北京市通州区九年级上期末数学试卷

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2024年北京初三九年级上学期数学期末考《新定义》

2024年1月九上期末——新定义1.【东城】28.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 和直线1l ，2l ，点P 关于直线1l ，2l “和距离”的定义如下：若点P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d ，则称1d +2d 为点P 关于直线1l ，2l 的“和距离”，记作d ．特别地，当点P 在直线1l 上时，1d =0；当点P 在直线2l 上时，2d =0．(1)在点1P (3，0)，2P (-1，2)，3P (4，-1)中，关于x 轴和y 轴的“和距离”为3的点是________;(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，则点P 关于x 轴和y 轴的“和距离”d 的最小值为________；(3)已知点A (0,3)，⊙A 的半径为1，点P 是⊙A 上的动点，直接写出点P 关于x 轴和直线y =3x +6的“和距离”d 的取值范围．2.【西城】28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0S -，()1,0T ．对于一个角α（0180α︒<≤︒），将一个图形先绕点S 顺时针旋转α，再绕点T 逆时针旋转α，称为一次“α对称旋转”．备用图（1）点R 在线段ST 上，则在点()1,1A -，()3,2B -，()2,2C -，()0,2D -中，有可能是由点R 经过一次“90°对称旋转”后得到的点是________；（2）x 轴上的一点P 经过一次“α对称旋转”得到点Q ．①当60α=︒时，PQ =________；②当30α=︒时，若QT x ⊥轴，求点P 的坐标；（3）以点O 为圆心作半径为1的圆．若在O 上存在点M ，使得点M 经过一次“α对称旋转”后得到的点在x 轴上，直接写出α的取值范围．3.【海淀】28.在平面直角坐标系xOy 中，将中心为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的T 相切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”.（1）如图、正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A ，()4,0B ，()2,2C -.①在点()12,1P ，()21,1P ，()31,1P -中，正方形T 的“伴随切点”是________；②若直线y x b =+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；（2）已知点(),1T t t +，正方形T 的边长为2.若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN △为等边三角形，直接写出t 的取值范围.4.【朝阳】28．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (t -2，0)，B (t +2，0).对于点P 给出如下定义：若∠APB=45°，则称P 为线段AB 的“等直点”．（1）当t =0时，①在点），（22201+P ，），（042-P ，）-，（2223-P ，），（524P 中,线段AB 的“等直点”是________；②点Q 在直线y =x 上，若点Q 为线段AB 的“等直点”，直接写出点Q 的横坐标．（2）当直线t x y +=上存在线段AB 的两个“等直点”时，直接写出t 取值范围．5.【石景山】28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和点C 给出如下定义：若点C 在弦AB 的垂直平分线上，且点C 关于直线AB 的对称点在⊙O 上，则称点C 是弦AB 的“关联点”．（1）如图，点13(22A ,，13(22B -,．在点1(00)C ,，2(10)C ,，3(11)C ,，4(20)C ,中，弦AB 的“关联点”是；（2）若点1(0)2C ,是弦AB 的“关联点”，直接写出AB 的长；（3）已知点(02)M ,，(0)15N ,．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．6.【丰台】28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB和x轴上的点P，给出如下定义：将线段AB绕点P旋转180°可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线段AB为⊙O以点P 为中心的“关联线段”．（1）如图，已知点A（-2，-1），B（-2，0），C（-2，１），D（-1，1），在线段AC，BD，CD中，⊙O以点P 为中心的“关联线段”是；x的取值范围；（2）已知点E（-4，1），线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，求点F的横坐标F （3）已知点E（m，1），若直线y=-x+2m上存在点F，使得线段EF是⊙O以点P为中心的“关联线段”，直接写出m的取值范围．备用图7.【昌平】28.