数学分析不定积分 6-1
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
数学分析不定积分知识点总结
数学分析不定积分知识点总结不定积分是数学分析中的一个重要概念，它是微积分学的基础内容之一。
理解和掌握不定积分的相关知识对于进一步学习高等数学以及解决实际问题都具有重要意义。
下面我们将对不定积分的知识点进行详细总结。
一、不定积分的定义如果在区间\（I\）上，＼（F'（x) ＝ f(x)＼），则称\（F(x)＼）是\（f(x)＼）在区间\（I\）上的一个原函数。
＼（f(x)＼）的原函数的全体称为\（f(x)＼）在区间\（I\）上的不定积分，记为\（＼int f(x)dx\）。
二、基本积分公式1、＼（＼int kdx ＝ kx ＋ C\）（＼（k\）为常数）2、＼（＼int x^n dx ＝＼frac{1}｛n ＋ 1}x^｛n ＋ 1} ＋ C\）（＼（n ＼neq －1\））3、＼（＼int ＼frac{1}｛x}dx ＝＼ln|x| ＋ C\）4、＼（＼int e^x dx ＝ e^x ＋ C\）5、＼（＼int a^x dx ＝＼frac{1}｛＼ln a}a^x ＋ C\）（＼（a ＞0\），＼（a ＼neq 1\））6、＼（＼int ＼sin x dx ＝＼cos x ＋ C\）7、＼（＼int ＼cos x dx ＝＼sin x ＋ C\）8、＼（＼int ＼sec^2 x dx ＝＼tan x ＋ C\）9、＼（＼int ＼csc^2 x dx ＝＼cot x ＋ C\）10、＼（＼int ＼sec x ＼tan x dx ＝＼sec x ＋ C\）11、＼（＼int ＼csc x ＼cot x dx ＝＼csc x ＋ C\）这些基本积分公式是进行积分运算的基础，必须牢记。
三、不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数不定积分的和，即\（＼int f(x) ＋ g(x)dx ＝＼int f(x)dx ＋＼int g(x)dx\）。
2、常数乘以函数的不定积分等于常数乘以该函数的不定积分，即\（＼int kf(x)dx ＝ k\int f(x)dx\）（＼（k\）为常数）。
不定积分的概念及运算法则
y=x2
启示 结论
-1
O 1 C2 C3
于是所求曲线方程为
2
x
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基本积分表：
(1) ( 2)
∫ kdx = k x + C ∫x
∫
μ
(8)
( k 为常数)
∫ cos 2 x = ∫ sec
即 Φ ( x) = F ( x) + C0 属于函数族 F ( x) + C .
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定义 2 f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f ( x) 在 I 上的不定积分, 记作 ∫ f ( x) d x , 其中
dx
2
xdx = tan x + C
例5. 求
dx =
μ +1
1
x μ +1 + C
( μ ≠ 1)
dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = cot x + C sin x (10) (11) (12) (13) (14) (15)
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∫x3 x .
∫x
4 3 1 3
3 dx = x 4 +C 3 +1
i =1 i i i =1 i i
n
n
ex 5 = 2x +C ln 2 + 1 ln 2
例8. 求 ∫ tan xdx .
2 2 解: 原式 = ∫ (sec x 1)dx
不定积分求解方法
不定积分求解方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March探讨不定积分的解题方法班级学号姓名51 杨洁珊摘要在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。
为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。
研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。
求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。
求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。
关键词不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。
前言正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。
我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。
提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。
所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。
标题一、直接积分法我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。
要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。
下面的基本积分表就必须掌握1.0dx c=⎰2adx ax c=+⎰3.()10,01aaxx dx c a xa+=+≠>+⎰4() 1ln||0 dx x c xx=+≠⎰5.x xe e c=+⎰6.(0,1)ln x x a a dx c a a x=+>≠⎰17.cos sin axdx ax c a=+⎰ ()18sin cos 0axdx ax c a a=-+≠⎰ ()29sec tan 0xdx x c a =+≠⎰210.csc tan xdx x c =+⎰11.sec tan sec x xdx x c =+⎰12.csc cot csc x xdx x c =-+⎰13.arcsin arccos 'dxx c x c =+=-+⎰ 214.arctan cot '1dx dx x c arc x c x=+=-++⎰ 22115.ln ||2dx x a c x a a x a-=+-+⎰ 16.sec ln |sec tan |xdx x x c =++⎰在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况(1).假分式化为真分式方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。
数学分析 不定积分概念与基本积分公式
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
数学分析(上册)答案-张勇 杨光崇-第六章一元函数积分学
思考与练习 6-11. 回答下列问题:① 定积分作为积分和的极限,能否表示为()∑=∞→∆nk kkn xf 1lim ξ?答：不能.因为n →∞并不能推出0T →.② 积分和()∑=∆nk k k x f 1ξ的值与哪些因素有关?定积分()⎰badx x f 的值与哪些因素有关?答：()∑=∆nk k k x f 1ξ与函数，区间和区间的分割和取的点有关。
()⎰badx x f 只与函数和区间有关.③ 将区间[]b a ,n 等分,[].,,2,1,,,1n k x x n ab x k k k k =∈-=∆-ξ,积分和()∑=∆nk k k x f 1ξ是否为定值?答：不是.因为和()∑=∆nk kkxf 1ξ还与k ξ的取法有关.④ 在定积分的定义给出之前,如下说法是否合理?为什么?“曲边梯形()x f y ≤≤0”,[]b a x ,∈的面积不大于矩形[]b a x M y ,,0∈≤≤的面积,其中[](){}x f M b a x ,max ∈=.答: 不合理.因为在定积分定义给出之前,曲边梯形的面积没有定义,当然也就不能与矩形的面积比较大小.⑤ 0→T 是什么意思?当0→T 时,积分和()∑=∆nk kkxf 1ξ的极限是J 是什么意思?答：}{max 1i ni x T ∆=≤≤，0→T 表示对区间分割后最大的区间的长度都趋于0.设f 是定义在],[b a 上的一个有界函数,J 是一个确定的实数.若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对],[b a 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集}{i ξ,只要δ<T ,就有εξ<-∆∑=ni iiJ xf 1)(,则称函数f 在区间],[b a 上可积或黎曼可积;数J 称为f 在],[b a 上的定积分或黎曼积分,记作()baJ f x dx =⎰.2. 按定积分定义证明:⎰-=baa b k kdx )(.证明：0ε∀>，对[,]a b 作任意分割T ，并在其上任意选取点集{}i ξ，因为111(),[,],()()n n ni i i i i i i f x k x a b f x k x k x k b a ξ===≡∈∆=∆=∆=-∑∑∑,对任意的0ε>,任意取定0δ>，当T δ<时,有()1()()()0niii f x k b a k b a k b a ξε=∆--=---=<∑,所以函数()f x k =在[,]a b 上可积，且()bakdx k b a =-⎰3. 通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集}{i ξ,把定积分看作是对应的积分和的 极限,来计算下列定积分:①⎰13dx x ； ②⎰<<bab a x dx)0(2, 提示:()i i i i i i i i x x x x x x x x 111112212-=-+∆---; ()i i i i i i i i x x x x x x x x 1111212121-=-+∆----. 解 ①将[0,1]n 等分，分点为，0,1,2,,1k n =-.在区间1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取k n 作为k ξ 而 313011l i m nn k k x d x n n →∞=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑⎰3411l i m n n k k n →∞==∑224111lim (1)44n n n n →∞=⋅+=.②取i ξ=后211110111111()nn i i i i i i n x x x x x x a b -==-⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⎪⎝⎭∑∑ 将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，0,1,2,,k n =.在区间1[,]k k x x -作为k ξ则212111lim ()n b k k a n k dxx x x a b -→∞=⎛⎫=-=-∑⎰ 4. 已知一质量不均匀分布的棒的线密度x =ρ,长为l ,试求该棒的质量.解：所求质量为：22l xdx M l==⎰思考与练习 6-21． 计算下列积分:①⎰+10)32(dx x ; ②⎰+10211dx x ; ③⎰22e e x dx ; ④⎰--102dx e e xx ; ⑤⎰-3211πdx x; ⑥⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+942123dx x x ; ⑦()⎰+π0sin 2cos dx x x . ⑧⎰1dx a x; ⑨⎰22sin πxdx ; ⑩ ⎰+21211dx x.解①()()112(23)313004x dx x x +=+=+-+=⎰；②4arctan 111102π==+⎰x dx x ； ③()()22222ln 2ln ln 2212e e e e dx x e e x==-=-=⎰；④()()111001001111()122222x x x x e e dx e e e e e e e e -----=+=+-+=+-⎰；⑤3arcsin arcsin 1130302πππ==-⎰x dx x；⑥()93131319222222449944301020dx x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰； ⑦()()()00cos 2sin (sin 2cos )sin 2cos sin02cos04x x dx x x ππππ+=-=---=⎡⎤⎣⎦⎰； ⑧aa a a dx a x xln 1ln 1010-==⎰；⑨()22011sin 2cos2cos cos0122xdx x πππ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰；⑩()2211ln ln(2ln(1x =+=+-+=⎰。
