人教版七年级数学下册 5.3.2：命题、定理、证明 学案设计(无答案)

初中七年级数学下册

第五章：相交线与平行线——5.3.2：命题、定理、证明

一：知识点讲解

知识点一：命题

➢定义：判断一件事情的语句，叫做命题。

➢组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项退出的事项。

➢表达形式：通常写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。

➢分类：

✧如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题。

✧而命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题。

➢命题必须是一个完整的句子，是对事情作出肯定或否定的判断。

➢命题一般为陈述句，其他如疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题。

例1：判断下列语句是不是命题，如果是命题，判断其真假性。①画直线AB。②两条直线相交，有几个交点？③若a∥b，b∥c，则a∥c。④直角都相等。⑤相等的角都是直角。⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。

知识点二：定理与证明

➢定理：经过推理证实得到的真命题。其作用是作为继续推理的依据。

➢证明：一个命题的正确性，需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程。其作用是验证一个命题的真假。

➢定理都是真命题，当真命题不一定都是定理。

例2：已知，如图所示，∠BAE＋∠AED＝180°，∠M＝∠N。求证：∠1＝∠2。

二：知识点复习

知识点一：命题

1.下列语句中

①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；

②同位角相等吗？

③画线段AB＝CD；

④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；

⑤直角都相等。

其中是命题的是( )

A. ①④⑤

B. ①②④

C. ①②⑤

D. ②③④⑤

2.下列命题中不正确的是( )

A. 两直线平行，同旁内角互补

B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等

C. 对顶角相等

D. 如果a＝b，那么a²＝b²

3.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )

A. ∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠α

B. ∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠α

C. ∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠α

D. 两个角互为邻补角

4.写出下列命题的条件和结论。

1)两直线平行，同旁内角互补；

2)如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线；

3)等角的余角相等。

知识点二：定理与证明

5.下列说法不正确的是( )

A. 定理是命题，而且是真命题

B. “对顶角相等”是命题，但不是定理

C. “同角（或等角）的余角相等”是定理

D. “同价（或等角）的补角相等”是定理

6.完成下列的推导过程：

已知：如图，BD⊥AC，EF⊥AC，∠1＝∠2,。求证：GD∥BC。

证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），

∴∠BDC＝∠EFC＝90°（垂直的定义），

∴∥（），

∴∠3＝（），

又∵∠1＝∠2（已知），

∴＝（等量代换），

∴GD∥BC（）。

三：题型分析

题型一：命题的改写

例1：将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件和结论。

1) 邻补角互补；

2) 等角的余角相等。

题型二：证明命题的正确性

例2：求证：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角的平分线互相垂直。

四：习题

（一）：选择题

1. 下列语句：

① 两点之间，线段最短；

② 不许大声讲话；

③ 连接A 、B 两点；

④ 鸟是动物；

⑤ 不相交的两条直线是平行线；

⑥ n 为任意自然数，112

+-n n 的值都是质数吗？

其中不是命题的有( )

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

2.下列命题中，是真命题的是( )

A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B. 相等的角是对顶角

C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

D. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行

3.以下说法中：

①过平面上两点，有且只有一条直线；

②同角的补角相等；

③两点之间的连线中，线段最短；

④一个角的补角不是锐角就是钝角。

其中是定理的有( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4.下列命题是真命题的是( )

A. 如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0

B. 如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1

C. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0

D. 相等的两个角是对顶角

5.对于命题“若a²＞b²，则a＞b”，下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命

题的是( )

A. a＝3，b＝2

B. a＝﹣3，b＝2

C. a＝3，b＝﹣1

D. a＝﹣1，b＝3

6. 在平面直角坐标系中，任意两点A(1x ，1y )、B(2x ，2y )，规定运算：

1) ()2121y y x x B A ++=⊕，；

2)

2121y y x x B A +=⊗； 3) 当21x x =且21y y =时，A ＝B 。

下列四个命题：

① 若A(1，2)、B(2，﹣1)，则=⊕B A (3，1)，0=⊗B A ；

② 若C B B A ⊕=⊕，则A ＝C ；

③ 若C B B A ⊗=⊗，则A ＝C ；

④ 对任意点A 、B 、C ，均有()()C B A C B A ⊕⊕=⊕⊕成立。

其中正确命题的个数为( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

（二）：填空题

7. 对于下列假命题，各举一个反例写在横线上。

1) “如果ac ＝bc ，那么a ＝b ”是一个假命题，

反例： ；

2) “如果a ²＝b ²，那么a ＝b ”是一个假命题，

反例： 。

8. 如图，已知∠1＝∠3，∠2＝∠4，EF ∥AD ，补充各证明过程：

1) ∵∠ ＝∠ （已知），

∴AD ∥BC （ ）

2) ∵∠ ＝∠ （已知），

∴AD ∥CD （ ）

3) ∵EF ∥AD （已知），

又∵AD ∥BC （已证），

∴ ∥ （平行于同一条直线的两条直线平行）。