一二维形式柯西不等式
柯西不等式
解 函数的定义域为 1,5, 且 y 0, y 5 x 1 2 5 x
5
2
2
2
x 1
2
5 x
2
27 4 6 3.
当且仅当 2 x 1 5 5 x 时, 等号 127 成立, 即 x 时函数取最大值 6 3 . 27 回顾例2 的求 解过 程 , 可以体会其中式 子变形的作用 , 提高利用柯西不等式解 题的能力.
证明 由于a, b R , 根据柯西不等式 , 得
1 1 1 1 a b a b 4. a b a b 1 1 又 a b 1, 所以 4. a b
2
本例中 a, b R 这个条件可以去掉吗? 为什么 ?
打开几何画板观察实验 .
y
P1x1, y1
y
P1x1, y1 P2 x 2 , y2
O O
x
2
x
P x 2 , y2
图3.1 2
如图3.1 2, 根据两点间距离公式以 及三角形 的边长关系 , 容易发现 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
用平面 二维向量的坐标表示不等式 ② , 得 所以 | || || | . ②
| ac bd | a b
2
2
c d .两边平方 ,
2 2
① 式与
二维向 2 得 ac bd a2 b2 c2 d 2 . ① 量相对 这是二维形式的柯西不 等式.由此可知 , 应, 所以 二 维 形 式的柯西不等式 ① 是向量形式 称之为 的不等式 ②的坐标表示 .如果向量 和 二维形 中有零向量 , 则ad bc 0 , 以上不等 式的柯 西不等 式取等号 .如果向量 和 都不是零向 式.
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)学生版--2025届新高考数学一轮复习
思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．2025届新高考数学一轮复习推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.2设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.85(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.7(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.8(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.9(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．10已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a 2+b 2+c 2≥1641.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．16已知a>0，b>0，且2a+2+1a+2b=1，则a+b的最小值是．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x+91-2x0<x<12的最小值．18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y的最小值为19(2023高三·全国·专题练习)已知x+2y+3z+4u+5v=30，求x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为20(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sinθ+8cosθ的最小值为.21(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x、y且满足x+y=1，求1x2+8y2的最小值.22(2024高三·全国·专题练习)已知a>1,b>1，则a2b-1+b2a-1的最小值是．23(2023高三·全国·专题练习)已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M=3x+2y+12x-y的最小值为.24(2024高三·全国·专题练习)已知x,y>0,1x+22y=1，则x2+y2的最小值是．25(2023高三·全国·专题练习)已知正数x,y满足4x+9y=1，则42x2+x+9y2+y的最小值为。
一二维形式的柯西不等式 PPT
都不会改变它们得值、
证明
由于a, b R , 根据柯西不等式，得
2
a
b
1 a
1 b
a 1 a
b
1 b
4.
又a b 1,
所以 1 1 4. ab
课堂小结
1、二维形式得柯西不等式得代数形式、
若a,b,c,d都是实数, 则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且 仅当ad=bc时,等号成立、
难点
数形结合认识(1)与(2)两式得 等价关系、
定理1(二维形式得柯西不等式)
若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立、
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
12
分析 你能否证明 a2 b2 c2 d 2 ac bd
ac bd a2 b2 c2 d 2 ,
定理2(柯西不等式得向量形式)
设α,β是两个向量,则│α 、β│≤│α││β│, 当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时, 等号成立、
探究
试从不等式(1)推导不等式(2),再进 行反方向得推导,从数形结合得角度体 会两者得等价关系。
观察
如图,在平面直角坐标系中,设点P1,P2 得坐 标分别是(x1,y1)(x2,y2),根据△oP1P2 得边长关系, 你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何种大小 关系吗？
所以
x12 y12 x22 y22 x1 x2 2 y1 y2 2
分析
不等式(3)对于任何实数都成立,于是可以 得到:
高中数学二维形式的柯西不等式
1 1 例3 设a, b R , a b 1, 求证 4 a b
证明 由于a, b R , 根据柯西不等式 , 得
1 1 1 1 a b a b 4. a b a b 1 1 又 a b 1, 所以 4. a b
定理3 (二维形式的三角不等式 ) 设x1 , y1 , x2 , y 2 R,
2 2 那么 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2 2 2 2 2 证明 : ( x1 y1 x2 y2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 2 x1 y1 x2 y2 x2 y2 2 2 2 2 x1 y1 2 x1 x2 y1 y2 x2 y2 2 2 2 2 x1 y1 2( x1 x2 y1 y2 ) x2 y2 2 2 2 x1 2 x1 x2 x2 y1 2 y1 y2 y 2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
二维形式的三角不等式
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
( 2) a b c d ac bd (3) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 . 当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
2
2
2
2
(5)二 维 形 式 的 三 角 不 等 式
(4)柯西不等式的向量形式 . 当且仅当 是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
二维形式的柯西不等式
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
推论：
（1）a bc d ac bd 2 a,b,c, d R
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
ur ur ur ur
(4)柯西不等式的向量形式 .