基本初等函数乘积的不定积分
基本初等函数乘积的不定积分不定积分对于正在学习高等数学或者数学分析的大一学生来说确实是一个难点。
主要原因是不定积分不像导数有一套完整的计算规则，只能利用不定积分的性质求解，求解过程中容易出错。
尤其是一些复杂的不定积分，计算方法往往很有技巧，有时在中间过程中，需要使用积分表，避免求导错误。
利用闭校的空余时间，结合所做的习题，笔者选取了一些常用的积分公式，并以华东师范大学出版的《数学分析》教材后的积分表为模板进行分类，从其他一些数学分析教材中整理出一些解题过程中可能需要记忆的不定积分公式。
由于作者水平有限，难免有错误。
请批评指正。
(一)与基本初等函数有关的不定积分(1)\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\ne-1 )(2) \int\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C(3) \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C特别地 \int e^{x}dx=e^{x}+C(4) \int lnxdx=xlnx-x+C(5) \int sinxdx=-cosx+C ; \int cosdx=sinx+C(6) \int sec^{2}xdx=tanx+C ; \int csc^{2}xdx=-cotx+C(7) \int secxtanxdx=secx+C ; \int cscxcotxdx=-cscx+C(8) \int tanxdx=-ln\left| cosx \right|+C ; \int cotxdx=ln\left| sinx \right|+C(9) \int secxdx=ln\left| secx+tanx \right|+C ; \int cscxdx=ln\left| cscx-cotx \right|+C(10) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C(11) \int \frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C(12) \int arcsinxdx=xarcsinx+\sqrt{1-x^{2}}+C ; \int arccosxdx=xarccosx-\sqrt{1-x^{2}}+C(13) \int arctanxdx=xarctanx-\frac{1}{2}ln(1+x^{2})+C（二）与三角函数有关的不定积分(14) \int sin^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-sinxcosx)+C ; \int cos^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+sinxcosx)+C(15) \int xsinxdx=sinx-xcosx+C ; \intxcosxdx=cosx+xsinx+C(16) \int \frac{1}{1\pm sinx}dx=tanx\mp secx+C(17) \int \frac{1}{1\pm cosx}dx=-cotx\pm cscx+C(18) \int tan^{2}xdx=-x+tanx+C ; \int cot^{2}xdx=-x-cotx+C（三）与指数函数，对数函数有关的不定积分(19) \int xe^{x}dx=(x-1)e^{x}+C(20) \int \frac{1}{1+e^{x}}dx=x-ln(1+e^{x})+C(21) \int xlnxdx=\frac{x^{2}}{4}(2lnx-1)+C（四）含有 \sqrt{x^2 \pm a^2} , \sqrt{a^2 - x^2} ,以及x^2 \pm a^2 的不定积分(22) \int \frac{1}{x^2 +a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C , \int\frac{1}{x^2 - a^2}dx=\frac{1}{2a}ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C(23) \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=ln\left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|+C(24) \int \frac{x}{x^{2}\pm a^{2}}dx =\frac{1}{2}ln\left| x^2\pm a^2 \right|+C(25) \int \frac{x^2}{x^2+a^2}dx = x-arctan\frac{x}{a}+C(26) \int \frac{x^2}{x^2-a^2}dx= x+\frac{a}{2}ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C(27) \int \sqrt{x^2\pma^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm a^2ln\left| x +\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|) +C(28) \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx= ln\left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+C(29) \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2arcsin\frac{x}{a})+C(30) \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C(31) \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 \pma^2}}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 \pm a^2} \mpa^2ln\left| x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|)+C(32) \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{2}(-x\sqrt{a^2-x^2}+a^2arcsin\frac{x}{a})+C（五）与a+bx有关的不定积分(33) \int \frac{x}{a+bx}dx=\frac{1}{b^2}(bx-aln\left| a+bx \right|)+C(34) \int \frac{1}{a+bx}dx=\frac{1}{b}ln\left| a+bx \right|+C通过日常的训练，笔者总结出了上面的积分表，在以后的学习中我会不定期的更新完善这篇文章。
《数学分析1》知识点总结：第八章-不定积分
第八章不定积分一、不定积分概念与基本积分公式1.原函数与不定积分①定义1：设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若F’(x)=f(x),x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。
②定理8.1：若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即F’(x)=f(x),x ∈I 。
·不连续的函数也可以有原函数③定理8.2：设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则(i)F+C 也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；(ii)f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数。
④定义2：函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作∫f(x)dx 。
·[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；·d ∫f(x)dx=d[F(x)+C]；⑤不定积分的几何意义：积分曲线2.基本积分表①∫0dx=C ；②∫1dx=∫dx=x+C ；③)0,1(11>-≠++=⎰+x C x dx x αααα；④)0(||ln 1≠+=⎰x C x dx x ；⑤∫e x dx=e x +C ；⑥)0,1(ln >≠+=⎰a C aa dx a xx α；⑦)0(sin 1cos ≠+=⎰αC ax a axdx ；⑧)0(cos 1sin ≠+-=⎰αC ax a axdx ；⑨∫sec 2xdx=tanx+C ；⑩∫csc 2xd1=-cotx+C ；⑪∫secx ·tanxdx=secx+C ；⑫∫cscx ·cotxdx=-cscx+C ；⑬12arccos arcsin 1C x C x x dx+-=+=-⎰；⑭12cot arctan 1C x arc C x x dx +-=+=+⎰。
⑮定理8.3：若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，k 1，k 2为两个任意常数，则k 1f+k 2g 在I 上也存在原函数，且当k 1和k 2不同时为零时，有∫[k 1f(x)+k 2g(x)]dx=k 1∫f(x)dx +k 2∫g(x)dx二、换元积分法与分部积分法1.换元积分法①定理8.4（第一换元积分法/凑微分法）：设函数f(x)在区间I 上有定义，φ(t)在区间J 上可导，且φ(J)⊆I 。
数学分析第八章 不定积分
或 df (x) f (x) C.
