三脚架的数学原理
中班科学教案及反思《神奇的三脚架》
中班科学教案及反思《神奇的三脚架》教学目标：1.能够了解并描述三脚架的结构和作用。
2.能够观察和分析三脚架的稳定性和平衡性。
3.能够通过实际操作，使用三脚架搭建支撑物体。
教学重点：1.了解并描述三脚架的结构和作用。
2.观察和分析三脚架的稳定性和平衡性。
3.实际操作，使用三脚架搭建支撑物体。
教学准备：1.三脚架模型。
2.小球、筷子等支撑物体。
3.班级实验室或者课堂桌面。
教学过程：引入：1.教师带领学生进行讨论，引导学生思考使用相机或望远镜时，为什么需要使用三脚架？2.鼓励学生提出问题，激发学生的兴趣。
探究：1.教师出示三脚架模型，向学生介绍它的结构和作用。
2.引导学生观察三脚架，让学生分析三脚架的稳定性和平衡性。
3.学生提出的问题，教师应当引导他们进行探究和解决。
实验操作：1.将三脚架模型放在班级实验室或者课堂桌面上。
2.让学生根据观察和分析的结果，实际操作使用三脚架搭建支撑物体，例如小球、筷子等。
3.学生可以自由搭建支撑物体的方式，但要求稳定且平衡。
总结：1.教师与学生一起讨论实验结果，总结使用三脚架搭建支撑物体需要注意的问题。
2.教师引导学生总结三脚架的好处和应用场景。
3.教师给予学生充分肯定和鼓励，鼓励学生将所学应用到实际生活中。
黑板设计：1.三脚架的结构和作用。
2.观察和分析三脚架的稳定性和平衡性。
3.使用三脚架搭建支撑物体的步骤。
4.三脚架的好处和应用场景。
教学反思：通过这节课的教学活动，学生对三脚架的结构和作用有了初步的了解，并且能够观察和分析三脚架的稳定性和平衡性。
在实验中，学生能够操作三脚架搭建支撑物体，并且总结使用三脚架需要注意的问题。
整个教学过程中，学生的发问和实践能力得到了很好的锻炼。
但是，在教学过程中，我发现有的学生对理论知识的掌握较慢，理解起来困难。
因此，下次我在教学过程中可以引入一些更生动形象的示例，帮助学生更好地理解。
同时，在实验操作环节，我可以提前准备一些小球、筷子等支撑物体，确保每个学生都能有机会亲自动手操作，增强他们的参与感和体验感。
三脚架的数学原理
三脚架的数学原理三脚架是一种用来支撑照相机或摄像机的器材。
它由三个相互连接的杆子组成，每个杆子的末端都安装有一个稳定器，通常是脚。
通过展开或折叠三脚架来调整稳定器的高度和角度，以便将相机或摄像机固定在所需的位置上。
三脚架的构成部分主要包括三个杆子、三个稳定器（脚）、中央柱、云台和固定装置。
杆子通常由金属或碳纤维制成，稳定器（脚）通常由橡胶或塑料制成，中央柱用于调整高度，云台用于调整水平角度和垂直角度，固定装置用于固定相机或摄像机。
操作三脚架的过程中，需要调整三个方面的参数：高度、角度和平衡。
高度通过调整中央柱的上下位置来实现，角度通过调整云台的角度来实现，平衡通过调整相机或摄像机的位置或球型云台来实现。
将相机或摄像机安装在三脚架上，可以使图像稳定、清晰，并且减少由手持摄影引起的抖动。
现在我们来讨论一下三脚架的数学原理。
首先，我们需要了解重心和力的概念。
重心是一个物体的质心或质量中心，它是一个物体的质量的平均位置。
三脚架上的相机或摄像机具有一个特定的重心，我们需要确保三脚架的稳定器上施加的力的合力通过重心。
假设相机或摄像机的重心位于杆子的中间位置，我们可以通过在三脚架上施加合力来实现稳定。
假设稳定器的力向下施加，并且它的大小相等，我们可以看到合力对重心产生的力矩为零。
这是因为合力通过重心，所以它不会产生任何转动。
然而，在实际情况下，我们不能保证稳定器的力完全相等，或者重心正好位于杆子的中间位置。
在这种情况下，合力产生了一个不为零的力矩，会使相机或摄像机倾斜或旋转。
为了解决这个问题，我们需要调整稳定器的位置或角度，以使合力通过重心。
通过将稳定器调整到恰当的位置，可以消除不稳定因素，使相机或摄像机保持平衡。
这就涉及到了杆子、稳定器和地面之间的几何关系。
三脚架通常采用一种三脚架四层六边形的形状，杆子的长度也是根据相关数学原理进行设计的。
通过调整稳定器的角度和高度，可以改变杆子和地面之间的角度，进而影响到合力对重心产生的力矩。
侗族数学文化面面观
侗族数学文化面面观佚名【摘要】The drum-tower, the folk house, the folk craftwork, the costume, the needlework and so on of the Dong nationality contain the abundant mathematical culture. The mathematical thinking of the Dong nationality which is demonstrated from the basic operation of the daily life to the mathematic application of production and practice possesses distinct cultural characteristics. The old mathematical culture of human being is transmitted by the old Dong nationality.% 侗族鼓楼、民居、民间工艺、服饰及刺绣等都蕴涵着丰富的数学文化。
侗族从日常生活中的基本运算到生产实践的数学应用所表现出来的古朴的数学思想方法具有鲜明的文化特征，古老的侗族传承着人类古老的数学文化。
【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2013(000)003【总页数】6页(P67-72)【关键词】侗族文化;数学文化;侗族鼓楼;侗族服饰【正文语种】中文【中图分类】G7501 概述随着数学课程改革实施的深入，国家、地方、学校三级课程的需要日显凸现，迫在眉睫.为了贯彻落实国务院三级课程管理政策的精神，以有效提高课程为当地经济服务的适应性，促进教育与当地经济社会发展紧密结合，满足少数民族地区数学教育的需要，项目组近几年积极组织师生收集、研究和挖掘少数民族数学文化，其目的是弄清少数民族数学文化背景，了解少数民族学生学习数学的基本思维方式，适时地在少数民族地区实施跨文化数学教育.在此，仅报告项目组对侗族数学文化部分的研究成果.侗族是全国55个少数民族之一，主要分布在黔、湘、桂3省区的毗邻地区，全国侗族人口约三百万.侗族没有文字，长期生活在相对封闭的山区，山外的文明至今没有将他们同化，世界乡土文化基金会将贵州省黔东南苗族侗族自治州列入“返璞归真，回归自然”的十大旅游胜地之一，并称侗族文化是世界文化的瑰宝，是“隐藏千年的文明”，称侗乡是人类仅存的“人与自然和谐之地”、“人类疲惫心灵的最后家园”[1].侗族的生活背景决定了侗族文化全凭心传口授，顽强地世代相传，所以，研究侗族数学文化主要是研究侗语中所表达的数学概念和相关计算，以及他们生活中特有的鼓楼建筑、民居、民间工艺、服饰、刺绣等载体所蕴涵的数学知识.2 侗族生活中的数学概念及相关计算经过漫长的发展，侗族生活中也形成了“数”的抽象概念及相关运算.侗族母语中所表达的基数和序数与中国传统数学基本相符，最小的自然数是1；零没有确定的读法，仅用“无”或“完了”表达其意；分数概念较为清晰，也有小数的意义，但表达不了纯小数；没有负数、无理数等概念.有关数的运算，一般都与市场交易或生活的实际问题联系在一起，是典型的古代中华民族以问题解决为目的的数学观.以乘法运算为例，设单价为a，件数为x，求交易额时，相关的加减法及扩大（或缩小）10n倍的乘法运算与人们现在的理解完全一致，但2至9的乘法却没有“九九表”可用，而是充分利用2、及10的倍数进行运算[2].基本方法如下：求一个数的2倍，是通过计算相同的两个数的和去实现；求一个数的3倍是通过求这个数的2倍加上它的1倍的和去实现；求一个数的4倍，则是通过计算它的两个2倍的和去实现，或通过这个数的5倍减去它的1倍的差去实现；而求一个数的5倍，或是通过这个数的2倍的2倍再加上它的1倍的和，或是求它的10倍的一半去实现的；求一个数的6倍，则可以通过它的5倍加上它的1倍的和去实现；如此等等.母语中所表达的这些算法，可以总结归纳并“翻译”为下列函数：运算中，他们不拘一格，并不完全按（1）式计算，如，当x=5，6，7时，对应的乘法运算有时取：f(5)=2a+2a+a，f(6)=10a−2a−2a，f(7)=10a−2a−a 等，但是，他们始终注意有效地利用2、及10的倍数去实现乘法运算.在侗族的“乘法”运算中，无论是20以内的“乘法”，还是30以内的“乘法”，或是更大的数的“乘法”运算都能继续用分段函数表示.例如，用公式表示20以内的“乘法”运算等.这样，古代侗族巧妙地实现了将乘法转化为加减法的运算，既克服了没有“九九表”的困难，又不陷入乘法意义中的连加运算.在义务教育基本普及的今天，仍然传承并使用上述方式进行运算的只有极少数老年文盲妇女.几何概念较为丰富，如三角形、多边形、圆、直线、平面等在侗语中都有，但抽象程度不高，远未达到“数学化”的程度，由此容易带来概念上的含混不清，这种现象是尚未进入现代数学文明的中华民族语言的共同特征.由于侗族没有文字，所以没有任何数学符号，数学概念、公式与运算方法全凭口传心授世代相传.3 以鼓楼为载体的侗族数学文化侗族聚居的村寨都有鼓楼，鼓楼是侗族所特有而其他民族所没有的建筑，是侗族全部精神性的文化结晶，是最具有象征性的文化符号[3].鼓楼雄伟、壮观，占地面积百余平方米，高数十米不等.如此高大的建筑，其整体以杉木做柱、枋，凿榫衔接，横穿斜套，纵横交错，结构严谨牢固，却不用一钉一铆，其中蕴涵着丰富的数学文化，也体现了侗族祖先的数学应用与思维特征.鼓楼主体结构对称和谐，其平面图通常是正方形，正六边形和正八边形，常见的八角鼓楼平面图通常由正方形和正八边形复合组成.如：从江县增冲鼓楼平面结构图内部是一个正方形，而外部是一个与正方形同心的正八边形组成等.所以，建筑师在建造鼓楼时大量地涉及与正多边形相关的计算.3.1 与正八边形相关的计算八角鼓楼的建造，涉及正八边形的边长a与半径R的计算.在今天可用公式a=2Rsin22.5°表示.显然，22.5°不是特殊角，计算结果无疑是取其近似值.但古代侗族对角度的概念并不十分清晰，对此，他们有自己的计算方法：图2是八角鼓楼楼冠（如图1）在平面上的正射影，已知正八边形半径OMi （OMi=ONi，i=1,2,3）的长度，则边长MiNi的确定是通过公式来实现（计算说明：例如，OMi=4市尺，代入（3）式，得MiNi=30市寸，即MiNi =3市尺）.古代侗族没有系统的三角函数知识，加上侗族语言难以表达纯小数的读法，他们巧妙地运用了10进制单位进行换算来实现公式（3）的计算.它显然是一个较好的近似计算，这是侗族鼓楼建筑师在长期的实践中总结得到的结果. 值得注意的是，八角鼓楼楼冠的屋面需要制作如图3的三角架，其中OBi（i=1,2,3,…）的长度为已知，角O的大小与AiBi长度的确定一般也是通过公式来实现.由此可见，侗族在三角形概念的分类中不是十分清晰，他们知道直角三角形与其它类三角形的区别，但在相关计算时，有时又容易出现这种含混不清的处理方式.因此，在侗族地区实施数学教育时应高度重视这个问题.图1 八角鼓楼楼冠图2 八角鼓楼楼冠正射影不过，没有文字的侗族，为了减轻鼓楼建筑师记忆的负担，也便于建筑工人的操作，在楼冠的屋面三角架（图3）的制作中他们类比公式（3）得到公式（3′）来实现这个计算，不失为明智之举.有意思的是，上述侗族鼓楼建筑师在直角三角形“已知邻边求对边”的问题上，类比正八边形的“已知半径求边长”的公式，得到图3中直角三角形OAiBi 的三边恰巧是“勾3、股4、弦5”的关系.