A. 5
B. 6
C. 25
6
5
36
D. 36 25
2.函数y 2 1 x 2x 1的最大值为 ______3
3.设实数x, y满足3x2 2y2 6,则P 2x y的最大
值是 ____1_1_
(5)二维形式的三角不等式 x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立.
推论：
（1）a bc d ac bd 2 a,b,c, d R
(2) a2 b2 c2 d 2 ac bd
(3) a2 b2 c2 d 2 ac bd
上面两个不等式等号何时取到
探究：柯西不等式的几何意义是什么？
如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量a a,b,
2016-2017学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 1 二维形式的柯西不等式学案 新人教
一 二维形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点) 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)[基础·初探]教材整理 二维形式的柯西不等式 设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥x 1－x 22＋y 1－y 22y 2的最小值是( ) 65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65. 【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]【自主解答】 设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p 3＋q 3·p ＋q ＝2p ＋q . 又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，，p ＋22≤q )4≤8(p ＋q )．p ＋q >0，∴(p ＋q 3≤8，故关键是合理构造出两个向量．同时，要注[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p 2＋q 2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2.故仍有结论p ＋q ≤2成立.若2【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【导学号：32750048】【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4. 所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.[探究共研型]探究 在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成b ＝d吗？ 【提示】 不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d不成立．已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． 【自主解答】 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥x ＋4y232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以x ＋4y232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地求证：a 22－a ＋b 22－b ≥2.＝[(2－a )2＋(2－b )2][⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2]≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a 22－a ＋b 22－b≥4－a ＋－b＝2，当且仅当2－a ·b2－b＝2－b ·a2－a， 即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a 22－a ＋b 22－b≥2. [构建·体系]二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )【导学号：32750049】A ．2 6 B. 6 C ．6D.12【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________. 【解析】 |a |＝42＋－2＝5，且 |b |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－354．已知x ，y ＞0，⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为4，则xy ＝________.【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1＋1xy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝4.又xy ＞0， ∴xy ＝1，∴xy ＝1. ＋b )2， x ＋y )min ＝(a ＋b )2.(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评（九）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D.4【解析】 ∵(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2. 【答案】 C2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D.a 2＋b 2≤3【解析】 ∵(12＋12)(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4， ∴a 2＋b 2≥2. 【答案】 C3．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )【导学号：32750050】A ．P ≤QB ．P <QC ．P ≥QD.P >Q【解析】 设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )， 则|ax ＋by |＝|m ·n |≤|m ||n | ＝ax2＋by2·a2＋b2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q . 【答案】 A4．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]D.(－5，5)【解析】 (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2. ∵a 2＋b 2＝10，∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5. 【答案】 A5．若a ＋b ＝1且a ，b 同号，则⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值为( )A ．1B ．2 C.252D.72【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4.∵a ＋b ＝1，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12·(a ＋b )2＝12，1＋1a 2b 2≥1＋42＝17， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥172＋4＝252.【答案】 C 二、填空题6．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122)＝(3x 2＋2的最小值为________．⎦⎥⎤y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9(当且仅当xy ＝2时取等号)．