苏教版数学高二-苏教高二必修五不等式第15课时 陈锦平
苏教版高中数学必修五3.4.1基本不等式的证明.docx
数学·必修5(苏教版)3.4基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)3．4.1基本不等式的证明情景导入：如下图所示，以线段a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD′与AB的关系如何？由此你得到怎样的不等式？►基础巩固一、选择题1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么ab＋ba的值是()A．大于2 B．小于－2或大于2 C．小于等于2 D．大于－2或小于2解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2. 答案：B2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b解析：由a－a＋b2＝a－b2＞0，ab－b＝b(a－b)＞0，再结合基本不等式a＋b2＞ab.答案：B3．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈R ＋，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈R ＋，∴lg x ＋lg y ≥2lg x·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①由于a ，b ∈R ＋，∴b a ，ab∈R ＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x ，y ∈R ＋，但当x ∈(0,1)和y ∈(0,1)时，lg x 和lg y 都是负数，∴②的推导过程是错误的；③由a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥2 4a·a ＝4是错误的． ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．答案：D4．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5解析：y ＝1a ＋4b ＝12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92.答案：C5．下列结论正确的是()A．当x＞0且x≠1时，lg x＋1lg x≥2B．当x＞0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当0＜x≤2时，x－1x无最大值解析：当0＜x＜1时，lg x＋1lg x＜0，∴A错误；当x＞0时，x＋1x≥2x·1x＝2，∴B正确；当x≥2时，x＋1x的最小值为52，∴C错误．当0＜x≤2时，x－1x是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．答案：B二、填空题6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与a＋b2的大小关系是________．解析：因A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A2+++⎛⎫⎪⎝⎭1a1b2＝A2++⎛⎫⎪⎝⎭a b12，∴x≤a＋b2.答案：x≤a＋b 27．给出下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a 2＋4≥4a ；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2；④2a 2b 2a 2＋b 2≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________．解析：当a ＝1时，①不成立；当ab ＜0时，④不成立． 答案：②③ 8．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4|a|＋|a|b ≥a4|a|＋1，显然当a ＜0且b ＝2|a|时，上式等号成立，此时b ＝－2a 与a ＋b ＝2联立即得a ＝－2.答案：－2三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.解析：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2＝4， 当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”号， ∴ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.10．设x1，x2，…，x n都是正整数，求证：x21 x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x1＋x2＋…＋x n.解析：∵x1，x2，…，x n都是正整数．∴由基本不等式得x21x2＋x2≥2x1，x22x3＋x3≥2x2，…x2nx1＋x1≥2x n.将以上n个式子相加命题即得证．►能力升级一、选择题11．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：∵a＞b＞0，a2＋1ab＋1a(a－b)＝a2＋a－b＋bab(a－b)＝a2＋1b(a－b)≥a2＋+-⎛⎫⎪⎝⎭21b a b 2＝a2＋4a2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)，故.答案：D12．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x ＝5，∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x ×3x y ＝15(13＋12)＝5. 答案：C13．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋a b ≥2解析：令a ＝b ＝1可知A ，C 不成立； 令a ＝b ＝－1可知B 不成立． 答案：D二、填空题14．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：①项，∵a ＞0，b ＞0,2＝a ＋b ，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，即ab ≤1；②项，∵a ＋b 2－2+⎛⎫⎪⎝⎭a b 2＝(a －b )24≥0，∴a ＋b 2≤ a ＋b 2，∴a ＋b ≤2(a ＋b )，故a ＋b ≤2；③项，∵a 2＋b 22≥2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b 2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22. 又∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2≥2；④项，∵a 3＋b 3＝(a ＋b)3－3a 2b －3ab 2＝8－3ab(a ＋b)＝8－6ab ≥8－6＝2(由①ab ≤1)；⑤项，1a ＋1b ≥2ab≥2.答案：①③⑤15．(2013·云南玉溪检测题)若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋1|x|≥2，当且仅当x ＝±1时取“＝”号，∴要使不等式恒成立，必须且只需|2a －1|≤2即－2≤2a －1≤2⇒－12≤a ≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32三、解答题 16．(2013·全国卷)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥1.解析：(1)由a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b ＋c)2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1， 而a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)∵a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2c ，c 2a ＋a ≥2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥(a ＋b ＋c)＝1.。
苏教版高中数学必修五3.4.1 基本不等式的证明.docx
3.4.1 基本不等式的证明课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b 2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤_____________________________________.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、填空题1．已知a >b >0，则a ，b ，a ＋b 2，ab ，2aba ＋b， a 2＋b 22这六个代数式用不等号“<”连结起来是__________________________________________________________________．2．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．3．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是________．4．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________．5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是________． 7．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，则12，b,2ab ，a 2＋b 2按从大到小的顺序排列为______________．8．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为________．9．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．10．已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________．二、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b )表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b )表示a ，b 中的较大的数，则有min(a ，b )≤21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b )．当且仅当a ＝b 时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .§3.4 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3．4.1 基本不等式的证明答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝ 基本 a ＋b2ab 3.(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥作业设计1．b <2aba ＋b<ab <a ＋b 2<a 2＋b 22<a . 2．大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.3．a ＋b解析 因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0<b <1， 所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大． 4．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)．5．3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．6．