信号与系统第六章+系统函数47
信号与系统第三版教案第6章课件
零、极点的表示：
图1
阻抗函数的意义： H (s) U (s) 1
s
I (s) C (s s1)(s s2 )
图2
二、零极点分布与时域特性
例
h( t ) = £1[H( s )]
H (s)
1 s
s
1
0
s2
2 0
(s
0 )2
02
h(t) (t) et sin 0t et sin 0t
图3
结论：
• 极点位于S平面原点，h( t )对应为阶跃函数； • 极点位于S平面负实轴上， h( t )对应为衰减指数函数； • 共轭极点位于虚轴上， h( t )对应为正弦振荡； • 共轭极点位于S的左半平面， h( t )对应为衰减的正弦振荡； • H( s )的零点只影响h( t )的幅度和相位, H( s )的极点才决定
时域特性的变化模式。
三、H(s)与频域特性
由H(s)可以决定系统的频率特性H(j)，即
H ( j) H (s) s j
二阶系统的四种频域特性：
低通函数： 高通函数： 带通函数： 带阻函数：
H
(
j )
K
s2
a bs
a
s
j
H
(
j
)
K
s2
s2 bs
a
s j
H
(
j )
K
s2
s bs
a
s
j
H
(
j )
K
a1a2 a0a3
例 导弹跟踪系统
H (s)
s3
34.5s2 119.7s 98.1 35.714s2 119.741s 98.1
N (s) D(s)
信号与系统系统函数的零极点分析课件
极点的位置也会影响系统的噪声性能，极点靠近虚轴时，系统对噪声的抑制能力较强。
极点对系统稳定性的影响
实数极点影响系统稳定性
实数极点会使得系统函数在某点趋于无穷大，导致系统不稳 定。极点的位置决定了系统稳定的程度和响应速度。
复数极点影响系统稳定性
复数极点会影响系统的频率响应特性，进而影响系统的稳定 性。如果复数极点位于左半平面，则系统稳定；反之，位于 右半平面则不稳定。
零点与系统极点的关系
在复平面内，零点和极点可以影响系统的稳定性，极点的位置更为 关键。
稳定系统中的零点作用
在稳定的系统中，零点可以起到调节系统性能的作用，但不会改变 系统的稳定性。
零点对系统频率响应的影响
零点对低频响应的影响
某些零点的位置会影响系统的低频响应，可能导致低频增益降低 或相位滞后。
零点对高频响应的影响
傅里叶分析
将信号分解为不同频率的正弦波 和余弦波，研究信号的频谱特性 和系统的频率响应。
拉普拉斯变换
将时域函数转换为复平面上的函 数，通过分析系统的传递函数来 研究系统的稳定性、极点和零点 等特性。
Z变换
将离散时间序列转换为复平面上 的函数，通过分析系统的差分方 程来研究离散时间系统的特性。
系统函数与零极点
频率响应分析
零极点分布影响系统的频率响应特性，通过分析零极点 可以预测系统的频率合理设计系统的零极点，可以实现特定的系统性能 指标，如快速响应、低超调量等。
系统函数的零点分析
03
零点对系统性能的影响
零点位置影响系统性能
01
零点位置的不同会导致系统性能的差异，例如系统的幅频特性
极点的定义与性质
定义
极点是系统函数在复平面上具有无穷大 增益的点，即系统函数的分母为零的点。
【信号与系统】03-系统函数的性质
【信号与系统】03-系统函数的性质1. 系统函数的性质1.1 变换的对偶性 不管是傅⾥叶变换的频域还是拉普拉斯变换的s域（下⾯统称s域），都是深⼊讨论LIT系统的有⼒⼯具，有时甚⾄是必备⼯具。
s域的系统函数和时域的信号（单位冲激响应）是⼀对共⽣体，它们通过拉普拉斯变换⽣成彼此，同时也是连接两个域的纽带。
对⼀个函数解析式，经常要对它做⼀些常规的分析操作，⽐如运算、平移、缩放、微积分、卷积等。
⼀个很⾃然的问题是，在某个域的分析操作会对另⼀个域带来什么影响呢？本篇就来讨论这个问题。
在正式讨论之前，有必要再回顾⼀下拉普拉斯变换的公式。
你可能⼀开始就注意到，正反变换存在⼀定的“对称性”，⽽仅在局部有微⼩差别。
在数学上，两个概念如果通过类似的⽅法互相定义，它们就称为对偶的，从形式上不难看出，互为对偶的概念的性质也是对偶存在的，这就省去了相似论证的⿇烦。
信号x(t)和拉普拉斯变换H(s)之间不具有严格的对偶性，但这样的相似性仍然可以被使⽤。
如果记χ(ω)=eσ√2πX(σ+jω)，将得到更为对称的式（1），把这个关系记作变换T，显然有式（2）成⽴。
以后变换的性质如果本⾝不是对称的，可以运⽤该式迅速得到另⼀个对称的性质，当然简单的性质直接证明会更快。
x(t)=1√2π∫∞−∞χ(ω)e jωt dω;χ(ω)=1√2π∫∞−∞x(t)e−jωt d t x(t)T↔χ(ω)⇔χ(t)T↔x(−ω)1.2 拉普拉斯变换的性质 以下按函数运算的复杂程度，罗列LT的基本性质，过于直⽩的结论不加证明。
需要注意的是，性质成⽴有它⾃⼰的ROC，并不完全受限于原LT的ROC。
还有我们知道，ROC和积分在具体的s上的收敛性是不同的，以下性质在ROC外的收敛点仍然可以是成⽴的。
⾸先是函数的线性运算，在s域也是线性的（式（3））。