对于在平面直角坐标系xOy 中⊙T 和⊙T 外的点P ，给出如下定义：已知⊙T 的半径为1，若⊙T 上存在点Q ，满足PQ ≤2，则称点P 为⊙T 的关联点.（1）如图1，若点T 的坐标为（0，0），28题图1①在点1P （3，0），2P （3，-2），3P （-2，2）中，是⊙T 的关联点的是____________；②直线2y x b =+分别交x 轴，y 轴于点A ，B ，若线段AB 存在⊙T 的关联点，求b 的取值范围；（2）已知点C （0，D （1，0），T （m ，1），△COD 上的每一个点都是⊙T 的关联点，直接写出m 的取值范围.28题图28.【通州】28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．给出如下定义：过O 外一点P 做直线与O 交于点M 、N ，若M 为线段PN 的中点，则称线段PN 是O 的“外倍线”。

2020-2021学年北京市通州区初三数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市通州区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共8分，每小题3分，共24分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意 1．（3分）抛物线2(1)1y x =--的顶点坐标是( ) A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．（3分）如图，PA 为O 切线，连接OP ，OA ．若50A ∠=︒，则POA ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒3．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 是反比例函数4(0)y x x=>图象上的一点，则Rt OAB ∆的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．（3分）已知一个扇形的弧长为π，半径是3，则这个扇形的面积为( ) A ．πB ．23πC ．32π D ．3π5．（3分）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1m ．若管道中积水最深处为0.4m ，则水面宽度为( )A ．0.8mB ．1.2mC ．1.6mD ．1.8m6．（3分）古希腊人认为，最美人体是肚脐至足底的长度之比与人体身高之比是5151(0.61822--≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm ，则此人身高大约为( )A ．160cmB ．170cmC ．180cmD ．190cm7．（3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象对称轴为x h =，且图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ．则下列说法中正确的是( )A ．若7h =，则0a >B ．若5h =，则0a >C ．若4h =，则0a <D ．若6h =，则0a <8．（3分）公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正n 边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为( )A ．360sin2n n︒⋅ B ．3602sinn n︒⋅ C ．3602sin2n n︒⋅ D ．360sinn n︒⋅ 二、填空题（本题共8分，每小题3分，共24分） 9．（3分）cos60tan45︒+︒= ．10．（3分）请写出一个开口向下，且图象经过坐标原点的二次函数的表达式． 11．（3分）如图，A ，B ，C 为O 上的点．若100AOB ∠=︒，则ACB ∠= ．12．（3分）如图，输电塔高41.7m ．在远离高压输电塔100m 的D 处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为θ．已知测角仪高 1.7AD m =，则tan θ= ．13．（3分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别AB ，AC 边上，且//DE BC ，若:2:1AD DB =，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比等于．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(10,0)A ，25OB =，90B ∠=︒，则点B 坐标为．15．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,2)A a 为双曲线(0)k y k x =>图象上一点．将点A 向左平移3个单位后，该点恰好出现在反比例函数ky x=-图象上，则k 的值为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(6,0)A ，A 的半径为3，点(,)P x y 为A 上任意一点．则yx的最大值为．三、解答题（共9小题，17-22题每小题5分，23，24题每小题5分，25题8分，共52分） 17．（5分）如图，AD 与BC 交于O 点，A C ∠=∠，4AO =，2CO =，3CD =，求AB 的长．