图3 三脚架在复合型八角鼓楼中，通常第一、二层是四面倒水，从第三层起变为八面倒水，建造时还涉及如图4的相关计算，即若正方形边长AB=1，则图4中较大（与最外层正方形相接）的正八边形的边长A1E 是多少？点A1应在对角线OA上的什么位置？A2呢？第二个正方形的边长是多少？等等.这些计算显然都与有关（以下还将看到侗族常用不足近似值1.4去接近）.例如，由OA=，且O=，知，点到点A的距离为−等.当然，与八角鼓楼相关的计算还有很多，如有关角度的处理，等等，在此不再赘述.3.2 与正六边形相关的计算建造六角鼓楼，需要制作正六边形.进一步调查发现，黎平县境内有部分鼓楼建筑师用“九五分六角”的方法去近似地6“等分”圆周，这是古代侗族对角度概念尚未完全掌握的历史条件下6等分圆周的近似方法.即制作一个对边为9市寸（市尺、市寸是侗族至今仍然普遍使用的长度单位），邻边为5市寸的直角三角板（如图5），在这个直角三角板中，较大的一个锐角约为6055′° （接近60°），用这个较大的锐角当作60°角去“等分”圆周，得到正六边形，以实现6角鼓楼的建造.6“等分”圆周具体过程如下：（1）在圆柱形（实际上是不规则的）木料的一个底面（如图6）上作线段PQ及中点O，用如图5的三角板ABC中的点A与点O重合，AC边与OQ边重合，AB与底面圆周交于点M，连接OM，得到∠MOQ≈6055′° .图4 相关计算（2）作OM的反向延长线与底面圆周交于点N，得到∠NOP=∠MOQ.（3）用三角板ABC中的点A与点O重合，AC边与OQ重合，AB与底面圆周交于另一点R，再用三角板ABC中的点A与点O重合，AC边与ON重合，AB与底面圆周交于点S，在RS弧上找到中点T，连接OT.（4）作OT的反向延长线与底面圆周交于点W（如图6所示）.就这样，实现了6“等分”圆周的目的，每个角的误差都不超过55′.有时候他们干脆将上述的步骤（3）及（4）简化为：（3′）如图6，用三角板ABC中的点A与点O重合，AC边与OQ重合，AB与底面圆周交于另一点R，连接OR，再作OR的反向延长线与底面圆周交于点D，以此实现6“等分”圆周.但这样做∠NOR和∠MOD的误差较大，接近150′° .以上说明，古代侗族在不完全掌握角度概念的情况下，通过长期的实践总结出了这种独特的“九五分六角”的近似计算方法，实现了6“等分”圆周的目的.同时也说明古代侗族早已掌握了“对顶角相等”这条古老的命题的应用.图5 三角板图6 辅助线3.3 鼓楼中的近似计算在鼓楼建筑中，无论是四角鼓楼、六角鼓楼或是八角鼓楼，近似计算都是无法回避的事实.例如，上述用“九五分六角”的方法得到正六边形，就属于近似计算问题.还有，运用公式（3）计算正八边形的边长就是一个取边长的不足近似值的近似计算，误差不超过0.015 5，这在半径不超过3 m的楼冠上误差不到4.65 cm；鼓楼建筑师处理这样的误差问题全凭长期的做工经验，并根据柱头的大小、正八边形半径的长短来估计误差大小，进而去弥补不足近似值，同时还利用杉木的忍性在连接两个柱头的木枋上做成如图7这样的两个“鱼尾”弥补其不足，同时“鱼尾”又起到了掩盖柱眼以增强建筑的美感和固定柱子位置的作用.真可谓是巧夺天工. 图7 鱼尾在鼓楼建筑中还经常遇到求正方形对角线长的问题.鼓楼建筑师通常采用的计算方法是：显然，它是公式“对角线长=×边长”的近似计算.连接两柱头的对角线木枋通常情况下也做成如图7那样的两个“鱼尾”以弥补不足近似值.侗族生活中没有无理数的概念，但以上说明他们如同其他民族或地区的文明一样利用了有理数做近似计算，而且无论是四角鼓楼、六角鼓楼或是八角鼓楼，在相关的长度计算中一般都取不足近似值，不足部分留给两个“鱼尾”去弥补，这是侗族鼓楼建筑中近似计算的基本特征.3.4 鼓楼中的黄金分割美的建筑一般都与黄金分割比例相关，鼓楼也不例外.带着问题，项目组对鼓楼的各部分结构进行了专门的测量，发现有为数不少的鼓楼在结构上十分接近黄金分割比例，内部结构中的主承柱、檐柱、瓜柱分拉枋的分点也都十分接近黄金分割点.例如，从江县增冲鼓楼高25 m，内有4根主承柱，高15 m.该鼓楼由楼体、楼颈和楼冠3部分构成，从远处眺望似人体一般形状，以楼颈为分点其楼体高（即为主承柱高度）15 m与楼高25 m之比是0.60，十分接近黄金分割比例，这恰似咽喉是人体结构中的一个黄金分割点一样[4]，鼓楼楼颈是其黄金分割点.再如，图8是从江县的则里鼓楼平面图[3]，A和D为檐柱，B和C为主承柱，其中AB=CD=265cm ，BC=410cm ，由此，BC≈0.6074AC=0.6074BD ，即点B （或点C）接近线段AC（或线段BD）的黄金分割点.图8 则里鼓楼平面图还有，图9为从江县小黄鼓楼的一排翘檐的结构图，经测量，A1A2=107cm，A2A3=57cm，A3A4=B2B3=65cm，A4A5=173cm，B1B2=95cm，B3B4=48cm，B4B5=125cm ；由此，A1A2≈0.6524A1A3，点A2较接近线段A1A3的黄金分割点；A3A5≈0.5920A1A5，点A3更接近线段A1A5的黄金分割点.而B1B2≈0.5938B1B3，点B2与线段B1B3的黄金分割点的误差较之更小；B1B4≈0.6246B1B5，点B4接近线段B1B5的黄金分割点的程度更好.此外，对其它鼓楼的翘檐等结构的实地测量，如黎平县纪堂鼓楼等，也得到类似的结果.黄金分割比例的应用，不仅仅是鼓楼造型美的需要，它还蕴涵着丰富的力学原理.对此，侗族鼓楼建筑师没有做任何解释，面对着这些百年以上的鼓楼，我们只能说这些人类早期文明的数学文化以鼓楼为载体通过侗族建筑师心传口授传承至今. 图9 小黄鼓楼的一排翘檐的结构图4 等差数列求和公式在侗族生活中的应用侗族长期过着自给自足的生活，男耕女织千年不变.图10是侗族家庭中常用的织布机.图11是图10中卷布筒的横截面示意图.调查发现，侗族妇女织布时通常能够根据图11中半径OB的大小估算出布匹的长度.例如，要织一匹长度为18m的布匹（不妨设布的厚度为0.1cm，卷布筒的半径OA=3cm），她们只需要看这卷布的外圈半径OB的大小约为8m就知道布匹长度基本达到要求.这是长期的实践经验告诉她们如何通过半径OB的大小估算其布匹的相应长度，其实她们的“估算”可作如下解读：依题意，假设绕在卷布筒上的第n圈的半径为an，显然，a1，a2，…，an，…，构成一个等差数列，其中a1=3+0.1，公差d=0.1；又设布匹的总长度为Sn，取b1=2π×3.05，由等差数列求和公式知：即n=51；此时布筒的外圈半径约为：本例与现行高中教材“铜片绕在圆盘上”的问题类似，它显然是高中教材的一个补充和拓展.图10 侗族织布机图11 织布机卷布筒的横截面侗族鼓楼建筑师在鼓楼的建造过程中，也经常用到等差数列知识去计算相关的问题使做工达到分毫不差的程度.图12是鼓楼楼冠侧面装饰图[5]，共有4个侧面，每个侧面的装饰图案自下而上、从左到右按一定的规律排列.图中每3个直角扇形为一组，每相邻的两个侧面的两组共由5个直角扇形构成（其中位于侧棱上的直角扇形为两组公共的扇形）.图中的每个侧面自下而上从第一层到第五层依次为6、7、8、9、10组，分别有18、21、24、27、30个直角扇形，而4个侧面的第一层到第五层的直角扇形依次是68、80、92、104、116个，4个侧面总共需要460个直角扇形.而且每一组直角扇形的中间一个都与另两个不同，即中间一个为图13中的阴影部分OPQ（为了叙述的方便我们也称它为直角扇形），另两个才是真正的直角扇形.形如图13的这种直角扇形共有160个，真正的直角扇形为300个.对如此繁杂的数据，鼓楼建筑师能在施工前准确无误地计算出来，他们是用等差数列及其求和公式实现的，尽管他们因没有文字而无法表达其计算公式，调查中，发现他们大多应用公式进行等差数列求和的运算.图12 鼓楼楼冠侧面装饰图13 直角扇形类似地，六角和八角鼓楼楼冠侧面装饰图的直角扇形的数目更大，他们同样能够运用等差数列求和公式进行计算.还有，鼓楼自下而上每层的正八边形的半径也呈等差数列[6].5 侗族生活中的平面镶嵌在侗族地区不仅仅保留侗族所特有而其他民族所没有的鼓楼，也保存着农耕文明时期的侗族民居，是中华本土建筑文化的“活化石”，同时，还传承着丰富的竹编等传统工艺，难能可贵的是这些建筑和传统工艺中蕴涵着丰富的数学文化.图14是侗族地区常见的竹编，显然，图中是由边长相等的正三角形和正六边形两种图形镶嵌成的一个平面.图15是侗族民居窗户的花格，显然，它也是由正三角形和正六边形两种图形镶嵌成的一个平面，所不同的是，此时的正三角形边长是正六边形边长的两倍.这为研究者研究当正三角形的边长是正六边形边长的n倍时能镶嵌成一个平面（图16）提供了现实模型.在侗族的传统工艺中，如上所述的窗户花格，还有服饰中的图案等都有丰富的镶嵌问题.而且正三角形、正四边形、正六边形，以及正三角形与正四边形、正三角形与正六边形镶嵌成一个平面的模型都有.图14 侗族地区竹编图15 侗族民居窗户花格图16 平面镶嵌模型6 侗族服饰中的数学文化侗族女性的服饰千姿百态，或款式不同，或装饰部位不同，或图案和工艺不同，或色彩和发型、头帕不同.服饰注重审美，朴素与华贵相得益彰，充分展示出侗族女子的聪慧和高超技艺，是民族文化之瑰宝.常见的侗族织锦，其图案分布规律性强，由大小相等的菱形依次相接排列而成，每个菱形内都有1朵花，每一朵花又由8个菱形的花瓣构成（如图17a），两个菱形之间的上下空白处分别绣有4个花瓣（如图17b）.按照规律，作出图17c，如果需要，还可以继续作出相关的图形.这除了是一个等差数列问题，还与平移变换、对称等数学知识相关.图17 侗族织锦再看图18，这是侗族女孩子经常穿戴的围腰，图形自上而下，围腰外围和里面的图案都有很多条弧线，图案优美、和谐大方.这里无疑蕴涵着丰富的数学文化，恕不一一列举.图18 侗族女孩子穿戴的围腰侗族服饰、刺绣，特别是挑花、数纱绣等工艺与图形的全等（包括图案的对称平移）、面积的大小和图案各线段的长短都有关系，它有着丰富的数学文化内涵.在民族地区实施数学教育，若能注意参考这些民族文化，创设必要的数学情境，对提高少数民族女童对数学的认识和理解，其效果不言而喻.7 “二分法”是侗族常用的数学方法“二分法”是基本的数学方法，是新一轮数学课程改革中新增加的教学内容.其实，在侗族数学活动中早就有“二分法”的应用.如前所述，侗族生活中的乘法运算公式（1）就有效地运用了2和的倍数将乘法转化为加减法的运算，这里充分体现了“二分法”在乘法运算中的应用.“二分法”在侗族的生活实践中也有着广泛的应用.图19是古代侗族传承下来的碾米房的水轮车.该水轮车依靠水的冲力使其转动，形成动能，并通过轴心的立柱带动上一层石巢轨道的石轮转动，以实现碾米功能.这个水轮车主要由两个同心圆和连接同心圆的木板和木枋构成，这本身就蕴涵着丰富的数学和力学原理.制作时，首先运用前述“九五分六角”的方法获得6个圆心角约为60°的“全等”扇环，然后分别在每个扇环中插入1片叶片，将扇环分为两个全等的扇环，用同样的方法依次将扇环“一分为二”，使每个圆心角为60°的“全等”扇环插入7片叶片，在圆弧上实现了水轮车叶片的加密.克服了在对角度概念还不清晰的情况下n等分圆弧带来的困难.图19 碾米房的水轮车研究者还注意到，如前所述，鼓楼楼冠的屋面需要制作如图3的三角架，AiBi长度的确定一般也是通过公式（3′）来实现的.而鼓楼楼冠以下的各层翘檐也要制作如图3的三角架，角O的大小与B长度的确定是将公式（3′）中的7i改为5而实现（如图20）：图20 鼓楼楼冠以下的翘檐测量AiBi(单位：市寸)=5×OBi(单位：市尺) （3′′）即，直角三角形的“对边是邻边的一半”.