第二讲 四 渐开线与摆线(优秀经典公开课课比赛件)

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2．已知圆的渐开线的参数方程xy＝＝scions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ
(φ 为参数)，则此渐开线对
应基圆的面积是( )
A．1
B．π
C．2
D．2π
解析：由参数方程知基圆的半径为 1，∴其面积为 π.故选 B. 答案：B
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解析：根据圆的参数方程可知圆的半径为3，那么其对应的摆线的参数方程为
x＝3φ－3sin φ， y＝3－3cos φ
(φ是参数)，把φ＝
π 2
代入参数方程中易得
x＝3π2－1， y＝3，
代入
距离公式可得|AB|＝
3π2－1－32π2＋3－22＝ 10.
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ，
得xy＝＝42，π，
∴A(2π，4)．
在xy＝＝4411－－csoins
θ， θ
中，令 x＝2 得 sin θ＝12，∴cos θ＝ 23或 cos θ＝－ 23，∴y＝4
－2 3或 y＝4＋2 3，故点 B 的坐标为(2,4－2 3)或(2,4＋2 3)．
∴|AB|＝ 2π－22＋4±2 3－42＝
2 π－12＋3＝2 π2－2π＋4.
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探究二 圆的摆线的参数方程 [例 2] 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点 M 在原点 O 处，取圆滚动时转过的角度 α，(以弧度为单位)为参数)
(3)根据圆的摆线的参数方程
x＝rφ－sin y＝r1－cos
φ， φ
(φ为参数)，可知只需求出其中的
半径r，圆摆线的参数方程即可写出．也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径
唯一确定的．
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[随堂训练] 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同 的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状 就不同
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2．已知一个圆的参数方程为
x＝3cos y＝3sin
θ， θ
(θ是参数)，那么圆的摆线方程中参数
φ＝π2对应的点的坐标与点32π，2之间的距离为(
)
A.π2－1
B. 2
C. 10
D. 32π－1
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3.如图所示，ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH…叫做“正 方形的渐开线”，其中 AE，EF，FG，GH，…的圆心依次按 B， C，D，A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 的长是多少？
解析：根据渐开线的定义可知，»AE 是半径为 1 的14圆周长，长度为π2，继续旋转可 得 E¼F 是半径为 2 的14圆周长，长度为 π；F»G 是半径为 3 的14圆周长，长度为32π；G¼H 是半径为 4 的14圆周长，长度为 2π.所以，曲线 AEFGH 的长是 5π.
32π＋32π·sin 32π－32π·cos
32π＝－32π， 32π＝－1，
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∴B－32π，－1.
∴|AB|＝
π2＋32π2＋1＋12＝2 π2＋1.
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圆的渐开线的参数方程中，字母 r 表示基圆的半径，字母 φ 是指绳子外端 运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不 宜化为普通方程．
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探究三 渐开线与摆线参数方程的应用 [例 3] 如图，一个宽为 a 的矩形木条沿着半径为 r 的定圆无滑动地滚动，试求木 条外缘上某点 P 的轨迹方程．
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[解析] 以定圆圆心 O 为原点，O、F、P 共线时所在直线
为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 P 点的坐标为(x，
程；④圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
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解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆， 只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同， 其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐 标轴的交点要看坐标系的选取．故选 C. 答案：C
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所以所求的点P轨迹的参数方程为
x＝r＋acos φ＋rφsin φ， y＝r＋asin φ－rφcos φ
(φ为参数)．
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用向量法建立运动轨迹的参数方程的思路和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．
入，可得x＝32π， y＝3.
答案：3 32π，3
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探究一 圆的渐开线的参数方程 [例 1] 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，B 对 应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间的距离．
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3．给出Βιβλιοθήκη Baidu渐开线的参数方程xy＝＝33scions
φ＋3φsin φ－3φcos
φ， φ
(φ
为参数)，根据参数方程可
以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数 φ 取π2时，对应的曲线上的点的坐
标是________． 解析：与渐开线的参数方程进行对照可知，r＝3，即基圆半径是 3，然后把 φ＝π2代
2.通过阅读材料，知道外摆线、内摆线的生成 及其方程的灵活运用.
过程；学会摆线在实际应用中的实例.
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01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究
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03 课后 巩固提升
课时作业
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1．渐开线的产生过程
[自主梳理]
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧， 保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定
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1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定 点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母 r 是指定 圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
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[双基自测]
1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线
的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出
坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐
开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方
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[解析]
由题意，知
r＝1，则圆的渐开线参数方程为xy＝＝scions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ
(φ 为参数)．
当 φ＝π2时，xy＝＝scions
π2＋π2·sin π2－π2·cos
π2＝π2， π2＝1，
∴Aπ2，1.
当 φ＝32π时，xy＝＝scions
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因此O→M＝O→B＋B→M
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量O→M＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
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解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线 的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么 地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的 形式及图形在坐标系中的位置可能不同． 答案：C
圆叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个 定点 的轨迹，圆 的摆线又叫 旋轮线 ．
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3．圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线方程：__xy_＝＝__rr_sc_io_ns_φ_φ_－＋__φφ_cs_oi_ns_φ_φ_，____(_φ__为__参__数__)__． (2)摆线的参数方程：__xy_＝＝__rr__1φ_－－__cs_oin_s_φφ__，____(φ__为__参__数__)__．
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2．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程． 解析：由摆线的图形知，圆的半径最大时，定点(2,0)就是(2πr,0)(如图所示) .
∴2πr＝2，∴r＝π1.
代入，得圆的摆线的参数方程xy＝＝π1π11φ－－csoins
φ， φ
(φ 为参数)．
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四 渐开线与摆线
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考纲定位
重难突破
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚 重点：渐开线与摆线
动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚 的基本概念和参数方
动时直线上定点的轨迹(渐开线)．知道平摆线 程.
和渐开线的生成过程，以及它们的参数方程. 难点：渐开线与摆线
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所以所求摆线的参数方程是
x＝2k1πφ－sin φ， y＝2k1π1－cos φ
(φ为参数，k∈N*)．
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[错因与防范] (1)若在求出cos φ＝1后，直接得出φ＝0，会导致答案不全面．
(2)不要误把点(1,0)中的1或0当成φ的值．
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1．已知渐开线xy＝＝44scions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ
上的点
A
对应
φ＝π2，xy＝＝4411－－csoins
θ， θ
与
直线 x＝2 相交于点 B，求 A，B 两点间的距离．
解析：将
φ＝π2代入xy＝＝44scions
y)，取∠AOB＝φ 为参数，
∵|BF|＝l »AB ＝rφ，
∴
O→P ＝
→ OF
＋
→ FP
＝
O→B ＋
B→F ＋
→ FP
＝
(rcos
φ ， rsin
φ) ＋
rφcosφ－π2， rφsinφ－π2＋ (acos φ，asin φ) ＝((r＋a)cos φ＋rφsin φ，(r＋a)sin φ－rφcos φ) ＝(x，y)．
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对圆的渐开线与摆线的概念理解不清致误 [典例] 已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程． [解析] 令r(1－cos φ)＝0，可得cos φ＝1. 所以φ＝2kπ(k∈Z)，代入得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1， 所以r＝2k1π.又由题意可知，r是圆的半径，故r＞0. 所以应有k＞0且k∈Z，即k∈N*.
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[解析] 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的 位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们的长 都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量O→B＝(2α，2)， 向量M→B＝(2sin α，2cos α)， B→M＝(－2sin α，－2cos α)，