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3 不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称 为f(x)的积分曲线。 函数f(x)的积分曲线有无限 多条。函数f(x)的不定积分 表示f(x)的一簇积分曲线， 而f(x)正是积分曲线的斜率。
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
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(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
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8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10) dx arcsin x C 10 (arcsin x)' 1
1 x2
1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
(f g) = f g + f g ,
(f [ ]) = f [ ] 这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f 为 初等函数， f 的表达式能求出.
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我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表 达式是什么形式呢？
1 (arctanx)' 1 x2
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华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】
第8章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．解：由题意，有f'（x）＝2x，即又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．证明：因为所以而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而即是在R 上的一个原函数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x 0为可去间断点．反证法：若f （x ）在区间I上有原函数F （x ），则在内由拉格朗日中值定理有，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．（2）若x 0为跳跃间断点．反证法：若f（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有成立．而这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：解：6．求下列不定积分：解：（1）当x≥0时，当x＜0时，由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此即，因此所以（2）当时，由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，即，因此所以7．设，求f（x）．解：令，则即8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．解：x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．§2 换元积分法与分部积分法1．应用换元积分法求下列不定积分：。
数学分析第八章不定积分
数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且
∫ ∫ ∫ [ k1 f ( x ) + k2 g( x) ] d x = k1 f ( x) d x + k2 g( x ) d x .
( 5)
证 这是因为
∫ ∫ ∫ ∫ k1 f ( x )d x + k 2 g( x) d x ′= k1 f ( x )d x ′+ k 2 g( x) d x ′
知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中
.例如 : 已知速
度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足
的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成
一元函数积分学 .一 原函数与不定积分源自(2 , 5) .3 . 验证
y=
x
2
sgn
x
是
| x| 在
∫ v( t) = ad t = at + C .
若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有
v( t ) = a( t - t0 ) + v 0 . 又因 s′( t) = v( t ) , 所以又有
∫ s( t) = [ a( t - t 0 ) + v 0] d t
2 (-
1 cos 2x
都是 )′=
sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 ( - 1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
, 因为
2
2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话
数学分析教案(华东师大版)不定积分
第八章不定积分教学要求：1.积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么,熟练掌握不定积分的根本积分公式.2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位.要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两局部的乘积, 熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步达到快而准的求出不定积分.3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法, 从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时1 / 19教学要求：积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念, 掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么, 熟练掌握不定积分的根本积分公式.教学重点：深刻理解不定积分的概念.、新课引入：微分问题的反问题,运算的反运算、讲授新课：〔一〕不定积分的定义:1.原函数:例1 填空：〔；〔〕' = -2cosx ;上；'］；•；；；；---' - Al .；；.；' -：二二；ax ax一二.二二.定义. 注意是/⑺的一个原函数.原函数问题的根本内容：存在性,个数,求法原函数的个数：Th假设尸〔工〕是了⑺在区间I上的一个原函数,那么对Vt ,尸㈤+ r都是了〔1〕在区间I上的原函数；假设G⑶也是了⑶ 在区间I上的原函数,那么必有G⑺=户⑺+ c.〔证〕2 / 19可见,假设/⑶有原函数f〔i〕,那么了⑺的全体原函数所成集合为｛产.〕+ “ CFR〕.原函数的存在性：连续函数必有原函数.〔下章给出证实〕.可见,初等函数在其定义域内有原函数；假设/⑴在区间I上有原函数, 那么/⑴在区间I上有介值性.例2. F⑺为/〔工〕=2］的一个原函数,F〔2〕=5 .求网X〕.2.不定积分一一原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例3 I- ' ,「,•'•一；•,•;J1 + / -〔二〕不定积分的根本性质：以下设了㈤和改力有原函数.〔先积分后求导,形式不变应记牢! 〕.⑵［八］油二网+匕,〔先求导后积分,多个常数需留神！〕⑶时,」^〔二〕后="/〔工心,〔被积函数乘系数,积分运算往外挪！〕〔4〕二+ 一厂【"一厂丁厂由⑶、⑷可见,不定积分是线性运算,即对YaJeR,有4〔x〕+施〔疝必=aJ/ONx +蚱⑺dx〔当& = /二.时,上式右端应理解为任意常数.〕jy 〔2x-i 〕血=耳/+广二.求/⑴.〔/⑴二2〕..不定积分根本公式： 根本积分表.[1]P180 一 公式1 — 14. 5 12 ..