18．（5分）二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x⋯ 1-0 ⋯ 3 4 ⋯ y⋯3⋯5-⋯求出二次函数的表达式．19．（5分）下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，O 及O 上一点P ．求作：过点P 的O 的切线．作法：如图2，①作射线OP ；②以点P 为圆心，PO 为半径作P ，与射线OP 交于另一点B ；③分别以点O ，点B 为圆心，大于PO 长为半径作弧，两弧交射线OP 上方于点D ； ④作直线PD ；则直线PD 即为所求．根据小付设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：PO PB =，DO DB =，(PD OB ∴⊥ )（填推理的依据）．又OP 是O 的半径，PD ∴是O 的切线( )（填推理的依据）． 20．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠与反比例函数(0)my m x=≠的图象交于点(2,3)A -，(1,)B a ．（1）求出反比例函数表达式及a 的值；（2）根据函数图象，直接写出不等式mkx b x+>的解集．21．（5分）如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒．以AB 为直径作O ，交AC 于点D ，连接BD ．作ACB ∠平分线，交BD 于点F ，交AB 于点E ．（1）求证：BE BF =．（2）若6AB =，30A ∠=︒，求DF 的长．22．（5分）有这样一个问题：探究函数214y x x=--的图象与性质．嘉瑶根据学习函数的经验，对函数214y x x=--的图象与性质进行了探究．下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：（1）函数214y x x=--的图象与y 轴交点；（填写“有”或“无” ) （2）下表是y 与x 的几组对应值：x⋯ 3- 2-1- 12- 132 2 52 ⋯ y⋯163122-74- n2912- 12- 3720⋯则n 的值为；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程214x x-=的根约为．（结果精确到0.1)23．（7分）如图，将正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转(090)θθ︒<<︒角，得到正方形BEFG ．连接AG ，分别与BE 、BC 交于点H ，K ，连接EC ，DF ．（1）求BAG ∠的值（用θ表示）；（2）求证：////AG EC DF ．24．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）求点C 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点(5,4)P -．将点C 向下移动一个单位，得到点D ．若二次函数图象与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围．25．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 坐标为(2,3)，点Q 为图形M 上一点．我们将线段PQ 长度的最大值与最小值之间的差定义为点P 视角下图形M 的“宽度”．（1）如图，O半径为2，与x轴，分别交于点A，B．①在点P视角下，O的“宽度”为，线段AB的“宽度”为；②点(,0)G m为x轴上一点．若在点P视角下，线段AG的“宽度”为2，求m的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，且半径为(0)r r>，一次函数323y=+x轴，y轴分别交于点D，E．若线段DE上存在点K，使得在点K视角下，C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标Cx的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共8分，每小题3分，共24分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意 1．【解答】解：因为2(1)1y x =--是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为(1,1)-．故选：C ．2．【解答】解：PA 是O 的切线， 90OPA ∴∠=︒， 50A ∠=︒，90905040POA A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：B ．3．【解答】解：Rt OAB 11||4222S k ∆==⨯=，故选：B ．4．【解答】解：由题意，13322S ππ=⨯⨯=，故选：C ．5．【解答】解：过O 作OC AB ⊥于C ，交O 于D ，连接OB ，如图所示：则2AB BC =，90OCB ∠=︒，1OB OD m ==，0.4CD m =， 0.6()OC OD CD m ∴=-=，22221060.8()BC OB OC m ∴=-=-⋅=，2 1.6()AB AC m ∴==，即水面宽度为1.6m ，故选：C ．6．