需要说明的是，图20是对鼓楼楼冠以下的翘檐测量的结果，单位是cm，而侗族所用的工具是市尺，且侗族测量或计算到市寸以后的数字通常忽略不计，所以，数据有误差.但如果转换为市尺并按照侗族的这一习惯的方式进行测量和计算，那么125 cm=3.75市尺，其中第二位小数中的5是市寸以后的数字忽略不计，他们只记为3.7市尺，将OBi=3.7市尺代入公式（3′′）得到AiBi=18.5市寸，而这里第一位小数中的5是市寸以后的数字又忽略不计，故取18市寸（即60 cm），这正好是测量的结果[3].侗族民居中的屋面三角架一般也是应用公式（3′′）制作成为“对边是邻边的一半”的直角三角形.这让研究者再一次地看到了“二分法”这一基本的数学方法在侗族生活中的广泛应用.8 结束语综上所述，侗族特有的鼓楼、民居、民间工艺、服饰及刺绣等都是侗族数学文化的重要载体，侗族从日常生活中的基本运算到生产实践的数学应用所表现出来的古朴的数学思想方法具有鲜明的文化特征，这说明古代侗族对经典数学有了较好的理解和应用，她再现了中国古代数学应用之一斑.古老的侗族传承着人类古老的数学文化.研究侗族数学文化的根本目的在于弄清侗族学生学习数学的文化基础，以适时地在侗族地区实施跨文化数学教育，为全面提高侗族地区的数学教育质量发挥积极作用. ［参考文献］【相关文献】[1]薛永应.揭秘千年[M].北京：中央编译出版社，2003.[2]罗永超.侗族数学文化中的2与及相关计算[J].凯里学院学报，2008，26（3）：13-15.[3]罗永超.鼓楼人类文明“童年时期”数学文化的结晶[J].数学通报，2007，（11）：9-11.[4]张雄.黄金分割的美学意义及其应用[J].自然辩证法研究，1999，15（11）：5-8.[5]欧明杰.侗族鼓楼中的数学知识[J].凯里学院学报，2008，26（3）：8-12.[6]张和平，罗永超，肖绍菊.研究性学习与原生态民族文化资源开发实践——以黔东南苗族服饰和侗族鼓楼蕴涵数学文化为例[J].数学教育学报，2009，18（6）：70-73.。
控制测量学名词解释
1.1985国家高程基准: 1985年，国家测绘部门以青岛验潮站1953年至1979年的观测资料为依据，重新确定修正后的水准零点高程（72.2604 米），称为“1985国家高程基准”2.正高高程系:正高系统以大地水准面作为高程基准面，点的正高为：点沿铅垂方向到大地水准面的距离3.控制测量学:研究精确测定和描绘地面控制点空间位置及其变化的学科4.水准面:静止的水面称为水准面，水准面是受地球表面重力场影响而形成的，是一个处处与重力方向垂直的连续曲面，因此是一个重力场的等位面5.大地水准面的差距:从大地水准面沿法线到地球椭球体面的距离6.水准标尺分划面弯曲差：通过分划面的两端点的直线中点至分划面的距离7.方向观测法：在一测回内把测站上所有观测方向，先盘左位置依次观测，后盘右位置依次观测，取盘左、盘右平均值作为各方向的观测值8电子经纬仪：利用光电技术测角，带有角度数字显示和进行数据自动归算及存储装置的经纬仪9.测站偏心：有时为了观测的需要，如觇标的橹柱挡住了某个照准方向。
仪器也必须偏离通过标石中心的垂线进行观测。
10. 水准面的不平行性：重力加速度随纬度的不同而变化的，在赤道g较小，而在两极g值较大，因此水准面相互不平行，且为向两极收敛的、接近椭圆的曲线。
重力异常，不规则的变化。
1、控制测量学的基本任务：①在设计阶段建立用于测绘大比例尺地形图的测图控制网②在施工阶段建立施工控制网③在工程竣工后的运营阶段，建立以监视建筑物变形为目的的变形观测专用控制网控制测量学的主要研究内容（1）研究建立和维持高科技水平的工程和国家水平控制网和精密水准网的原理和方法，以满足国民经济和国防建设以及地学科学研究的需要。
（2）研究获得高精度测量成果的精密仪器和科学的使用方法。
（3）研究地球表面测量成果向椭球及平面的数学投影变换及有关问题的测量计算。
（4）研究高精度和多类别的地面网、空间网及其联合网的数学处理的理论和方法、控制测量数据库的建立及应用等。
照相机的三脚架原理
照相机的三脚架原理
照相机的三脚架是一种用于固定相机的支架装置。
其原理是利用稳定的三脚支撑结构，提供相机固定的支撑平台，以减少相机在拍摄过程中因手持或者放置不稳造成的抖动，从而获得更稳定、清晰的照片。
三脚架的结构一般由三根脚杆和相机支架组成。
每根脚杆都分为多个可伸缩的节段，通过旋转锁定装置连接，从而可根据需求调整脚杆的长度。
三根脚杆通过交叉连接构成一个稳固的三角形支撑结构，稳定性很高。
脚杆的末端通常配备有一种叫做脚垫的装置，脚垫的设计使其能够提供更好的摩擦力，从而增加三脚架的稳定性。
一些脚垫还可以调整角度，以适应不同地形的使用需求。
相机支架位于三脚架的顶部，用于承载相机并将其固定在上面。
相机支架的设计通常具备可调节的角度，以实现不同拍摄角度的需要。
同时，相机支架通常配备一个快拆装置，方便用户快速固定或取下相机。
使用三脚架时，只需将其稳固地放置在地面或其他支撑物上，并调整脚杆和相机支架的角度，使相机正对拍摄对象。
然后将相机固定到相机支架上，通过相机的快门按钮进行拍摄。
通过使用三脚架，可以最大程度地减少摄影过程中的抖动和晃动，提高图片的清晰度和稳定性。
此外，三脚架还可提供更多
的拍摄自由度，使得拍摄者能够更好地选择不同的拍摄角度和构图。
全站仪极坐标法测量方法
全站仪极坐标法测量方法一、概述全站仪极坐标法是一种常用的测量方法，适用于各种建筑工程、土木工程、测绘工程等领域。
本文将从全站仪的原理、使用、校准等方面对全站仪极坐标法进行全面、详细、完整地探讨。
二、全站仪的原理与构成2.1 全站仪的原理全站仪是一种综合了测角仪、测距仪和自动水平仪等功能的现代化测量仪器。
它通过激光束发射器和接收器的相互作用，利用三角测量原理来确定目标物体的位置。
2.2 全站仪的构成全站仪由测量仪器、测量杆和三脚架组成。
测量仪器包括主机、显示屏、键盘等部分，用于操作和显示测量结果。
测量杆用于支撑测量仪器，并能对其高度进行调整。
三脚架用于稳定全站仪的位置，确保测量的准确性。
三、全站仪极坐标法的测量步骤3.1 设置全站仪1.将三脚架稳定地放置在测量点上，并使用水平仪调整其水平。
2.将全站仪安装在三脚架上，并进行水平校准。
3.2 设置目标点1.在需要测量的目标点上设置参考点，可以使用标杆等工具。
2.使用全站仪的激光瞄准器将瞄准线对准目标点的参考点。
3.3 进行测量1.使用全站仪的观测模式，对目标点进行观测。
2.通过观测仪器上的显示屏和键盘，记录下测量结果。
3.4 计算测量结果1.将观测得到的角度、距离等数据输入到计算机中。
2.利用三角函数等数学方法，进行测量结果的计算。
3.5 结束测量1.对全站仪进行关机等操作，结束测量过程。
2.对测量结果进行整理和分析，生成相应的测量报告。
四、全站仪极坐标法的优点与应用场景4.1 优点•测量准确性高，精度可达毫米级。
•操作简便，快速高效。
•可以在复杂地形中进行测量。
•数据可以轻松导入计算机，方便数据处理和分析。
4.2 应用场景•建筑工程中的地基测量。
•道路工程中的线路测量。
•桥梁工程中的结构测量。
•测绘工程中的地形测量等。
五、全站仪极坐标法的注意事项和常见问题5.1 注意事项•在使用全站仪之前，需要对仪器进行校准，确保测量的准确性。
•在测量过程中，需要注意保护好全站仪，防止发生意外损坏。
暑期备课笔记-高一物理第14讲：物体受力平衡的应用(教师版)
第13讲物体受力平衡（教师版）处理平衡问题的几种方法常用数学方法一．菱形转化为直角三角形：如果两分力大小相等，则以这两分力为邻边所作的平行四边形是一个菱形．而菱形的两条对角线相互垂直，可将菱形分成四个相同的直角三角形，于是菱形转化成为直角三角形．二．相似三角形法：如果在对力利用平行四边形定则运算的过程中，力三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形对应边成比例等性质求解．三．正交分解法: 建立直角坐标系，将各力分解到x轴和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件。
多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。
值得注意的是：对x、y轴的方向的选择，尽可能使落在坐标轴上的力多，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。
常用物理方法一．隔离法：为了弄清系统（连接体）内某个物体的受力和运动情况，一般可采用隔离法．运用隔离法解题的基本步骤是：（1）明确研究对象或过程、状态；（2）将某个研究对象或某段运动过程、或某个状态从全过程中隔离出来；（3）画出某状态下的受力图或运动过程示意图；（4）选用适当的物理规律列方程求解．二．整体法：当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些物体的力和运动时，一般可采用整体法．运用整体法解题的基本步骤是：（1）明确研究的系统或运动的全过程；（2）画出系统整体的受力图或运动全过程的示意图；（3）选用适当的物理规律列方程求解．应用物体受力平衡分析物体受力利用数学方法分析物体受力利用物理方法分析物体受力1.合成分解法【例1】如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？【解析】以小球为研究对象，将重力按效果进行分解，作出力分解图，如图1．球对斜面的压力等于F2= mg/cosθ。
球对挡板的压力等于F1=mgtanθ．【答案】mgtanθ，mg/cosθ2.三角形相似法【例2】如图4所示，在半径为R的光滑半球面正上方距球心h处悬挂一定滑轮，重为G的小球A用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住。
【优创课件】8.4.1平面(人教A版2019必修二)
【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？ [提示]由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形：
符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
【思考1】几何里的“平面”有边界吗？用什么 图形表示平面？
【提示】 没有.平行四边形. 【思考2】一个平面把空间分成了几部分？ 【提示】 二部分.
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外
l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l
证明：若EF、GH交于一点P， 则E，F，G，H四点共面， 又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD， 平面ABD∩平面CBD＝BD， 所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 由基本事实3可得P∈BD.
（四）操作演练 素养提升
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
（三）典型例题
4.三点共线问题
例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q， 求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.