m >n解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4，n ＝222x －<22＝4.∴m >n .7．b >a 2＋b 2>12>2ab解析 ∵ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12. ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2， ∴b >a 2＋b 2>12>2ab .8．－2解析 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立ax ≥－x 2－1a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2. 9.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3. ∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 10.⎝⎛⎦⎤－∞，94 解析 ∵x ＋y ＝4， ∴1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y＝14⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥14⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝94， 1x ＋4y ≥m 恒成立，只要⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ≥m ，即94≥m .11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 12．解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c .∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －c a －b ＋a －bb －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c)＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4. 13．4解析 只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可， 又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋yx＋a ≥a ＋1＋2 a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4. 14．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ， 1b ＋1c ≥2 1bc ＝2a ， 1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。
高中数学 不等式证明(二)课件 苏教版必修5
从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件， 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。
例一、求证： 3 7 2 5 分析法 证： ∵ 3 7 0, 2 5 0 2 2 只需证明：( 3 7 ) (2 5 )
10 2 21 20 展开得： 即： 2 21 10
2 l l 周长为 l 的正方形边长为 4 ，截面积为 4 2
l l 问题只需证： > 2 4 2 2 l l 即证 4 2 > 16 4 1 1 两边同乘 l 2 ，得： 4 因此只需证：4 > （显然成立）
2
2 l l > ∴ 2 4
2 2 x y 1 ，则可令 x = cos , y = sin (0 2 )。 若
1 sin 2 2
2 2 2 x y r 若 ，则可令 x = rcos , y = rsin (0 2 )。
2 2 2 2 | x 2 xy y | 2 x y 1 练习：若 ，求证：
①
1 (1 a ) a 0 (1 a ) a ∴ 2 4
1 以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 64
与①矛
盾 ∴原式成立
练习 1 ：已知 0 < x < 1, 0 < a < 1 ，试比较 | log a (1 x) | 和 | log a (1 x) | 的大小。
证一： （综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0
a2 b2 c2 展开得： ab bc ca 2
苏教版数学必修五3《不等式》ppt课件
值，“2＜3”比“2≤3”更确切．
2．抓住题意中的关键词，明确基本数量关系，类比列 方程的方法，准确表示不等式．
典例解析
栏 目 链
接
题型1 用不等式(组)表示不等关系
例 1 已知某杂志每本原定价 2 元，可发行 5 万本，若每本提价
0.20 元，则发行量将减少 4 000 本，为使销售总收入不少于 9 万元，
(1)若 ac2>bc2，则 a>b；(2)若 a<b<0，则 a2>ab>b2；
栏
(3)若 a>b，1a>1b，则 a>0，b<0.
目 链 接
解析：(1)由 ac2>bc2 知 c≠0，
∴c2>0.∴a>b，故该命题为真命题．
(2) a<b⇒a2>ab；又 a<b⇒ab>b2，
a<0
b<0
∴a2>ab>b2，故该命题为真命题．
将“差”化成“积”；
栏
目
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不
链 接
确定的要分情况讨论)．
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形” 是关键．
►变式迁移
3．已知a，b∈R＋，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的 大小．
解析：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
栏
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
目 链
接
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当 x＝y＝21且 z＝1 时取等号．
高中数学第三章《不等式》教案(苏教版必修5)
5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
二、过程与方法
三、情感、态度与价值观
【教学重点与难点】 ：
重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性
目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
b 2 4 ac ，则不等式的解
的各种情况如下表： ( 让学生独立完成课本第 86 页的表格 )
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c y ax2 bx c y ax2 bx c
y ax2 bx c
（ a 0 ）的图象
一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0 的根
ax 2 bx c 0 (a 0)的解集
第 14 课时：本章复习与小结
【三维目标】 ：
一、知识与技能
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”
，会用作差法比较大小；
3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
如果 p 是定值 , 那么当 x y 时， s 的值最小； ○2 如果 s 是定值 , 那么当 x y 时， p 的值最大 .
注意： ①前提：“一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ② “和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
.
思维拓展： 已知 1 a b 5 ， 1 a b 3 ，求 3a 2b 的取值范围。
苏教版数学高二-必修五课件 基本不等式的应用
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地
铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
v
2
千米，那么
20
这批货物全部运到B市，最快需要__8__小时.
解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，
则 t＝400＋v162v02＝4v00＋1460v0≥2
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值， 但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的， 这时通常可以借助函数 y＝x＋px(p>0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤： (1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
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故③既够用，浪费也最少.
解析答案
4.函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为____2____.
解析 ①当x∈(0,2)时， x,4－2x＞0， f(x)＝x(4－2x)≤122x＋42－2x2＝2， 当且仅当2x＝4－2x， 即x＝1时，等号成立. ②当x≤0或x≥2时， f(x)＜0， 故f(x)max＝2.
4v00×14600v＝8(小时)，
当且仅当4v00＝14600v，即 v＝100 时，等号成立，
此时t＝8小时.
解析答案
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当堂检测
12345
1.下列函数中，最小值为4的函数是____③____.
①y＝x＋4x；
②y＝sin x＋sin4 x(0＜x＜π)；
③y＝ex＋4e－x；
④y＝log3x＋logx81.
第3章 § 3.4基本不等式 ab≤a＋2 b (a≥0,b≥0)
苏教版高中数学必修五课件§3.4.1基本不等式的证明.pptx
二.典型例题
基本不等 a
1 b
4
证明:Q1 a b
1的代换
1 1 ab ab b a 2 ab a b ab
Q a,b (0, )
b a 2 b a 2 (当且仅当a=b时取=) a b ab
b a 24即 1 1 4
ab
ab
二.典型例题—变式
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
分析: 将不等式左边的1代换为a+b+c.但若代换减数1, 则运算量明显增加,若代换分子中的1，则可达 到化简的目的.
二.典型例题—变式
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
Q a,b, c (0, ) a b 2 (当且仅当a=b时取=) ba
同理 c b 2, a c 2 (当且仅当a=b=c时取=) bc ca
a b c b a c 6 (当且仅当a=b=c时取=) babcca
a b c b a c 2 8 得证 babcca
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必修5§3.4.1基本不等式的证明
一.知识梳理
基本不等式的证明
1.算术平均数、几何平均数 ab
对叫于做正正数数a的,几b,何叫平做均正数数2 .的a算b 数平均数;
2.基本不等式 a b ab
2 (1)前提条件:.
a,b为正数
(2)取得等号条件:. a=b
3.不等式证明的方法
Q x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
苏教版数学高二苏教版必修5课件3.4.1基本不等式的证明
小结 如果 a，b 是正数，那么 ab≤a＋2 b(当且仅当 a＝b 时取“＝”).我们把不等式 ab≤a＋2 b(a≥0，b≥0)称为基 本不等式.
