性质可推出△ DAB^A FAC 所以CF=BD / ACF2 ABD 结合/ BAC=90，AB=AC 得到/ BCF2 ACB# ACF=90 .即CF丄BD（2）当/ACB=45时，过点A作AGLAC交CB的延长线于点G,则/GAC=90，可推出/ ACB M AGC 所以AC=AG 由（1）①可知CF L BD【解答】证明：（1）①正方形ADE冲，AD=AFvZ BAC M DAF=90，•••/ BAD Z CAF又v AB=AC•••△ DAB^A FAC•••CF=BD Z B=Z ACF，•••/ ACB# ACF=90，即CF丄BD②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立. 由正方形ADEF得AD=AF / DAF=90度.vZ BAC=90 ,•••/ DAF Z BAC•••Z DAB Z FAC又v AB=AC•△DAB^A FAC•CF=BD，Z ACF=Z ABD．vZ BAC=9°0，AB=AC，•Z ABC=4°5 ，•Z ACF=45°，•Z BCF Z ACB Z ACF=90度.即CF丄BD(2)当Z ACB=45 时，CF丄BD (如图).理由：过点A作AGLAC交CB的延长线于点G则/ GAC=90 ,ACB=45，/ AGC=90 -Z ACB•••/ AGC=90 - 45° =45°,•••Z ACB Z AGC=45 ,••• AC=AG•••Z DAG Z FAC(同角的余角相等),AD=AF• △ GAD^ CAF•Z ACF=Z AGC=4°5 ，Z BCF Z ACB Z ACF=45 +45° =90°,即卩CF丄BC【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件．9. (2015?菏泽)如图，已知Z ABC=90 , D是直线AB上的点，AD=BC(1)如图1,过点A作AF丄AB并截取AF=BD连接DC DF CF,判断DF的形状并证明；(2)如图2, E是直线BC上一点，且CE=BD直线AE CD相交于点P,Z APD的度数是一个固定的值吗？若是,请求出它的度数；若不是,请说明理由.考点】全等三角形的判定与性质.【专题】压轴题.【分析】（1）利用SAS证明厶人卩。
初一数学期中压轴题系列：定义新运算和程序运算
初一数学期中压轴题系列：定义新运算和程序运算【难度】★★☆☆☆【考点】有理数运算，错项相消【八十中期中】设f（k）=k2+（k+1）2+……+（3k）2，求f（4）-f（3）=（）A．365 B．63 C．356 D．7【分析】令等式中的k分别等于4、3【答案】C【难度】★★★☆☆【考点】分类讨论【清华附期中】a为有理数，定义运算符号△：当a＞０时，△a＝－a；当a＜0时，△a=a；a=0时，△a=0，依照这种运算，则△（1+△2）等于（）A.3B.-3C.1D.-1【分析】△运算的本质是：△ａ=－|ａ|【答案】D【难度】★★★★☆【考点】有理数运算，错项相消【北大附期中】若规定一种新运算为，假如，那么_______。
【分析】先令a=2，b=1/2，代入公式，可得A= - 1；把A= - 1代入，令a=2021，b=2021【答案】1/2021000【难度】★★★★☆【考点】绝对值化简、等差数列求和【清华附期中】将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b，代入中进行运算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____。
【分析】绝对值运算化简：当ab，原式=b；当a【答案】1+2+3+……+49+50= 1275【难度】★★★★☆【考点】程序运算、多次循环【人大附中期中】按下面的程序运算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为85 3，则满足条件的x 的不同值最多有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】输出结果853可能是没有通过循环、通过1次或者多次循环后的结果【答案】A【易错点】注意题目中的x条件为正数，满足的有：213、53、13、3、0.5五个【难度】★★★★☆【考点】程序运算、二元一次方程按下面的程序运算，若开始输入的值x 为1，最后输出的结果为1；若开始输入的值x 为-1，，最后输出的结果为-3，则若开始输入的值x 为0.5，最后输出的结果为_________.语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
初一奥数找规律、程序运算、定义新运算
找规律的小技巧：1．合理的猜想；2．从简单的、局部的、特殊的情况出发，经过提炼、归纳。
猜想未知，寻找规律程序运算：弄清计算机程序与数学表达式之间的关系定义新运算：将新运算转化为旧运算进行计算【例1】若一组按规律排成的数的第n项为n(n＋1)(n为正整数)，则这组数的第10项为_______；若一组按规律组成的数为：2，6，-12，20，30，-42，56，72，-90，…，则这组数的第3n(n 为正整数)项是___________。
【例2】探索规律：观察下面算式，解答问题：1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42；1＋3＋5＋7＋9＝25＝52。
①请猜想1＋3＋5＋7＋9＋…＋19＝____________；②请猜想1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n＋3)＝____________；③请你用上述规律计算：103＋105＋107＋…＋2003＋2005。
【例3】在数列1，12，22，13，23，33，…，中，第100个数是_____。
找规律、程序运算、定义新运算将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第________行第______列。
【例5】按下面的程序计算，若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x的所有值。
【例6】小红设计了一个计算程序，并按此程序进行了两次计算。
在计算中输入了不同的x值，但一次没有结果，另一次输出的结果是42，则这两次输入的x值不可能是( )A．0，2 B．-1，-2 C．0，1 D．6，-3【例7】若规定一种新运算为11(1)()a bab a b A⊗=+-+，如果1212⊗=-，那么2001⊗2002＝____________。
定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数。
如：2的差倒数是1112=--，-1的差倒数是111(1)2=--。
数学专题1——新定义问题 (吴 翔)
数学专题1——新定义问题【专题诠释】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．【经典例题】类型一：规律题型中的新定义例1.（2009山东枣庄，18，4分）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ．【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．【解】：解：根据差倒数定义可得：2111311413a a ===-+， 321143114a a ===-- 431111143a a ===---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等．【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．类型二：运算题型中的新定义例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a b a b a b a b +=+（＞）﹣，如：323*2532+==﹣， 那么6*（5*4）= ．【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【评注】：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．例3.（2010重庆江津区，15，4分）我们定义abad bc cd=-，例如错误!未指定书签。
专题05 整式的加减压轴题真题分类(原卷版)—七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题05整式的加减压轴题真题分类（原卷版）专题简介：本份资料包含《整式的加减》这一章中压轴题常考的主流题型，所选题目源自各名校月考试题、期中试题中的典型考题，具体分成两类题型：找规律（等差数列型、等比数列型、累加数列型）、定义新运算类压轴题。
适合于培训机构的老师给优等生作压轴题专题培训时使用或者想冲击满分的尖子生考前刷题时使用。