利用初等化简计算不定积分：§ 2换元积分法与分部积分法 〔1 0学时〕4 / 19例4〔三〕例 〔四〕 例6例7例8例9例10例11教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式, 并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步到达快而准的求出不定积分.教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入二、讲授新课：〔一〕. 第一类换元法 --------凑微分法：由」「. 一•［二：■ ■：■.：-- - :二. . ■,■1：■：■. T 一：- T. ■Jl0sin12KCC>S2Td二=5J sin4 23(sin 22di =5pin42Kdsin 2AL* 5, ,心........ .—5JV欣-u +c二仙2x + c.引出凑微公式.Thi假设’⑶连续可导,那么该定理即为：假设函数g〔f〕能分解为就有,⑷或"］7［频〕/©应=］7［施〕口的〕5 / 19J 加 + b)牌dx,(3^0.Jcos3xcos 2Kd -J(cos x + CO 65T )H 工=・••常见微分凑法:/Q 工 + S)dx = -f[ax +8)dQ 工+ 3) = -f(u)du|sin 3 xd1= g J(1 — cos x)dx =…=:5聊 2x) +c由例4—7可见,常可用初等化简把被积函数化为 /就+b 〕型,然后用凑法1.「 P xd 工 例8 (1)i ——:Jl + V凑法dxJ2 + & + 1)显 x+l…=-arctg —j=r +c港+2z-3(x+3)(x-l) 4,半4 k+3+c, ⑵]4 + X 10凑法2 户了(#)］以= "(/ 例9 Jisin x2a 同. rSin4x , 例10 ——d^J 七dx 例111J业一)例12 fif 5 n -'『-2F +c. ?(/岫」)d W)」血.特别地,有k k)W(x‘)= —f^}du和『(')七=2/(瓜卜瓜.2 Ji伙.•= 2 f—j=£^= = 2 arc sin 正 + e .「芯欣1 . d(7) 5 1 J1 1 V = —_7---------- = - -———====- - ----------------------- auW+D 2k1. u= -In -- +c =2廿+1凑法3 / (sin x) cos xdx = /(sm 1)d sin/ (cos x) sin xdx = -/(cos x)d cos x =J厕sec xdx =拉琬dtgx = f(u)c例13⑴『in'gf疝,⑵ Jsi (彳+1) 2 J 口以+1」b /-In —+ c .2 / +11=/("加-/1)也iu.n * xdx.J-/伽 x)— = /(In /din x = 血.工:cun五)七=/(arcsx x)d arcsin x = f(ii)du;/(arctgx) >“「 上『、,.1+/2 ^arctgtdarctgt = (arctgf)2 + 匕=(平坦金丫 +c其他凑法举例:例20In 彳 + 1 , rdfx =(xln 万一 小 , ^sec x(sec z + igx) , .sec x + sec xfgx , 例 22 sec 彳改= ----= f- —J J £ECX+侬 J sec x + £gx8 / 19例15Jsec 6 xtix例16 仲'皿晨"I —九皿sec" x -1) sec sec x凑法4「二二〞、二‘'士’二.：■：■, .例17 例19十工〕「arctgG 厂『而严恭日 21丁打钎1寸小凑法5例18「 dxJ x(l J 21n x) 凑法6pd(xln x)例21必也"国力 , I.------------------ -- In | sec x + Eg 工 | +c . J seer + tgx小八八 ji cosx + sin z , 例23 _二.J Vsin x-cosx— ,cosx +5sm x s 例24.J sin z + cos x门工 -5, 例26.J? + 2x + 2从积分 心.广£山出发,从两个方向用凑微法计算,即, ------ xiu । -------------- |\/1 - x 2 dx=-== rVl _ sin；j(l + CGS 2)或=：£ Z + G引出拆微原理.Th2设了=0①是单调的可微函数,并且80H.；又 力砒叫d ©具有原 函数.那么有换元公式JV ⑶立=【「【碗4y ⑶(证)9 / 19三、小结〔二〕第二类换元法拆微法:id sin t常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换1. 三角代换：⑴ 正弦代换：正弦代换简称为“弦换〞.是针对型如庐7 〔a〉0〕的根式施行的,目的是去掉根号. 方法是：令了 = 似〉0〕,那么-x2- a cos t f dx = a cos tdt v t =3r osm - a 例271.一」解法一直接积分；解法二用弦换.例28dx时1.psinicosi . . #、、「====2 [ ------------ dt = 2i + c =2arcsin Jx + 匕.例29卜,2 +2x- x2dx = M3 - (A-1)'办====="3-/必=====3jcos2udu 3 3 . _ 3 . x-1 x-1 c - --- 2-..：i ■… ----------- ----------------- .. ■ . 1:,■1.⑵ 正切代换：正切代换简称为“切换〞.是针对型如J/ + / 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式6比.-建〞=1,即1+研=Wf, 令一二. 一二.....出.此时有+ / = aseci,f = wag- 变量复原时,常用所谓辅助三角形法. a例3010 / 19解令x=瓢馆%有dx = 成.利用例22的结果,并用辅助三角形,有= n .: ,, ' . ' . J：：Z?Y例31 |---⑶正割代换：正割代换简称为“割换〞.是针对型如&T 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式$式.7=出"令工二窘ecL有'工」=atgl f dx = xseci ,馆tdt,变量还愿时,常用辅助三角形法.例32〔.＞.〕斛J a a一『dx例33 f—； --------- .J-6-1解法一〔用割换〕J sec2/ /gi 解法二〔凑微〕sccttgtdt P , . 工=——=fsec^Z = In secZ +tgi +r atgt Jx +J- - a2 +c, c =c'-h \a Jcos^z = sin i +c = -1 +u11 / 192,无理代换:假设被积函数是娠,娠,… 倍数,作代换£ =也,有例34 j宁■心.例35 f―竺= === = =假设被积函数中只有一种根式t二产十］.从中解出［来.Vci + e例36 f—r==.例37 J-例38 户〞(例39 Jx\M-ldx = ：P / 4 2 \ j P〔=(t + i )dt = — + — + c =-J 5 3f ,娠的有理式时,设W为々(1.＜上)的最小公、公二履"出,可化被积函数为1的有理函数.6J-——=-6J(1 +£)祖+ 6J-- = ■■■=1十In 1-我+c.j北球+ &或J巴,,可试作代换t = Max+h或Kz + e给出两种解法)■ /~A - 畤=1 1 *了五W/(/)—为/十1)广2位-5 1 3-(?-l)a+-(?-l)a+c.i 3此题还可用割换计算,但较繁.3.双曲代换：利用双曲函数恒等」去掉型如痴7P的根式.(=achtdl. 如：.11ch t - -{ch2t+1), sh t = 一(e力2l - D,2 2s/x = h(x + $£ +1).r—L --- n-nskl 例40 +工&工呼热23■.我h2tT)d£= 2t +=勺口口+ / + —ln(A + 2 2此题可用切换计算,但归结为积分产题课例3.例41 f-j=S=.才■内触飞应(7小£解/ ---------- 成-『出―"=ln(x + J方『dx例42 ^-===.解/==== f ---- dt = fdt =t+c = ]nJ jsAi J : 品-幽九=1,令x 二a就,可化简时常用到双曲函数的一些恒等式域％ = Ishtcht., achtdl = a \ch tdt =—t +c =2+ /) + c .京曲,该积分计算较繁.参阅后面习r X 卜.；tk ir a +2)+c, r m企.=In | x + 柠 | +u c =c -}n\a\4.倒代换：当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式〞时,可试用倒代换.,二 114 / 195.万能代换：万能代换常用于三角函数有理式的积分就有sin x = 2sin -cos-= 坂一八22t——-=——彳2 1 1 + ? ?1 Tcosx = --1+z例44,2激ax =-------------x = 2arctgt.1 + COS J解法 用万能代换21+Z解法用初等化简cos 2- (参[1]P261).