然后看函数的平移，容易有式（4）左成⽴，在s域的平移还有式（4）右成⽴，这是⼀组对偶性质。
当对函数进⾏伸缩时，频谱系数也跟着反⽐例伸缩（式（5）左）；特别地，a=−1时表⽰函数左右翻转（旋转180度），s域则也跟着旋转180度（式（5）右）。
信号与系统6-1
C
u1 (t )
s 解： U1 ( s ) 2 s 4
R
u2 (t )
1 s s LC U 2 ( s ) U1 ( s ) H ( s ) 2 s 4 s2 s 1 RC LC
2
将激励信号的极点抵消
2 2
则不会出现强迫响应分量
可见，欲使u2(t)中不出现强迫响应分量，则必须有
试证明系统的正弦稳态响应为：
yss (t ) | H ( j0 ) | Em cos[0t (0 )]
电信学院
第六章第1讲
22
系统函数与正弦稳态响应
证：激励函数可表示为
1 f (t ) Em (e j0t e j e j0t e j ) 2 1 e j e j F ( s ) Em 激励的拉氏变换 s j s j 2 0 0
( s j 2)( s j 2) s2 4 H ( s) H 0 H0 s( s j 4)( s j 4) s( s 2 16)
j2
0
- j2
又： h(0 ) lim h(t ) lim sH ( s) 1 可得：H0=1 t 0 s 故： H (s) s 2 4
t
j
( 2)
h(t )
a
2 0
j
t e a t (t )
h(t )
t
( s a)
2
0
a
e a t sin( 0t ) (t )
第六章第1讲
t
电信学院
11
系统函数的极点与冲激响应波形对应
信号与系统第六章习题答案
第六章 离散系统的Ｚ域分析 ６．１学习重点 1、离散信号z 域分析法—ｚ变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据ｚ变换的定义以及性质求常用序列的ｚ变换；理解ｚ变换与拉普拉斯变换的关系。
2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求z 反变换。
3、离散系统z 域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。
4、z 域系统函数()z H 及其应用。
5、离散系统的稳定性。
6、离散时间系统的z 域模拟图。
7、用MATLAB 进行离散系统的Z 域分析。
６．２ 教材习题同步解析 6.1 求下列序列的z 变换，并说明其收敛域。
（1）n 31，0≥n （2）n−−31，0≥n（3）nn−+ 3121，0≥n （4）4cos πn ，0≥n（5）+42sin ππn ，0≥n 【知识点窍】本题考察z 变换的定义式 【逻辑推理】对于有始序列离散信号[]n f 其z 变换的定义式为()[]∑∞=−=0n nzn f z F解：（1）该序列可看作[]n nε31()[][]∑∑∞=−∞=− == =010313131n n n nn n z z n n Z z F εε对该级数，当1311<−z ，即31>z 时，级数收敛，并有 ()13331111−=−=−z zz z F其收敛域为z 平面上半经31=z 的圆外区域 （2）该序列可看作[]()[]n n nnεε331−=−−()()[][]()[]()∑∑∞=−∞=−−=−=−=010333n nn nnnzzn n Z z F εε对该级数，当131<−−z ，即3>z 时，级数收敛，并有()()33111+=−−=−z zz z F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（3）该序列可看作[][]n n nn n n εε+ = + −3213121()[][]()∑∑∑∞=−∞=−∞=−+ =+ = + =01010*********n nn n n nn n n n z z z n n Z z F εε对该级数，当1211<−z 且131<−z ，即3>z 时，级数收敛，并有 ()3122311211111−+−=−+−=−−z zz z z zz F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（4）该序列可看作[]n n επ4cos()[]∑∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−∞=−+=+== =0140140440*******cos 4cos n nj n nj nn j j n n z e z e z e e z n n n Z z F πππππεπ对该级数，当114<−ze j π且114<−−zejπ，即1>z 时，级数收敛，并有()122214cos 24cos 21112111212222441414+−−=+−−=−+−=−×+−×=−−−−z z zz z z z z e z z e z z z eze z F j j j j