题型一找规律①等差数列型1．（青竹湖）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为．2．（雅礼）用棋子摆成的图案如图所示．按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．3．（雅礼）按如下方式摆放的桌子和椅子桌子数1234…n可坐人数6810…上表中所缺的数分别是和．4.（麓山国际）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n的代数式表示）．②等比数列型5．（雨花区）观察一列数：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，……，按你发现的规律写出第8个数是．6．观察下列单项式：a，2a-，3a，4a-，5a，⋅⋅⋅，按此规律第n个单项式是．（n为正整数）7．观察下列单项式：a，2-，5-，34a，48a2a16a，…，按此规律，则第n个单项式是（n是正整数）．③累加数列型8．（2020秋•天心区校级月考）如图图形都是由同样大小的“○”按一定的规律组成，其中第1个图形中一共有5个“○”，第2个图形中一共有12个“○”，第3个图形中一共有21个“○”，…，则第7个图形中“○”的个数是（）A．60B．66C．77D．969．（2019秋•岳麓区校级月考）用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1个棋子，第二个图形有5个棋子，第三个图形有12个棋子，依次规律，第六个有（）枚棋子．A．49B．50C．51D．5210．（明德）观察下列单项式：0，3a2，﹣8a3，15a4，﹣24a5，35a6，…按此规律，第n个单项式是．11．（二十一中）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第10个图中小圆点的个数为．12．（明德）观察如图所示图形构成的规律，根据此规律，第15个图中小圆点的个数为．13．（立信）将一些大小相同的棋子按如图所示的规律摆放，第n 个图形含有枚棋子（用含n 的代数式表示）．题型二定义新运算类压轴题14．（明德）对于一个数x ，我们用＜x ＞表示小于x 的最大整数，例如：＜2.3＞＝2，＜﹣6＞＝﹣7；（1）填空：〈12〉＝，〈﹣2009〉＝，＝．（2）若2＜x ＞+＜x ﹣3＞＝6，求＜x ＞的值；（3）若a ，b 都是整数，且＜a ＞与＜b ＞互为相反数，求代数式2（a ﹣2b ）﹣（a ﹣5b ）的值．15．（雅礼）定义：对于一个数x ，我们把[]x 称作x 的相伴数，若0x ≥，则[]1x x =-；若0x <，则[]1x x =+，例如：[]0.50.5=-．（1）求32⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[]1-的值；（2）当0a >，0b <时，有[][]a b =，试求代数式3()33b a a b --+的值；（3）解方程：[][2]1x x ++=.16.（师大）对于一个数x ，我们用(]x 表示小于x 的最大整数，例如：(2.6]2=，(3]4-=-；（1）填空：(10]=________，(2019]-=__________，1(7=___________.（2）若a ，b 都为整数，且(]a 与(]b 互为相反数，求代数式3()2(2)(5)a b a b a b --+---的值；（3）若(](]|2|6x x +-=，求x 得取值范围.17．（长郡）阅读型综合题对于实数x 、y 我们定义一种新运算(),L x y ax by =+,（其中a 、b 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为(),L x y ，其中x 、y 叫做线性数的一个数对，若实数x 、y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x 、y 叫做正格线性数的正格数对．（1）若(),3L x y x y =+，则()2,1______L =，31,_______22L ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）已知(),3L x y x by =+，11,232L ⎛= ⎝，若正格线性数(),18L x kx =，（其中k 为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．18.(周南)对于有理数，定义一种新运算“⊕”，请仔细观察下列各式中的运算规律：121422⊕=⨯-=，282480⊕=⨯-=，3434416-⊕=-⨯-=回答下列问题：(1)计算：43⊗=________，()43-⊗=________；(2)若a b ≠，则a b ⊕________b a ⊕(填入“=”或“≠”)(3)若有理数a ，b 的取值范围在数轴上的对应点如图所示，且()154a b ⊗-=，求()()()a b a b a b +⊗+⊗+⎡⎤⎣⎦的值.19．（青竹湖）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x 2+x ＝0，则x 2+x +1186＝；我们将x 2+x 作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若x 2+x ﹣1＝0，则x 2+x +2021＝；（2）如果a +b ＝3，求2（a +b ）﹣4a ﹣4b +21的值；（3）若a 2+2ab ＝20，b 2+2ab ＝8，求a 2+2b 2+6ab 的值．20．（青竹湖）已知整式A＝m2+m﹣1，B＝m2﹣m+1，C＝﹣m2+m+1．若某个整式可以表示为aA+bB+cC（其中a，b，c为常数），我们约定如下分类：①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为A型整式；②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为AB型整式；③若a≠0，b≠0，c≠0，则称该整式为ABC型整式．…（1）依上面的分类方式，请给出B型整式和AC型整式的定义．若，则称该整式为B型整式；若，则称该整式为AC型整式．（2）例如：整式m2﹣5m+5可称为“AB型整式”，证明如下：∵﹣2A+3B＝﹣2（m2+m﹣1）+3（m2﹣m+1）＝﹣2m2﹣2m+2+3m2﹣3m+3＝m2﹣5m+5．即m2﹣5m+5＝﹣2A+3B，∴m2﹣5m+5是“AB型整式”．问题：（3）﹣3m2﹣m+3是什么型整式？请回答问题并仿照上述例子进行证明．（4）若整式4m2+km+k是关于m的“ABC型整式”，请求出相应的a，b，c（用含k的代数式表示）．21．（雅礼）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：已知任意一个四位数m，若个位与百位上的数字之和为8，千位与十位上的数字之和也为8，则称m为“双雅数”．如：1276；材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，如：9＝32，则9为完全平方数．（1）判断下列四位数是不是“双雅数”，请在横线上填“是”或“不是”：①3454“双雅数”；②2635“双雅数”；③7612“双雅数”．（2）一个“双雅数”，它的千位上的数是a，百位上的数是b，十位上的数是c，个位上的数是d，请证明它是为11的倍数；（3）若四位数m为“双雅数”，记F（m）＝，当F（m）是完全平方数时，求出所有满足条件的数m．22．（望城一中）定义新运算a ∇b ＝|a ﹣b |﹣b ，如4∇2＝|4﹣2|﹣2＝2﹣2＝0；若a ∇b ＝0，则称a 与b 互为“望一”数；若a ∇b ＝﹣a ，则称a 与b 互为“望外”数；（1）计算：（﹣4）∇（﹣2）＝．（2）下列互为“望一”数的是．互为“望外”数的是．①：6∇3；②：5∇2；③：3∇4；④：2.8∇1.4；⑤：1∇3；（3）若（x ∇1）+[x ∇（﹣1）]＝2，则x 可以取哪些整数？（4）若（x ∇1）﹣[x ∇（﹣1）]＝﹣2，则x 的值为多少？23.（明德）已知a b ，为有理数，且a b ，不为0，则定义有理数对（a b ，）的“真诚值”为10()10a b b a b d a b a a b⎧->⎪=⎨-<⎪⎩，，，，如有理数数对（3，2）的“真诚值”为d （3，2）=3210=2--，有理数对（2-，4）的“真诚值”为4(24)(2)106d -=--=，．（1）求有理数对（3-，2），（1，2）的“真诚值”；（2）求证：有理数对（a b ，）与（b a ，）的“真诚值”相等；（3）若（a ，2）的“真诚值”的绝对值为(2)d a ，，若(2)6d a =，，求a 的值．。
中考数学难题突破专题--新定义问题
中考数学难题突破专题--新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近 年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题1、 我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )．在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝p q.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34. (1)如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F (t )的最大值． 例题分层分析(1)对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)，找出m 的最佳分解为________，所以F (m )＝________＝________；(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ′，则t ′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x 与y 的关系式为________，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F (t )的最大值即可．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键． 类型2 新定义几何概念型例题2、如图Z3－1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．图Z3－1(1)将▱ABCD纸片按图Z3－2①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG∶S▱ABCD＝________．