【答案】 98．设x ，y ∈R ＋，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y的最小值为________．【解析】 (x ＋2y )⎝⎛⎭⎪⎫9x ＋2y＝[(x )2＋(2y )2][⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2]≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·3x ＋2y ·2y 2＝25，当且仅当x ·2y＝2y ·3x，即x ＝245，y ＝85时，“＝”成立．又x ＋2y ＝8，∴9x ＋2y ≥258. 【答案】258三、解答题9．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 【证明】 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ＝|m ·n |≤|m ||n |＝ ⎝⎛⎭⎪⎫acos θ2＋⎝⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1 ＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 10．已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.【证明】 因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，当且仅当b ＝2a 时，等号成立，即5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.[能力提升]1．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．5【解析】 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×x －52＋6－x2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝265时取等号. 【答案】 B2．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是( )A. 2 B ．1 C ．3 D ．9 【解析】 ∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1 ≤x2＋5y2·12＋12＝1·2＝ 2.∴2x ＋5y 的最大值为 2. 【答案】 A3．函数f (x )＝2－x 2＋2x 2－1的最大值为______．【导学号：32750051】【解析】 设函数有意义时x 满足12≤x 2≤2，由柯西不等式得[f (x )]2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫x 2－122 ≤(1＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x 2＋x 2－12＝92，∴f (x )≤322，当且仅当2－x 2＝x 2－122，即x 2＝32时取等号． 【答案】32的长为x ，宽为4R 2－x 2，于是 ABCD 的周长l ．l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2] 2(12＋12)2＝22·2R ＝42R ，当且仅当x1＝4R 2－x21，即x ＝2R 时，等号成立．此时，宽＝4R 2－2R2＝2R ，即ABCD 为正方形，故内接长方形为正方形时周长最大，其周长为42R .。
第三讲 一 二维形式的柯西不等式
ab＋ cd2＝ ab＋ cd. m2a n2c 当且仅当 b ＝ d 时，“＝”成立． 答案：Q≥P
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探究一 [例 1]
利用柯西不等式证明不等式
设 a，b，c 为正数，求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥ 2(a＋b＋c)．
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2
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二、柯西不等式的向量形式 设 α，β 是两个向量，则|α· β|≤|α||β|，当且仅当 β 是 零向量 ，或存在实数 k， 使 α＝kβ 时，等号成立． 三、二维形式的三角不等式 1.
2 2 x1 ＋y1 ＋ 2 x2 ＋ y 2 2≥
x1－x22＋y1－y22 (x ，y ，x ，y ∈R)． 1 1 2 2
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利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式， 但只要适当添加上常数项或和 为常数的各项， 就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的， 但在运用过程 中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错 误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．
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01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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人教A版选修4-5 第三章 一 二维形式的柯西不等式 课件(29张)
【解】 (1)设 m＝coas θ，sinb θ，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝coas
θ·cos
θ＋sinb
θ·sin
θ
＝|m·n|≤|m||n|
＝
a cos
θ2＋sinb
θ2·
1
＝ coas22θ＋sibn22θ，
所以(a＋b)2≤coas22θ＋sibn22θ.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解 的先决条件； (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当 添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解， 这也是运用柯西不等式解题的技巧； (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目 的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一 致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不 等式的方法也是常用技巧之一．
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：(ax＋by)2 ≤ax2＋by2. 证明：设 m＝( ax， by)，n＝( a， b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝ （ ax）2＋（ by）2· （ a）2＋（ b）2 ＝ ax2＋by2· a＋b ＝ ax2＋by2， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
已知 a，b 都是正实数，且 ab＝2， 求证：(1＋2a)(1＋b)≥9. 证明：因为 a，b 都是正实数， 所以由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋( 2a)2][12＋( b)2]≥(1＋ 2ab)2， 当且仅当 a＝1，b＝2 时取等号． 因为 ab＝2， 所以(1＋ 2ab)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9.