ππππππ其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 （5）该序列可看作[][][]n n n n n n n n εππεππππεππ+=+= +2cos 2sin 222sin 4cos 2cos 4sin 42sin()[]()122212212212cos 22cos 2212cos 22sin 222cos 222sin 222cos 2sin 222222222200++=+++=+−−++−=+=+=∑∑∞=−∞=−z z z z z z z z z z z z z z z n z n n n n Z z F n nn n ππππππεππ 其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 6.2 已知[]1↔n δ，[]a z z n a n −↔ε，[]()21−↔z z n n ε， 试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换。
信号与系统ch6
转移阻抗
Z 21 t ( s )
U 2 (s) I1 (s)
转移导纳
Y 21 t ( s )
I 2 (s) U 1 (s)
电压传输系数 电流传输系数
T u 21 ( s )
T i 21 ( s )
U 2 (s) U 1 (s)
I 2 (s) I1 (s)
3.系统函数表示系统激励与响应之间的因果关系
H i (s) (s a) 0
2
a j 0
at
ω0
-ω0 σ
hi ( t ) e
Cos 0 t
－a 0 ×
(二) 极点在虚轴上 1． 在原点 p a 0
i
——减幅的余弦振荡
H i (s)
1 s
hi (t ) (t )
2． 不在原点上
N (s) 0
a n s a n 1 s
N (s)
z1 的根： , z 2 , , z m称为函数 H ( s ) 的零点，使 H ( s ) 0
极零图：把系统函数的极点和零点标绘在s平面中，就 成为极点零点分布图，简称极零图。 ( s 2 )( s 4 ) H (s) 例
令 复因式 ( j z i ) 矢量 j 与 z i 之差＝ z i点至 j 的矢量 ＝ B i e j i ( A k , B i 模 ) 令 j k （差矢量） ( k , i 辐角 ) ( j p k ) 矢量 j 与 p k 之差＝ p k 点至 j 的矢量 ＝ A k e
0 : B 1 0 , Z 0 , 1 2 0 , ( ) 90 : A1 , A 2 , B1 , Z 0 , 1 2 180 , ( ) 90 0 : Z 最大值 , 90 , ( ) 0 （谐振）
信号与系统第六章
2 ( k) T n
1 X p ( j ) X ( j ( ks )) T k
要想使采样后的信号样本能完全代表原来的信
号，就意味着要能够从 X p ( j ) 中不失真地分离
出 X ( j ) 。这就要求 X p ( j ) 在周期性延拓时不能
1. 如何用连续时间信号的离散时间样本来表示
连续时间信号——采样定理。
2. 如何从采样所得到的样本重建连续时间信号。 3. 欠采样导致的后果——频谱混叠。 4. 连续时间信号的离散时间处理。 5. 离散时间信号的采样、抽取及内插。 6. 频域采样。
6.1 用样本表示连续时间信号: 采样定理
Theorem of Sampling 一. 采样: Sampling 在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的 过程称为采样。 是否任何信号都可以由它的离散时间样本来表 示？
H ( j )
T
e
j
T
2
T
2 T
0
H r ( j )
1
T
T
0
H r ( j )
2
T
T
0
T
2
0
T
实际上，H r ( j ) 不能真正实现，常对其做充分近似设计。 零阶保持输出本身可被认为是一种对原始信号的充分近似， 是一种比较 粗糙的内插，下一节将更详细地介绍通过内 插从信号样本重建信号。
x(t )
t
0
采样函数 p (t )
2T
T
t
0
T
2T
x p (t ) x(2T ) x(T )
信号与系统系统函数_41-80
2022/4/5
29
二．系统的信号流图表示法
实际上是用一些点和支路来描述系统：
X s
H s
Ys 流图
X s
H s
Ys 方框图
Xs、Y s 称为结点
线段表示信号传输的路径，称为支路。 信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近， 相当于乘法器。
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30
三．术语定义
结点：表示系统中变量或信号的点。
3 1+k 0
(8-k)/3 0 0
1+k 0 0
根据罗斯判据,以上阵列中第一列元素应为
正值,即: (8-k)/3＞0
k＜8;
1+k ＞0
k ＞-1;
∴-1 ＜k ＜8时系统是稳定的.