明目标、知重点
思考 5 如果把 ab看作是正数 a，b 的等比中项，a＋2 b看 作是正数 a，b 的等差中项，该定理如何叙述？ 答 两个正数的等比中项不大于它们的等差中项.
明目标、知重点
探究点一 基本不等式的证明
思考1 观察下列实验数据，你能得出两个正数a，b的算
术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？
a
30 59 92 70 25 11
b
39 99 23 99 54 100
ab 34.21 76.43 46 83.25 36.74 33.17
a＋b
2
34.5 79 57.5 84.5 39.5 55.5
明目标、知重点
例 2 已知 a，b，c 都是正实数，且 a＋b＋c＝1，求证：a1
＋1b＋1c≥9. 证明 ∵a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号.
明目标、知重点
反思与感悟 证明中把ba，ab，分别看作基本不等式中的 a， b 从而能够应用基本不等式；在利用基本不等式证明的过程 中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形 配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
明目标、知重点
跟踪训练 1 已知 a，b，c 为不全相等的正数，求证：a＋ b＋c> ab＋ bc＋ ca. 证明 ∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab>0，b＋c≥2 bc>0，c＋a≥2 ca>0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)， 即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca.
高中数学苏教版必修五《3.4.1基本不等式的证明》课件
(2) ab (a b)2 (a,b R) (当且仅当a=b时取=)
2
1
(3) a 2 (a 0) a
(当且仅当a=1时取=)
a b 2 (ab 0) (当且仅当a=b时取=) ba
基本不等式的证明
例1.已知 x 0,求证: x 1 2 x
分析:基本不等式的前提条件是: a,b 为正数,但现在 x 是负数,所以需要将其转化为正数.其方法就是 提取负号,即 x (x),x 0.
b a 24即 1 1 4
ab
ab
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
分析: 将不等式左边的1代换为a+b+c.但若代换减数1, 则运算量明显增加,若代换分子中的1，则可达 到化简的目的.
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
1.基本不等式 a b ab (1)前提条件: a,2b为正数 . (2)取得等号条件: a=b .
2.不等式证明的方法 (1)比较法;(2)综合法;(3)分析法.
基本不等式的证明
3.4.1
谢谢大家
苏教版 高中数学
x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
得证
基本不等式的证明
例2.设实数 x, y ,求证: x2 4 y2 2 2x 4 y 证明: x2 4 y2 2 2x 4 y
x2 4y2 2 2x 4y 0 x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) 0
x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
得证
基本不等式的证明
高中数学不等式学生版教案5苏教版必修5
1.画出下列不等式组所表示的区域
(1)
(2)
(3)(x-y+1)(x+2y-2)>0
2.如图所示阴影
C.
D.
例3利用平面区域求不等式组 的整数解.
思维点拔：
方法一：(1)画区域(2)求交点(3)通过定x的范围来确定整数x(4)再通过x的整数值来定y的整数值．
第2课时不等式
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.理解二元一次不等式组表示平面区域的含义，并能准确地作出二元一次不等式组表示的平面区域，还能处理一些逆向问题．
2.学会解决一些简单的整点问题．
【课堂互动】
自学评价
1．不等式组表示的平面区域
.
2．整点：.
【精典范例】
例1．画出下列不等式组所表示的区域
(1)
(2)
方法二：(1)画区域(2)打网格线(3)特殊点验证．
追踪训练二
在坐标平面上, 不等式组 所表示的平面区域内整数点个数为 ( )
A.１ B. ２
C. ３ D. ４
【解】
例2.如图, △ABC三个顶点A(0 , 4) ,B(－2 , 0) , C(2 , 0) , 求△ABC内任一点(x , y)所满足的条件.
思维点拔：
1.二元一次不等式组表示平面区域的画图步骤：画线(注意虚线还是实线)，定侧，求交．
2.由平面区域写不等式组，一要注意是否有等号，二要注意不要少写不等式．
高中数学第.基本不等式课件苏教版必修五(共7张PPT)
称为基本不等式
第四页，共7页。
我们把 a b 看做两个正数 a , b 的等差中项，
2
a b 看做正数 a , b 的等比中项，那么上面不等式可以
叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
还有没有其它的证明方法证明上面 的基ห้องสมุดไป่ตู้不等式呢?
第七页，共7页。
2
（当且仅当 ab时取“=”）
证明：∵ ( a)2( b)22ab
∴ ab2 ab
即： a b ab 2
当且仅当 ab时, a b ab
2
第三页，共7页。
称 a b 为 a , b 的算术平均数，
2
称 a b 为 a , b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a,b 为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。
第一页，共7页。
新课引入：
1. 如果 a,bR，那么 a2b22ab
（当且仅当ab 时取“=”）
证明： a2b22a b(ab)2
当ab时(a， b)2 当ab时(a， b)2
0a2
0
b2
2ab
1．指出定理适用范围： a,bR
a 2．强调取“=”的条件： b
第二页，共7页。
2. 如果 a , b 是正数，那么a b ab
第五页，共7页。
例题讲解:P88 例题1
练习:P88 1(验证基本不等式) 2(2)(4)
第六页，共7页。
6.小结：算术平均数、几何平均数的概念 基本不等式（均值不等式）及适合的条件.
7.作业：1.设为a, b, c 正数,证明下列不等式成立.
高中数学 第3章 不等式 3.4.2 基本不等式的应用课件 苏教版必修5
即 x=1 时,取“=”. 故 f(x)的最大值为-1.
一
二
三
2.若正实数 x,y 满足 +
4 ������
16 =1,则 ������
x+y 的最小值是
.