柯西不等式与排序不等式
2 2 2 2
联
想
一:二维形式的柯西不等式
定理１ 定理１：（二维形式的柯西不等式） 二维形式的柯西不等式） 实数， 若都是 a,b,c,d 实数，则
(a + b )(c + d ) ≥ (ac + bd)
2 2 2 2
2
当且仅当 ad = bc 时等号成立． 时等号成立． 定理１：（二维形式的柯西不等式） 定理１ 二维形式的柯西不等式） 实数， 若都是 a,b,c,d 实数，则
α(a,b) 2 (a + b θ )(c + d ) ≥ (ac + bd)
2 2 2 2
x ad = bc 时等号成立． 时等号成立． 当且仅当
O
定理３ 定理３：（二维形式的三角不等式） 二维形式的三角不等式） 设 x1 ,y1 ,x 2 ,y 2 ∈ R, 那么
(x12 + y12 )+ (x 2 2 + y 2 2 ) ≥ (x1 - x 2 )2 +(y1 - y 2 )2
(x12 + y12 + z12 )+ (x 2 2 + y 2 2 + z2 ) ≥ (x1 - x 2 )2 +(y1 - y 2 )2 +(z1 - z2 )2 2
推广; 推广;设x1,x2, …,xn,y1,y2, …,yn∈R,那么 ,x ,y R,那么
(x12 + x 2 2 + + x n 2 )+ (y12 + y 22 + + y 2 ) ≥ (x1 - y1 )2 +(x 2 - y 2 )2 + (x n - y n )2 n
二维形式的柯西不等式CP
(a，b，c，d是实数)
（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d都是实数,则 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
证明它，你 还有其他方
2
ab
2
bc
ca
2
1 2 a b
1 2 b c
c
1
a
2
≥
ab
1 ab
bc
1 bc
ca
c
1
a
2
1
1
12
9
222≥ 9 ab bc ca abc
x1 x2
2
x2 x3
2
L
xn1 xn
2
xn x1
2
2
x2
2
x3 L
2
xn
x1
2
≥
x1 x2
x2
2a b c a b b c c a 这样就给我们利用柯
西不等式提供了条件。证明：
2a
b
c
a
1
b
b
1
c
c
1
a
a
b
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第一章 培优点1 柯西不等式与权方和不等式
时，(*)式中左边等号成立，
∴当 x＝455，y＝－855时，a·b 的最大值为 4 5.
题型二 权方和不等式
1.二维形式：已知 x，y，a，b∈R＋，则有ax＋by≥
a＋ x＋y
b2(当且仅当
x∶y
＝ a∶ b时，等号成立).
n
aim＋1
2.一般形式：设
ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数
123456
3.若实数x＋2y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为
A.14
√B.114
C.29
1 D.29
根据柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)≥(x＋2y＋3z)2＝1，即 x2＋y2 ＋z2≥114，当且仅当 x＝114，y＝17，z＝134时等号成立.
123456
4.已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则 1x＋4y＋9z 的最小值为__3_6___. 1x＋4y＋9z＝1x2＋2y2＋3z2≥1x＋＋2y＋＋3z2＝36，当且仅当1x＝2y＝3z，即 x＝16， y＝13，z＝12时取等号.
123456
6.若 a>1，b>1，则b－a21＋a－b21的最小值为____8____.
b－a2 1＋a－b2 1≥a＋a＋b－b22， 令 a＋b－2＝t，则a＋a＋b－b22＝t＋t22＝t＋4t ＋4≥8， 当且仅当b－a 1＝a－b 1， 即 a＝b＝2 时取等号，
a＋b－2＝2， 所以b－a2 1＋a－b2 1的最小值为 8.
∴z＝2x＋ 3y 的最小值是－5.
123456
2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广 泛的应用，其表述如下：设 a，b，x，y>0，则ax2＋by2≥ax＋＋by2，当且仅当 ax＝by时，等号成立.根据权方和不等式，函数 f(x)＝2x＋1－92x0<x<12的最小 值为
高二数学课件 柯西不等式
定理 设 a1, a2 , a3,..., an ,b1,b2 ,b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 bi 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个
例5 若a>b>c 求证：
11 4 ab bc ac
证明：(a c)( 1 1 ) [(a b) (b c)]( 1 1 )
ab bc
ab bc
(1 1)2 4
∴
11 4 ab bc ac
例6：若 a, b, c R 求证： a b c 3
ab bc ca abc 证明： 2(a b c)( 1 1 1 )
ab bc ca [(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 )
ab bc ca
(1 1 1)2 9
又a、b、c各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。
数k使得 ai kbi (i=1,2,…,n) 时等号成立。 以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
定理３（二维形式的三角不等式）
设
x1,
y, 1
x
,
2
y 2
R
，那么
x12 y12 x22 y22 (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
一般形式的三角不等式
x12 y12 z12 x22 y22 z22 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