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18
1 例7.2-3:H(s)= s2 3s 2 k 为使系统稳定,
常数k满足什么条件？
an an-2
解：构建罗斯阵列
an-1 1 3 an-3
cn1
1 an1
anan2 an1an3
1 3
1 3
3 8k 1k 3
cn3
1 an1
anan4 an1an5
0
3 1+k
cn-1 cn-3 dn-1
dn1
1 cn1
an1an3 cn1cn3
3 8k
3 8k
3
1 k 0 1k
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将H(s)的特征多项式A(s)的系数排成罗斯阵 列为: 1 3 0 0
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罗斯阵列: an an-2 an-4 ….. 第1,3,5项的系数 an-1 an-3 an-5….. 第2,4,6项的系
信号与系统 第六章
ω ω (1 ω ) = +j 2 2 2 (1 ω ) + ω (1 ω 2 ) 2 + ω 2
2
V 1
ω =0
H ( jω )
1 2
U
= U (ω ) + jV (ω )
ωห้องสมุดไป่ตู้
3.极点,零点图(Pole-Zero Plot ) 极点, 极点 系统函数可以表示成有理函数的形式, 系统函数可以表示成有理函数的形式,即
M e , M r 为有限值
∵ r (t ) = e (t ) h (t )
∴ r (t ) = e(t ) h(t ) =
+∞
∫
+∞
∞
e(t τ )h(τ )dτ
+∞ ∞
≤ ∫ e(t τ ) h(τ ) dτ ≤ ∫ h(τ ) dτ M e = M r ∞
∴ 要求
结论: 结论:
除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的 有限的, ∫ 除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的,即
bm s m + bm1s m1 + + b1s + b0 H (S ) = an s n + an1s n1 + a1s + a0 极点——使 H (s ) 为无穷大的 使 极点 零点——使 零点——使 H (s ) 为 0 的 (1)
s 值,即分母多项式等于 的根; 即分母多项式等于0的根 的根;
表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 复轨迹和极点零点分布图. 复轨迹和极点零点分布图. 1.频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性
信号与系统 连续时间LTI系统的系统函数
§5.6 系统函数
信号与系统
一．系统函数
e(t ) E (s) h (t ) H (s)
r (t )
1.定义
R( s)
所以
r (t ) e(t ) h(t ) R( s) E ( s) H ( s) 零状态响应的拉 R( s ) H ( s) 氏变换与激励的 E ( s) 拉氏变换之比
系统函数的求解方法:
h(t ) H ( s)
微分方程两端取拉氏变换
Yzs ( s) H ( s) X (s)
利用电路网络的 s 域元件模型图，列 s 域方程 从系统框图或信号流图写出系统函数（Mason公式）
H ( s)
R( s ) E ( s)
信号与系统
二．系统函数的求解（从微分方程求解）
例：电路如图，响应分别为 uC (t ), iL (t ) ，求对应的系统函数
t iLiLt C + C + x tt uCCt t u x L 1Hs 解：设系统的初始储能为0，各器件写出其复数阻抗 - 1 s 1F SL + +
U C ( s) I L ( s) H1 ( s) , H2 s X ( s) X ( s)1 x (t ) 2 s) 1 - II11((s )) 1 2 s 1
1 + 1Fs +
I 2 ( s) s 2 2s 1 H ( s) 2 X ( s ) s 5s 2
信号与系统
二．系统函数的求解（从电路的S模型求解）
信号与系统
二．系统函数的求解（从电路的S模型求解）
例：给定电路如图所示，求对应的系统函数 H ( s) I 2 ( s) X ( s) 解：设系统的初始储能为0，各器件写出其复数阻抗 1 1 电阻 R 1 电容 sC s
智慧树答案信号与系统(西安交通大学)知到课后答案章节测试2022年
绪论1.图像增强属于系统综合。
答案:对2.这门课程中研究的信号是确定性信号。
答案:对第一章1.ω0越大，离散时间序列sin（ω0n）的频率越高。
答案:错2.离散时间信号在n1≦n≦n2区间的平均功率为答案:错3.一切物理可实现的连续时间系统都是因果的。
答案:错4.对任意的线性系统，当输入为零时输出也一定为零。
答案:对5.已知信号x当n＜—2或n＞4时等于零，则x当（）时一定等于零。