(2)▱ABCD纸片还可以按图Z3－2②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长．(3)如图Z3－2③，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．图Z3－2例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S矩形AEFG∶S▱ABCD ＝________；(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH＝________，再由折叠的轴对称性质可知HD＝________，FC＝______，∠AHE＝12______，∠CFG＝12________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH≌△CGF，可得________，进而求得AD的长；(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD，BC的长．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．专 题 训 练1． 定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图Z 3－3所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( )图Z 3－3A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D .2或－ 22． 对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }＝b ：当a ＜b 时，min{a ，b }＝a .例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D .533． 在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x ，1y )称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝kx的图象上．若AB ＝2 2，则k ＝________．4． 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图Z 3－4，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．图Z 3－45． 对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b .例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3<5，求x 的取值范围．6． 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图Z 3－5①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .(2)如图Z 3－5②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．图Z 3－57． 有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图Z 3－6①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，求∠B 与∠C 的度数之和；(2)如图Z 3－6②，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图Z 3－6③，在(2)的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．图Z 3－6参考答案类型1 新法则、新运算型 例1 【例题分层分析】 (1)m ＝n ×n nn 1(2)10y ＋x y ＝x ＋4解：(1)证明：对任意一个完全平方数m ， 设m ＝n 2(n 为正整数)，∵|n －n |＝0，∴n ×n 是m 的最佳分解， ∴对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝nn＝1.(2)设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ′，则t ′＝10y ＋x ， ∵t 是“吉祥数”，∴t ′－t ＝(10y ＋x )－(10x ＋y )＝9(y －x )＝36， ∴y ＝x ＋4，∵1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数，∴满足“吉祥数”的为15，26，37，48，59.(3)F (15)＝35，F (26)＝213，F (37)＝137，F (48)＝68＝34，F (59)＝159.∵34>35>213>137>159，∴所有“吉祥数”中，F (t )的最大值是34.类型2 新定义几何概念型 例2 【例题分层分析】 (1)1∶2(2)13 HN FN ∠AHF ∠CFH AHE CFG FC ＝AH 解：(1)AE ，GF ；1∶2.提示：由折叠的性质，得AD ＝2AG . ∵S 矩形AEFG ＝AE ·AG ，S ▱ABCD ＝AE ·AD ， ∴S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝AE·AGAE·AD＝1∶2.(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∴∠FEH ＝90°， ∴FH ＝EF 2＋EH 2＝52＋122＝13.由折叠的性质可知，HD ＝HN ，FC ＝FN ，∠AHE ＝12∠AHF ，∠CFG ＝12∠CFH .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠A ＝∠C ，∴∠AHF ＝∠CFH ，∴∠AHE ＝∠CFG . ∵EH ＝FG ，∴△AEH ≌△CGF ，∴FC ＝AH ， ∴AD ＝AH ＋HD ＝FC ＋HN ＝FN ＋HN ＝FH ＝13. (3)本题有以下两种基本折法，如图①，图②.①按图①的折法的解法：由折叠的性质可知，AD ＝BF ，BE ＝AE ＝4，CH ＝DH ＝5，FG ＝CG . ∵四边形EBGH 是叠合正方形，∴HG ＝BG ＝4， ∴CG ＝3，∴FG ＝CG ＝3，∴BF ＝BG －FG ＝1，BC ＝BG ＋CG ＝4＋3＝7， ∴AD ＝1，BC ＝7. ②按图②的折法的解法： 设AD ＝x .由折叠的性质可知，AE ＝EM ＝BE ＝4，MH ＝AD ＝x ，DN ＝HN ，HG ＝CG ，FC ＝FH . 由DN ＝HN ，HG ＝CG ，则GN ＝12CD ＝5.∵四边形EFGN 是叠合正方形， ∴EF ＝FG ＝GN ＝5，∴MF ＝BF ＝3， ∴FC ＝FH ＝x ＋3.∵∠B ＝∠EFG ＝∠CGF ＝90°，∴∠BEF ＋∠BFE ＝∠BFE ＋∠CFG ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFG ，∴△GFC ∽△BEF ， ∴FG BE ＝FC EF ，即54＝x ＋35，解得x ＝134， ∴AD ＝134，BC ＝BF ＋FC ＝3＋134＋3＝374.专题训练1．A [解析] 由函数图象可知，当－2≤x ＜－1时，y ＝－2，即有[x ]＝－2，此时方程无解；当－1≤x ＜0时，y ＝－1，即有[x ]＝－1，此时方程无解；当0≤x ＜1时，y ＝0，即有[x ]＝0，此时方程为0＝12x 2，解得x ＝0；当1≤x＜2时，y ＝1，即有[x ]＝1，此时方程为1＝12x 2，解得x ＝2或x ＝－2(不在x 的取值范围内，舍去)．综上可知，方程[x ]＝12x 2的解为0或 2.2．D [解析] 当2x －1≥－x ＋3时，x ≥43，y ＝min {2x －1，－x ＋3}＝－x ＋3，最大值为53.当2x －1<－x ＋3时，x <43，y ＝min {2x －1，－x ＋3}＝2x －1，y 的值都小于53.综上，该函数的最大值为53.3．－43 [解析] A ，B 两点在直线y ＝－x ＋1上，设A (a ，－a ＋1)，B (b ，－b ＋1)，∴AB 2＝(a －b )2＋(－a ＋1＋b －1)2＝2(a －b )2＝(2 2)2，∴(a －b )2＝4，∴a －b ＝±2.A ，B 两点的“倒影点”分别为A ′(1a ，11－a )，B ′(1b ，11－b)． ∵点A ′，B ′均在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴1a ·11－a ＝k ＝1b ·11－b ，∴a (1－a )＝b (1－b )，变形得(a －b )(1－a －b )＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，1－a －b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴k ＝1a ·11－a ＝23×(－2)＝－43；由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－2，1－a －b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32，∴k ＝1a ·11－a ＝(－2)×23＝－43.综上，k ＝－43.4．113°或92° [解析] ∵△CBD 和△ABC 相似， ∴∠BCD ＝∠A ＝46°.