【解答】解：设此人身高为x cm ，某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm ，∴1050.618x≈，解得：170x ≈，即此人身高大约为170cm ，故选：B ．7．【解答】解：二次函数2y ax bx c =++的图象对称轴为x h =， 2bh a∴-=， A 、若7h =，则14b a =-，∴二次函数为214y ax ax c =-+，图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ．∴131488a c a c -+=⎧⎨-+=⎩，解得105a =-<，故A 错误；B 、若5h =，则10b a =-，∴二次函数为210y ax ax c =-+，图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ．∴91168a c a c -+=⎧⎨-+=⎩，解得10a =-<，故B 错误；C 、若4h =，则8b a =-，∴二次函数为28y ax ax c =-+，图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ． ∴718a c c -+=⎧⎨=⎩，解得10a =>，故C 错误；D 、若6h =，则12b a =-，∴二次函数为212y ax ax c =-+，图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ．∴111328a c a c -+=⎧⎨-+=⎩，解得103a =-<，故D 正确；故选：D ．8．【解答】解：如图，圆的内接正多边形被半径分成n 个如图所示的等腰三角形，其顶角为360n︒，即360AOB n ︒∠=，作OH AB ⊥于点H ，则3602AOH n︒∠=，设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ，圆的直径为d ，则AO BO r ==，在Rt AOH ∆中，sin AH AOH AO ∠=，即360sin 2AHn r︒=， 360sin2AH r n︒∴=⨯， 36022sin2AB AH r n ︒∴==⨯， 3602sin2L n AB n r n︒∴=⋅=⨯⨯，又2d r =，3602sin3602sin 22n r Ln n dr nπ︒⨯⨯︒∴≈==⋅．故选：A ．二、填空题（本题共8分，每小题3分，共24分） 9．【解答】解：原式11 1.52=+=． 10．【解答】解：顶点在坐标原点，∴可设抛物线解析式为2y ax =，图象开口向下，0a ∴<，∴可取1a =-，∴抛物线解析式为2y x =-，故答案为：2y x =-．11．【解答】解：12ACB AOB ∠=∠，100AOB ∠=︒，50ACB ∴∠=︒，故答案为：50︒；12．【解答】解：过A 作AC BE ⊥于C ，则 1.7CE AD m ==，100AC DE m ==， 41.7BE m =， 1.7AD m =， 40BC BE CE m ∴=-=，402tan 1005BC AC θ∴===；故答案为：25．13．【解答】解：:2:1AD DB =，:2:3AD AB ∴=， //DE BC ， ADE ABC ∴∆∆∽，ADE ∴∆与ABC ∆的面积是：24()9AD AB =．故答案是：4:9．14．【解答】解：如图，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ADB ODB ∠=∠=︒， 90B ∠=︒，90OBD ABD BAD ∴∠=︒-∠=∠，∴sin OD OBBAO OB OA==∠25OB =，10OA =，25sin 25210OD OB BAO ∴=⋅∠=⨯=． 22(25)24BD ∴=-=，∴点B 的坐标为(2,4)．15．【解答】解：点(,2)A a 为双曲线(0)ky k x =>图象上一点，2k a ∴=，点A 向左平移3个单位后得到点(3,2)a -，该点在反比例函数ky x=-图象上，2(3)k a ∴-=-， 2(3)k a ∴=--， 22(3)a a ∴=--， 32a ∴=， 23k a ∴==，故答案为3．16．【解答】解：如图所示，当直线OP 与圆A 相切时，连接AP ，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，此时yx取得最大值，OP 为A 的切线，AP OP ∴⊥，(6,0)A ，圆半径3AP =．在Rt AOP ∆中，12AP OA =，30AOP ∴∠=︒，∴3tan tan303y AOP x =∠=︒=，则yx的最大值为33．故答案为：33．三、解答题（共9小题，17-22题每小题5分，23，24题每小题5分，25题8分，共52分） 17．【解答】解：A C ∠=∠，AOB COD ∠=∠， AOB COD ∴∆∆∽，∴AB AO CD CO =，即432AB =，6AB ∴=．18．【解答】解：据题意，设(1)(3)y a x x =+-，该函数过点(0,3)， 3(01)(03)a ∴=+- 1a ∴=-，∴二次函数的表达式223y x x =-++．19．【解答】解：（1）如图，直线PD 即为所求作．（2）证明：PO PB =，DO DB =， PD OB ∴⊥（垂直平分线的判定），又OP 是O 的半径，PD ∴是O 的切线（经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线）故答案为：垂直平分线的判定，经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线． 