答案: 36
4 16 ∴x+y=1· (x+y)= + (x+y) ������ ������ 4������ 16������ 4������ 16������ =20+ + ≥20+2 · ������ ������ ������ ������ 4 16 解析: ∵ + =1, ������ ������
2
一
二
三
迁移与应用
1 1 2 2 4 (2)x<3,求 f(x)= +x 的最大值. ������-3 1 解: (1)∵0<x< ,∴1-2x>0. 2 2 1 1 2������+1-2������ y= · 2 x· (1-2x)≤ · 4 4 2 1 1 1 = × = . 4 4 16
1.(1)已知 0<x< ,求 y= x(1-2x)的最大值.
预习交流1 两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?
������2 有最大值为 . 4
提示: 不一定.如 ������ 2 + 2 + 为定值 1,但当 ������ 2 + 2 =
1 ������2 +2 1 ������2+2
1
������2 +2
中,虽然 ������ 2 + 2与
1
������2 +2
3.4.2 基本不等式的应用
高二数学苏教版不等式教案
普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§3.1 不等关系教学目标（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．教学重点，难点(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．教学过程一．问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？(3)某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设X,Y这两种食物各取x kg，y kg，那么x,y应满足怎样的关系？2．问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？二．学生活动在问题(1)中,设x 人(20x <)买20人的团体票不比普通票贵,则有82010x ⨯≤．在问题(2)中,设每本杂志价格提高x 元,则发行量减少50.50.22x x⨯=万册,杂志社的销售收入为5(2)(10)2x x +-万元．根据题意，得5(2)(10)22.42xx +->， 化简，得2510 4.80x x -+<．在问题(3)中,因为食物X ,Y 分别为x kg ，y kg ，故食物Z 为(10)x y --kg ，则有300500300(100)35000,700100300(100)40000,x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩ 即25,250.y x y ≥⎧⎨-≥⎩上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系. 三．建构数学1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．2．比较两实数大小的方法——作差比较法：比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．四．数学运用1．例题： 例1．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．解：,x y 满足的条件为638471000x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩．例3．比较大小：（1）(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-； （2）a mb m ++与ab（其中0b a >>，0m >）．分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．解：（1）)4)(2()5)(3(-+--+a a a a 22(215)(28)70a a a a =-----=-< ∴(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-．（2）()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m ab m b+>+．说明：不等式a m ab m b+>+（0b a >>，0m >）在生活中可以找到原型：b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若再添加m 克糖（0m >），则糖水便甜了．例4．已知2,x >比较311x x +与266x +的大小．解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+-2(3)(32)(3)x x x x =-+-+- =(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1） 当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +；（2） 当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +； （3） 当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +说明： 1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．2．练习：（1）比较2)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；（2）如果0x >,比较22)1()1(+-x x 与 的大小．五．回顾小结：1．通过具体情景，建立不等式模型；2．比较两实数大小的方法——求差比较法．六．课外作业：课本第68页 练习 第1，2，3题（“不求解”改为“并求解”）． 补充：1．比较222a b c ++与ab bc ca ++的大小；2．已知0,0,a b >>且a b ≠，比较22a b b a+与a b +的大小．普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§3.2 一元二次不等式（1）教学目标（1）通过函数图象了解一元二次不等式与对应函数、方程的联系；（2）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图； （3）掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用； （4）掌握将分式不等式转化为一元二次不等式求解．教学重点，难点弄清一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法，学会将分式不等式转化为一元二次不等式求解．教学过程一．问题情境在上节问题（2）中，我们得到不等式2510 4.80x x -+<，像这样只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x 轴交点的横坐标．那么，一元二次不等式和对应的二次函数是否也有内在的联系？下面先让我们考虑这样一个问题：当x 是什么实数时，函数2510 4.8y x x =-+的值是：（1）0；（2）正数；（3）负数．二．学生活动观察函数2510 4.8y x x =-+的图象，可以看出，一元二次不等式2510 4.80x x -+<的解集就是二次函数2510 4.8y x x =-+的图象（抛物线）位于x 轴下方的点所对应的x 值的集合． 因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x 轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集．第一步：解方程2510 4.80x x -+=，得120.8, 1.2x x ==； 第二步：画出抛物线2510 4.8y x x =-+的草图；第三步：根据抛物线的图象，可知2510 4.80x x -+<的解集为{|0.8 1.2}x x <<．三．建构数学一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间的关系：判别式ac b 42-=∆0>∆0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根四．数学运用1．例题：例１． 解下列不等式：(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥； (3) 2210x x -+<； (4) 2220x x -+<．解：(1)方程27120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2712y x x =-+的图象，可得原不等式27120x x -+>的解集是{|34}x x x <>或．(2)不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2230x x +-≤． 方程2230x x +-=的解为123,1x x =-=．根据223y x x =+-的图象，可得原不等式2230x x --+≥的解集是{|31}x x -≤≤．(3)方程2210x x -+=有两个相同的解121x x ==．根据221y x x =-+的图象，可得原不等式2210x x -+<的解集为∅．(4)因为0∆<，所以方程2220x x -+=无实数解，根据222y x x =-+的图象，可得原不等式2220x x -+<的解集为∅．