设∠ACB ＝x ，则∠ACD ＝x －46°.∵△ACD 是等腰三角形，又∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD . ①若AC ＝AD ，则∠ACD ＝∠ADC ＝x －46°， ∵46°＋x －46°＋x －46°＝180°， ∴x ＝113°.②若AD ＝CD ，则∠ACD ＝∠A ， 即46°＝x －46°， ∴x ＝92°.综上所述，∠ACB 的度数为113°或92°. 5．解：(1)根据题意，得2×3－x ＝－2011， 解这个方程，得x ＝2017. (2)根据题意，得2x －3＜5， 解得x ＜4，即x 的取值范围是x ＜4.6．解：(1)①∵AB ＝CD ＝1且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形． ∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形， ∴BD ＝AC ＝12＋12＝ 2. ②证明：如图①中，连结AC ，BD . ∵AB ＝BC ，AC ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CBD ， ∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD ，∴AD ＝CD .(2)若EF ⊥BC ，则AE ≠EF ，BF ≠EF ，∴四边形ABFE 不表示等腰直角四边形，故不符合条件． 若EF 与BC 不垂直，①当AE ＝AB 时，如图②，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴AE ＝AB ＝5.②当BF ＝AB 时，如图③，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴BF ＝AB ＝5，∵DE ∥BF ，BP ＝2PD ，∴BF ∶DE ＝2∶1，∴DE ＝2.5，∴AE ＝9－2.5＝6.5.综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.7．解：(1)在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，∴3∠B ＋3∠C ＝360°，∴∠B ＋∠C ＝120°， 即∠B 与∠C 的度数之和为120°. (2)证明：在△BED 和△BEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝BO ，∠EBD ＝∠EBO，BE ＝BE ，∴△BED ≌△BEO (SAS )， ∴∠BDE ＝∠BOE .又∵∠BCF ＝12∠BOE ，∴∠BCF ＝12∠BDE .如图，连结OC ，设∠EAF ＝α，则∠AFE ＝2α，∴∠EFC ＝180°－∠AFE ＝180°－2α. ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝α， ∴∠AOC ＝180°－2α， ∴∠ABC ＝12∠AOC ＝12∠EFC ，∴四边形DBCF 是半对角四边形． (3)如图，作OM ⊥BC 交BC 于点M . ∵四边形DBCF 是半对角四边形，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°， ∴BC ＝2BM ＝3BO ＝3BD . ∵DG ⊥OB ，∴∠HGB ＝∠BAC ＝60°.∵∠DBG ＝∠CBA ，∴△DBG ∽△CBA ， ∴△DBG的面积△ABC的面积＝(BD BC )2＝13.∵DH ＝BG ，BG ＝2HG ， ∴DG ＝3HG ， ∴△BHG的面积△BDG的面积＝13，∴△BHG的面积△ABC的面积＝19.。
初一数学.找规律、程序运算和定义新运算.学生版
（ 为正整数）
（5）一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ ），其中第 个式子
是，第 个式子是.（ 为正整数）
【例2】⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼
茨三角形，若用有序数对 表示第 行，从左到右第 个数，如 表示分数 .那么 表示的分数是.
定义新运算
⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.
⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序.
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.
【例7】⑴现定义两种新运算 ，对于任意两个整数 ，都有： ，
.试求： 的值.
⑵用“ ”定义新运算：对于任意 ，都有 ．
如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 个图形需要黑色棋子的个数是．
【例4】观察下列等式：① ；② ；③ ；④ …；则根据此规律第6个等式为，第 个等式为．
一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．
【例5】⑴如下图，输入 ，则输出值 是．
请你按图中箭头所指方向（即 的方式）从 开始数连续的正整数 当数到12时，对应的字母是_______；当字母 第201次出现时，恰好数到的数是；当字母 第 次出现时（ 为正整数），恰好数到的数是（用含 的代数式表示）．
（2）数 满足下列条件： ， , , , 则 的值为.
(3) 如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：
北京市重点中学初一数学数轴压轴题
数轴压轴题1、我们规定一种运算a b ad cb c d =−，如232534245=⨯−⨯=−，再14224x x −=−+−按照这种运算规定， 解答下列各题：（1）计算3245−−=_________．（2）若22235x x−=−，求x 的值； （3）若88123 332mx x −−+−与51n x −−的值始终相等，求m ,n 的值． （北师大实验中学）2、已知数轴上,A B 两点表示的数分别为,a b ，且,a b 满足2(10)|6|0a b ++−=，点C 表示的数c 是最小的正整数，点D 表示的数为2点E 表示的数为14−，请回答下面的问题：（1）请直接写出,,a b c 的值：a =________，b =________，c =________．（2）点,A B 同时沿数轴相向匀速运动、A 点的速度为每秒3个单位长度B 点的速度为每秒2个单位长度，运动的时间为r 秒①当点A 到点C 的距离与点B 到点C 的距离相等时求r 的值；②当A 点运动到点D 时，迅速以原来的速度返回，B 点运动至E 点后停止运动，这时点A 也停止运动。
求在此过程中．,A B 两点同时到达的点在数轴上对应的数．3、若一个两位数的十位和个位上的数字分别为x 和y ，我们可将这个两位数记为xy ．同理，一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为,a b 和c 则这个三位数可记为abc ．（1）若3x =，则23x x +=_____________；若2t =，则8359t t −=_____________．（2）ab ba +一定能被_______整除，ab ba −一定能被_______整除．（请从大于3的整数中选择合适的数填空）（3）任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同且不为零，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”①“卡普雷卡尔黑洞数”是_______． ②若设三位数为abc （不妨设0a b c >>>），试说明其可产生“卡普雷卡尔黑洞数”．4、在数轴上有A ，B 两点，点B 表示的数为b .对点A 给出如下定义：当0b ≥时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当0b <时，将点A 向左移动b 个单位长度，得到点P .称点P 为点A 关于点B 的“联动点”.如图，点A 表示的数为-1.（1） 在图中画出当4b =时，点A 关于点B 的“联动点”P ；（2）点A 从数轴上表示-1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒.①点B 表示的数为__________（用含t 的式子表示）；②是否存在t ,使得此时点A 关于点B 的“联动点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.（海淀）5、如图，在数轴上有两点A 、B ，分别表示2−，8，点P 从A 点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度运动．（1）AB =________；（2）_____秒时，点P 恰好在AB 的中点；（3）若点P 从点A 出发，同时点Q 从B 点出发，沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度运动，__________秒时，PQ =4；（4）若点P 从点A 出发，同时点Q 从B 点出发，沿数轴的负方向以每秒1个单位的速度运动，______秒时，点Q恰好是BP 的中点.（育才）6、（通州）B A（西城外国语学校）（丰台二中）9、（人大附朝阳分校）（二中）（陈经纶中学）12、（4中）13、（亦庄实验）15、（大兴）16、17、14中19、阅读下列材料：根据绝对值的定义，|x|表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ＝|x1﹣x2|．