bc ca ab 2 分析：左端变形 a 1 b 1 c 1
一二维形式的柯西不等式
一二维形式的柯西不等式柯西不等式是数学中常用的不等式之一，用来描述向量空间中内积的性质。
它有两种形式：标量形式和矢量形式。
在这篇文章中，我们将重点介绍二维形式的柯西不等式，并给出其证明。
柯西不等式的二维形式可以表示为：a·b，≤，a，，b其中，a、b是向量，a·b表示a和b的内积，a，表示a的模长。
证明二维形式的柯西不等式需要用到向量投影的概念。
给定两个非零向量a、b，我们可以将b在a上的投影记为proj_a(b)，它是一个在a上的向量。
根据柯西不等式，我们有：a · b， = ，a · proj_a(b)为了证明这个等式，我们引入一个中间向量k，定义为：k = b - proj_a(b)因此，proj_a(b) + k = b然后，我们将a两边同时乘以k，得到：a · (proj_a(b) + k) = a · b由于内积的分配性质，上式变为：a · proj_a(b) + a · k = a · b将上述等式的两边减去a·k，并注意到a·k=0（因为a与k垂直），我们得到：a · proj_a(b) = a ·b - a · k上式两边同时取绝对值，得到：a · proj_a(b)， = ，a ·b - a · k由于绝对值的性质，右边等式可以写为：a · proj_a(b)， = ，(a · b) - (a · k)再次利用内积的分配性质，我们有：a · proj_a(b)， = ，a ·b - (a · (b - proj_a(b)))进一步化简得：a · proj_a(b)， = ，a ·b - (a · b - a · proj_a(b))由于a · proj_a(b) = proj_a(b) · a（内积的交换性质），我们有：a · proj_a(b)， = ，a ·b - (a · b - proj_a(b) · a)再次利用内积的分配性质和交换性质，我们得到：a · proj_a(b)， = ，a ·b - a · b + proj_a(b) · a进一步化简得：a · proj_a(b)， = ，proj_a(b) · a由于内积的对称性，我们有：a · proj_a(b)， = ，a · proj_a(b)即，我们证明了二维形式的柯西不等式。
柯西不等式及应用
柯西不等式及应用一、二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+(,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；二、二维形式的柯西不等式的变式：bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2((,,,) a b c d R ∈，当且仅当ad bc =时取等号；2(3)()()a b c d ++≥(,,,0)a b c d ≥，当且仅当ad bc =时取等号；三、n 维形式的柯西不等式：设,(1,2,3,)i i a b i n = 为实数，则22212()n a a a +++ 22212()n b b b +++ 21122()n n a b a b a b ≥+++ ，当且仅当0(1,2,3,)i b i n == 或存在一个实数k ，使得(1,2,3,)i i a kb i n == 时等号成立。
四、二维形式的柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤ ，当且仅当0β= 或存在实数k ，使k αβ= 时取等号；五、基本方法：利用柯西不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，观察是否符合柯西不等式形式或有相似之处，将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方、换序等方法的处理.六、应用：1、证明恒等式：已知0,1a b ≤≤且1，求证：221a b +=.2、解方程（组）：12(1)x x =++.3、求最值（范围）:若实数x ，y ，z 满足232x y z ++=，求222x y z ++的最小值.4、证明不等式:已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明： 2223333a b c a b c ++++≥.六、巩固练习：1.已知22223102x y z ++=，则32x y z ++的最小值为 .2. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，则a 的最大值为 ，最小值为 .3．在实数集内方程组22294862439x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的解为 . 4.设❒ABC 之三边长x ，y ，z 满足20x y z -+=及320x y z +-=，则❒ABC 的最大角的大小是 .5.设6 ),2,1,2(=-=b a ，则b a ⋅之最小值为 ,此时=b .6.设a = (1，0，- 2)，b = (x ，y ，z)，若22216x y z ++=，则a b ⋅ 的最大值为 .7.空间二向量(1,2,3)a = ，(,,)b x y z =，已知b = a b ⋅ 的最大值为 ,此时b = .8.设a 、b 、c 为正数，则4936()()a b c a b c++++的最小值为 .9.设x ，y ，z ∈ R ，且满足2225x y z ++=，则23x y z ++之最大值为 ，此时(x ，y ，z) = .10.设,,x y z R ∈，22225x y z ++=，则22x y z -+的最大值为 ，最小值为 .11.设622 , , ,=--∈z y x z y x R ，则222z y x ++之最小值为 .12.,,x y z R ∈，226x y z --=，则222x y z ++的最小值为 ，此时x = ，y = ，z = .13.设,,x y z R ∈，2280x y z +++=，则222(1)(2)(3)x y z -+++-之最小值为 .14.设,,x y z R ∈，若332=+-z y x ，则222)1(z y x +-+之最小值为 ，又此时=y15.