答案:n＜-7和n＞-16.某系统的输入输出关系为y＝，则该系统是一个（）系统。
答案:因果不稳定7.离散时间信号的基波频率是（）。
答案:8.在信号与系统这门课程中，信号和系统的主要研究对象分别是（）。
答案:一维确定性信号，线性时不变系统9.关于单位冲激函数的取样性质，表达正确的是（）。
答案:10.下面关于和的表达式中，正确的有（）。
答案:;第二章1.由两个因果的LTI系统的级联构成的系统一定是因果系统。
答案:对2.一切连续时间线性系统都可以用它的单位脉冲响应来表征。
答案:错3.具有零附加条件的线性常系数微分方程所描述的系统是线性的。
答案:对4.两个单位冲激响应分别为，的LTI系统级联构成的系统，其总的单位冲激响应是。
答案:错5.若和，则。
答案:对6.线性时不变系统的单位脉冲响应为，该系统稳定的充要条件为（）。
答案:7.由离散时间差分方程所描述的系统为（）。
答案:FIR（有限长脉冲响应）系统8.LTI系统的单位脉冲响应为，输入为，求时系统的输出时，输入的加权系数是（）。
答案:9.信号通过单位冲激响应为的LTI系统，输出等于（）。
答案:10.离散时间LTI系统的单位脉冲响应，则该系统是。
答案:因果稳定系统第三章1.对一个信号进行尺度变换，其傅里叶级数系数及傅里叶级数表示均不会改变。
答案:错2.令是一个基波周期为T、傅里叶级数系数为的周期信号，则的傅里叶级数系数是：（）答案:3.令是一个基波周期为T、傅里叶级数系数为的实值周期信号，则下列说法正确的是：（）答案:若是偶信号，则它的傅里叶级数系数一定为实偶函数4.对于一个周期信号，如果一次谐波分量相移了，为了使合成后的波形只是原始信号的一个简单的时移，那么k次谐波应该相移。
第6章 北邮信号与系统课后习题解答
a
,
z a
H (z) [h(n)] [ (n 2)] z2, z 0
Y (z)
X
(z)
H (z)
z
z a
z2 ,
z a
由于 z a ，可知 y(n) 是右边序列，因此由位移特性知
y(n) an2u(n 2)
（3）
X
(z)
[ x(n)]
[anu(n)]zz 源自a,H (z)
[h(n)]
1
2
所以
X (z)
z
z
1 2
z
z
2
（1）当
z
2 时为右边序列，
x(n)
1 n 2
2n
u(n)
（2）当
z
0.5 为左边序列，
x(n) 2n
1 2
n
u
(n
1)
（3）当 0.5
z
2 时为双边序列，
x(n)
1 2
n
u
(n)
2n
u(n
1)
6-10 解：
（1）
X
(z)
[ x(n)]
z
z
1 2
z
1 3
z
3
1 2
z
2
1 3
7
得：
X (z)
3z
z
1 2
2z
z
1 3
，收敛域为： 1 3
z
1 2
所以：
x(n)
2
1 3
n
u(n)
3
1 2
n
u
(
n
1)
（6）由题：
X (z) z
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
信号与系统_第六章 系统函数与零极点分析
F ( s) Y ( s ) = H ( s) F ( s) = N ( s ) D( s) F ( s) 设一个中间变量 X ( s) = 则: D( s)
Y ( s) = N ( s) X ( s)
E-mail:lynwindsent@
U ( s) H ( s) = = Zin ( s) I ( s)
输入阻抗或策动点阻抗
返 回
E-mail:lynwindsent@
Tel:22896276
广东医学院生物医学工程教研室
信号与线性系统
(2)
+ U1(s) -
I1(s) 系 统
I2(s) + U2(s)
U2 ( s) H ( s) = U1 ( s) I2 ( s) H ( s) = I1 ( s) H ( s) =
广东医学院生物医学工程教研室
信号与线性系统
回忆一下在频域中,系统函数的定义: 回忆一下在频域中,系统函数的定义: 称为系统的频率特性, 关系为: 关系为 H( jω) 称为系统的频率特性,与h(t)关系为:
H( jω) = ∫ h(t )e jωt dt
∞
∞
1 jωt h( jω) = ∫ H( jω)e dt 2π ∞
返 回 E-mail:lynwindsent@ Tel:22896276
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信号与线性系统
6.2系统函数的零, 6.2系统函数的零,极点 系统函数的零
N ( s) 一,系统函数可以表示为 H ( s) = D( s) 分母多项式的根称为函数的极点, 分母多项式的根称为函数的极点,分子多项式的根称
(a s (b s
§6.4 由系统函数求频率响应 《信号与系统》课件
0
c
H ( j)
(b)
带阻滤波器
0
c1
c 2
0
c1
c 2
(c)
(d)
图4-15 滤波网络频响特性示例
根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