根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣4，8（A、B两点的距离用AB表示），点M是数轴上一个动点，表示数m．（1）AB＝个单位长度；（2）若点M在A、B之间，则|m+4|+|m﹣8|＝；（3）若|m+4|+|m﹣8|＝20，求m的值；20、将连续的偶数2，4，6，8，…排成如图，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：（1）十字框中的五个数的和等于．（2）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和是．（3）在移动十字框的过程中，若框住的五个数的和等于2020，这五个数从小到大依次，，，，．（4）框住的五个数的和能等于2019吗？21. 对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以()0m m ≠，再把所得数对应的点沿数轴向右平移n 个单位长度，得到点P '，称这样的操作为点P 的“m n −变换”，对数轴上的点A ，B ，C ，D 进行“m n −变换”后得到的点分别为A '，B '，C '，D ¢．（1）当2m =，3n =时．①若点A 表示的数为4−，则它的对应点A '表示的数为______；②数轴上的点M 表示的数为1，若点C 到点M 的距离是点C '到点M 的距离的3倍，则点C 表示的数为______；（2）当4n =时，若点D 表示的数为2，点D ¢表示的数为8−，则m 的值为______；（3）若点A '到点B '的距离是点A 到点B 的距离的2倍，则m 的值为______．（陈经纶中学）22、对于数轴上点M ，线段AB ，给出如下定义：P 为线段AB 上任意一点，如果M ，P 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M ，线段AB 的“近距”，记作1(,)d M AB 点线段；如果M ，P 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M ，线段AB 的“远距”，记作2(,)d M AB 点线段．特别的，若点M 与点P 重合，则M ，P 两点间距离为0．已知点A 表示的数为2−，点B 表示的数为3．例如图，若点C 表示的数为5，则1(,)2d C AB =点线段，2(,)7d C AB =点线段．（1）若点D 表示的数为3−，则1(d 点D ,线段)AB =_____，2(d 点D ,线段)AB =______；（2）若点E 表示数为x ，点F 表示数为1x +．2(,)d F AB 点线段是1(,)d E AB 点线段的3倍．求x 的值．（一六一）的23、已知有理数a ，b ，c 在数轴上所对应的点分别为点A ，B ，C ，且a b =−，()2130a c ++−=．（1）求a ，b ，c 的值；（2）若将数轴折叠，使点A 与点C 重合．数轴上M ，N 两点经过上述折叠后重合，且M ，N 两点之间的距离为2022，则M 表示的数为______，N 表示的数为______．（点M 在点N 的左侧）（3）若点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ，当点P 在点B 与点C 之间时，化简式子：31124x x x +−−+−（写出化简过程）．（8中）24、我们用xyz 表示一个三位数，其中x 表示百位上的数，y 表示十位上的数，z 表示个位上的数，即10010xyz x y z =++．（1）证明：abc bca cab ++一定是111的倍数；（2）①写出一组不全相等的a ，b ，c 的值，使abc bca cab ++能被7整除，这组值可以是=a ______，b =______，c =______； ②若abc bca cab ++能被7整除，则a b c ++的值是______．25、对于数轴上的点P ，Q ，给出如下定义：若点P 到点Q 的距离为d （0d ≥），则称d 为点P 到点Q 的追击值，记作[]d PQ ．例如，在数轴上点P 表示的数是5，点Q 表示的数是2，则点P 到点Q 的追击值为[]3d PQ =．（1）点M ，N 都在数轴上，点M 表示的数是1，且点N 到点M 的追击值[]d MN a =（0a ≥），则点N 表示的数是______（用含a 的代数式表示）；（2）如图，点C 表示的数是1，在数轴上有两个动点A ，B 都沿着正方向同时移动，其中A 点的速度为每秒4个单位，B 点的速度为每秒1个单位，点A 从点C 出发，点B 从表示数b 的点出发，且数b 不超过5，设运动时间为t （0t ≥）． ①当4b =且t =______时，点A 到点B 的追击值[]2d AB =；②当时间t 不超过3秒时，求点A 到点B 的追击值[]d AB 的最大值是多少？（用含b 的代数式表示）．26、我们规定：使得a b ab −＝成立的一对数a ，b 为“积差等数对”，记为(a ，b )．例如，因为1.5－0.6＝1.5×0.6，(－2)－2＝(－2)×2，所以数对(1.5，0.6)，(－2，2)都是“积差等数对”． （1）下列数对中，是“积差等数对”的是 ；① (2，23)； ② (1.5，3)； ③(－12，－1)． （2）若(k ，－3)是“积差等数对”，求k 的值；（3）若(m ，n )是“积差等数对”，求代数式224[32(1)]2(32)6mn m mn m n m −−−−−+的值．（35中）27、定义如下：存在数a ，b ，使得等式2424a b a b ++=+成立，则称数a ，b 为一对“互助数”，记为(,)a b ．比如：(0,0)是一对“互助数”．（1）若(1,)b 是一对“互助数”，则b 的值为_____________； （2）若(2,)x −是一对“互助数”，求代数式()22153151552x x x x ⎛⎫−+−−−+− ⎪⎝⎭的值； （3）若(,)m n 是一对“互助数”，满足等式1(622)04m n m n −−+−=，求m 和n 的值． （师大附中）28、【阅读与理解】张聪同学看到如下的阅读材料：1．若整数b 除以非零整数a ，商为整数k ，且余数为零，则b 能被a 整除．2．对于正整数A ，以下给出判断A 能否被11整除的简便方法“奇偶位差法”：若整数A 的奇位数字之和与偶位数字之和的差()M A 能被11整除，则整数A 能被11整除．例如：判断491678能否被11整除．先计算奇位数字的和96823++=，偶位数位的和41712++=，于是得(491678)231211M =−=，能被11整除，因此491678能被11整除．【操作与说理】（1）当910349A =，请你帮张聪写出判断过程．．．．．．；（2）张聪尝试说明方法的道理，他发现仅举例验证不足以证明一般结论，于是他列出如下表格分析了六位数的情况：说明：abcdef 表示10000010000100010010a b c d e f +++++，其中19a ≤≤，0b ≤，c ，d ，e ，9f ≤，a ，b ，c ，d ，e ，f 均为整数． 请帮张聪同学补全表格．．．．． （3）综合运用以上信息说明．．．．．．．．．．：当()M abcdef 是11的倍数时，abcdef 能被11整除．29、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，定义1212||(1)||k x x k y y −+−−为点M 和点N 的“k阶距离”，其中01k 剟．例如：点(1,3)M ，(2,4)N −的15阶距离”为147|1(2)||34|555−−+−=．已知点(1,2)A −．（1）若点(0,4)B ，求点A 和点B 的“14阶距离”；（2） 若点B 在x 轴上，且点A 和点B 的“13阶距离”为4，求点B 的坐标；（3）若点(,)B a b ，且点A 和点B 的“12阶距离”为1，直接写出a b +的取值范围．（景山）30、阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点A ，B 以及一条线段PQ ，（1）若数轴上存在一点M ，使得点M 到点A 的距离等于点M 到点B 的距离，则称点M 为点A 与点B 的“中位点”；（2）若点A 与点B 的“中位点”M 在线段PQ 上（点M 可以与点P 或Q 重合），则称点A 与点B 关于线段PQ “中位对称”．如图1，点A 表示的数为3−，点B 表示的数为1，点M 表示的数为1−，点M 到点A 的距离等于2，点M 到点B 的距离也等于2，那么点M 为点A 与点B 的“中位点”；点P 表示的数为2−，点Q 表示的数为2，点A 与点B 的“中位点”M 在线段PQ 上，那么点A 与点B 关于线段PQ “中位对称”．根据以上定义完成下列问题：已知：如图2，点O 为数轴的原点，点A 表示的数为2−，点R 表示的数为3．（1）①若点B 表示的数为5−，点M 为点A 与点B 的“中位点”，则点M 表示的数为_________；②若点A 与点B “中位点”M 表示的数为1，则点B 表示的数为_________；2）①点B ，C ，D 分别表示的数为1，132，6，在B ，C ，D 三点中，点A 与_________关于线段OR “中位对称”；②点N 表示的数为x ，若点A 与点N 关于线段OR “中位对称”，则x 的取值范围是_________；③点E 表示数为m ，点F 表示的数为2m +，若线段EF 上至少存在一点与点A 关于线段EF “中位对称”，直接写出m 的取值范围． （广渠门）31、将网格中相邻的两个数分别加上同一个数，称为一步变换．比如，我们可以用三步变换将网格1变成网格的的2，变换过程如图：（1）用两步变换将网格3变成网格4，请在网格中填写第一步变换后的结果；（2）若网格5经过若干步变换可以变成网格6，请直接写出a、b之间满足的关系．（15中）32、阅读材料，并回答问题钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然10414+=，但在表盘上看到的是2点钟．