三 排序不等式(优秀经典公开课教案及练习解答)

排序不等式

教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.

教学重点：应用排序不等式证明不等式.

教学难点：排序不等式的证明思路.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？

（柯西不等式、三角不等式）

2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.

二、讲授新课：

1. 教学排序不等式：

① 探究 如图， 设AOB α∠=，自点O 沿OA 边依次取n 个点12,,,n A A A L ， OB 边依次取取n 个点12,,,n B B B L ，在OA 边取某个点i A 与OB 边

某个点j B 连接，得到i j AOB ∆，这样一一搭配，一共可得到

n 个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的i j AOB ∆

不同，问：OA 边上的点与OB 边上的点

如何搭配，才能使n 个三角形的

面积和最大（或最小）？？？

设,(,1,2,,)i i j j OA a OB b i j n ===L ，由已知条件，得

123123,n n a a a a b b b b <<<<<<<

因为i j AOB ∆的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为代数问题：1212,,,,,,,n n c c c b b b L L 设是数组的任何一个排列 则1122n n S a c a c a c =+++L 何时取最大（或最小）值？

② 提出排序不等式（即排序原理）：

设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有

1122a b a b ++···+n n a b (同序和)

1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和)

121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和)

当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和.

（要点：理解其思想，记住其形式）

2. 教学排序不等式的应用：

① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：

32122211112323n a a a a n n

+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+.

分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？

证明过程：

设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥.

又222111123n

>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得 3322112222222323n n a a b b a b a b n n

+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥… 小结：分析目标，构造有序排列.

② 练习：

已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，

于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.

3. 小结：排序不等式的基本形式.

三、巩固练习：

1. 练习：教材1题

2. 作业：教材3、4题