归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数； （2）解对应的一元二次方程； （3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集． 思考：（1）求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++<>的过程，怎样用流程图来描述？（2）求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的过程，怎样用流程图来描述？ (3)不等式20(0)ax bx c a ++<<和20(0)ax bx c a ++><的解法？说明：对于例1（１），还可将其转化为一次不等式（组）来求解，这种求法不仅体现了化归思想，而且更有一般性．例2.（1）解不等式073<+-x x ；（若改为307x x -≤+呢？） （2）解不等式2317x x -<+； （3）解不等式2202x x x +-<-．(若改为：01122≥---x x x 如何？)解:(1)原不等式⎩⎨⎧>-<+⎩⎨⎧<->+⇔03,0703,07x x x x 或{|73}x x ∴-<< ({|73}x x ∴-<≤)(2)1007x x -<+即{|710}x x ∴-<<(3)分析：根据实数运算的符号法则，可以化为不等式组求解.原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集： (1)⎩⎨⎧>-≥--;01,0122x x x (2)⎩⎨⎧<-≤--.01,0122x x x(1)1(2)1 1.x x ≥<解得解得所以原不等式的解集是{|11x x ≤<或1x ≥．说明：本题是将一个比较复杂的不等式转化为不等式组进行求解，在解的过程中应注意何时取交集，何时取并集．在这里，集合知识得到了进一步应用．2．练习：课本第71页 练习第1、2、3题．(1)选择题：下列不等式中，解集为实数集Ｒ的是（ ）(A) ()012>-x （Ｂ）0>x (C) 083>+x （Ｄ）0322>+-x x(2)下列命题中正确的有①若12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个实数根，且12x x <，那么不等式20ax bx c ++<的解集是12{|}x x x x <<；②当240b ac ∆=-<时，二次不等式20ax bx c ++>的解集是φ；③210x x -->与21x x ->(3)解下列不等式：①423100x x --<； ②6x +<； ③2230x x -->五．回顾小结：1．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法； 2．掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用； 3．掌握将分式不等式转化为一元二次不等式求解．六．课外作业：课本第73页 习题3．2 第1，2，3，7题．补充：已知U R =，设{|11}A x x =-≥，2{|60}B x x x =--<，求A B I ，A B U ，()U C A B I ，()()U U C A C B I ．§3.2 一元二次不等式（2）教学目标（1）经历从实际情景抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法；（2）利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式；（3）让学生充分体会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进一步提高学习数学的兴趣．教学重点，难点运用一元二次不等式解决实际问题, 学会利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式．教学过程一．问题情境1.复习:一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？2.解不等式: (1) 234x x ->； (2)0322>-+-x x ；(3) 2(1)(30)0x x x --->； (4)2212311x x x -≥+-．3．归纳解一元二次不等式的步骤： （1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．二．数学运用 1．例题：例1．用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解：设矩形一边的长为()x m ，则另一边的长为50()x m -，050x <<．由题意，得(50)600x x ->，即2506000x x -+<．解得2030x <<．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形．用S 表示矩形的面积，则2(50)(25)625(050)S x x x x =-=--+<<．当25x =时，S 取得最大值，此时5025x -=．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解：由题意，得(16002)(50030)1300x x x --+≥，化简得2659000x x -+≤，解之得2045x ≤≤．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．解：由题意知，对于甲车，有20.10.0112x x +>，即21012000x x +->，解得3040x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h ．但根据题意刹车距离略超过12m ，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h ．对于乙车，有20.050.00510x x +>，即21020000x x +->，解得4050x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h ，超过规定限速． 例4．解关于x 的不等式2(2)20x a x a -++<.例5．已知：{}{}22|320,|(1)0A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤， (1)若A B ⊂≠，求a 的取值范围；(2)若B A ⊆，求a 的取值范围；(3)若A B I 为一元集，求a 的取值范围； (4)若A B B =I ，求a 的取值范围；解：由题意 {|12}A x x =≤≤，{|(1)()0}B x x x a =--≤ （1）A B ⊂≠Q ，2a ∴>；（2）B A ⊆Q ，12a ∴≤≤；（3）A B Q I 只有一个元素，1a ∴≤2．练习：课本第73页 练习 第1题 求下列不等式的解集:（1）22120x ax a --<； （2）2106511x x -≤+-≤．三．回顾小结：1．有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型； 2．利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式．四．课外作业：课本第73页 练习 第1题；习题3.2 第4题； 第96页 复习题 第1（3）、（4），2题． 补充：1．求不等式24318x x ≤-<的整数解；2．解不等式：（1）2223513134x x x x --≥-+； （2）223()0x a a x a -++>． 3．求不等式220x x a -+≤的解集．§3.2 一元二次不等式(3)教学目标（1）掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法； （2）从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题；（3）从二次函数或是一元二次方程的角度，来解决一元二次不等式的综合题．教学重点，难点从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题，掌握一元二次不等式恒成立的解题思路．教学过程一．问题情境复习:一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？（由学生上黑板画出相应表格）二．数学运用1．例题：例1.已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．解：Q 不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤∴125,1x x =-=是20x mx n -+=的两个实数根，∴由韦达定理知：5151m n -+=⎧⎨-⨯=⎩∴45m n =-⎧⎨=-⎩．例2．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集．解：由题意 23230b ac a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩， 即560b a c a a =-⎧⎪=⎨⎪<⎩．代入不等式20cx bx a -+>得： 2650(0)ax ax a a ++=<．即26510x x ++<，∴所求不等式的解集为11{|}32x x -<<-．例3．已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围． 