如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则1042⊕=．若问2点钟之前4小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“!”表示钟表上的减法．（注：我们用0点钟代替12点钟）由．上述材料可知：（1）96⊕=___________，24=!___________；（2）在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则5的相反数是___________，举例说明有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立；（3）规定在钟表运算中也有01234567891011<<<<<<<<<<<．对于钟表上的任意数字a ，b ，c ，若a b <，判断a c b ⊕<是否一定成立（12中）33、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于m n −．如果表示数a 和2−的两点之间的距离是3，那么=a ______；（2）若数轴上表示数a 的点位于4−与2之间，求42a a ++−的值；（3）当a 取何值时，514a a a ++−+−的值最小．34、 [背景知识]：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．在数轴上，若C 到A 的距离刚好是3，则C 点叫做A 的“幸福点”，若C 到A 、B 的距离之和为8，则C 叫做A 、B 的“幸福中心”1）如图1，点A 表示的数为﹣1，则A 的幸福点C 所表示的数应该是 ；2） 如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为4，点N 所表示的数为﹣2，点C 是M 、N 的幸福中心， 则C 所表示的数是多少？3）如图3，点A 表示的数是0，点B 表示的数是4，若点A 、点B 同时以1个单位长度/秒的速度向左运动，与此同时点P 从10处以2个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点A 、点B 、点P 三点中其中一点是另外两点的幸福中心？（直接写出答案．）35、探究规律，完成相关题目．定义“*”运算：（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．0*0＝02+02＝01）归纳*运算的法则：两数进行*运算时，．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，．2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝．3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．（朝阳外国语）36、阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．37、阅读下列材料:对于排好顺序的三个数:123x x x ，， 称为数列123x x x ，，.将这个数列如下式进行计算:1x −，12x x −+，123x x x −+−，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列123x x x ，，的“关联数值”.例如：对于数列12 -3−，，，因为()11 −−=，()123−−+=，()()1236−−+−−=，所以数列12 -3−，，，的“关联数值”为6. 进一步发现:当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“关联数值”，如:数列2,1,3−−的 “关联数值”为0； 数列3,1,2−−的“关联数值”为3... 而对于“123−−，，”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“关联数值"的最大值为6.（1）数列432−，，的“关联数值”为_______； （2）将“432−，，”这三个数按照不同顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值是_______， 取得“关联数值”的最大值的数列是______（3）将“36a −，，”(0)a >这三个数按照不同顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值为10，求a 的值，并写出取得“关联数值”最大值的数列. （文汇）38、用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定2a b a ba b ++−=☆．（1）计算：(6)5−=☆______；（2）从9,8,7,6,5,4,3,2,1−−−−−−−−−，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a ，()b a b ≠的值，并计算a b ☆，那么所有运算结果中的最大值是______．39. 如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足22(1)0a b ++−=的的1）求线段AB的长；2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程12122x x−=+的解，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；3）在（1）（2）条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB﹣BC的值是否随时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．（陈经纶望京实验）40、已知数轴上两点A 、B ，若在数轴上存在一点C ，使得AC BC nAB +=，则称点C 为线段AB 的“n 倍点”．例如如图1所示：当点A 表示的数为2−，点B 表示的数为2，点C 表示的数为0，有224AC BC AB +=+==，则称点C 为线段AB 的“1倍点”．请根据上述规定回答下列问题：已知图2中，点A 表示的数为3−，点B 表示的数为1，点C 表示的数为x ．1）当31x −≤≤时，点C （填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”）线段AB 的“1倍点”；2）若点C 为线段AB 的“n 倍点”，且4x =−，求n 的值；3）若点D 是线段AB 的“2倍点”，则点D 表示的数为 ；4） 若点E 在数轴上表示的数为t ，点F 表示的数为2t +，要使线段EF 上始终存在线段AB 的“3倍点”，求t 的取值范围（用不等号表示）（陈经纶分校）41、对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以()0m m ≠，再把所得数对应的点沿数轴向右平移n 个单位长度，得到点P '，称这样的操作为点P 的“m n −变换”，对数轴上的点A ，B ，C ，D 进行“m n −变换”后得到的点分别为A '，B '，C '，D ¢．（1）当2m =，3n =时．①若点A 表示的数为4−，则它的对应点A '表示的数为______；②数轴上的点M 表示的数为1，若点C 到点M 的距离是点C '到点M 的距离的3倍，则点C 表示的数为______；（2）当4n =时，若点D 表示的数为2，点D ¢表示的数为8−，则m 的值为______；（3）若点A '到点B '的距离是点A 到点B 的距离的2倍，则m 的值为______． （陈经纶中学）42、如图，已知数轴上点A ，B ，C 所对应的数a ，b ，c 都不为0，点C 到点A 与点B 距离相等．（1）①4a =，10b =，则c =______；②4a =−，10b =，则c =______；③10a =−，4b =−，则c =______．（2）直接写出a ，b ，c 之间的关系式；（3） 如果2220a b a c b c a b c +−−+−−+−=，试分析原点O 的位置，并在数轴上标一个满足条件的原点O 的位置． （日坛中学）43、观察以下图案和算式，思考其中蕴含的对应关系，并解答问题：1111=⨯=13224+=⨯=135339++=⨯=13574416+++=⨯=135795525++++=⨯=（1）1357919+++++⋅⋅⋅+=___________；（2）1357921n +++++⋅⋅⋅+−=___________；（3）求和号是数学中常用的符号，用∑表示，例如5231n n =+∑，其中2n =是下标，5是上标，31n +是代数式， 5231n n =+∑表示n 取2到5的连续整数，然后分别代入代数式求和， 即：523132133134135146n n =+=⨯++⨯++⨯++⨯+=∑．结合你在（2）中发现的规律，求出25121n n =−∑的值，要求写出计算过程．（13中）。
初一数学期中压轴题：定义新运算和程序运算_题型归纳