2024年神奇的三脚架大班科学教案
2024年神奇的三脚架大班科学教案一、教学内容本节课选自《幼儿园大班科学活动教材》第四章“力的探索”，详细内容为“神奇的三脚架”。
通过学习三脚架的稳定性原理，让幼儿了解三角形在生活中的应用，培养幼儿的观察力、思考力和动手操作能力。
二、教学目标1. 了解三脚架的稳定性原理，知道三角形在生活中的应用。
2. 能够通过实践操作，探索三脚架的稳定性，培养动手操作能力。
3. 增强对科学现象的好奇心，激发幼儿探索科学的兴趣。
三、教学难点与重点重点：三脚架的稳定性原理，三角形的特征。
难点：让幼儿理解三角形在生活中的应用，培养幼儿的观察力和思考力。
四、教具与学具准备1. 教具：三脚架模型、三角形物品（如三明治、自行车三脚架等）、图片、实验器材。
2. 学具：画纸、彩笔、剪刀、胶水、三角板、积木。
五、教学过程1. 实践情景引入：出示三脚架模型，让幼儿观察并讨论其在生活中的应用。
2. 例题讲解：讲解三脚架的稳定性原理，引导幼儿了解三角形的特征。
b. 演示三脚架稳定性实验，让幼儿观察并思考原因。
3. 随堂练习：发放画纸、彩笔等材料，让幼儿动手绘制三角形，并尝试搭建三脚架模型。
六、板书设计1. 板书神奇的三脚架2. 板书内容：a. 三角形的特征：三边、三个角、稳定不易变形。
b. 三脚架稳定性原理：三角形结构，稳定性强。
七、作业设计1. 作业题目：找一找生活中的三角形，并记录下来。
2. 答案示例：自行车三脚架、三明治、衣架、三角形积木等。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课幼儿对三脚架的稳定性原理和三角形的特征有了初步的认识，但在动手操作过程中，部分幼儿对三角形的绘制和搭建存在一定困难。
2. 拓展延伸：a. 鼓励幼儿在家庭和学校中寻找三角形物品，加深对三角形特征的理解。
b. 组织一次“三角形创意画”活动，让幼儿运用所学知识进行创作。
c. 结合其他学科，如数学、美术等，开展三角形相关教学活动，提高幼儿的综合运用能力。
重点和难点解析：1. 教学难点与重点的确定。
三角形的稳定性(教案)-四年级下册数学北师大版
教案：三角形的稳定性教学目标：1. 理解三角形的稳定性，能够判断三角形是否稳定。
2. 学会利用三角形的稳定性解释生活中的现象。
3. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 理解三角形的稳定性。
2. 学会利用三角形的稳定性解释生活中的现象。
教学难点：1. 理解三角形的稳定性。
2. 学会利用三角形的稳定性解释生活中的现象。
教学准备：1. 教学课件。
2. 三角形模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生观察三角形的模型，提问：你们知道三角形有什么特性吗？2. 学生回答后，教师总结：三角形有三条边和三个角，是一种稳定的图形。
二、探究三角形的稳定性（15分钟）1. 教师出示一个三角形模型，让学生观察并思考：为什么三角形具有稳定性？2. 学生回答后，教师总结：因为三角形的三个角都是固定的，所以三角形具有稳定性。
3. 教师引导学生思考：在生活中，有哪些地方利用了三角形的稳定性？4. 学生回答后，教师总结：例如，自行车的三角架、照相机的三脚架等都是利用了三角形的稳定性。
三、巩固练习（10分钟）1. 教师出示一些图形，让学生判断哪些是稳定的三角形，哪些是不稳定的三角形。
2. 学生回答后，教师进行点评和讲解。
四、拓展延伸（5分钟）1. 教师引导学生思考：除了稳定性，三角形还有哪些特性？2. 学生回答后，教师总结：三角形还有角度和边长的关系，如直角三角形、等边三角形等。
五、总结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：你们学到了什么？2. 学生回答后，教师总结：我们学习了三角形的稳定性，了解了三角形在生活中的应用，希望大家能够运用所学的知识解决生活中的问题。
教学反思：本节课通过引导学生观察、思考和探究，使学生理解了三角形的稳定性，并能够运用所学的知识解释生活中的现象。
在教学过程中，教师注重启发学生的思维，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
同时，通过巩固练习和拓展延伸，使学生对三角形有了更深入的了解。
2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．已知集合A ={x|x−1x+3＜0}，B ={x||x|＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜1}B ．{x |﹣3＜x ＜2}C ．{x |﹣2＜x ≤1}D ．{x |﹣2≤x ≤1}2．已知直线l ，m 和平面α，β．若α⊥β，l ⊥α，则“l ⊥m ”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在△ABC 中，CM →=3MB →，AN →+CN →=0，则（ ）A ．MN →=14AC →+34AB →B ．MN →=23AB →+76AC →C ．MN →=16AC →−23AB →D ．MN →=14AC →−34AB →4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r ＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2√3D ．35．已知sin(α−π4)=−35，且α为锐角，则cos2α＝（ ） A ．−1225B ．1225C ．−2425D ．24256．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（ ） A ．23B ．√36C ．√2121D ．4√21217．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，O 为椭圆的对称中心，F 为椭圆的一个焦点，P 为椭圆上一点，PF⊥x 轴，PF 与椭圆的另一个交点为点Q ，△POQ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．√32B ．√5−12C ．√3+14D ．358．已知正三棱锥A ﹣BCD 的外接球是球O ，正三棱锥底边BC ＝3，侧棱AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BE ＝DE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．[9π4，3π]B ．[2π，3π]C ．[11π4，4π]D ．[9π4，4π]二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知空间中三点A （﹣1，2，1），B （1，3，1），C （﹣2，4，2），则（ ）A ．向量AB →与向量AC →垂直B ．平面ABC 的一个法向量为n →=（l ，2，﹣5）C ．AC →与BC →的夹角余弦值为√6611D ．|AB →|=210．已知f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＜0)的最小正周期为π，则（ ） A ．f(π4)=√3B ．f （x ）的图象关于直线x =−π6对称 C ．f （x ）在(0，π3)上单调递增D ．f （x ）在（0，2π）上有四个零点11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣1，0），B （2，0），动点M 满足MB ＝2MA ，直线l ：x ﹣my +1＝0，则以下说法正确的是（ ） A ．动点M 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝4 B ．直线l 与动点M 的轨迹一定相交C ．若直线l 与动点M 的轨迹交于P 、Q 两点，且PQ =2√3，则m ＝±1D ．动点M 到直线l 距离的最大值为312．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，G 为C 1D 1的中点，点P 在线段B 1C 上运动，点Q 在棱C 1C 上运动，M 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ） A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1D B ．PQ +QG 的最小值为3√2C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3，π2]D ．当MA +MB ＝4时，三棱锥A ﹣MBC 体积最大时其外接球的表面积为28π3．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数3+i 是实系数一元二次方程x 2﹣ax +b ＝0的一个根，则b ＝ ．14．已知⊙M ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，直线l ：2x +y +2＝0，点P 为直线l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，切点为A ，则切线段P A 长的最小值为 ．15．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系xOy 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0．根据上述知识解决问题：现有一三脚架（三条脚架可看作三条边，它们的交点为顶点）放于桌面，建立合适空间直角坐标系xOy ，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面α的方程为x ﹣2y +z ＝0，若三脚架顶点Q 的坐标为（0，2，3），则点Q 到平面α的距离为 ． 16．已知△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 上的四等分点（靠近点A ）且CD ＝1，（a ﹣b ）sin A ＝（c +b ）（sin C ﹣sin B ），则a +3b 的最大值是 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图像如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求f （x ）与g （x ）的解析式；（2）求方程g(x)=√2在区间（0，2π）内的所有实数解的和．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ﹣c ＝（√3sin A ﹣cos A ）b ． （1）求角B 的大小；（2）D 为AC 边上一点，DB ⊥AB ，BC ＝4，BD =√3，求边AB 的长．19．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0． （1）求直线BC 的方程；（2）若△ABC 的外接圆为圆M ，过点P(√2，2)作圆M 的切线，求切线方程． 20．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，AC ＝AA 1，AC 1⊥A 1B ． （1）求证：面ACC 1A 1⊥面ABC ；（2）若BC ＝1，AC ＝2，∠A 1AC ＝60°，在棱AC 上是否存在一点P ，使得二面角B ﹣A 1P ﹣C 的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆M 焦点在x 轴，离心率为2√23，且过点（3，0），直线l ：x ＝ky +m （m ≠3）与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过定点C （3，0）． （1）求椭圆M 的标准方程； （2）求△ABC 面积的最大值．22．（12分）已知集合M 是满足下列性制的函数f （x ）的全体，存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a +x ）＝kf （a ﹣x ）成立，称数对（a ，k ）为函数f （x ）的“伴随数对”． （1）判断f （x ）＝x 2是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数f （x ）＝sin x ∈M ，求满足条件的函数f （x ）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”，当1≤x ＜2时，f （x ）＝cos （π2x ）；当x ＝2时，f （x ）＝0，求当2014≤x ≤2016时，函数y ＝f （x ）的解析式和零点．2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．已知集合A ={x|x−1x+3＜0}，B ={x||x|＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜1} B ．{x |﹣3＜x ＜2} C ．{x |﹣2＜x ≤1} D ．{x |﹣2≤x ≤1}解：因为x−1x+3＜0⇒(x −1)(x +3)＜0⇒−3＜x ＜1，所以A ＝{x |﹣3＜x ＜1}．因为|x |＜2⇒﹣2＜x ＜2，所以B ＝{x |﹣2＜x ＜2}． A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜1}． 故选：A ．2．已知直线l ，m 和平面α，β．若α⊥β，l ⊥α，则“l ⊥m ”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为α⊥β，l ⊥α，若m ⊥β，则可得l ⊥m ，必要性成立；若l ⊥m ，则m ∥α或m ⊂α都有可能，但是m ⊥β不一定成立，充分性不成立． 所以“l ⊥m ”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 故选：B ．3．在△ABC 中，CM →=3MB →，AN →+CN →=0，则（ ）A ．MN →=14AC →+34AB →B ．MN →=23AB →+76AC →C ．MN →=16AC →−23AB →D ．MN →=14AC →−34AB →解：由CM →=3MB →，AN →+CN →=0，可得BM →=14BC →，AN →=12AC →，所以MN →=AN →−(AB →+BM →)=12AC →−AB →−14BC → =12AC →−AB →−14(AC →−AB →) =14AC →−34AB →．故选：D ．4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r ＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2√3D ．3解：令圆锥底面圆半径为r ′，则2πr ′=πr ，解得r ′=12r ， 从而圆锥的高ℎ=√r 2−r′2=√32r ， 因此圆锥的体积V =13πr′2ℎ=13π(12r)2⋅√32r =3π，解得r =2√3．故选：C ．5．已知sin(α−π4)=−35，且α为锐角，则cos2α＝（ ） A ．−1225B ．1225C ．−2425 D ．2425解：由sin(α−π4)=−35，且α为锐角，所以α∈(0，π2)， 可得α−π4∈(−π4，π4)，所以cos(α−π4)=√1−sin 2(α−π4)=45； 因此cosα=cos[(α−π4)+π4]=cos(α−π4)cos π4−sin(α−π4)sin π4=7√210， cos2α=2cos 2α−1=2×(7√210)2−1=2425． 故选：D ．6．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（ ） A ．23B ．√36C ．√2121D ．