解：Q 2(2)2(2)4y m x m x =-+-+为二次函数，2m ∴≠Q 二次函数的值恒大于零，即2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ．200m ->⎧∴⎨∆<⎩， 即224(2)16(2)0m m m >⎧⎨---<⎩，解得：226m m >⎧⎨<<⎩ m ∴的取值范围为{|26}m m <<（2m =适合）．拓展：1．已知二次函数2(2)2(2)4y m x m x =-+-+的值恒大于零，求m 的取值范围．2．已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+≤的解集为φ,求m 的取值范围． 3．若不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+≤的解集为φ,求m 的取值范围．归纳：一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0a <⎧⎨∆<⎩．例4．若函数y =中自变量x 的取值范围是一切实数，求k 的取值范围．解：Q y 中自变量x 的取值范围是R ，∴220x kx k ++≥恒成立．∴2440k k ∆=-≤ ∴01k ≤≤ 故k 的取值范围是{|01}k k ≤≤．拓展：若将函数改为y =，如何求k 的取值范围？例5．若不等式2210mx x m -+-<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求实数x 的取值范围．解：已知不等式可化为2(1)(12)0x m x -+-<．设2()(1)(12)f m x m x =-+-，这是一个关于m 的一次函数（或常数函数），从图象上看，要使()0f m <在22m -≤≤时恒成立，其等价条件是：22(2)2(1)(12)0,(2)2(1)(12)0,f x x f x x ⎧=-+-<⎪⎨-=--+-<⎪⎩ 即222230,2210.x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩ x <<所以，实数x 的取值范围是⎝⎭． 2．练习：关于x 的不等式223x x kk x x -+>-+对一切实数x 恒不成立，求k 的取值范围．三．回顾小结：1．从不等式的解集出发求不等式中参数的值或范围的问题； 2．一元二次不等式恒成立的问题．四．课外作业：课本第73页 第5、6题； 第96页 复习题 第4、11题． 补充：1．设12,x x 是关于x 的方程22210()x kx k k R -+-=∈的两个实根，求2212x x +的最小值；2．不等式02x ax->-的解集为{|22}x x -<<，求不等式20x x a ++>的解集； 3．已知不等式2222(1)0x ax a x x a+++>++对一切实数x 都成立，求a 的取值范围．§3.3.1 第5课时 二元一次不等式表示的平面区域教学目标（1）了解二元一次不等式的几何意义；（2）会画出二元一次不等式表示的平面区域；（3）会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域．教学重点、难点（1）二元一次不等式的几何意义；（2）二元一次不等式表示的平面区域的确定．教学过程一．问题情境1．情境：课本第67页引例（3）：下表给出了,,x y z 三种食物的维生素含量及成本：A 及40000单位的维生素B ，设X 、Y 这两种食物各取x kg 、y kg ，那么,x y 应满足怎样的关系？解答：∵X 、Y 这两种食物分别为x kg 、y kg ，∴食物Z 为100x y --kg ，则有300500300(100)35000700100300(100)40000x y x y x y x y ++--≥⎧⎨++--≥⎩，即25250y x y ≥⎧⎨-≥⎩， 又∵,0x y ≥，∴252500,0100y x y x y x y ≥⎧⎪-≥⎪⎨>>⎪⎪+<⎩（介绍二元一次不等式的概念），如果进一步要求,x y 如何取值时总成本W 最小呢？ 如何解决该问题．问题转化为在以上不等式组约束下，求543(100)2300W x y x y x y =++--=++（介绍目标函数概念）的最大值问题．要解决以上问题，我们首先要来了解二元一次不等式的几何意义．2．问题：坐标满足二元一次方程20x y +-=的点组成的图形是一条直线l ．怎样才能快速准确地画出直线l 呢？（学生答：描两点连成线．例如：该直线经过点(2,0)A 和(0,2)B ，画出经过,A B 两点的直线即为所求）．教师问：怎样判断点(1,3)在不在直线l 上呢？结论：点的坐标满足直线的方程，则点在直线上；点的坐标不满足直线方程，则点不在直线上．坐标满足不等式20x y +->的点是否在直线l 上呢？这些点在哪儿呢？与直线l 的位置有什么关系呢？二．学生活动通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方．（教师用几何画板验证以上结论的正确性）．三．建构数学1．进一步验证结论的正确性：如图，在直线20x y +-=上方任取一点(,)P x y ，过P 作平行于y 轴的直线交直线20x y +-=于点(,2)A x x -+， ∵点P 在直线上方，∴点P 在点A 上方， ∴2y x >-+，即20x y +->，∵点P 为直线20x y +-=上方的任意一点，所以，直线20x y +-=上方任意点(,)x y ，都有2y x >-+，即20x y +->；同理，对于直线20x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有2y x <-+，即20x y +-<． 又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式20x y +->的点在直线的上方，我们称不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=上方的平面区域；同样，不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=下方的平面区域．练习：判断不等式230x y -+>表示的是直线230x y -+=上方还是下方的平面区域？（下方）2．得出结论： 一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域． 说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．四．数学运用1．例题：例1．判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式32x y >-+表示直线32xy =-+ 的平面区域； （2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域； （3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域； （4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．xyO下半平面 y kx b <+上半平面 y kx b >+y kx b =+ 20x y +-=2 2x yO(,)P x y •说明：二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．例2．画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+； （2）20x y -+>． 解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：例3．将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）：解：（1）0x >；（2）6522x y +≤；（3）y x >．例4．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是 ．提示：将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x y a +-的符号相反，即(2)0a a -⋅-<，∴02a <<．例5．（1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ． （2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？解：（1）∵直线2360x y -+=下方的点的坐标满足223y x <+，∴22(2)233t <⨯-+=． （2）∵直线320x y a -+=的上方区域的点的坐标满足322ay x >+，∵点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，∴02a<，∴0a <．又∵3313022a a -⨯+-=<，∴点(1,3)在此直线的上方区域．2．练习：课本第76—77页 练习 第1、2、3题．五．回顾小结：1．二元一次不等式的几何意义；2．二元一次不等式表示的平面区域的确定．六．课外作业：课本第86页 习题3.3 第1（1）（2）题、第2（1）题． 课本第77页 练习 第4、5题．§3.3.2 第6课时 二元一次不等式组表示的平面区域教学目标（1）能用平面区域表示二元一次不等式组；（2）能根据平面区域写出相应的二元一次不等式组．教学重点、难点用平面区域表示二元一次不等式组．教学过程一．问题情境1．情境：通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义． 那么，二元一次不等式组410 (1)4320 (2)x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的几何意义又如何呢？二．