初一数学期中压轴题：定义新运算和程序运算_题型归纳初一数学期中压轴题：定义新运算和程序运算,仅供同学们参考学习,祝大家期中考试取得好成绩！一、【考点】程序运算、多次循环【人大附中期中】按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为853，则满足条件的x 的不同值最多有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】输出结果853可能是没有经过循环、经过1次或者多次循环后的结果【答案】A【易错点】注意题目中的x条件为正数，满足的有：213、53、13、3、0.5五个二、【考点】程序运算、二元一次方程按下面的程序计算，若开始输入的值x 为1，最后输出的结果为1；若开始输入的值x 为-1，，最后输出的结果为-3，则若开始输入的值x 为0.5，最后输出的结果为_________.【分析】分别将x=1和x=-1输入程序等到关于k、b的二元一次方程，求出k=2、b=-1【答案】-3/4三、【考点】有理数计算，错项相消【八十中期中】设f（k）=k+（k+1）++（3k），求f（4）-f（3）=（）A．365 B．63 C．356 D．7【分析】令等式中的k分别等于4、3【答案】C四、【考点】分类讨论【清华附期中】a为有理数，定义运算符号△：当a＞０时，△a＝－a；当a＜0时，△a=a；a=0时，△a=0，根据这种运算，则△（1+△2）等于（）A.3B.-3C.1D.-1【分析】△运算的本质是：△ａ=－|ａ|【答案】D五、【考点】有理数计算，错项相消【北大附期中】若规定一种新运算为【分析】先令a=2，b=1/2，代入公式，可得A= - 1；把A= - 1代入，令a=2001，b=2002【答案】1/2002000六、【考点】绝对值化简、等差数列求和【清华附期中】将1，2，3，，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b，代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，则这50个值的和的最小值为____。
2024-2025学年苏科版七年级上册期中压轴题专训(1-3章)+
期中压轴题专训（1-3章）同步练习2024-2025学年苏科版七年级上册考点一 新定义与新运算1. 现定义新运算“※”，对任意有理数a 、b ，规定 a ×b =aᵇ− ab,则-1※2 024的值为 ( )A.2023B.2 024C.2025D.-2 0242. 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果 n 2(其中是使2；为奇数的正整数)，并且运算可以重复进行,例如,取n=26,则:若n=49,则第2024次“F 运算”的结果是( )A. 152B. 19C.62D.493. 定义:若a+b=2n ，则称a 与b 是关于数n 的平均数.比如3与-4是关于 12₂的平均数，7与13是关于1的平均数.(1)填空:2025与 是关于-1的平均数, 与-2x+5 是关于2的平均数.(2)若a 与2b 是关于3的平均数，2b 与c 是关于 52的平均数，c 与d 是关于9的平均数， (a −c )+13(6b +3d )−(2b −c ).(3)现有 a =3x ²−10kx +13与 b =−3x ²+5x −6k (k 为常数)，且a 与b 始终是关于数n 的平均数，与x 的取值无关，求n 的值.考点二 整式的加减运算与化简求值4.化简求值: 3a ²b −2[2ab ²− 4(ab −32a 2b)+ab]+(4ab 2−a 2b ),其中a 、b 使得关于x 的多项式 2x 3+(a +1)x 2+(b −12)x +3不含x ²项和x 项.5.若多项式M 、N 满足:M+2N=8xy-3x-4y-2,2M-N= xy-6x+2y+11.我们可以通过添加括号求出多项式M ，过程如下：5M=(M+2N)+2(2M-N)=(8xy-3x-4y-2)+2( xy-6x+2y+11)= 10xy-15x+20则M=2xy-3x+4(1)请用类似的方法求出多项式 N；(2)当x、y互为倒数，多项式M的值为0时，求此时多项式N的值；(3)当y= 时，无论字母x取何值，多项式 M 的值总比多项式N的值大1.考点三整式加减的应用6.两个正方形如图摆放，大正方形的边长是4，小正方形边长是2，两阴影部分的面积分别为a、b(a>b),则两阴影部分的面积差(a-b)为 .7.某野生动物园门票价格为60元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用.方案一：当团购门票数不超过40张时，无优惠；当团购门票数超过40张时，超过的部分每张优惠 10 元. 方案二：爱心捐款认养小动物，每捐款500元，则所购门票每张优惠2元；且捐款额必须为 500 的整数倍，最多捐款5000 元.设某旅游团一次性购买门票 x 张(x为正整数).(1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用；(2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个500元(m为正整数).①该旅游团一共需要花费的总费用为元(用含m、x的代数式表示)；②当x>40时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的总费用多某个固定值，则m的值为，固定值为 .8.工厂接到订单，需要边长为(a+3)和3的两种正方形卡纸.(1)仓库只有边长为(a+3)的正方形卡纸，现决定将部分边长为(a+3)的正方形卡纸.按图①所示裁剪得边长为 3 的正方形卡纸.①如图②，当a=2时，裁剪正方形后剩余部分的面积为；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图③所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的周长为 (用含α的代数式表示)；(2)若将裁得的正方形卡纸与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图④，图⑤两种方式放置(图④，图⑤中两张正方形卡纸均有部分重叠)，盒子底部中未被这两张正方形卡纸覆盖的部分用阴影表示，设图④中阴影部分的面积为S₁，图⑤中阴影部分的面积为S₂，测得盒子底部长方形长比宽多5，则S₂-S₁的值为 .考点四绝对值最值问题9. 我们知道绝对值的几何意义为数轴上一点到原点的距离.如15|的几何意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为|5|=|5-0|，即表示5的点到表示0的点的距离.又如15-31表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a- bl.(1)|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+…+|x-50|的最小值是；(2)求|a+3|+2|a-2|+3|a-4|的最小值;(3)( |x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36,求x+2y+3z的最大值和最小值.考点五数轴动点问题10.阅读并理解下列材料：数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律.数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的点折叠，可使点A、B重合，例如点 M表示的数是2，点的距离为AB=|a-b|,将数轴沿表示a+b2的点折叠，可使点M、N N表示的数是6，则M、N两点之间的距离MN=|2-6|=4,将数轴沿表示2+62重合.请你解决以下问题：数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中a<c<b.(1)若a、b满足|a+2|+(b−6)²=0,则A、B两点之间的距离是；(2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A，点B 重合，则与点C 重合的点表示的数为 (用含a、b、c的代数式表示)；(3)若c=1,BC+2AC=6,求代数式3(a-2b)-9(a-b)+1的值;(4)若a=-2,b=6,c=1,点A、B、C在数轴上开始运动，点A 以每秒1 个单位长度的速度向左匀速运动，同时点 B 与点 C 分别以每秒4个单位长度和x个(x<4)单位长度的速度向右匀速运动，若运动过程中，2AB-3AC+7BC 的值不变，求x的值.11.如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D 处各折一下，得到“折线数轴”.图中点 A 表示-8,点 B 表示 8,点 C 表示 16,点 D 表示 24,点 E 表示 28.我们称点 A 和点 E 相距36个单位，动点 P 从点A 出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q 从点E出发，以每秒 3 个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变.当点 P 运动到点 E时，点P 停止运动，当点 Q 运动到点A 时，点Q 停止运动，设运动时间为t秒.(1)动点 P 从点 A 运动到点E 需要秒，此时点Q对应的数是 .(2)P、Q两点在点M处相遇，求出相遇点 M所对应的数是多少?(3)求当t为何值时，P、B两点在这个“折线数轴”上相距的长度与Q、D两点在这个“折线数轴”上相距的长度相等.。
七年级数学(上)期末压轴题汇编——定义新运算类