令-Jsec 2-1解法三〔用初等化简,并凑微〕,,1-cosx , ? a , 户 dfinx I = ------------ T —dx = esc xdx- ——7—J 1 T CQ j 工 J J 向'工+ c = CSCZ -ctgx + c =Zg — + c2=ln |ig- + l|+c .2代换法是一种很灵活的方法 三、小结〔三〕.分部积分法：导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一股原 那么.1.幕X X 型函数的积分： 分部积分追求的目标之一是：对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幕或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替〔一般会变繁〕,但总体上应使积分简化或能 直接积出.对“幕型的积分,使用分部积分法可使“幕〞降次,或对“ X 求导以使其成为代数函数.例46 1加如〔幕对搭配,取对为u 〕例47 jxcddx 〔幕三搭配,取幕为u 〕例48 产七〔幕指搭配,取幕为u 〕 例49 卜%〞改〔幕指搭配,取幕为u 〕15 / 191=Fgx + ------------ sin 工 例 45" _______ _ _________J1 + sin cosfi 1例51 1皿或gxd工〔幕反搭配,取反为u〕例52 1二…一.•」.•..2 建立所求积分的方程求积分：分部积分追求的另一个目标是：对被积函数两因子之一求导,进行分部积分假设干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1,于是得到关于原积分的一个7例53 僻sin zdx 1例54 求人=卜"附；历威和sin bxdx f〔白工0〕二0sx1解." Q 解得sin bx ~ —I v1i a a例55 J J笳+/d工 0 >0〕解1 =+? - |Y j K dx=J二1Jk + - - 二匚或+ f=Ma2+ x2- Z +/ ln〔工+ J J解得I = -^a2 + A2 + —ln〔A + + 犬2 2,程,从该方程中解出原积分来i sin + acozbx脚—7+L … asm bx -bcosbx " jdx =后+ /d〕+s,〔参阅例41〕〕+ c三、小结§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分〔2学时〕教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的 根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式 的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有 理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分 的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分,学会求某些有理函数的不定积分的技巧； 求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初 等函数表示出来17 / 19解得 例 56 「 J ； |L：；・・•・・・：・•..•-「［•,.・・・；==cos xsrn A + x -Jcos 2,j , 工1 •小 .j/ /…一 , 一二」一二. 2 4例57Jsec 5= Jscc A 1sec2xdx= jsecxd£gx = sec A/gx- pgxsec A/gxdx secx/gx'sec 21-l)secxdfx= secxigx- fsec 3xdx+ fstcxdx=工 〞■-；. •.一 飞一.二.、,解得 「I'■'_ 「I 」 '..-' '.22一、新课引入：由积分应用的广泛性引入二、讲授新课：〔一〕有理函数的积分：1.代数知识：[1]P190例1 [1]P190 ,2.局部分式的积分：[1]P192例2 [1]P192例3 [2]P260 E3.〔二〕.三角函数有理式的积分：[1]P194 万能代换. 例4—5 [1]P195 ——〔三〕某些无理函数的积分：[1]P195——198〔四〕一些不能用初等函数有限表达的积分：卜一~工「七必f生, 卜二=等.J Jx Jinx J71 + A4习题课〔2学时〕积分举例：强3* -1以.jy⑴心=句-?+ g求j矿⑴公例5 ,〔工〕=K,求J砒/〕公,例6设/〔彳〕〉0且具有连续导函数.计算积分]7〔力加加/0岫例7 [了⑺威口",求积分产;(“%二. 含有二次三项式的积分：Ec / 二-2 . 1 / 2/1 , 5 P &x例8 ------------------------ '一 ,- ----------- ：；•'「------ J Vx + A +1 2J Vx +x + 1 2JJ/+K+1_ ] "(/+# +1)_5f2 J Jv24- r + 1 2 J」.■一；-・・・:•,,.2 2J(i + -2/5欧=•・-「:.■一.•：(：・一' " =1 士t ____ f__________「二I :.. Ji. .. ■二,!:: 1■.小〕19 / 19。
第一节不定积分概念与基本积分公式(数学分析)(数学分析)
∫ adx=ax+C, ∫
xα dx =
其 中 a是 常 数
∫ dx
= x +C
1 x α +1 + C . α +1
其 中 α 是 常 数 ， 且 α ≠ −1.
12
1 3、 ∫ dx = ln x + C. x 特别有: ∫ ex dx = ex + C.
1 x 4、 ∫ a dx = a + C, 其中a > 0, 且a ≠ 1. ln a
若 F ( x )已 知 ， f ( x )未 知 ， 由 F ( x ) → f ( x ), 则 称 （3）式 为 求 导 运 算 ， ' 称 f ( x )为 F ( x )的 导 数 。 若 f ( x )已 知 ， F ( x )未 知 ， 由 f ( x ) → F ( x ), 则 称 （3）式 为 积 分 运 算 ， 称 F ( x )为 ' f ( x )的 原 函 数 。
7
思考题： 1、 如果函数f ( x)的定义域是若干个分离的区间，那么它的原函数彼此之 间是否仅相差一个常数？ x2 , 可考虑函数 f ( x) = x, x ∈ (−∞, − 1) U (0, + ∞), 则 : F ( x) = 2 x2 , x ∈ (−∞, − 1) , 都是f ( x) = x 在 (−∞, − 1) U (0, + ∞)的原 G ( x) = 22 x + 1 , x ∈ (0, + ∞) 2 函数，它们之间的关系如何？ 2、 设F ( x)是连续函数f在R上的原函数，问： 1 ）、如果f ( x)是以T为周期的周期函数，那么F ( x)是否为周期函数？ 考虑： ( x) = cos x + 1. f 2)、 如果f ( x)是偶函数，那么F ( x)是否为奇函数？ 考虑： ( x) = cos x + 1. f
不定积分的求解方法及其拓展
（1）∫▒〖kdx=kx+C〗,其中b是常数.
∫▒〖dx=x+C.〗
（2）∫▒〖x^a dx=1/(a+1)〗 x^(a+1)+C,其中a是常数，且a≠-1.
（3）∫▒dx/x=ln|x|+C,x≠0.
（4）∫▒a^x dx=1/lna a^x+C,其中a>0,且a≠1.
公式②称为分部积分公式。如果求∫▒uv'dx有困难，而求∫▒〖u^' vdx 〗比较容易时，分部积分法就能发挥作用了，分部积分法的作用就是化繁为简.分部积分法的原理是四则运算的求导法则的逆用.分部积分法的关键就是恰当的选择u和v'.选对了u和v^'可使计算比原式更加简单，否则会更加麻烦，甚至无法求出结果.
引言：函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作∫▒〖f(x)dx〗,其中∫▒ 称为积分号，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量。若F(x)是f(x)的某一个原函数，则不定积分可记为∫▒〖f(x)dx=F(x)+C〗,其中C为任意常数.
定积分的思想在古代就已萌芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成.直到牛顿——莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进程做出了巨大的贡献。在初学定积分时，学生容易有困难，所以先引进求导的逆运算——求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维.20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过发展.所以不定积分的求解不仅是专业要求，也是适应社会发展的学习趋势.