建构数学根据前面的讨论，不等式（1）表示直线104y x =-及其下方的平面区域；不等式（2）表示直线43200x y +-=及其下方的平面区域．因此，同时满足这两个不等式的点(,)x y 的集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图①所示）．如果再加上约束条件0,0x y ≥≥，那么，它们的公共区域为图②中的阴影部分．三．数学运用 1．例题：例1．画出下列不等式组所表示的平面区域：（1）2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩ （2）004380x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩解：（1）不等式21y x ≤+表示直线21y x =+及其下方的平面区域； 不等式24x y +>表示直线24x y +=上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域． （2）原不等式组所表示的平面区域即为不等式4380x y +-< 所表示的平面区域位于第一象限内的部分．思考：如何寻找满足（2）中不等式组的整数解？（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式图① 图②组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解）例2．ABC ∆三个顶点坐标为(0,4),(2,0),(2,0)A B C -，求ABC ∆内任一点(,)x y 所满足的条件．解：ABC ∆三边所在的直线方程：AB ：240x y -+=；AC ：240x y +-=；BC ：0y =．ABC ∆内任意一点都在直线,AB AC 下方，且在直线BC 的上方，故(,)x y 满足的条件为2402400x y x y y -+>⎧⎪+-<⎨⎪>⎩．例3．满足约束条件202305350y x x y x y -≤⎧⎪++>⎨⎪+-<⎩的平面区域内有哪些整点？答案：画图可得：共有(1,1)-、(2,2)-、(0,0)、(0,1)-四个点．2．练习：课本第80页 练习第1、2、3、4题．四．回顾小结：1．用平面区域表示二元一次不等式组； 2．平面区域中整点的寻求方法．五．课外作业：课本第87页 习题3.3 第1（3）（4），2（2）（3），3题；第97页 复习题 第6题．§3.3.3 第7课时 简单的线性规划问题（1）教学目标（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义； （2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．教学重点、难点二元线性规划问题的解法的掌握．教学过程一．问题情境1．问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？二．建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示． 其次，将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y 轴上的截距为P ．平移直线2y x P =-+，当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点5(,5)4A 时，直线在y 轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当5,54x y ==时，目标函数取得最大值5257.54⨯+=，即当甲、乙两种产品分别生产54t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元． 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中5(,5)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线2y x P =-+时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．三．数学运用1．例题：例1．设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上，作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈， 可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大． 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小， 所以，max 25212z =⨯+=，min 2113z =⨯+=．例2．设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值．解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=．说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2．线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．2．练习：课本第84页 练习 第1，2，3题．四．回顾小结：1．简单的二元线性规划问题的解法．五．课外作业：课本第87页 习题3.3 第4题． 第97页 复习题 第7题．§3.3.3 第8课时 简单的线性规划问题（2）教学目标OyxA C430x y -+=1x = 35250x y +-=（1）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法； （2）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．教学重点、难点用画网格的方法求解整数线性规划问题．教学过程 一．数学运用例1．设,,x y z 满足约束条件组1320101x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值。
高中数学苏教版必修五《基本不等式的综合运用》课件
4
若函数f(x)的定义域为D，则当 x D时有： f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_i_n___M_____ f (x) M 恒成立 __f__(_x_)_m_a_x____M____
易求得 当t
3 即 x 0 时，函数的最小值为
4 3 1. 3
方法提炼：应用基本不等式时在前两个条件满足
后，“相等”同样不能忽视.否则容易出现错解.
1.函数
f
x
x
4 x
的值域是_____， ____4__ 4，
2.若 x 0
x2
1 x2
___
2 （用不等号连接）
1
3.已知 0 x 1 ，函数 y x1 3x的最大值是 __1__2_
已知 x, y 0,且
1 x
1 y
1
，求
x 2y 的最小值。
分析：本题在于奇妙构造基本不等式求最值
的基本情势。但如果本题选择在条件中应用
基本不等式，然后在结论中再次应用基本不
等式的解法时，等号成立的条件不一定会同
时满足。
典型例题一
解：
x
2y
1 x
1 y
x
2y
2y x
x y
3
又 x, y 0, 2y x 2 2y x 2 2
苏教版 高中数学
基本不等式 的综合应用
1.应用基本不等式时要注意的几个问题 2.利用基本不等式求函数的最值问题 3.利用基本不等式解决恒成立问题
（1）基基本本不不等等式式__a__2_b____a_b__.
苏教版数学高二-必修五课件 3.4.1 基本不等式的证明
解析答案
题型二 用基本不等式证明不等式 例 2 已知 a，b，c 为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：1a＋1b＋1c≥9. 证明 1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc＋c
＝3＋(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)
≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立.
①a2＋b2＞2ab；
②a＋b≥2 ab；
③1a＋1b＞ 2ab；
④ba＋ab≥2.
解析 对于①，应该为a2＋b2≥2ab，漏等号，故①错误；
对于②，当 a＜0，b＜0 时，ab＞0，但 a＋b＜2 ab，故②不成立；
对于③，当a＜0，b＜0时，ab＞0，故③不成立；
对于④，∵ab＞0，则ba＞0 且ab＞0，∴ba＋ab≥2 ba·ab＝2， 当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时，取“＝”.故④正确.
1234
解析答案
1234
4.若 a＞b＞1，P＝
lg a·lg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lg
a＋b 2 ，则它们的
大小关系是__R_＞__Q_＞__P__.
解析 ∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，∴Q＞P，
又 Q＝12(lg a＋lg b)＝12lg ab＝lg
a＋b ab＜lg 2 ＝R，
∴R＞Q＞P.
解析答案
课堂小结
1.两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab都是带有等号的不等式， 对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.