m
s
z
j
m
j
ω
z
j
H jω H s sjω K
j 1 n
sjω K
j 1 n
s Pi
jω pi
i 1
i 1
可见H jω的特性与零极点的位置 有关。
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳
态响应随频率的变化情况H。jω
前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
时域：lim ht 0 t
频域：H(s)的的全部极点落在s左半平面。。
其收敛域包括虚轴：
拉氏变换存在 傅里叶变换存在
H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 H s，激励源 et Em sinω0t
σ O
jω 也可表示成虚轴上的矢量，称为极点矢量。
由矢量图确定频率响应特性
H
jω
K
N1 e jψ1 M1 e jθ1
N2 e jψ2 Nm e jψm M 2 e jθ2 M n e jθn
K
N1N2 Nm e jψ1ψ2 ψm M1M 2 M n e jθ1θ2 θn
H jω
K
N1N2 Nm M1M 2 M n
令分子中每一项 jω z j N j ejψj 分母中每一项 jω Pi Mi ejθi
将 jω z j、jω - pi都看作两矢量之差，将矢量图画于复 平面内。
画零极点图
信号与系统——系统函数
36
对于非最小相移函数
(s s2 )(s s ) H b ( s) (s s1 )(s s ) * (s s2 )(s s ) (s s2 )(s s2 ) * (s s1 )(s s ) (s s2 )(s s2 )
* 2 * 1 * 2 * 1
st s j
e
jT
因果离散系统，若极点均在单位圆内，则在单位 圆上(|z|=1)也收敛
bm e
j 1
jT
z j
H (e jT )
e
n i 1
jT
pi
j
bm B1B2 ...Bme j 1 2 ...m A1 A2 ...An e j 1 2 ... n
1 极点：p1 ， R1C1 1 p2 R2C 2 零点： z1 0 2/7/2019
-π/2
33
最小相移函数
零、极点均位于s平面左半开平面
* (s s2 )(s s2 ) H a ( s) * (s s1 )(s s1 )
极点位于s平面左半开平面，零点位于s平 面右半开平面
2/7/2019
11
几种典型情况
jω0
j
α
O
α
jω0
2/7/2019
12
2.离散系统:
Z平面:
单位圆内:p=-1/3,h(k)= (-1/3)k (k)
单位圆上:p=1,h(k)= (1)k(k),有限值. 单位圆外:p=2,h(k)= (2)k (k) →∞
Im[z] Z平面
→0
增幅
θ0 z 1 单位圆内
单位圆外
《信号与系统》管致中 ch6_1~5
的系统特性。图中的二、三象限并非表示频率小于零的 部分，而是表示频率小于 1（大于零）部分频率特性。 ➢ 根据系统频率特性的共扼对称性,不难得到频率小
于零部分的特性。 在波特图的纵坐标上，可以标注系统幅频特性值（如图
中红字所示），也可以标注分贝值。
东南大学 信息科学与工程学院
H ( j )
1
2
H ( j ) * ( )
1
j
1 H ( j ) * ( ) 1 H ( j ) * 1
2
2
j
1 H ( j ) 1 H ( j ) * 1
2
2j
1 H( j) 1 H( j) * 1
2
2j
R( j) jX( j) 1 R( j) jX( j)* 1
东南大学 信息科学与工程学院
三、线性系统的波特图
1、一般系统的波特图
m
H ( j) H0
i1 n
j zi
m
n
e j
i 1
i
i 1
i
j pi
i1
G() 20log H ( j)
m
n
20log H0 20log j zi 20log j pi
i 1
i 1
m
n
20log H0 Gzi ( ) Gpi ( )
率变化规律的幅频特性曲线和反映相位特性随频率变 化规律的相频特性曲线描述。 频率特性主要用于研究系统的频率特性分析。 对于 H (s) ，没有必要研究其随任意复频率变化的规律，
只需要令 s j ，得到 H ( j ) ，研究沿 s 平面虚轴变
化的规律。
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《信号与系统》-第六章 傅里叶变换的应用-PPT课件
A X = A A ……谱方法 i i i i i i i
i 1 i 1 i 1
n
n
n
8
§6.1 傅里叶系统函数
n-
jn t 1 V H j n e n 1
算子谱 特征函数
与 线 性 代 数 中 的 谱 方 法 相 对 应 。
（特征根）
9
§6.1 傅里叶系统函数
– 若vtL , ,则 vt Vejtdf ,
1 - +
yt T vt V T ejt df
+ -
V Hejtdf htvt
-
+
10
§6.2 无失真传输
• 1.