4√2121解：如图，设正四面体ABCD 的棱长为2，取AD 的中点F ，连接MF 、CF ，因为M 、F 分别为AB 、AD 的中点，则MF ∥BD 且MF =12BD =1，因此∠CMF 或其补角为直线CM 与直线BD 所成的角， 因为△ABC 为等边三角形，M 为AB 的中点， 则CM ⊥AB ，且CM =ACsin60°=√3，同理CF =√3，在等腰△CMF 中，cos ∠CMF =12MFMC =123=√36，所以直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为√36． 故选：B ．7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，O 为椭圆的对称中心，F 为椭圆的一个焦点，P 为椭圆上一点，PF⊥x 轴，PF 与椭圆的另一个交点为点Q ，△POQ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．√32B ．√5−12C ．√3+14D ．35解：如图，不妨设F （c ，0），P （c ，y 0）， 因为点P （c ，y 0）在椭圆上，所以c 2a 2+y 02b 2=1，解得y 0=±b 2a ，所以P(c ，b2a)，又△POQ 为等腰直角三角形，所以|PF |＝|OF |， 即b 2a=c ，即a 2﹣c 2＝ac ，所以e 2+e ﹣1＝0， 解得e =√5−12或e =−1−√52（舍）． 故选：B ．8．已知正三棱锥A ﹣BCD 的外接球是球O ，正三棱锥底边BC ＝3，侧棱AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BE ＝DE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．[9π4，3π]B ．[2π，3π]C ．[11π4，4π]D ．[9π4，4π]解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接O 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则O 1D ＝3sin60°×23=√3，AO 1=√AD 2−DO 12=3，在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，在△DEO 1中，O 1E =√3+94−2×√3×32×cos30°=√32，∴OE =√O 1E 2+OO 12=√34+1=√72， 过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时， 截面的面积最小，此时截面圆的半径为： r =√22−(√72)2=32，最小面积为π×(32)2=9π4， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． ∴所得截面圆面积的取值范围是[9π4，4π]．故选：D ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知空间中三点A （﹣1，2，1），B （1，3，1），C （﹣2，4，2），则（ ） A ．向量AB →与向量AC →垂直B ．平面ABC 的一个法向量为n →=（l ，2，﹣5） C ．AC →与BC →的夹角余弦值为√6611D ．|AB →|=2解：三点A （﹣1，2，1），B （1，3，1），C （﹣2，4，2）， A 中，AB →=（2，1，0），AC →=（﹣1，2，1），所以AB →•AC →=2×（﹣1）+1×2+0×1＝0，所以AB →⊥AC →，所以A 正确；B 中，设平面ABC 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅AB →=0n →⋅AC →=0，即{2x +y =0−x +2y +z =0， 令x ＝1，则n →=（1，﹣2，5），所以B 不正确；C 中，BC →=（﹣3，1，1），AC →•BC →=−1×（﹣3）+2×1+1×1＝6， |AC →|=√(−1)2+22+12=√6，|BC →|=√(−3)2+12+12=√11，所以cos ＜AC →，BC →＞=AC →⋅BC→|AC →|⋅|BC →|=6√6⋅√11=√6611，所以C 正确； D 中，|AB →|=√22+12+02=√5≠2，所以D 不正确． 故选：AC ．10．已知f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＜0)的最小正周期为π，则（ ） A ．f(π4)=√3B ．f （x ）的图象关于直线x =−π6对称 C ．f （x ）在(0，π3)上单调递增D ．f （x ）在（0，2π）上有四个零点解：函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx ＝2sin （ωx +π6）（ω＜0）的最小正周期为π， ∴T =2π−ω=π，即ω＝﹣2， 则f （x ）＝2sin （﹣2x +π6）＝﹣2sin （2x −π6）， A ，∵f （π4）＝﹣2sin （π2−π6）＝﹣2sinπ3=−√3，∴A 错误，B ，当x =−π6时，则f （−π6）＝﹣2sin （−π2）＝2，∴直线x =−π6为对称轴，∴B 正确，C ，∵x ∈（0，π3），∴2x −π6∈（−π6，π2），∴f （x ）＝﹣2sin （2x −π6）在x ∈（0，π3）上单调递减，∴C 错误，D ，令2x −π6=k π，k ∈Z ，则x =π12+kπ2，k ∈Z ，当k ＝0，即x =π12时，符合题意，当k ＝1，即x =7π12时，符合题意， 当k ＝2，即x =13π12时，符合题意，当k ＝3，即x =19π12时，符合题意，∴D 正确， 故选：BD ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足MB＝2MA，直线l：x﹣my+1＝0，则以下说法正确的是（）A．动点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4B．直线l与动点M的轨迹一定相交C．若直线l与动点M的轨迹交于P、Q两点，且PQ=2√3，则m＝±1D．动点M到直线l距离的最大值为3解：设点M（x，y），因为动点M满足MB＝2MA，且A（﹣1，0），B（2，0），所以√(x−2)2+y2=2√(x+1)2+y2，整理可得x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4，对于A，动点M的轨迹是以N（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，动点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4，故A正确；对于B，因为直线l：x﹣my+1＝0过定点C（﹣1，0），而点C（﹣1，0）在圆（x+2）2+y2＝4内，所以直线l与动点M的轨迹一定相交，故B正确；对于C，因为PQ=2√3，所以圆心到直线的距离d=√r2−(|PQ|2)2=1，所以d=|−2+1|√1+(−m)=1，解得m＝0，故C错误；对于D，因为圆心N到直线l的距离为1，所以动点M到直线l距离的最大值为1+2＝3，故D正确．故选：ABD．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C 上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．PQ+QG的最小值为3√2C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π3，π2]D ．当MA +MB ＝4时，三棱锥A ﹣MBC 体积最大时其外接球的表面积为28π3．解：对于A 选项，连接B 1D 1，则B 1D 1⊥A 1C 1，由题可知，BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，且A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则B 1B ⊥A 1C 1， 又B 1D 1∩B 1B ＝B 1，∴A 1C 1⊥平面D 1B 1B ，BD 1⊂平面D 1B 1B ，则BD 1⊥A 1C 1， 同理可得BD 1⊥DC 1，∵DC 1∩A 1C 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，则选项A 正确；对于B 选项，如图展开平面C 1CDD 1，使平面B 1BCDD 1C 1共面，过G 作GP ⊥B 1C ，交B 1C 与点P ，交C 1C 与点Q ，则此时|PQ |+|QG |最小， 由题可知，B 1G ＝3，则GP =3√22， 即|PQ |+|QG |的最小值为3√22，则B 选项错误；对于C 选项，由题可知，A 1B 1∥C 1D 1∥CD ，A 1B 1＝C 1D 1＝CD ， 所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，则A 1D ∥B 1C ， 所以AP 与B 1C 所成角即为异面直线AP 与A 1D 所成角， 又点P 在线段B 1C 上运动，可知△AB 1C 是等边三角形，所以直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3，π2]，则C 选项正确； 对于D 选项，∵|MA |+|MB |＝4，∴当M 、A 、B 三点共面时， 点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，又因为|AB |＝2，所以椭圆的长轴长为4，短轴长为2√3，故点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭球表面， 设AB 的中点为E ，要使三棱锥A ﹣MBC 的体积最大，即M 到平面ABC 的距离最大， 所以当M ∈平面ABB 1A 1，当ME ⊥平面ABC ，且ME =√3时，三棱锥A ﹣MBC 的体积最大， 此时△MAB 为等边三角形，设其中心为O1，三棱锥A﹣MBC的外接球的球心为O，△ABC的外心F，连接OF，OA，OO1，则OF=O1E=√33，AF=√2，所以AO2=OF2+AF2=73，即三棱锥A﹣MBC体积最大时其外接球的表面积S=4π×OA2=28π3．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数3+i是实系数一元二次方程x2﹣ax+b＝0的一个根，则b＝10．解：复数3+i是实系数一元二次方程x2﹣ax+b＝0的一个根，则3﹣i也是实系数一元二次方程x2﹣ax+b＝0的一个根，故（3+i）（3﹣i）＝b，即b＝10．故答案为：10．14．已知⊙M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：2x+y+2＝0，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线P A，切点为A，则切线段P A长的最小值为1．解：⊙M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心坐标为M（1，1），半径为2，如图，|MA|＝2，要使|P A|最小，则|PM|最小，为圆心M到直线l：2x+y+2＝0的距离，即√22+12=√5．∴|P A|的最小值为√(√5)2−22=1．故答案为：1．15．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系xOy 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0．根据上述知识解决问题：现有一三脚架（三条脚架可看作三条边，它们的交点为顶点）放于桌面，建立合适空间直角坐标系xOy ，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面α的方程为x ﹣2y +z ＝0，若三脚架顶点Q 的坐标为（0，2，3），则点Q 到平面α的距离为 √66． 解：平面α的方程为x ﹣2y +z ＝0，取P （0，0，0）， 则平面的法向量为n →=(1，−2，1)，PQ →=(0，2，3)， 则cos〈PQ →，n →〉=PQ →⋅n→|PQ →|⋅|n →|=−4+313×6=−√7878，故点Q 到平面α的距离为|PQ →||cos〈PQ →，n →〉|=√13×√7878=√66．故答案为：√66． 16．已知△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 上的四等分点（靠近点A ）且CD ＝1，（a ﹣b ）sin A ＝（c +b ）（sin C ﹣sin B ），则a +3b 的最大值是 8√33． 解：因为（a ﹣b ）sin A ＝（c +b ）（sin C ﹣sin B ）， 由正弦定理得a （a ﹣b ）＝（c +b ）（c ﹣b ）， 则a 2﹣ab ＝c 2﹣b 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，所以cos ∠ACB =a 2+b 2−c 22ab =12，又∠ACB ∈（0，π），则∠ACB =π3；设∠ACD ＝θ，则∠BCD =π3−θ，且0＜θ＜π3， 在△ACD 中，有ADsinθ=CD sinA，则AD •sin A ＝sin θ，在△BCD 中，有BDsin(π3−θ)=CD sinB，则BD ⋅sinB =sin(π3−θ)，又BD =3AD =3c4，即c 4(sinA +3sinB)=sinθ+sin(π3−θ)， 又由正弦定理知c =2Rsin ∠ACB =√3R （R 为△ABC 的外接圆半径）， 所以√3R 4(sinA +3sinB)=sinθ+√32cos −12sinθ=12sinθ+√32cosθ=sin(θ+π3， 则√38(2RsinA +6RsinB)=sin(θ+π3)，即a +3b =3+π3)，又π3＜θ+π3＜2π3，故当θ+π3=π2，即θ=π6时， 可得(a +3b)max =83=83√3． 故答案为：8√33． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图像如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求f （x ）与g （x ）的解析式；（2）求方程g(x)=√2在区间（0，2π）内的所有实数解的和．解：（1）根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=7π12−π3，所以ω＝2，再根据五点法作图，可得2×π3+φ＝π，求得φ=π3， 所以函数f （x ）＝2sin （2x +π3），将函数f （x ）＝2sin （2x +π3）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）＝2sin[2（x −π4）+π3]＝2sin（2x −π6）的图象，综上可得，f （x ）＝2sin （2x +π3），g （x ）＝2sin （2x −π6）； （2）若g （x ）＝2sin （2x −π6）=√2，可得sin （2x −π6）=√22， 因为0＜x ＜2π， 所以−π6＜2x −π6＜23π6， 所以2x −π6=π4或2x −π6=3π4或2x −π6=9π4或2x −π6=11π4， 所以x =5π24或x =11π24或x =29π24或x =35π24， 可得方程在区间（0，2π）内的所有实数解为5π24，11π24，29π24，35π24，故所有解的和为5π24+11π24+29π24+35π24=103π．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ﹣c ＝（√3sin A ﹣cos A ）b ． （1）求角B 的大小；（2）D 为AC 边上一点，DB ⊥AB ，BC ＝4，BD =√3，求边AB 的长． 