不定定积分
不定定积分不定定积分积分是高等数学中的一个重要概念，可以用来计算曲线下的面积、求解微分方程的通解以及求解函数与函数之间的面积、体积等问题。
其中，不定定积分是积分中最常见的一种形式。
在本文中，我们将对不定定积分进行讲解。
一、定义不定积分也称原函数或反导函数，其定义如下：若F'(x)=f(x)，则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数。
在这个定义中，F(x)是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx=C，其中C是一个任意常数。
二、基本公式不定积分有许多基本公式，其中最基本的是积分的线性性质：如果f(x)和g(x)都有原函数，则有：1.∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx2.∫k⋅f(x)dx=k⋅∫f(x)dx，其中k为常数此外，不定积分还有其他一些常见的基本公式：1. ∫xⁿdx=1/(n+1)⋅x^(n+1)+C，其中n≠-12. ∫eˣdx=eˣ+C3. ∫aˣdx=1/(lna)⋅aˣ+C，其中a>0且a≠14. ∫sinxdx=-cosx+C，∫cosxdx=sinx+C5. ∫sec²xdx=tanx+C，∫csc²xdx=-cotx+C6. ∫1/(1+x²)dx=arctanx+C7. ∫1/(√(1-x²))dx=arcsinx+C三、积分换元法有时候，如果要求解的不定积分不是按照上面的基本公式来求解的，就需要使用积分换元法。
积分换元法的基本思想是：将积分函数中的一部分分解出来，然后做一个变量代换，最后求解出新的积分式。
例如，对于∫2x⋅(x²+1)³dx，我们可以让u=x²+1，即可将原函数变成∫(u-1)³du。
然后便可以使用基本公式进行求解。
四、分部积分法分部积分法是求解不定积分中的另一种方法。
分部积分法基本思想是：将积分函数分解成两部分，其中一部分作为被积函数，另一部分作为求微分的函数。
数学分析(第81节不定积分概念与基本积分公式)
详细描述
直接积分法基于不定积分的定义，通 过凑微分、变量替换等方式将不定积 分转化为定积分，从而求得原函数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量 来简化不定积分的方法。
详细描述
换元积分法通过引入新的变量， 将复杂的不定积分转化为简单的 不定积分，从而方便求解。常用 的换元方法有三角换元和倒代换
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公式示例
对于不定积分 $int x sin x dx$，分部积分法得到原函数 $x cos x - int cos x dx$。
03
不定积分的应用
解决实际问题
物理问题
不定积分在解决物理问题中有着 广泛的应用，如求变速运动的位 移、速度和加速度，以及求解热
传导方程等。
工程问题
在工程领域中，不定积分常被用于 解决各种实际问题，如求解流体动 力学中的压力分布、求解弹性力学 中的应力分布等。
直接积分法
利用基本初等函数的积分 公式和性质进行计算。
换元积分法
通过引入中间变量进行换 元，将复杂函数的不定积 分转化为简单函数的不定 积分。
分部积分法
将两个函数的乘积进行不 定积分，转化为分别对两 个函数进行不定积分后再 相减。
不定积分的几何意义
水平切线
不定积分表示函数图像上 方的面积，其几何意义是 曲线下的面积。
斜率
不定积分表示曲线在某一 点的切线的斜率，即该点 的导数值。
速度与加速度
不定积分可用于描述物理 中的速度和加速度，以及 工程中的流量和压力等实 际问题。
02
基本积分公式
直接积分法
总结词
公式示例
直接积分法是最基本的积分方法，通 过将不定积分转化为定积分来求解。
华东师范大学数学分析第8章习题答案
华东师范⼤学数学分析第8章习题答案第⼋章⼀：不定积分概念与基本积分公式（教材上册P181） 1. 验证下列(1)、(2)等式并与(3)、(4)两试相⽐照: (1)'()()f x dx f x c =+?; (2) ()()df x f x c =+?; (3) [()]'()f x dx f x =?; (4) ()()()d f x d x f x dx =?;解: (1)'0(())''()'()'()()c f x c f x c f x f x dx f x c=∴+=+=∴=+? 与(3)相⽐(1)试求不定积分运算,(2)是求导运算,(1) (3)互为逆运算,不定积分相差⼀个常数但仍为原不定积分,该常数⽤c 表⽰,称为积分常数.(2)()'()()'()()df x f x dxdf x f x dx f x c===+??与(4)相⽐: (2)是先求导再积分,因此包含了⼀个积分常数,(4)是先积分再求导,因此右侧不含积分常数.2. 求⼀曲线y=f (x),使得在曲线上的每⼀点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5). 解:222dy xdxy dy xdx x c====+??将(x,y)=(2,5)代⼊得: 5=22+cC=1该曲线为21y x =+3. 验证2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数. 解:x>0时,y ’=2()'||2x x x ==x<0时,2'()'||2x y x x =-=-=x=0时,22000sgn 022'lim lim lim 002x x x x x x x y x x ++++→→→-====- 2200sgn 02'lim lim()0||02x x x x x y x x --→→-==-==- 因此'''0||y y y x +-====综上得2'(sgn )'||,(,)2x y x x x ==?∈+∞-∞2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数.4. 据理说明为什么每⼀个含有第⼀类间断点的函数都没有原函数?解: 设0x 是 f (x)的第⼀类间断点,且 f (x)在0()U x 上有原函数 F (x),则0'()(),()F x f x x U x =∈.从⽽由导数极限定理得00lim ()lim '()'()()x x x x f x F x F x f x +++→→=== 同理 000lim ()'()()x x f x F x f x -→==.可见0()f x x 点连续,推出⽭盾.⼆: 换元积分法与部分积分法(教材上册P188) 1. 应⽤换元积分法求下列积分 (1) cos(34)x dx +?; (2) 22xxe dx ?;(3) 21dx x +?; (4) (1)n x dx +?;(5)dx ?; (6) 232x dx +?;(7);(8)(9)2sin x x dx ?; (10) 2sin (2)4dxxx +?;(11) 1cos dx x +?; (12) 1sin dx x+?;(13)csc xdx ?;(14);(15)44xdx x +?; (16)ln dx x x ?;(17) 453(1)x dx x +?; (18) 382x dx x -?;(19)(1)dxx x +?; (20) cot xdx ?; (21) 5cos xdx ?; (22)sin cos dxx x ?;(23)x xdx e e -+?; (24) 22338x dx x x --+?; (25) 252(1)x dx x ++?;(26) (a>0);(27) 223/2(0)()dxa x a >+?;(28) 5;(29)(30).解: (1)34cos(34)cos 3t x t x dx d =++=11sin sin(34)33t c x c =+=++ (2) 22112222()'()22t x x t txe dx e d ==??112211()()()22224t t t t t ed e dt ==?? 221144t x e c e c =+=+ (3)21111ln ||ln |21|21222t x dx t d t c x c x t =+==+=+++??(4)①当1n ≠-时,111(1)(1)11n n t x nnt x x dx t dt c c n n ++=+++== +=+++?? ②当1n =-时,(1)ln |1|n x dx x c +=++?(5)dx =?c =+ (6)232323231212122222ln22ln 22ln2t x x t x x tt dx d c c c ++=++==+=+=+?(7)332222222()(83)3399t t td t dt t c x c -=-=-+=--+?(8)322/31333()(75)551010t t d tdt t c x c t -=-=-+=--+? (9)211112222211sin sin sin sin 22t x x x dx t tdt t t t dt tdt =-===211cos cos 22t c x c =-+=-+ (10)2422111cot cot(2)224sin (2)sin 42t x dxt c x c x t x tdππ=+==-+=-+++?? (11)222(2)12sec tan tan()1cos 1cos 22cos 2t x dx d t x dt tdt t c c x t t =====+=+++ (12) 22 1sin (sec sec tan )tan sec 1sin dx xdx x x x dx x x c x cos x-==-=-++ (13)2111csc sin sin cos tan cos2222xdx dx dx x x x x x ===?α2ln |tan |2tan 2x d x c x ==+? (14)21(1)2x c =--=(15)22242111()arctan()442421()2x x x dx d c x x ==+++??(16)ln 11ln ||ln |ln |ln t x t t dx de dt t c x c x x e t t====+=+ (17)4555253535311111(1)(1)(1)5(1)5(1)10x dx dx d x x c x x x -==--=-++--(18)4344888111|242816112x dx dx d c x x x ===-+----(19)11()ln ||ln |1|ln ||(1)11dx xdx x x c c x x x x x=-=-++=++++?? (20)cos cot ln ||ln |sin |sin xxdx dx t c x c x ==+=+??