设,,a b c R +∈且a + b + c = 9，则cb a 1694++之最小值为 . 16.设,,a bc R +∈，且232=++c b a ，则c b a 321++之最小值为 ，此时=a . 17.空间中一向量a 与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为,,αβγ，则γβα222sin 9sin 4sin 1++的最小值为 .18.空间中一向量a 的方向角分别为,,αβγ，则22292516sin sin sin αβγ++的最小值为 . 19.设,,x y z R ∈，若4)2()1(222=+++-z y x ，则z y x 23--之范围为 ；又z y x 23--取最小值时，=x20.设,,x y z R ∈且14)3(5)2(16)1(222=-+++-z y x ，则x y z ++之最大值为 ，最小值为 .21.求2sin sin cos cos θθϕθϕ-的最大值与最小值.22.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
高考数学柯西不等式专题复习
高考数学柯西不等式专题复习柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy ）发现的经典不等式，不仅具有简洁、对称的数学美感，而且具有重要应用价值的．灵活巧妙地应用柯西不等式，可以使得一些较为困难的问题迎刃而解．如何简捷地破解柯西不等式的应用呢？需要解题者立足于已知信息和待求（证）式结构的特征，敏锐地捕捉到这些关键结构，并对这些结构进行分析，分析常量与变量间的关系，加以思考、处理，灵活应对，增强学生在面对复杂问题时探究问题本质的能力．一、二维形式的柯西不等式（1）若,,,a b c d 都是实数，则()()()22222++≥+a b c d ac bd ，当且仅当=ad bc 时，等号成立． （2）（向量形式）设,αβ是两个平面向量，则αβαβ⋅≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使αβ=k 时，等号成立．（3）（三角不等式I ）若1122,,,∈x y x y R ，则．（4）（三角不等式Ⅱ）若112233,,,,,∈x y x y x y R ，则例1： 设,,,a b m n R ∈，且225,5+=+=a b ma nb 的最小值为 .分析：二维形式的柯西不等式()()()22222++≥+a b c d ac bd 的左边是平方和的乘积．．．．．．的结构，而右边是对应之积的平方．．．．．．．的结构，即()()()22222+∆+≥∆+，已知信息225,5+=+=a b ma nb 中的代数式+ma nb 为乘积之和，具有柯西不等式右边代数式的结构，而已知信息中的代数式22+a b 显然都含有平方和，具有柯西不等式左边两个代数式的结构，因此令,==a b ，,∆==m n 即可．解析：由柯西不等式得()()22222()++≥+ab m n ma nb ，当且仅当=an bm 时，等号成立．所以22222()ma nb m n a b ++≥+，222555+≥=m n ，点评 柯西不等式是一个十分重要的解题工具，其应用时，要着眼于已知信息与待解（证）式的结构特点，构造出柯西不等式的形式．例2：已知22,,326∈+≤x y R x y ，求2+x y 的最值． 分析：二维形式的柯西不等式的结构特征是()()()22222+∆+≥∆+，代数式221+=⨯+⨯x y x y 是积之和．．．的结构，而2232+x y可以改写为平方和的形式))22+，灵活地应用柯西不等式达到解决问题的目的．解析：由柯西不等式可得：))))22222⎡⎤⎡⎤⎡⎤++≥⨯+⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()2224132232⎛⎫++≥+⎪⎝⎭x y x y ，当且仅当34=x y 时，等号成立． 因为22326+≤x y ，所以()2211+≤x y，即2≤+≤x y 故2+x y，最小值是例3：求函数()3sin =+f x x 解析：化简，得()3sin =+f x x x ，由柯西不等式可得：(()()()222223sin cos 3sin ⎡⎤⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x x x ，即()2413sin ≥+x x，当且仅当sin 3=x 时，等号成立． 故函数()3sin =+f x x变式1：（2015年陕西）已知关于x 的不等式+<x a b 的解集为{}24<<x x ． （1）求实数,a b 的值；（2分析：本题易求3,1=-=a b ．那么，如何求解的最大值呢？代数式=+是积之和．．．的结构，自然可以构造柯西不等式求解问题． 解析：令1=M []0,4∈t ，)2221116=≤++=M ，=，即1=t 时，等号成立． 所以4≤M ，当且仅当1=t 时，等号成立．故=M 4．点评 本解法显示了柯西不等式的变形应用．柯西不等式是一个十分重要的解题工具，其应用时，要善于构造出柯西不等式的形式，配凑系数，合理变化关系式，并注意等号成立的条件．二、三维形式的柯西不等式（1）若123123,,,,,a a a b b b 都是实数，则()()()2222222123123112233++++≥++a a a b b b a b a b a b ，当且仅当0=i b ()1,2,3=i 或存在实数k ，使()1,2,3==i i a kb i 时，等号成立．（2）（向量形式）设,αβ是两个空间向量，则αβαβ⋅≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使αβ=k 时，等号成立．例4：（2016皖智教育信息交流卷）设,,∈x y z R ，若24-+=x y z ．（1）求222++x y z 的最小值； （2）求()2221+-+x y z 的最小值．分析：柯西不等式()()()2222222123123112233++++≥++a a a b b b a b a b a b 的左边是平方和的乘积．．．．．．的结构，而右边是对应之积的平方．．．．．．．的结构，即 ()()()2222222++∆++∇≥∆++∇，（1）已知信息24-+=x y z 中的2-+x y z 可以视为乘积之和，即()121⨯+-⨯+⨯x y z ，具有柯西不等式右边代数式的结构，待求最值的代数式222++x y z 显然是平方和的结构，具有柯西不等式左边代数式之一的结构，因此，可令,,∆==∇=x y z ，而已知信息24-+=x y z 中,,x y z 的系数分别为1,2,1-，相应的自然有1,2,1==-=，所以，()()()2222222121121⎡⎤+-+++≥⨯+-⨯+⨯⎡⎤⎣⎦⎣⎦x y z x y z ，当且仅当121==-x y z时，等号成立．即()()22226216++≥-+=x y z x y z ，故22283++≥x y z ，当且仅当24,33===-x z y 时，等号成立．。