解：（1）由已知结合正弦定理可得sinA −sinC =(√3sinA −cosA)sinB ，∴sinA −sin(A +B)=(√3sinA −cosA)sinB ，∴sinA −sinAcosB =√3sinAsinB ， 又∵sin A ＞0，∴√3sinB +cosB =1，∴sin(B +π6)=12． 又∵B ∈（0，π），∴B +π6∈(π6，7π6)，∴B +π6=5π6，∴B =2π3． （2）∵D 为AC 边上一点，∴S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ， ∴12AB •BC •sin ∠ABC =12AB •BD +12BD •BC •sin ∠DAC ，即12⋅AB ⋅4⋅√32=12⋅AB ⋅√3+12⋅√3⋅4⋅12，解得AB ＝2．19．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0．（1）求直线BC的方程；（2）若△ABC的外接圆为圆M，过点P(√2，2)作圆M的切线，求切线方程．解：（1）因为线段AB的垂直平分线的方程为x+y＝0，所以点A，B关于直线x+y＝0对称．因为A（﹣1，﹣1），所以B（1，1）．又C（1，﹣1），所以直线BC的方程为x＝1．（2）因为CA⊥CB，A（﹣1，﹣1），B（1，1），所以△ABC外接圆的方程为（x+1）（x﹣1）+（y+1）（y﹣1）＝0，即x2+y2＝2．所以圆M的圆心为（0，0），半径为√2．当切线的斜率不存在时，x=√2满足题意．当切线的斜率存在时，设切线方程为y−2=k(x−√2)，即kx−y+2−√2k=0．因为圆心M到切线的距离d=|2−√2k|√1+k =√2，解得k=√24，所以切线方程为y−2=√24(x−√2)，即√2x−4y+6=0．综上所述，切线方程为x=√2或√2x−4y+6=0．20．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，AC＝AA1，AC1⊥A1B．（1）求证：面ACC1A1⊥面ABC；（2）若BC＝1，AC＝2，∠A1AC＝60°，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角B﹣A1P﹣C的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由．（1）证明：∵AC＝AA1，四边形ACC1A1是平行四边形，∴四边形ACC1A1是菱形，∴AC1⊥A1C，又AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，∴AC1⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴BC⊥AC1，∵侧面BCC 1B 1是矩形，∴BC ⊥CC 1， AC 1∩CC 1＝C 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂⊥平面ABC ， ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABC ．（2）解：由（1），以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴，平面ACC 1A 1上过点C 且垂直于AC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 平面ACC 1A 1上过点C 且垂直于AC 的直线为z 轴．B （0，1，0），A 1（1，0，√3），设P （t ，0，0）， BP →=（t ，﹣1，0），BA 1→=（1，﹣1，√3），由BC ⊥平面ACC 1A 1，可取平面ACC 1A 1的法向量为m →=（0，1，0）． 设A 1BP 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则n →•BP →=n →•BA 1→=0， ∴tx ﹣y ＝0，x ﹣y +√3z ＝0， 取n →=（√3，√3t ，t ﹣1），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√3t √3+3t +(t−1)=√22，化为t 2+t ﹣2＝0，t ＞0，解得t ＝1，即CP ＝1．∴在棱AC 上存在一点P ，使得二面角B ﹣A 1P ﹣C 的大小为45°，此时点P 为AC 的中点． 21．（12分）已知椭圆M 焦点在x 轴，离心率为2√23，且过点（3，0），直线l ：x ＝ky +m （m ≠3）与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过定点C （3，0）． （1）求椭圆M 的标准方程； （2）求△ABC 面积的最大值． 解：（1）由题意，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，由于椭圆离心率为2√23且过点（3，0）， 所以{c a =2√23a =3，解得a ＝3，c =2√2，b =√a 2−c 2=1，故椭圆M 的标准方程为：x 29+y 2=1．（2）联立{x =ky +mx 29+y 2=1，可得（k 2+9）x 2+2kmy +m 2﹣9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则当Δ＞0时， 有y 1+y 2=−2kmk 2+9，y 1y 2=m 2−9k 2+9，若以AB 为直径的圆经过定点C （3，0），所以CA →⋅CB →=0，由CA →=(x 1−3，y 1)，CB →=(x 2−3，y 2)，得（x 1﹣3）（x 2﹣3）+y 1y 2＝0，将x 1＝ky 1+m ，x 2＝ky 2+m 代入可得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0， 代入韦达定理可得：(k 2+1)×m 2−9k 2+9+k(m −3)×(−2km k 2+9)+(m −3)2=0，化简可得：5m 2﹣27m +36＝0，解得m =125或m ＝3（舍）， 则直线l ：x =ky +125，故直线过定点Q(125，0)， 则S △ABC =12|QC ||y 1﹣y 2|=12×（3−125）y 12×|y 1﹣y 2| =310√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=310√(−2k×125k 2+9)2−4((125)2−9k 2+9)=95√25(k 2+9)−14425(k 2+9)2， 设t =1k 2+9，0＜t ≤19，则S △ABC =95√−14425t 2+t ，当t =25288∈(0，19]时，S △ABC 取得最大值为38．22．（12分）已知集合M 是满足下列性制的函数f （x ）的全体，存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a +x ）＝kf （a ﹣x ）成立，称数对（a ，k ）为函数f （x ）的“伴随数对”． （1）判断f （x ）＝x 2是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数f （x ）＝sin x ∈M ，求满足条件的函数f （x ）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”，当1≤x ＜2时，f （x ）＝cos （π2x ）；当x ＝2时，f （x ）＝0，求当2014≤x ≤2016时，函数y ＝f （x ）的解析式和零点． 解：（1）f （x ）＝x 2的定义域为R ．假设存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a +x ）＝kf （a ﹣x ）成立， 则（a +x ）2＝k （a ﹣x ）2，化为：（k ﹣1）x 2﹣2a （k +1）x +a 2（k ﹣1）＝0， 由于上式对于任意实数x 都成立，∴{k −1=02a(k +1)=0a 2(k −1)=0，解得k ＝1，a ＝0．∴（0，1）是函数f （x ）的“伴随数对”，f （x ）∈M ． （2）∵函数f （x ）＝sin x ∈M ，∴sin （a +x ）＝k sin （a ﹣x ），∴（1+k ）cos a sin x +（1﹣k ）sin a cos x ＝0， ∴√k 2+2kcos2a +1sin （x +φ）＝0， ∵∀x ∈R 都成立，∴k 2+2k cos2a +1＝0， ∴cos2a =−12(k +1k )，|k +1k |≥2， ∴|cos2a |≥1，又|cos2a |≤1， 故|cos2a |＝1．当k ＝1时，cos2a ＝﹣1，a ＝n π+π2，n ∈Z ． 当k ＝﹣1时，cos2a ＝1，a ＝n π，n ∈Z ．∴f （x ）的“伴随数对”为（n π+π2，1），（n π，﹣1），n ∈Z ． （3）∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”， ∴f （1+x ）＝f （1﹣x ），f （2+x ）＝﹣f （2﹣x ）， ∴f （x +4）＝f （x ），T ＝4．当0＜x ＜1时，则1＜2﹣x ＜2，此时f （x ）＝f （2﹣x ）＝﹣cos (π2x)； 当2＜x ＜3时，则1＜4﹣x ＜2，此时f （x ）＝﹣f （4﹣x ）＝﹣cos (π2x)； 当3＜x ＜4时，则0＜4﹣x ＜1，此时f （x ）＝﹣f （4﹣x ）＝cos (π2x)．∴f （x ）={−cos(π2x)，0＜x ＜1cos(π2x)，1＜x ＜2−cos(π2x)，2＜x ＜3cos(π2x)，3＜x ＜40，x =0，1，2，3，4．∴f （x ）={−cos(π2x)，2014＜x ＜2015cos(π2x)，2015＜x ＜20160，x =2014，2015，2016．∴当2014≤x ≤2016时，函数y ＝f （x ）的零点为2014，2015，2016．。
三角形稳定性的背后隐藏着什么秘密
｜科学之友｜143三角形稳定性的基本原理三角形作为几何学中最基础的多边形之一，拥有许多独特的性质。
从边长关系到角度关系，三角形的每一部分都为我们揭示了数学与自然界之间的紧密联系，而其中最引人注目的莫过于它的稳定性。
在物理学中，稳定性通常与平衡相关。
对于三角形来说，它的稳定性来自于其内部各元素之间的相互关系。
当我们考虑力的作用时，三角形展现出一种独特的平衡状态。
这是因为不论从哪个角度看，三角形都是一个力的平衡体。
无论我们施加多大的力，只要这个力是均匀分布在三角形上的，它都能保持其原始形态，不会变形。
这正是三角形稳定性的核心所在。
与等边三角形相比，平行四边形更容易发生变形。
因为平行四边形只有两个相对的边相等，因此只要稍微施加一个力，它就可能发生形状的改变。
而等边三角形有三条相等的边和三个相等的角，这意味着它的各部分都在相互支持，共同抵抗外力的作用。
三角形稳定性的科学解释从材料力学到结构设计，再到自然界中的实例，三角形的稳定性原理无处不在。
当我们谈到三角形的稳定性时，是指这种几何形状在受到外力作用时仍能保持其原始状态的能力。
这一原理在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下是对三角形稳定性原理的具体解释。
材料力学 在材料力学中，三角形是最稳定的结构之一。
材料对力的抵抗方式主要有弯曲、拉伸和剪切等机制，而三角形能够有效地分散和传递力量，避免结构的弯曲、扭曲或变形。
例如在桥梁和建筑设计中，经常使用三角形结构来增加结构的强度和稳定性。
结构设计 在建筑学和工程学中，三角形是常见的结构形式，它具有更好的支撑和稳定性，特别是在承受重力和外部载荷的情况下。
例如在金字塔、屋顶、桥梁等结构中都采用了三角形的设计，以确保其稳定性和承重能力。
自然界中的实例 自然界中存在着许多三角形在我们的日常生活中，三角形无处不在。
从宏伟的建筑结构到微小的分子结构，从古老的埃及金字塔到现代的桥梁设计，三角形都以其独特的稳定性发挥着至关重要的作用。
山顶间测距原理_概述说明以及解释
山顶间测距原理概述说明以及解释1. 引言1.1 概述山顶间测距原理是一种应用于测量两个山顶之间距离的方法。
通过使用特定的工具和设备，以及一系列的测量过程和步骤，可以准确地计算出两个山顶之间的距离。
这项技术在地理测量、航空导航、地理信息系统等领域中得到广泛应用。
1.2 文章结构本文将首先介绍山顶间测距原理的基本概念和背景。
然后，我们将详细讨论该原理的理论基础以及所需的测距工具和设备。
接下来，将介绍实际进行山顶间测距时所涉及的具体步骤和流程。
随后，我们将对该原理进行解释，并分析其可行性及适用领域。
最后，根据研究结果总结出结论。
1.3 目的本文旨在深入探讨山顶间测距原理，详细介绍其背后的理论基础和操作过程，并解释其应用领域及意义。
通过对该原理进行分析和讨论，希望能够提供给读者一个全面了解山顶间测距的视角，并推动该技术在各个领域的应用和发展。
2. 山顶间测距原理:2.1 理论基础:山顶间测距是一种用于测量两个或多个山顶之间的水平距离的方法。
该原理基于三角测量法，利用几何关系和数学计算来确定两个山顶之间的距离。
三角测量法是通过在一个三角形中已知其中两边长度以及夹角，就可以计算出第三边的长度。
在山顶间测距中，我们利用已知的数据如指南针方向和高度差来构建一个虚拟的三角形，并使用三角函数来计算出目标山顶与当前位置之间的水平距离。
2.2 测距工具和设备:进行山顶间测距需要准备以下工具和设备:- 指南针：用于确定当前位置与目标山顶之间的方向。
- 测量绳/带：用于测量高度差。
- 海拔仪: 用于确定当前位置和目标山顶之间的高度差。
2.3 测量过程和步骤:进行山顶间测距时，请按以下步骤进行操作：1. 使用指南针确定当前位置与目标山顶之间的方向，并记录下该方向。
2. 根据实际情况测量当前位置与目标山顶之间的高度差，并记录下该数值。
3. 根据测得的方向和高度差，构建三角形模型。
4. 使用三角函数（如正弦定理或余弦定理）来计算山顶之间的水平距离。
凳子为何都是四只脚1
圆凳子为何都是四只脚数学是历史最悠久的人类知识领域之一。
从远古的结绳记事到现代意义下的电子计算机的诞生；从量地测天到抽象严密的公理化体系，无不体现了数学这个最富有理性魅力的重要角色。
随着科学技术的发展，数学的应用范围日益广泛，不但在自然科学的各个分支中应用，而且在社会科学的很多分支中也有应用。
让我们在生活实践中认识数学,通过将生活实际问题抽象为数学问题，通过观察绘图计算给出答案。
同时也感受到生活中只要多观察、多思考就能发现许多问题是可以用数学的方法解决的，体会数学来源于生活！在学校每当轮到值日扫地或在家帮助父母做家务扫地时，都碰到同样一个问题,就是凳子的腿总是阻碍着我们扫地,扫到那都会碰到凳子的腿，相信每位同学都扫过地吧，不知同学们有没有想过，凳子为什么做四只腿，在学了三角形的稳定性，三点能确定一个平面后，便想到给凳子的四条腿提出了几个问题？省去一条腿行不行？下面就来讨论为什么大多数的圆凳子都是四条腿？三条腿与四条腿有何区别？一、探讨问题1：为何大多数的圆凳子、圆桌子都是四只脚？1、四条腿的凳子比三条腿的凳子稳固四条腿的凳子比三条腿的凳子稳固。
稳固就是人坐上去使凳子受力不均的时候人不容易翻倒。
从如下几个方面来说明。
（1）四条腿凳子的临界倾倒角大于三条腿凳子的临界倾倒角四条腿凳子的临界倾倒角大于三条腿凳子的临界倾倒角，所以四条腿的凳子比三条腿的凳子稳固。
首先分析圆柱体是外力的作用下，圆柱翻倒与什么有关？由力学原理得知，当物体的重心离开垂直线时，物体就会翻倒，如下图，重心O与地面的接触点B点的连线垂直水平线时，物体处相对稳定，当重心向上移动，重心在垂线外，物体就翻倒，重心向下移，物体就会复原到正常状态。
这说明物体的稳定性与下图中的∠AOB有关，∠AOB 越大越稳定，∠AOB角的大小与圆柱的高度和半径有关，相同的高度半径越大越稳定。