vt
A s i n t B s i n t 1 2
H ( s )
Yt
C s i n t s i n t D 1 1 2 2
1 2 C s i n t D s i n t 1 2 1 2
t0
o
t0
t
t
15
0
§6.3 理想低通滤波器
Y(t)
• 阶跃响应： 1
o
t
o
t0
yt S a t d 0
t
t0
t
– B 2 等效带宽 m i n y t a x y t , t 2 m – t r 上升时间， r – B tr 4
信号与系统 第6章-作业参考答案
Hd
(z)
=
Hc(z)
s
=1− 1+
z z
−1 −1
证明：H������(z)有一个位于单位圆内的极点和一个位于单位圆外的零点
c）对于系统函数H������(z)，证明�H�������ejω�� = 1
证明：
16
第六章 z 变换
第 6 章 习题参考答案
6-4 计算机设计题 答案暂略
17
和 x2(n) = �14�n u(n)
设序列x1(n)的单边和双边 变换分别为 X1( X2(z) 和 X2d (z) 。
1） 根据双边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 2） 根据单边 z 变换的定义和卷积定理，求出g(n) = x1(n) ∗ x2(n)； 3） 解释 1）和 2）的结果为何不同。 解：
，试用
z
变换的初值
和终值性质确定离散序列 x(n) 的初值 x(0) 和终值 x(∞) 。
6
第六章 z 变换 解：直接求出。
第 6 章 习题参考答案
6-2-26 某离散LTI系统由差分方程
y(n)
−
10 3
y(n)
+
y(n
+
1)
=
x(n)
描述。试求系统的单位样值响应 h(n) ，并确定系统的稳定性。
解：
5
第六章 z 变换
第 6 章 习题参考答案
∞
∑ 6-2-21 序列 x(n) 的自相关序列定义为φxx (n) = x(k)x(n + k) 。试利用 x(n) 的 z 变换 k =−∞
求出φxx (n) 的 z 变换。
解：
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例4：某两阶连续全通系统，极点分别位于-1-j和-1+j，其 频域传输函数在=0处的值等于2。 1）写出该系统的IO微分方程； 2）画出该系统的模拟框图，要求给至少两种形式的框图。
m
(s zi )
H(s) H0
i1 n
(s pi )
i1
m
H0 ( j z j )
H ( j)
j 1 n
( j p i )
i 1
m
Bi
H ( j ) H0
i1 n
Ai
m
m
n
B i1 i j i1 i i1 i
H e 0 n
Ai
i 1
m
n
() i i
2、 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程 （或十倍频），用dec表示。
3、频率 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为 “倍频程”，用oct表示。
4、由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
4
6
1、当极点靠近（虚轴jw）时，幅频特性会产生一个峰； 当零点靠近（虚轴jw）时，幅频特性会产生一个谷。
2、零点靠虚轴越近，频响的峰或谷越尖锐。当极点（或零点） 正好落在虚轴上时，幅频特性会出现一个无穷大（或零）点。
四、两种重要网络 1 全通网络 系统的零点和极点关于虚轴对称分布或重合
Im(s) p1
-0.5cost
sin 3t
H( j 3) 1 j 3 1 3 j 2( j 3 1) 4 4
1 sin 3t 3 cos 3t
4
4
（1）求系统函数
1
H (s) Cs R2
R3
1 Cs
R1 R2
（3） R1 = R2 =R3 =1，C=1F，e(t)=sint+sin 3 t，求系统的响应；
1）写出该系统的IO微分方程；
H
(s)
2s2 4s 4 s2 2s 2
1) y´´+2y´+2y=2x´´-4x´+4x
2）画出该系统的模拟框图，要求给至少两种形式的框图。
H
(s)
2s2 4s 4 s2 2s 2
2 -4
X (s) ∑
1
1
s
s
-2
-2
4 ∑ Y(s) 直接形式
v k 1
kk s pk
来自E(s) 的极点
自由响应
n
v
强迫响应
rzs (t) kie pit kke pkt
i 1
k 1
n
v
rzs (t) kie pit kke pkt
i 1
k 1
自由响应 强迫响应
n
rzi (t) Cie pit i 1
j5) (4
j3)]
第二步：极零图
5
第三步：
-4
H( j)
( j j5)( j j5)
[ j (4 j3)][ j (4 j3)]
H( j)
( j j5)( j j5)
[ j (4 j3)][ j (4 j3)]