一二维形式的柯西不等式
一 二维形式的柯西不等式[学习目标] 1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值．[知识链接]1．预习教材后，想一想在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以是a b ＝cd 吗？2．设平面上两个向量为α＝(a 1，a 2)，β＝(b 1，b 2)，如何证明|α||β|≥|α·β|?[预习导引]1．二维形式的柯西不等式(1)定义：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立． (2)变式1：a 2＋b 2ad ＝bc 时，等号成立)．变式2：(a ＋b )(c ，b ，c ，d ∈R ＋，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)． 变式3：a 2＋b 2当且仅当|ad |＝|bc |时，等号成立)． 2设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.4．设平面上三点坐标为A (a 1，a 2)、B (b 1，b 2)、C (c 1，c 2)，则(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2＋(b 1－c 1)2＋(b 2－c 2)2≥(a 1－c 1)2＋(a 2－c 2)2，其几何意义为：|AB |＋|BC |≥|AC |.5．设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，等号成立的充要条件为α－β＝λ(β－γ)(λ＞0).要点一 利用柯西不等式证明不等式例1 已知3x 2＋2y 2＝6，求证：2x ＋y ≤11.跟踪演练1 已知x ，y ，a ，b ∈R ＋，且a x ＋by ＝1，求证：x ＋y ≥(a ＋b )2.例2 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.跟踪演练2 利用柯西不等式证明：a 2＋b 28≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 42.要点二 利用柯西不等式求函数的最值例3 求函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值．跟踪演练3 设x ＞0，y ＞0，x ＋y ≤4，则1x ＋1y的最小值为________．1．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536 D.36252．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 3．设x ，y ∈R,22x －y ＝6则x 2＋y 2的最小值为( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．44．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1.求证：(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原型，进行多角度的尝试． 2．柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2等号成立的条件是ad ＝bc ，可以把a ，b ，c ，d 看作成等比，则ad ＝bc 来联想记忆．二维形式的柯西不等式1．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y 的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.142．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，2 5 ]B ．[－210，210 ]C ．[－10， 10 ]D ．(－5，5)3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536 D.36254．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( )A. 3B. 5 C ．3 D ．55．设xy >0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋4y 2·⎝⎛⎭⎫y 2＋1x 2的最小值为________．6．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．7．函数f (x )＝2－x 2＋2x 2－1的最大值为________．8．已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋. 求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.9．解方程：4x ＋3＋2 1－2x ＝15.10．试求函数f(x)＝3cos x＋41＋sin2x的最大值，并求出相应的x的值．。
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探究 类比不等式a2+b2≥2ab的推导过程， 通过乘法及配方，研究关于它的不等 关系.