四条腿凳子与三条腿凳子的临界倾倒角证明如下：设：三只脚的凳子和四只脚的凳子的高度相同，均为h ，平面的半径都为R ，且腿与凳子的平面垂直成90°角,人坐上去的重心高度均为g+h,则（I ）当凳子为三只脚时，OD=R ·sin30°=R/2=OB （如下图1）GB=g+h, 又∵△OBA ∽△BGO∴∠a =∠β∴tan a1 = OB:GB=R:2(h+g)(设凳子三只脚的临界倾倒角为a) （II ）凳子四条腿时，OD= 2 R/2（如下图1所示）同理可得：tan a2= OB:GB=R/[ 2 （h+g ） ]＞R/2（h+g ）＞tan a1∴a2＞a 1即四条腿临界倾倒角大于三条腿临界倾倒角故：相同高度的四条腿凳子比三条腿凳子更稳定。
全站仪教程
全站仪教程一、全站仪的用途：全站仪是指测量大地方位角，目标距离或坐标，实地放样及几何图形面积，并能自动计算的测量仪器，与水准仪、经纬仪相比，全站仪兼容了水准仪(高程测量)与经纬仪（角度测量）以及钢尺（距离测量）等测量工具的性能。
OTS632A型全站仪可测量角度、距离、悬高、偏心、点到直线、面积等一系列测量功能，目前建筑工程常用到的有：①坐标控制网建立（坐标测设）；②实地放样（建筑红线或建筑物定位）；③面积测量。
二、简介全站仪架设及对准调平（经纬仪类同）1、架设三脚架将三脚架升到适当高度，使三条腿等长，打开并使三脚架顶面近视水平，且位于测站点的正上方，将三脚架腿支撑地面上使其中的一条腿固定，用脚踩实支架腿踏板，使三脚架支腿固定于地面。
2、安置仪器和对点将仪器安置到三脚架上，拧紧中心连接螺旋，调整光学对电器，使十字丝成像清晰，双手握住另外两条未固定架腿，通过对光学对点器的观察调节该两条支架腿的位置。
当光学对点器大致对准测站时（测站点进入光学对点器内圈），使三脚架三条腿均固定在地面上，调节全站仪的三个脚螺旋使光学对点器精确对准测站点。
3、利用圆水准泡粗平仪器调整三脚架三条腿的长度，使全站仪圆水准气泡居中。
4、利用管水准泡精平仪器（气泡移动方向与左手大拇指移动方向一致）。
松开水平制动螺旋,转动仪器使管水准器平行于某一对脚螺旋A、B 的连线，通过旋转脚螺旋A、B，使管水准器气泡居中（管水准器两侧两条刻线水泡不超过第二条刻线即可）。
将仪器旋转90°，使其垂直于脚螺旋A、B的连线，再旋转第三个脚螺旋C，使管水准器气泡居中（同上）。
5、精确对中与整平通过对光学对点器的观察，轻微松开中心连接螺旋平移仪器（不可旋转仪器），使仪器精确的对准测站点，再拧紧中心连接螺旋（重复第4、5条直到仪器精平为止）。
三、确定需测量内容及使用何种测量程序并选用选配的棱镜支架1、测站点到某目标点之间水平或斜距离测量（距离测量程序）由于地面凹凸不平或中间有坑地、障碍物或地貌为坡地，无法用于钢尺测量其水平距离，有时因测站点与目标点距离较远，无法用于钢尺一整尺测出距离，若采用多次量距然后累计相加，可能所量距离不是直线而是折线，从而引起测量不准确。
《三角形边的关系》教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-本节课的核心内容是三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的关系。这是判断三条线段能否构成三角形的基本条件，也是解决三角形相关问题的基础。
-重点理解三角形稳定性的几何意义，即任意两边之和大于第三边的性质，并能运用这一性质解决实际问题。
-通过设计实际情境题，如测量小河宽度、规划园林路径等，引导学生从实际问题中抽象出三角形边的关系，并运用到解题过程中。
-在解决综合问题时，教师应引导学生逐步分析，将复杂问题分解为若干个小问题，每个小问题都强调三角形边的关系，确保学生在解题过程中不忽略这一核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形边的关系的基本概念。三角形边的关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这个性质是判断三条线段能否构成三角形的关键，也是三角形稳定性的基础。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量不可到达的两点间的距离，我们可以利用三角形的性质来解决问题，展示三角》核心素养目标：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过实验观察、分析归纳，掌握三角形三边关系的性质，并能运用逻辑推理证明该关系。
2.提升学生的空间想象力和几何直观能力，通过画图和实际操作，理解三角形的稳定性，感悟几何图形的特征。
3.增强学生的问题解决能力，运用三角形边的关系解决实际问题，培养将数学知识应用于生活情境的能力。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用绳子和小木棍模拟三角形，演示三角形边的关系的基本原理。
大班优秀科学教案《神奇的三脚架》含反思
大班优秀科学教案《神奇的三脚架》含反思一、教学内容本节课选自大班优秀科学教材第四章《力的探索》中的第三节《神奇的三脚架》。
详细内容包括：三脚架的结构与稳定性，三脚架在日常生活和科学实验中的应用，通过实践活动探究三脚架的稳定性与力的大小关系。
二、教学目标1. 知道三脚架的结构特点，理解三脚架的稳定性原理。
2. 能够运用三脚架进行简单的科学实验，培养动手操作能力和观察能力。
3. 通过对三脚架稳定性的探究，激发对科学现象的兴趣和好奇心。
三、教学难点与重点教学难点：三脚架稳定性的原理及其在实验中的应用。
教学重点：掌握三脚架的结构特点，能够运用三脚架进行科学实验。
四、教具与学具准备1. 教具：三脚架模型、实验器材（如：小石块、尺子、绳子等）。
2. 学具：每组一个三脚架、实验器材（如：小石块、尺子、绳子等）。
五、教学过程1. 实践情景引入组织学生观察生活中的三脚架，如：照相机三脚架、野外露营用三脚架等，让学生了解三脚架在生活中的广泛应用。
2. 新课导入通过展示三脚架模型，引导学生观察三脚架的结构特点，讨论三脚架的稳定性原理。
3. 例题讲解举例说明三脚架在科学实验中的应用，如：利用三脚架进行力的测量实验。
4. 随堂练习学生分组进行实验，观察三脚架稳定性与力的大小关系。
六、板书设计1. 《神奇的三脚架》2. 内容：三脚架的结构特点三脚架的稳定性原理三脚架在科学实验中的应用七、作业设计1. 作业题目：设计一个利用三脚架的实验，探究力的作用效果。
答案：学生可设计实验，如：利用三脚架悬挂小石块，观察不同力的大小对小石块摆动幅度的影响。
2. 作业要求：实验报告包括实验目的、实验器材、实验步骤、实验结果及结论。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，让学生掌握了三脚架的结构特点、稳定性原理以及在科学实验中的应用。
课后反思如下：1. 学生在实验过程中，对三脚架稳定性的探究较为积极，但对力的大小与稳定性关系的理解仍需加强。
江苏省常州联盟校2023-2024学年高二下学期4月期中调研数学试题含答案
常州市联盟学校2023-2024学年度第二学期期中调研高二年级数学试卷2024.4考试时间120分钟满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．向量()()2,1,1,1,1,a b x =-=，若a b ⊥ ，则x =()A ．2-B ．1-C ．1D ．02．若某质点的运动方程是2()(21)S t t =-，(位移单位：m ，时间单位：s )，则该质点在1s t =时的瞬时速度为()A ．1m /sB ．2m /sC ．3m /sD ．4m /s3．对A ，B 两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A 地员工的上班迟到时间为X （单位：min ），()2,4X N :，对应的曲线为1C ，B 地员工的上班迟到时间为Y （单位：min ），9,13Y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对应的曲线为2C ，则下列图象正确的是()4．设随机变量X 的分布列为()12iP X i a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1,2,3i =，则则X 的数学期望E (X )=()A ．117B ．7764C ．716D ．2275．已知函数()f x 与其导函数()f x ¢的图像如图，则函数()()ex f x g x =的单调减区间为()A ．()0,4B ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()0,1,4,+∞D ．()4,1,,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭6．函数()3223f x x ax bx a =+++在=1x -时有极值0，则a b +=()A ．4B ．6C ．11D ．4或11A BC D第5题图7．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，P 为11B C 的中点，则1AC BP ⋅=()A ．54B ．1C ．32D ．128．已知函数()321132f x ax bx cx d =+++存在两个极值点()1212,x x x x <，且()11f x x =-，()22f x x =．设()f x 的零点个数为m ，方程()()2a f x bf x c ⎡⎤++=⎣⎦的实根个数为n ，则m n +的取值不可能为()A ．4B ．5C ．6D ．7二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．10.下列说法正确的是()A ．若随机变量X ~110,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5E X =B ．若随机变量X 的方差()1D X =，则()3110D X +=C ．若()0.6P A =，()0.4P B =，()0.4P B A =，则事件A 与事件B 独立D ．若随机变量X 服从正态分布()26,N σ，若()100.8P X <=，则()260.3P X <<=11．已知函数()()e 211x x f x x -=-，下列说法中正确的有()A ．函数()f x 的单调递减区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．曲线()y f x =在0x=处的切线方程为1y =C ．函数()f x 既有极大值又有极小值，且极大值小于极小值D ．方程()f x k =有两个不等实根，则实数k 的取值范围为()32,14,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．P第7题图12．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系xOy 中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．根据上述知识解决问题：现有一三脚架(三条脚架可看为三条边，它们的交点为顶点)放于桌面，建立合适空间直角坐标系xOy ，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面α的方程为20x y z -+=，若三脚架顶点P 的坐标为()0,3,4，则点P 到平面α的距离为．13．兵乓球（table tennis ），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜，若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为23，甲接球时获胜的概率为12，甲先发球，则单局比赛中甲11:1获胜的概率为．14．存在过点(),0P t 的直线与曲线()ln xy x e x=>相切，则实数t 的取值范围是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD=CD=1，AA 1=AB=2，E 为棱AA 1的中点，M 为棱CE 的中点．(1)证明：BC ⊥C 1E(2)求异面直线BM 与AD 所成角的余弦值第15题图17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD ∆是边长为2等边三角形，点E N 、分别为CD BC 、的中点，点M 为线段PE 上一点（包括端点）．(1)若M 为线段PE 的中点，求平面BDM 和平面ABD 夹角的正弦值；(2)当直线MN 与平面BDM 所成的角最大时，求出MEPE的值．18．（17分）已知函数()21ln 2f x x x ax a R =-∈，．(1)若()()f x g x x=，求函数()g x 在区间[]1,e 上的最大值；(2)若对于任意的12(0,)x x ∈+∞，，12x x ≠，都有1212()()1f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围．19.（17分）有甲乙两个骰子，甲骰子正常且均匀，乙骰子不正常且不均匀，经测试，投掷乙骰子得到6点朝上的概率为p ，若投掷乙骰子共6次，设恰有3次得到6点朝上的概率为()f p ，0p 是()f p 的极大值点．(1)求0p ；(2)若0p p =且等可能地选择甲乙其中的一个骰子，连续投掷3次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，求这个骰子是乙骰子的概率；(3)若0p p =且每次都等可能地选择其中一个骰子，共投掷了10次，在得到都是6点朝上的结果的前提下，设这10次中有X 次用了乙骰子的概率为()P X ，试问当X 取何值时()P X 最大？并求()P X 的最大值（精确到0.01）．(参考数据0563.075.010≈)PABC DEMN第17题图常州市联盟学校2023-2024学年度第二学期期中调研高二年级数学答案2024.4一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 2．D 3．B 4.A 5.C 6.C 7.A 8．D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．(如果选项有2个，则每个选项3分，即选对一个得3分，全部选对得6分；如果选项有3个，则每个选项2分，即选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分.)9．BD 10.ACD 11．BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．6313．872914.2(,e ⎤-∞-⎦四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）(1)因为侧棱A 1A ⊥平面ABCD ，所以A 1A ⊥AB ，A 1A ⊥AD又因为AB ⊥AD ，所以以A 为坐标原点，AD ，AA 1，AB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2)B ，(1,0,0D ），(1,0,1)C ，(0,1,0)E ，1(1,2,1)C ，1)0,(2,2B ,.……3分所以BC =(1,0,1)-，1EC =(1,1,1)，所以BC ·1EC=1×1+0+1×(1)-=0，所以BC ⊥1EC，故BC ⊥C 1E.…….………7分(2)因为M 为棱CE 的中点111(,,)222M .…….………8分113(,,)222BM =- ，(1,0,0)AD = ，1112cos ,111114BM AD BM AD BM AD<>===.………12分所以异面直线BM 与AD 所成角的余弦值1111．.…….………13分16.（15分）（1）由题意可知X 可能取值为30，80，130，则022224C C 1(30)C 6P X ===，112224C C 42(80)C 63P X ====，2224C 1(130)C 6P X ===，所以X 的分布列为所以121()308013080636E X =⨯+⨯+⨯=……….…….…….