(21)52224cos (1sin )sin (12sin sin )sin xdx x d x x x d x =-=-+?sin 2sin sin 53x x x c =-++ (22)2cos tan ln |tan |sin cos sin cos tan dx xdx d x x c x x x x x ===+ (23)22arctan 1()1()x xx x x x x dx e de dx e c e e e e -===++++ (24)222223(38)ln(38)3838x d x x dx x x c x x x x --+==-++-+-+?? (25)2221533232(1)223123()(1)t x x t t t dx dt dt dt x t t t t t =++-+-+===-++ 222323 ln ||ln |1|(1)212t t c x x c t x --=+-+=++-+++(26)1()ln |x t ax t c a====+?1ln |ln |x c x c a =+=+(27)令tan x a θ=,sec 22t a tdt ππ-<<223/23322s e c 11c o t s i n ()s e c d xa t d t t d t tx a a t a a ===++??c =+ (28)55sin 42sin sin (cos 2cos 1)cos x d d cos θθθθθθθ===--+??35322121cos cos cos (1)535c xc θθθ=-+-+=--(29)32256642226666111t t t t dt t dt t dt t dt t t t ===-+--- 6 42266661tt t dt t dt t dt dt dt t =---+-?75366126ln ||751t t t t t c t+=----++- 165116661263ln ||751x x x x x c x +=----++- (30)1121t t tdt t -→=+?222(2)44ln |1|1t t dt t t tc t =-+=-++++?14ln |1|x c =+-+ 4ln |1|'x c =-+ 2. 应⽤分部积分法求下列不定积分 (1) arcsin xdx ?; (2) ln xdx ?;(3) 2cos x xdx ?; (4)3ln xdx x ?;(5) 2(ln )x dx ?; (6)tan xarc xdx ?;(7) 1[ln(ln )]ln x dx x+?;(8) 2(arcsin )x dx ? (9)3secxdx ?; (10)(0)a >.解 (1)arcsin arcsin arcsin arcsinxdx x x xd x x x =-=-122arcsin (1)x x x c =+++ (2)1ln ln ln ln ln xdx x x xd x x x xdx x x x c x=-=-=-+(3)222cos sin 2sin sin 2cos x xdx x x x xdx x x xd x =-=+?2sin 2cos 2cos x x x x xdx =+-?2sin 2cos 2sin x x x x x c =+-+(4)2223ln 11ln [ln (ln )]22x dx xdx x x x d x x ---=-=-- 222ln 11(ln 1)244x c x c x x x=--+=-++(5)2221(ln )(ln )2ln (ln )2ln x dx x x x x dx x x xdx x=-=-(参考（2）结果)2(ln )2ln 2x x x x x c =-++(6)2222111tan tan arctan 2221x xarc xdx arc xdx x x dx x ==-+ 221111arctan 2221x x dx dx x =-++?? 2111arctan arctan 222x x x x c =-++(7)11111[ln(ln )]ln(ln )ln(ln )ln ln ln ln x dx x dx dx x x x dx dx x x x x x +=+=-+ ln(ln )x x c =+ (8)12222(arcsin )(arcsin)2arcsin (1)x dx x x x x dx -=--??12222(sin )arcsin (1)(1)x arx x x x d x -=+--?1222(arcsin )2arcsin (1)x x xd x =+-?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x dx =+--?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x x c =+--+(9) 令3sec I xdx =?s e c t a ns e ct a nt a n s e c I x d x x x x x x d x==-?23sec tan (1cos )sec sec tan sec x x x xdx x x I xdx =--=-+??11sec tan sec 22I x x xdx =+?1(sec tan ln |sec tan |)2x x x x c =+++(10)11222222222(0)()2()I a x x a xdx x a x -=>=±=+-1122222222()()()x x x a I ax x a I a a =±-±=±-±则122222111()()(ln ||)222x I x x a a a x c a =±±=+ 3. 求下列不定积分(1)[()]()'(1)f x f x dx αα≠?; (2)2'()1[()]f x dx f x +?;(3)'()()f x dx f x ?; (4)()'()f x e f x dx ?. 解: (1)11[()]()'[()]()[()]1f x f x dx f x df x f x c αααα+==++?(2)122'()1()arctan[()](arccot[()])1[()]1[()]f x dx df x f x c f x c f x f x ==+=-+++??(3)'()1()ln |()|()()f x dx df x f x c f x f x ==+?? (4)()()()'()()f x f x f x ef x dx e df x e c ==+?三. 有理函数和可化为有理函数的不定积分(教材上册P198) 1. 求下列不定积分(1)31x dx x -?; (2)22712x dx x x --+?;(3)31dx x +?; (4)41dxx +?;(5)22(1)(1)dx x x -+?; (6)222(221)x dx x x -++?;解: (1)3321111111x x x x x x x -+==+++--- 3232111(1)ln |1|1132x dx x x dx x x x x c x x =+++=+++-+--?? (2)2223111712(3)(4)(3)(4)4(3)(4)x x x x x x x x x x x x ---+===+-+-------22211(4)7124712x dx d x dx x x x x x -=-+-+--+211(4)2(27)4(27)d x d x x x =-+---??2ln |4|ln |3|x x c =---+ (3)设321111A Bx Cx x x x +=+++-+ 则21(1)()(1)A x x Bx C x =-++++ 2()()A B x B C A x A C =+++-++, 则⽐较两端系数,得1 21,,333B C A =-== 321121311dx x dx x x x x -??=-++-+221111(1)31311d x d d x =+-+++?221(1)ln 61x c x x +=+-+(4)22422221111()11()21x d x x x x dx dx x x x x x x -+-+===++-+-+11x c -=+2224222211111||1()2x x xdx dx c x x x x x---===++++-则234441111112121x x dx dx dx x x x +-=-+++|c =++ (5)设1122222221(1)(1)11(1)B xC B x C A x x x x x ++=++-+-++ 则22211221(1)()(1)(1)()(1)A x B x C x x B x C x =+++-+++-432111112121212()()(2)()()A B x C B x AC B B x C C B B x A C C=++-+-++++--+-- ⽐较两边系数得到12211111,,,,44422A B C B C ==-=-=-=- 22222111111(1)(1)(1)(1)418141dx d x d x dx x x x x x =--+--+-++ 222221111(1)4(1)2(1) d x dx x x -+-++?? 2222111(1)2(1)21x dx dx x x x =++++?? 222111ln |1|ln(1)arctan (1)(1)482dx x x x x x ∴=--+--+?211(1)4x -++ 211(1)4x x c --++。
数学分析——不定积分
f
(t
)
d
t
2
x
f
(x)0 (x t)
x
0
f
(t
)
d
t
f (t) d t
2
f (x) (x ) f ( ) x 0
x
0
f
(t) d t 2
(0
x)
7、 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
x0
2x
2e
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解: 原式 =
c ≠0 , 故 a 1. 又由
b 0.