1．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x，y满足x 0+y=100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x−2x−99=0的解是x0=99，方程y2+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y=1时，x+y=100，所以y2+1=2为一元一次方程3x−2x−99=0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y−2=4，②|y|=2，以上哪个方程是一元一次方程3x−2x−102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是．（2）若关于y的方程|2y−2|+3=5是关于x的一元一次方程2213x ax a−−=+的“友好方程”，请求出a的值．（3）如关于y的方程(1)2|49|45m ym y m n−−+=+是关于x的一元一次方程4554mx n m+=的“友好方程”，请直接写出m nn+的值．2．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：53116⨯+⎯⎯⎯→28÷⎯⎯→24÷⎯⎯→22÷⎯⎯→21÷⎯⎯→．如果自然数m 经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为 ．3．（2021.1月期末理工附25）我们把a cb d称为二阶行列式，且a cad bcb d=−．如：121(4)3210 34=⨯−−⨯=−−．（1）计算：2135=−；4235=−；（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列)的所有数都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式．即ka kc a c ka c a kc a ckb d kb kd kb d b kd b d====，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例．（3）若1k≠，且113232x x x xk k++=，求x的值．4．阅读材料：我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”． 即：如果a −b =a ÷b ，那么a 与b 就叫做“差商等数对”，记为（a ，b ）．例如：4−2=4÷2；993322−=÷； 11()(1)()(1)22−−−=−÷−； 则称数对（4，2），（92，3），（12−，1−）是“差商等数对”． 根据上述材料，解决下列问题：（1）下列数对中，“差商等数对”是 （填序号）；①（8.1−，9−），②（12，12）③（-3，-6） （2）如果（x ，4）是“差商等数对”，请求出x 的值；（3）如果（m ，n ）是“差商等数对”，那么m =______________(用含n 的代数式表示)．5．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性，它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a=9+1+3=13；步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b=6+0+2=8；步骤3：计算3a与b的和c，即c=3⨯13+8=47；步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d=50；步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X=50−47=3．请解答下列问题：（1）《数学故事》的图书码为978753Y，则“步骤3”中的c的值为，校验码Y的值为．（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，你能用只含有m的代数式表示上述步骤中的d吗？从而求出m的值吗？写出你的思考过程．（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．6．观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：1+8=32，1+8+16=52，1+8+16+24=72，1+8+16+24+32=k2，⋯，（1）第4个等式中正整数k的值是；（2）第5个等式是：；（3）第n个等式是：．（其中n是正整数）7．我们规定：若关于x 的一元一次方程a +x =b (a ≠0)的解为x b a =，则称该方程为“商解方程”．例如：24x +=的解为2x =且422=，则方程24x +=是“商解方程”．请回答下列问题： （1）判断3 4.5x +=是不是“商解方程”； （2）若关于x 的一元一次方程是42(3)x m +=− “商解方程”，求m 的值．8．我们规定：若有理数a ，b 满足a +b =ab ，则称a ，b 互为“等和积数”，其中a 叫做b 的“等和积数”， b 也叫a 的“等和积数”．例如：因为1(1)122+−=−，11(1)22⨯−=−，所以11(1)(1)22+−=⨯−，则12与1−互为“等和积数”． 请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数2的“等和积数”是 ；（2）有理数1 （填“有”或“没有” ) “等和积数”；（3）若m 的“等和积数”是25，n 的“等和积数”是37，求34m n +的值．9. 将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；1 2 3 4 =（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？10．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0)的除法运算叫做除方．例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)，记作(−3)④，读作“−3的圈4次方”；一般地，把(0n aa a a a a ÷÷÷⋯÷≠个，n 为大于等于2的整数）记作a ，读作“a 的圈n 次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：7=③ ；1()4−=⑤ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何大于等于2的整数c ，11=；.89C =⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方21111222222()2222→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→④乘方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)−=⑥ ；1()2=⑨ ； （2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为 ；（3）将?11()()(m a a⋅为大于等于2的整数）写成幂的形式为 ．11．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如，[3.2]=3，[5]=5，[−2.1]=−3．那么，x=[x]+a，其中0a<1．例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，−2.1=[−2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]=，[−6.5]=；（2）如果[x]=3，那么x的取值范围是；（3）如果[5x−2]=3x+1，那么x的值是；（4）如果x=[x]+a，其中0a<1，且4a=[x]+1，求x的值．11。
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初一数学度中压轴题：定义新运算和程序运算
初一数学期中压轴题：定义新运算和程序运算,仅供同学们参考学习,祝大家期中考试取得好成绩！
【一】【考点】程序运算、多次循环
【人大附中期中】
按下面的程序计算，假设开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为853，那么满足条件的x 的不同值最多有〔〕
A、5个
B、4个
C、3个
D、2个
【分析】输出结果853可能是没有经过循环、经过1次或者多次循环后的结果
【答案】A
【易错点】注意题目中的x条件为正数，满足的有：213、53、13、3、0.5五个
【二】【考点】程序运算、二元一次方程
按下面的程序计算，假设开始输入的值x 为1，最后输出的结果为1；假设开始输入的值x 为-1，，最后输出的结果为-3，那么假设开始输入的值x 为0.5，最后输出的结果为_________.
【分析】分别将x=1和x=-1输入程序等到关于k、b的二元一次方程，求出k=2、b=-1
【答案】-3/4
【三】【考点】有理数计算，错项相消
【八十中期中】
设f〔k〕=k+〔k+1〕++〔3k〕，求f〔4〕-f〔3〕=〔〕
A、365
B、63
C、356
D、7
【分析】令等式中的k分别等于4、3
【答案】C
【四】【考点】分类讨论
【清华附期中】
a为有理数，定义运算符号△：当a＞０时，△a＝－a；当a＜0时，△a=a；a=0时，△a=0，根据这种运算，那么△〔1+△2〕等于〔〕
A.3
B.-3
C.1
D.-1
【分析】△运算的本质是：△ａ=－|ａ|
【答案】D
【五】【考点】有理数计算，错项相消
【北大附期中】
假设规定一种新运算为
【分析】先令a=2，b=1/2，代入公式，可得A= - 1；把A= - 1代入，令a=2019，b=2019
【答案】1/2019000
六、【考点】绝对值化简、等差数列求和
【清华附期中】
将1，2，3，，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中的两个数记为a，b，
代入中进行计算，求出结果，可得到50个值，那么这50个值的和的最小值为____。
【分析】绝对值运算化简：当ab，原式=b；当a
【答案】1+2+3++49+50= 1275
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