a＋b 一方面：当 a＝b 时， 2 ＝ ab；
a＋b 另一方面：当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
2.由基本不等式变形得到的常见的结论
(1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
【江苏版】2013年高二数学教案3.4.2《基本不等式的应用》(苏教版必修5)
基本不等式的应用学习目标1.知识与技能掌握基本不等式在求解实际问题中的应用，培养学生抽象概括问题的能力.2.过程与方法通过对实际问题的研究,体会数学建模的思想.3.情感、态度与价值观通过本节的学习,开拓数学视野,认识数学的科学价值与人文价值.教学过程一. 复习回顾二. 1.基本不等式用应用的条件;2.和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用.二. 数学运用1.例题讲解：例1. 用长为4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？分析:设矩形的长为(02)x x a <<,则它的宽为2a x -,矩形的面积为(2)S x a x =-, 用二次函数或基本不等式可求最值.例2. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，用基本不等式求解.解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得l ＝240000＋720（x ＋1600x）≥240000＋720×2x ·1600x ＝240000＋720×2×40＝297600(元) 当x ＝1600x，即x ＝40时，l 有最小值297600 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立. 例3．过点(1,2)的直线l 与x 轴的正半轴y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，当AOB ∆的面积最大时，求直线l 的方程.分析：这是解析几何中的最值问题,可先由直线方程得到条件,再用基本不等式求解. 解:设点(,0),(0,)(,0)A a B b a b >4a ,则直线l 方程为1x y a b +=由题意得:121a b +=.所以有1218ab a b =+≥⇒≥142AOB S ab ∆⇒=≥.当且仅当12a b=,即2,4a b ==取“=”.此时直线方程为240x y +-=. 评注:此题还可以由121a b +=得21a b a =⇒-2121AOB a S ab a ∆==- 再用换元法10t a =->,从而用基本不等式求解. 实际上，这种类型的函数一般都可转化为a y x x=+型. 例 4.一份矩形的印刷品的排版面积为A ,它的两边各留宽为a 的空白, 顶部与底部各留宽为a 的空白.如何选择纸张的的尺寸,才能使纸的用量最少?分析: 纸的用量最少即是要求纸的面积最小.方法一:设印刷品的长和宽分别为,,x y 则x y A =g .于是纸张的面积为2(2)(2)2244S x y x a y b A ay bx abA ab ==++=+++≥++=+g 当且仅当22ay bx =即2x a =+. 方法二:设纸张的长和宽分别为,,x y 则(2)(2)x a y b A --=.于是纸张的面积为 (2)22222Ax A x a a S x y bx bx x a x a -+==+=+--g 22(2)42Aa b x a A ab x a=+-++- 再用基本不等式求解.评注:此例是生活中的问题,由于条件中给出的都是字母,所以增加了问题的难度.方法二中也可以用换元法: 设2,2x a m y b n -=-=,从而转化为方法一.2.课堂练习:P.941,2,3题.三．课堂小结应用基本不等式解决实际问题,要先将实际问题转化为数学模型,再应用基本不等式求解,同时要考虑解的实际意义.四．课后作业P.95习题 第 7,8.10题.。
苏教版高中数学必修5 不等式第15课时综合练习题
已 知 a > 0,b > 0, c > 0 ， 且
a+ b+ c = 1，
求
证
：
≥ (a1b1 + a2b2 + + anbn )2 ． (n Î N + )
(a + 1 )2 + (b + 1)2 + (c + 1)2 ³ 100abc3
证明：设 f (x) = (a12 + a22 + + an2 ) x2
证明略．类似于范例的证明．
- 2 (a1b1 + a2b2 + + anbn )x
+ (b12 + b22 + + bn2 ) ． 当 a12 a22 an2 ＝０，即
a1 = a2 = = an = 0 时，柯西不等式显
然成立．
当 a12 a22 an2 ≠０，即 a12 a22 an2 ＞０时，
划应用题时要注意规范解题，写全解题步
骤。 ３．利用基本不等式求最值或证明不等 式，运用时往往需作适当的变形，创造条 件应用基本不等式，常用变换技巧是“拆 添项”“配凑因子”和“平方”等。应用基 本不等式求最值时，要注意考虑三要素，
证明：由 (12 12 )[(a 1 )2 (b 1)2 ]
a
个实根 x1, x2 , 且 0 < x1 < 1< x2 < 2 ，求 a 的取值范围．
【解】设
高中数学精选学习内容
f (x) 7x2 (a 13)x a 2 a 2
f (0) 0
则
f
(1)
0
f (2) 0
（2）作差比较法易证． 听课随笔
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32
1
x x (4,5) 10
3180,0
y x
y x
y
，则2z 14 ． 已知
532x y
，(,)x y R ，则xy 的
15 ． ,a b
R ,则下列四个a b ,2,22
b 的大小
关系为2ab a b ≤ab ≤2a ≤222
a b .
【精典范例】
解关于x 的不等式：
2)4a x 【解】0=a ,{}2|<x x
0<a ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x
听课随笔
听课随笔
例2：设a
R ，关于x 的一元二次方程
2
2
7(13)20x a x
a a 有两个实根,,21x x 且1
2
012x x ，
求a 的取值范围．
【解】设
=)(x f 2)13(722--++-a a x a x
则⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>0)2(0)1(0)0(f f f 解出4312<<-<<-a a 或
例３. 某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？
答案：容易解得当x=20,y=24时，目标函数z=7x+12y 取得最大值428万元。
例4数列n
x 由下列条件确定：
1
0,x a
1
1()2
n
n n
a x x x ()n N ，
当2n
时，求证：
（１）n x a （２）1n
n x x
证明：（1）先说明0>n x ，然后用基本不等式易证．
（2）作差比较法易证．
例5.y k x y 对所有
正数y x ,都成立，求k 的最小值．
解：可解出：
y
x y x k ++≥
令u=
y
x y x ++.
则222=+++=
y
x xy
y x u
（当且仅当y x =时取等号）
所以当y x =时，u 的最大值为2，所以
2≥k ，所以k 的最小值为2．
听课随笔
1122
)n n a b a b a b ．()n
N
证明：设()
f x 2
2
212
()n a a a 2x
1
22)n n b a b a b x
222
)n b b ．
当2
2221n a a a +++ ＝０，即
120n
a a a 时，2
2221n a a a +++ ≠０，即 0恒成立．
0, 化简变形即得
1122
)n n a b a b a b ．()n
N
【精典范例】
已知0,0a
b ，且1a b ，求证：
2
2125)()2
b
a
b
证明：由])1()1)[(11(222
2
b
b a a +++
+ 2)]1(1)1(1[b a +⨯++⨯＝(2211100
))()3
c
a
b
c 证明略．类似于范例的证明． 听课随笔。