……7分（2）设顾客选方案B ，所获得的金额为Y ，则Y 的可能取值为30，60，120，则X3080130P1623160202111(30)C 224P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1112111(60)C 222P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2022111(120)C 224P Y ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以Y 的分布列为111135()30601204242E Y =⨯+⨯+⨯=，……….…….…….……14分所以()()E X E Y >，所以选择方案A .……….…….…….……15分17.（15分）(1)PCD 正，点E 为CD 的中点，,PE CD ∴⊥平面PCD ⊥平面ABCD ∵平面PCD 面ABCD CD =PE ∴⊥面ABCD ，设F 是AB 中点，以E 为原点，EF 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，….…….……3分则3(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0)(0,0,)2A B D M ---，3(2,2,0),(2,1,),2BD BM ∴=--=--设面BDM 的法向量(,,)n x y z =，则2203202x y x y z --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令1x =，可得2(1,1,3)3n =-又面ABD 的法向量(0,0,1)m = ，则23103cos ,54123m n <>==⨯+所以平面BDM 和平面ABD 夹角的正弦值为155….…….…….……8分(2)设(0,0,)(03)M m m ≤≤，(1,1,0)N 则(1,1,),(2,2,0),(0,1,)NM m BD DM m =-=--=设平面BDM 的法向量为(,,)n a b c =，则2200n BD a b n DM b mc ⎧⋅=--=⎨⋅=+=⎩，令1b =-，有11,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，.….…….……10分设直线NM 与平面BDM 所成的角θ，所以2222111sin cos ,3112252()n NM n NM n NMm m m mθ⋅====≤⋅+⋅+++，Y3060120P141214当且仅当1m =时取等号，所以当1m =时，θsin 取最大，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πθ， 即直线AM 与平面BDM 所成角最大.1,3EM EP ∴==，33ME PE ∴=时，直线AM 与平面BDM 所成角最大．..…….……15分18.（1）因为()1ln 2g x x ax =-，()22ax g x x -='，.…….……1分①当0a ≤时，因为[]1,x e ∈，所以()0g x ¢>，所以函数()g x 在[]1,e 上单调递增，则()()max112g x g e ae ==-；.…….……2分②当2e a ≥，即20a e<≤时，[]1,x e ∈，()0g x ¢³，所以函数()g x 在[]1,e 上单调递增，则()()max112g x g e ae ==-；.…….……4分③当21e a <<，即22a e <<时，函数()g x 在21,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()max 22ln 1g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；.…….……6分④当201a<≤，即2a ≥时，[]1,x e ∈，()0g x '≤，函数()g x 在[]1,e 上单调递减，则()()max 112g x g a ==-．.…….……8分综上，()max121222ln 12122ae a e g x a ae a a ⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪-≤-<<-≥⎩，，，.…….……9分（2）对于任意的12(0,)x x ∈+∞，，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x -<-则()()121122x x f x x f x x -><-不妨设时，，.…….……11分令()()(),0,F x f x x x ∞=-∈+，根据题意对任意的()12,0,x x ∈+∞，当12x x >时，()()12F x F x <，所以函数()()F x f x x =-在()0,∞+上单调递减，.…….……13分所以()()1ln 0F x f x x ax =-=-'≤'在()0,∞+上恒成立，即ln xa x≤在()0,∞+上恒成立..…….……14分令()()ln ,0,x g x x x=∈+∞，则()21ln x g x x -='，所以当()0,e x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当()e,x ∈+∞时，()()0,g x g x '<单调递减.所以()max 1()e e g x g ==，所以1ea ≥..…….……17分19.（17分）（1）设恰有3次得到6点朝上的概率为()()3336C 1f p p p =⋅-，.…….……2分则()()()()()23233624223C 3131C 3112f p p p p p p p p ⎡'⎤=---=⋅⎣⋅--⎦，01p <<，令()0f p '=，得12p =，所以当102p <<时，()0f p '>，()fp 单调递增；当112p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点012p =．.…….……4分(2)设事件A ={3次6点朝上}，事件B ={选择了乙骰子}，则()412P AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()43111226P A P AB P AB ⎛⎫⎛⎫=+=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以所求概率为()()()443127228111226P AB P B A P A ⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭..…….……9分（3）设事件B k ={10次有k 次用了乙骰子}()0,1,2,,10k =⋅⋅⋅，则()10101C 2k k P B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设事件D ={10次6点朝上}，则()101126k kk P D B -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()()()()()00111010P D P B P D B P B P D B P B P D B =++⋅⋅⋅+1010101910100110101010111111111C C C 226226226⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭101010101111222623⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()101010101010101011111C C 22626122233k kk kk k k k P B D P X k P B D P D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.….……13分令10101011C 2623k kk k a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，0k a >，则()()()1011109!1!C 10!10,1,,93C 3(10)!!10!303kk k k k k a k k a k k k++-++==⨯==-- .令()11113331,,9111303k k k k a k a k k a k k a -+⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪-=⎨⎨+⎪⎪≥≥⎪⎪-⎩⎩ ，即433429≤≤∴k .….……15分所以k a 的最大值是8a ，所以当8X =时()P X 最大，且最大值为82810102101081011C C 3326450.0560.283644235a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭==⨯⨯=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫≈ ⎪⎝⎭.…….……17分。
幼儿园中班科学活动教案《神奇的三脚架》
幼儿园中班科学活动教案《神奇的三脚架》教学目标1.能认识三脚架并掌握其主要结构和作用，培养幼儿的观察能力和动手能力；2.能够进行简单的观察实验，培养幼儿的科学思维和实验技能。
教学准备1.教学PPT；2.三脚架模型；3.直尺、木块、塑料瓶、羽毛球、吹风机等实验器材。
教学步骤Step 1 引入大家好，今天我们要来学习一种神奇的仪器，你们猜猜这是什么？（引导幼儿猜测）对，这就是三脚架！你们还记得我们之前学过的小平衡木吧，它和三脚架有些相同，也有些不同。
现在我们来一起玩一下三脚架，看看它有什么不一样的地方。
Step 2 三脚架的结构请看PPT上的图片，这就是三脚架的模型。
大家可以看到，它由三根支脚和一个与之相连的横杆组成。
那么，这三个支脚有什么作用呢？它们可以分别与各种实验器材固定，让我们可以更方便地进行实验哦！Step 3 实验时间好了，现在我们来体验一下三脚架的魔力吧！（拿出实验器材）请看这个塑料瓶，我们可以将它的底部剪去一部分。
然后，用木块将它卡在三脚架上，就像这样。
（示范操作）接着，我们可以放一些轻盈的羽毛球在塑料瓶里面。
你们瞧，这些球轻飘飘的，随风而动。
但是，如果我们用吹风机向这些羽毛球吹气，会发生什么呢？（引导幼儿思考）对啦，这些球就会变得疯狂起来，很难受控制了！Step 4 思考探究为什么会这样呢？我们可以想一想。
羽毛球很轻，所以受到吹风机的吹气影响，就会变得很难受控制。
那么如果我们换成另一种物体呢？比如这个小球，我们可以把它放在塑料瓶里。
接下来，我们可以让幼儿自己探究：如果用吹风机向它吹气，会发生什么样的变化呢？围着实验室里一起探究吧！Step 5 结束好了，我们今天就学习到这里了。
你们学会了什么？（引导幼儿回答）对啦，我们学会了三脚架的结构和作用，还进行了一些有趣的实验。
希望大家都能在今后的学习生活中，善于运用自己的智慧，探索更多未知的领域！总结通过这次科学活动，幼儿们了解了三脚架的结构和作用，并进行了简单实验，培养了他们的观察能力和动手能力，激发了他们的好奇心，加深了他们对科学事物的认识和认识能力。
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三脚架的数学原理
四川省南部中学蒲筱平
三脚架是主要由三条杆材连接而成的支撐结构。
作为承重工具，更重要的是作为在空间中固定物体位置的固定工具，三脚架在生产和生活的各个领域都有广泛的应用。
关于三脚架的数学原理，我看到已有两种解释。
一种解释说其原理是利用三角形的稳定性，使架于其上的物品获得一个稳定的支撑，而不易翻倒。
另一种解释说其原理是利用经过不在同一条直线上的三个点, 有且只有一个平而。
也称为不在同一条直线上的三个点确定一个平而。
此说法我设想其典型化的解释：把3个球放在地面上，使它们不在同一条直线上（3个球视为不在同一条直线上的三个点），放一块平板
（视为平而）在这3个球上（即经过这三个点有一个平而），这3个
球能支撑住平板（即经过这三个点只有一个平面）一一虽然如此，但并不唯一地确定被支撐物的位置。
以上两种解释分别用初中数学的平面几何中三角形的稳定性，高中数学的立体几何中关于平而的公理解释三脚架的原理。
看似有理，其实是不相关的：三脚架的原理其实是用3条线段（即三脚）及3个点（即脚的着地点）确定一个点（被支撐物）的位置，而不是用3条线段的长度确定三角形的形状和大小（三角形的稳定性），也不是用3个点确定一个平而。
从数学的角度说，三脚架的原理（不妨称为三脚架定理）是：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的3个球个球而
④两个球面：设两球而a, a的半径分别为T, r,两球心的距2211离为d。
当d> r+r时,称球面a , a夕卜离;当d= r+r时，称球面a , 1122211
a ?<d <r?时称-r=? r a相交？;当r-r；当0<d , +T时称球面a外切2122122H?时称球面a ?-r r<?, a内切；当0=d=?r-r重合；当d球面a , a 21212121时称球而a , a内含；当d=0时称球面a , a同心O 2121
⑤圆与球面：
,平面a与球面B的位置有且只有3种：设圆&所在的平面为a切点与圆&的位置有与球而0相切时，相离，相交，相切；平面a且只有3种：切点在圆外，切点在圆上，切点在圆内：平面a与球面B相交时，公共部分组成一个圆（不妨称为交圆），圆&与交圆的位置按照初中数学中的方法分外离，外切，相交（此时可称圆&与球面B相交），内切，内含（包括同心），重合（此时可称圆&在球面B上或称球面0经过圆&）等6种。
这样可以一一对应地确定出圆与球面的10种位置关系。
二、定理
定理1、两球面a, a :外离时，公共点数为0；外切时，公共21点
（可称外切点）数为1,该点与两个球心在同一条直线上；相交时，有无数个公共点，所有公共组成一个圆，过两球面a, a的球心的21 直线经过该圆的圆心并且垂直于该圆所在的平面；内切时，公共点（可称内切点）数为1,该点与两个球心在同一条直线上；重合时，所有公共组成一个球面，此时3个球而重合；内含时，公共点数为0。
那么圆与球而相交，如果圆与球而有且只有两个公共点，、2定理. 当球心在圆确定的平而上时，这两个公共点关于圆心与球心确定的直线对称；当球心不在圆
确定的平而上时，这两个公共点连线段的中点、圆心、球心不在同一条直线上，它们确定一个平面（记为平面「），这两个公共点关于平而r 成镜而对称。
定理3、如果圆与球面有3个公共点，那么它们有无数个公共点，所有公共点组成的图形就是该圆。
定理4、球心不在同一条直线上的3个球面的公共点的数量只能为0 或1或2；当只有一个公共点时，该公共点与3个球而的球心在同一个平而内；当有两个公共点时，这两个公共点位于3个球面的球心确定的平而之外，分居该平而的两侧，且关于该平面成镜面对称.
由定理4立即可得
定理5 （三脚架定理）：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的3个球而的公共点，在3个球面的球心所在平面的某一侧，有且只有一个。
三、三脚架定理的解释
三脚架使用其3脚（线段）与3个落脚点（不在同一条直线上）来固定3脚的交汇点（下面简称交汇点）。
实质是用不在同一条直线上的3个点和3条线段，在3个点确定的平面的一侧决定一个点的位置。
三脚架一脚的长度及其落脚点都确定时，交汇点到该落脚点（定点）的距离等于相应的脚的长度（定长），因此交汇点在以落脚点为即交汇对三脚架的每一脚都如此，球心以脚的长度为半径的球面上；
点是分别以3个落脚点为球心，相应的脚的长度为半径的3个球而的公共点。
三脚架工作时任何两脚都不在同一条直线上，它们的落脚点与交
汇点形成一个三角形，根据三角形三边长度的不等关系，两落脚点（球心）之间的距离大于两脚长度（半径）之差，且小于两脚长度
（半径）之和，因此两球而相交。
于是，该3个球而是两两相交的, 即三脚架的的交汇点是球心不在同一条直线上的两两相交的3个球面的公共点。
由三脚架定理知，当3个落脚点不在同一条直线上时, 在它们确定的平而的一侧一一通常取平面的上方（这是由万有引力确定的），上述3个球面的公共点必定是唯一固定的，即交汇点的位置是被唯一固定的。
因此，当三脚架3脚的长度与3个落脚点（不在同一条直线上）固定时，三脚架上被支撐物的位置就固定不变了。
.。