～
,
得
c
1 2
.
例3.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F(x) 0
x
x
证:
x f (x)0 f (t) d t f (x)0 t f (t) d t
x
0
成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [( y)]2dy c
d
x ( y)
c
o
x
例2. 设非负函数
曲线
与直线 及坐标轴所围图形
面积为 2 , (1) 求函数
(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体
体积最小 ?
解: (1)
由方程得
即
故得
又
(2) 旋转体体积
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dx 说明： 说明： x > 0, ∫ = ln x + C , x 1 1 ( x )′ = , x < 0, [ln( x )]′ = x x dx dx ∫ = ln( x ) + C , ∴ ∫ = ln | x | + C , x x
1 ( 4) ∫ dx = arctan x + C ; 2 1+ x 1 ( 5) ∫ dx = arcsin x + C ; 2 1 x (6) ∫ cos xdx = sin x + C ;
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx .
是常数， （ k 是常数 ， k ≠ 0 )
∫ [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx;
∴ 等式成立 （可推广到有限多个函数和） 等式成立. 可推广到有限多个函数和）
( 2)
3 2 )dx . 例3 求积分 ∫ ( 2 1+ x 1 x2
思考题解答
不存在. 不存在
x + C, x > 0 假设有原函数 F ( x ) F ( x ) = C , x=0 x + C , x < 0
但 F ( x ) 在 x = 0 处不可微， 处不可微，
故假设错误
内不存在原函数. 所以 f ( x ) 在 ( ∞ , + ∞ ) 内不存在原函数 结论 每一个含有第一类间断点的函数都 每一个含有第一类间断点的函数都 第一类间断点 没有原函数. 没有原函数
x+1 +C 根据积分公式（ ） 根据积分公式（2）∫ x dx = +1
7 x 2 2 = + C = x + C. 5 7 +1 2
5 +1 2
三、 不定积分的性质
(1)
证 ∵
[∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx ]′ = [∫ f ( x )dx ]′ ± [∫ g ( x )dx ]′ = f ( x ) ± g ( x ).
2008/ 12/ 04
第六章
求导的逆运算
---不定积分
§6.1 原函数与不定积分
一、原函数与不定积分的概念
定义： 定义： 如果对 x ∈ I , 都有F ' ( x ) = f ( x ), 那么
F ( x )就称为 f ( x )在区间 I内原函数 .
1 (ln x ) = ( x > 0) x 1 ln x 是 在区间(0,+∞ ) 内的原函数 内的原函数. x ′
∫ x x < 0时, ∫ f ( x )dx = x + 2
2
+ c2
四、 小结
原函数的概念： 原函数的概念：
F′( x) = f ( x)
不定积分的概念： 不定积分的概念： ∫ f ( x)dx = F( x) + C 基本积分表(1) 基本积分表 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
作业
(12)
dx = e + C ; x a x (13) ∫ a dx = + C; ln a (14) ∫ sinh xdx = cosh x + C ;
∫e
x
x
(15) ∫ cosh xdx = sinh x + C ;
2 例2 求积分 ∫ x xdx .
解
x 2 xdx = ∫ x dx ∫
5 2
解
dy ∵ = sec 2 x + sin x , dx (sec2 x + sin x )dx ∴ y=∫
= tan x cos x + C ,
∵ y ( 0 ) = 5,
∴ C = 6,
所求曲线方程为 y = tan x cos x + 6.
例7
ex , x ≥ 0 f ( x) = , 求∫ f ( x ) dx 1 + x, x < 0
例
原函数存在定理： （See §7.5 ）
[a , b ]上的 连续函数有原函数 .
问题： 原函数是否唯一？ 问题：(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 若不唯一它们之间有什么联系？
答案： 答案：
（1）若 F ′( x ) = f ( x ) ，则对于任意常数 C ， ）
F ( x ) + C 都是 f ( x ) 的原函数 的原函数.
2
1 1 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 x 1+ x 1 = + arctan x + C . x
1 dx . 例5 求积分 ∫ 1 + cos 2 x
解
1 1 ∫ 1 + cos 2 x dx = ∫ 1+ 2cos2 x 1dx
1 1 1 dx = tan x + C . = ∫ 2 2 cos x 2
∫积 f (被 x )dx被 = F积 ( x ) + C任
分 号 积 函 数 积 表 达 式 分 变 量 意 常 数
积分曲线. 函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线
显然，求不定积分得到一积分曲线族. 显然，求不定积分得到一积分曲线族.
1 dx . 例1 求 ∫ 2 1+ x 解 ∵ (arctan x )′ =
解： x ≥ 0时, f ( x ) dx = e x + c 1
x2 ∵ F在 x = 0连续 ,∴ lim e x + c1 = lim x + + c2 . x→0 x→0 2
x e + c1 , x≥0 ∴ c2 = c1 + 1, ∴ F ( x ) = x2 x + 2 + 1 + c1 , x < 0
说明： 说明： 以上两例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表. 恒等变形，才x ) 在点 ( x , f ( x )) 处的
切线斜率为sec 2 x + sin x ，且此曲线与 y 轴的交 求此曲线的方程. 点为(0,5)，求此曲线的方程
的原函数， （2）若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数， ） 则 F ( x ) G( x ) = C 为任意常数） （C 为任意常数）
不定积分的定义： 不定积分的定义：
在区间 I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数
不定积分， 称为 f ( x ) 在区间 I 内的不定积分，记为 ∫ f ( x )dx .
(数学分析习题集) 数学分析习题集)
习题5.1 利用最简单的积分表求不定积分 习题 1、1), 4), 6), 8), 10), 14), 16). 、
思考题
1, x > 0 符号函数 f ( x ) = sgn x = 0, x = 0 1, x < 0
内是否存在原函数？为什么？ 在 ( ∞ , + ∞ ) 内是否存在原函数？为什么？
结论： 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
先积后导全消掉 ,先导后积常数要 . 先导后积常数要
二、 基本积分表 (1) ∫ kdx = kx + C +1
是常数); ( k是常数
x (2) ∫ x dx = + C ( ≠ 1); +1
dx ( 3) ∫ = ln | x | +C ; x
3 2 解 ∫( )dx 2 2 1+ x 1 x 1 1 dx 2 ∫ dx = 3∫ 2 2 1+ x 1 x
= 3 arctan x 2 arcsin x + C
1 + 2x dx . 例4 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
2
解
1 + 2x 1 + x2 + x2 ∫ x 2 (1 + x 2 )dx = ∫ x2(1+ x2 )dx
(7)
( 8)
∫ sin xdx = cos x + C ; dx 2 ∫ cos 2 x = ∫ sec xdx = tan x + C ;
dx 2 (9) ∫ 2 = ∫ csc xdx = cot x + C ; sin x
(10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C ; (11) ∫ csc x cot xdx = csc x + C ;
1 , 2 1+ x
1 dx = arctan x + C . ∴ ∫ 2 1+ x
由不定积分的定义， 由不定积分的定义，可知
d ∫ f ( x)dx = f ( x), dx
[
]
d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx,
∫ F ′( x )dx = F ( x ) + C , ∫ dF( x) = F( x) + C.