第7章 数学建模活动：周期现象的描述-【新教材】人教B版高中数学

(4)交变电流模型
交变电流可以用三角函数表达为 y＝Asin (ωx＋φ)，其中 x 表示
时间，y 表示电流，A 表示
最大电流
，|2ωπ|表示频率，φ 表示初相位．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)数据拟合问题实际是根据提供的数据画出简图，求出相关的
函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制．
[解] (1)由题图知 A＝300，设 t1＝－9100，t2＝1180， 则周期 T＝2(t2－t1)＝21180＋9100＝715. 所以 ω＝2Tπ＝150π. 又当 t＝1180时，I＝0，即 sin150π×1180＋φ＝0， 而|φ|＜π2，所以 φ＝π6. 故所求的解析式为 I＝300sin150πt＋π6.
提示 (1)水深随时间的变化呈周期变化． (2)若用平滑的曲线连接各点，则大致呈正弦曲线．
四类周期现象模型
(1)潮汐现象模型
潮汐现象可以用函数 y＝Asin (ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，A＞0，ω＞0)
来表示．
(2)单摆弹簧等简谐振动模型
单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为 y＝Asin (ωx＋φ)，其
4．振动量 y＝ 2sin (ωx＋φ)(φ＞0)的初相和频率分别为－π 和32， 则它的相位是________．
3πx－π [因为 T＝23，所以 ω＝3π，初相为－π，所以相位为 3πx －π.]
合作 探究 释疑 难
由 模 型 图 像 解决问 题
【例 1】 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin (ωt＋φ)． (1)如图所示的是 I＝Asin (ωt＋φ)ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的 图像，根据图中数据求 I＝Asin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电 流 I＝Asin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值， 那么 ω 的最小正整数值是多少？
y
|ω|
x
A
中 表示时间， 表示位移， 表示振幅， 2π 表示频率，φ 表示
初相位．
(3)音叉发出的纯音振动模型
音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 y＝Asin ωx，其中 x
位移
表示时间，y 表示纯音振动时音叉的
，|ω|表示纯音振动的 频率 2π
(对
应音高)，A 表示纯音振动的振幅(对应音强)．
由 模 型 解 析 式解决 问题
【例 2】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡 位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋ ∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？
上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了
一副非常知名的对联．上联是：云朝朝 朝
朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长 长长长
江心屿
长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江湖水涨落的壮阔画
面．下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：
时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 问题 (1)仔细观察表格中的数据，你能从中得到一些什么信 息？ (2)以时间为横坐标，水深为纵坐标建立平面直角坐标系，将上 面表格中的数据对应点描在直角坐标系中，你能得到什么结论？
()
(2)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t(单位：h)的变化近似
满足函数关系：f(t)＝10－2sin1π2t＋π3，t∈[0,24)，则实验室这一天的
最大温差为 4℃ .
()
[答案] (1)√ (2)√
2．电流 I(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的关系是 I＝3sin 100πt，
第七章 三角函数
7.4 数学建模活动：周期现象的描述
学习目标
核心素养
1.会用三角函数解决简单的实际 通过实际问题，构建三角函数数学
问题．(重点) 模型，重点提升学生的数学抽象、
2．体会利用三角函数构建事物周 数学运算和数学建模素养.
期变化的数学模型．(难点)
情境 导学 探新 知
温州市区著名景点——江心屿，江心屿
[解] (1)设振幅为 A，则 2A＝20 cm， 所以 A＝10 cm. 设周期为 T，则T2＝0.5 s，所以 T＝1 s，所以 f＝1 Hz. (2)振子在 1 s 内通过的路程为 4A，故在 5 s 内通过的路程 s＝ 5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)． 5 s 末物体处在 B 点，所以它的位移为 0 cm.
(2)依题意，周期 T≤1150， 即2ωπ≤1150(ω＞0)， 所以 ω≥300π＞942，又 ω∈N*， 故所求最小正整数 ω＝943.
已知三角函数图像解决应用问题，首先由图像确定三角函数的解 析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取 值范围．
[跟进训练] 1．弹簧振子以 O 为平衡位置，在 B，C 两点间做简谐运动，B， C 相距 20 cm，某时刻振子处在 B 点，经 0.5 s 振子首次到达 C 点， 求： (1)振动的振幅、周期和频率； (2)弹簧振子在 5 s 内通过的路程及位移．
t∈[0，＋∞)，则电流 I 变化的周期是( )
A．510
B．50
C．1100
D．100
A [T＝102π0π＝510.]
3．电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I＝5sin100πt＋π3，则当 t＝2100 s 时，电流 I 为________A．
2.5 [I＝5sinπ2＋π3＝5cos π3＝2.5(A)．]
[思路探究] 确定函数 y＝Asin (ωx＋φ)中的参数 A，ω，φ 的物 理意义是解题关键．
[解] 列表如下：
t
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
2t＋π3
0
π 2
π
3π 2
2π
sin2t＋π3 0
s
0
1 0 －1 0 4 0 －4 0
Байду номын сангаас
描点、连线，图像如图所示．
(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin π3＝2 3，所以小球开 始振动时的位移是 2 3cm.