分析
把该式首先展开，再用配方法，问 题就可以解决。
解：
展开乘积得 (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2
观察
如图，在平面直角坐标系中，设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2)，根据△oP1P2 的边 长关系，你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着 何种大小关系吗？
y
P1 x1, y1
P2 x2, y2
0
x
y
P.1 x1, y1
0 . P2 x2, y2 x
用平面向量的坐标表示不等式(2)得：
ac bd a2 b2 c2 d 2 ,
定理2（柯西不等式的向量形式）
设α，β是两个向量，则 │α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在 实数k,使α=kβ时，等号成立. Nhomakorabea探究
试从不等式(1)推导不等式(2)，再 进行反方向的推导，从数形结合的角度 体会两者的等价关系。
难点
数形结合认识(1)与(2)两式的 等价关系.
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.
分析 你能否证明 a2 b2 c2 d 2 ac bd
证明
a2 b2 c2 d 2 a2 b2 c2 d 2
反思
在证明不等式时，联系经典不等式， 既可以启发证明思路，又可以简化运算.
例2
求函数y= 5 x 1 10 2x .
分析
利用不等式解决极值问题，通常设法在 不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取 等号的条件。这个函数的解析式是两部分的 和，若能化成ac+bd的形式，就能利用柯西不 等式求其最大值。
定理3(二维形式的三角不等式)
设x1, y1, x2 , y2 R,
那么 x12 y12 x22 y22 x1 x2 2 y1 y2 2
能用柯西不等 式证明吗？
证明
2 x12 y12 x22 y22 x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22 ≥x12+y12+2│x1x2+y1y2│+x22+y22 ≥ x12+y12-2(x1x2+y1y2)+x22+y22 =x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22 =(x1-x2)2+(y1-y2)2
设在平面直角坐标系xoy中有向量 α=(a,b), =(c,d) ，与之间的夹角为θ，0≤ θ ≤π （如图）
y
c,d
根据向量数量积的定义，有
α.β=│α││β│cos θ
a,b
0
x
所以 │α.β│=│α││β││cosθ│
因为│cosθ│≤1, 所以│ α.β │≤│ α ││ β │
3.掌握柯西不等式的应用.
过程与方法
1.通过探究，从式子变形的角度证出柯 西不等式，从而认识其代数形式.
2.借助平面向量，从数量积的角度推 出二维柯西不等式的向量形式.从而给 出几何意义。
情感态度与价值观
锻炼学生分析问题，解决问 题的能力，并培养其审美观。
教学重难点
重点
定理(1)和定理(2).
所以
x12 y12 x22 y22 x1 x2 2 y1 y2 2
分析
不等式(3)对于任何实数都成立，于是可 以得到：
x1 x3 2 y1 y3 2 x2 x3 2 y2 y3 2
x1 x2 2 y1 y2 2
解：函数的定义域为1，5，且y0.
y 5 x 1 2 5 x
2
52 2
2
2
x1 5 x
6 3 当且仅当 2 x 1 5 5 x时，等号成立， 即x 127 时函数取最大值6 3.
27
例3
设a,b R
，a+ b= 1,求证
1 1 4. ab
分析 问题中a+b=1这个条件，由于常
数1的特殊性，用a+b去乘任何数或
式子，都不会改变它们的值.
证明
由于a, b R , 根据柯西不等式，得
a
b
1 a
1 b
a 1 a
1 2 b b 4.
又a b 1,
ac bd 2 ac bd .
对于任何实数a,b,c,d有不等式成立： a2 b2 c2 d 2 ac bd , a2 b2 c2 d 2 ac bd .
讨论
对一个代数结果进行最简单的诠释， 往往要借助直观的几何背景。讨论柯西 不等式的几何意义。
4
探究
请结合平面直角坐标系，解释 不等式(4)的几何意义。
例1
已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)
分析 虽然可以作乘法展开上式的两 边，然后在比较它们的大小。但如 果注意到不等式的形式与柯西不等 式的一致性，既可以避免繁杂了。
证明
根据柯西不等式，有 (a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2
即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2
而(ad-bc)2≥0, 因此(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2
提示 上式(1)是本节课所要研究 的柯西不等式.
教学目标
知识与能力
1.认识二维柯西不等式的代数和向量形 式.理解二维柯西不等式的几何意义.
2.通过探究，思考和讨论，使学生从数形 两方面认识柯西不等式的代数和向量的等 价关系。
所以 1 1 4. ab
课堂小结
1.二维形式的柯西不等式的代数形式.
若a,b,c,d都是实数， 则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且 仅当ad=bc时，等号成立.