奈培与分贝的转换关系：1 Np = 8.686 dB
三、对数频率特性曲线（波特图，Bode图）
横坐标分度 (称为频率轴)：
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
01
2
0 0.01 0.1 1 10 100
log
1、频率的对数值 log进行线性分度的，对 而言是非线性刻度
自由响应
系统的极点决定了构成系统自然响应的信号的基本模式；
激励信号决定了构成系统受迫响应的信号的基本模式。
§6-4 系统的极零点分布与系统频率特性的关系
1、熟练掌握利用频率特性曲线计算系统的稳态响应
2 、会根据极零图绘制一给定系统的频率特性曲线
全通网络 3、掌握常用网络的零极图
最小相移网络
一 系统的频率特性
例3：一线性系统，激励是e(t)，响应是r(t)，激励与响应满足
d 2 r(t) s d r(t) 25r(t) d 2 e(t) 25e(t)
dt
dt
dt
求此系统的频率特性，并画出幅频特性
解： 第一步：写出系统函数
H(s)
s2 25 s2 s 25
[s
(s j5)(s (4 j3)][s
m
H0 ( j z j )
H ( j)
j 1 n
( j p i )
i 1
例4：某两阶连续全通系统，极点分别位于-1-j和-1+j，其频域
传输函数在=0处的值等于2。
1
1）写出该系统的IO微分方程；
解：两阶连续全通系统
-1
1
-1
H (s)
H0
[s (1 [s (1
12
六、 自由响应与强迫响应
u
m
(s zl ) (s z j )
Rzs (s) E(s).H (s)
l 1 v
. j 1 n
(s pk ) (s pi )
k 1
i 1
来自H(s) 的极点
Rzs (s)
n i 1
ki s pi
在虚轴是单阶极点（包括s=0和s=)
H
(s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
m>n 有m - n个无穷远处的极点 m- n1
稳定系统的系统函数分子多项式的幂次超过分母多 项式幂次的数不能大于1。 反因果稳定系统的极点只能在s平面的虚轴以右的半开平面上
H(j ) = | H(j )|e j()
G()=20log|H(j)|
O
log
( )
/2
O
log
二、 对数频率特性 H(j )=| H(j )|e j()
ln[H(j )]= ln[ | H(j )|e j()]= ln[|H(j )|]+j ()=G()+ j () G()= ln[|H(j )|]称为对数增益 单位奈培（Np, Neper） 定义： G()= 20log[|H(j )|] 单位：分贝(Deci-Bel,dB)
5 -4
| H ( j ) |
1
0.5
2
4
6
03
5- 5+
| H( j) | 1 0.56 0
0
1
() 0 56 -90 +90
0
三、极零点与系统频率特性
5
| H ( j ) |
1
H0
N1N2 M1M 2
m
n
N j( i l )
e m
i1
l 1
Mn
0.5
-4
2
e(t)
线性 系统
求激励是
r(t) e(t) 5 15cos(50t) 20cos(150t)
的稳态响应
|H(jw)|
r(t) 37.5cos(50t 22.5 )
5
解：当直流单独作用
-100 0 100
w
( )
45o
-100 0 100
w
r0 (t) 0
当基波单独作用
i1
i1
i1
例2：H (s)
s z1
(s p1)(s p2 )
H ( j)
j z1
( j p1)( j p2 )
j zi bi Bie ji
j pi ai Aie ji
Im(s)
p1 a1 1
a2
2
p2
s平面
1
b1 z1 Re(s)
Re[s]<-2 非稳定
h(t)= -et(-t)+e-2t(-t)是发散的
系统的收敛域包含虚轴系统稳定 系统的收敛域不包含虚轴系统不稳定
例:判断稳定性
H (s)
3
(s 2)(s 1)
H (s)
3
(s 2)(s 1)
-2 -1
Im[s] Re[s]
Im[s] Re[s]
（1）求系统函数
1
H (s) Cs R2
R3
1 Cs
R1 R2
（2）为全通系统时，参数满足什么规律？ R1=R2
H (s) R1 CsR2R3 (CsR3 1)(R1 R2 )
p1
1 CR3
z1
R1 CR2 R3
（1）求系统函数
1
H (s) Cs R2
R3
（4）给出与（3）中本系统具有相同的幅频特性的最小相位系统 的系统函数。
+ R1 R3
（1）求系统函数
e(t) E(s)
_
+
解： H (s) R(s)
E(s)
R2
C r(t)
_R(s)
1
1
H (s) Cs R2
R3
1 Cs
R1 R2
- R(s) =
Cs E(s)
R3
1 Cs
R2 E(s) R1 R2
e(t) H(jw) r(t)
H ( j) | H ( j) | e j()
| H( j) | 与的关系叫幅频特性