20．【解答】解：（1）点(2,3)A -在函数(0)my m x=≠上， (2)36m ∴=-⨯=-，∴反比例函数表达式为6y x=-，又点(1,)B a 在函数6y x=-上，∴661a -==-；（2）由图象可知，不等式mkx b x+>的解集为01x <<或2x <-．21．【解答】（1）证明：AB 为O 直径，90ADB ∴∠=︒， 1390∴∠+∠=︒， 90ABC ∠=︒ 2590∴∠+∠=︒，CE 为ACB ∠的角平分线，12∴∠=∠，35∴∠=∠， 34∠=∠， 45∴∠=∠，BE BF ∴=．（2）解：在Rt ABD ∆中，30A ∠=︒，6AB =， 3DB ∴=，在Rt ACB ∆中，030A ∠=，6AB = 23BC ∴=，在Rt BCE ∆中，230∠=︒，23BC =，2BE ∴=， 2BF ∴=，321DF BD BF ∴=-=-=．22．【解答】解：（1）函数214y x x=--自变量x 的取值范围为0x ≠， ∴函数214y x x=--的图象与y 轴无交点；故答案为：无；（2）把1x =代入214y x x=--得，1144y =--=-，故答案为：4-；（3）根据列表、描点、连线得出函数214y x x=--的图象，所画的图象如图所示：（4）通过图象直观得出函数的图象与x 轴交点的横坐标．故答案为： 1.9-或0.3-或2.1．23．【解答】解：（1）将正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转(090)θθ︒<<︒角，得到正方形BEFG ， 90ABC EBG ∴∠=∠=︒，AB BG BE BC FG AD =====，180(90)4522BAG θθ︒-︒+∴∠==︒-；（2）BE BC =，90EBC θ∠=︒-， 452CEB θ∴∠=︒+，454522EHA BAG ABE θθθ∠=∠∠+∠=+︒-=︒+，EHA BEC ∴∠=∠， //AG EC ∴，如图，延长AD ，GF 交于点N ，AB BG =， BAG BGA ∴∠=∠， 90BAD BGF ∠=∠=︒， DAG FGA ∴∠=∠， AN GN ∴=，AN AD GN FG ∴-=-， DN NF ∴=，DN NFAN NG =，N N ∠=∠， NDF NAG ∴∆∆∽，NDF NAG ∴∠=∠， //DF AG ∴， ////AG EC DF ∴．24．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -，(3,0)B ，∴抛物线的对称轴为直线1312x -+==；（2）抛物线与x 轴交于(1,0)-，(3,0)，∴设(1)(3)y a x x =+-，3c a ∴=-， 3c y a ∴=-；（3）当0a >时，2(1)(3)(1)4y a x x a x a =+-=--，∴抛物线的顶点为(1,4)a -，当44a -=-时，1a =，①当1a =时，抛物线与线段PD 有一个交点，即抛物线的顶点，如图1所示；②当01a <<时，抛物线与线段PD 没有交点，如图2，；③当1a >时，抛物线与线段PD 有两个交点，如图3，；当0a <时，将点(5,4)P -代入抛物线(1)(3)y a x x =+-得：4(51)(53)a -=+- 解得，13a =-，①当13a -时，抛物线与线段PD 只有一个交点，如图4，②当103a -<<时，抛物线与线段PD 没有交点，如图5，；综上所述，当13a -或1a =时，抛物线与线段PD 只有一个交点．25．【解答】（1）①如图，作直线OP 交O 于E ，F ．4PE PE -=，∴在点P 视角下，O 的“宽度”为4．连接PA ，PB ．3PB =，22345PA =+， 532PA PB ∴-=-=，∴线段AB 的“宽度”为2，故答案为：4；2．②当M 在点A 右侧时，当6m >时，PM PA >，此时线段AG 的“宽度”大于2，不符合题意，当22m -<<时，2PA PM -< 26m ∴．当M 在点A 左侧时，5PA =，7PM =， ∴2273210-=∴2210m =-综上所述，26m 或2210m =-（2）C 的“宽度”为2， 1r ∴．当1r >时，∴点K 出现在C 内部，其轨迹为以点C 为圆心，半径为1的圆．又点K 在线段DE 上． ∴该轨迹圆需要与线段DE 有交点．如图21-．当C 在点D 左侧时，C 与DE 相切时，(4,0)C ，如图22-中，当C 在点D 右侧时，经过点D 时，(7,0)C ．综上所述，1r >时，满足条件的C x 为：47C x ．当1r =时，在圆外任何一点的视角下，C 的“宽度”均为2．所以C x 为任意实数．。

北京市通州区九年级(上)期末数学试卷

正方形的顶点上，则 cos∠A 的值为（）
A．
B．2
C．
D．
8．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=4．点 E 为 Rt△ABC 边上一点，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发，沿着 C→A→B 的路径运动到点 B 为止．连接 CE，以点 C 为圆心，CE 长为半径作⊙C，⊙C 与线段 BC 交于点 D，设扇形 DCE 面积为 S，点 E 的运动时间为 t，则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积 S 关于运动时间 t 的变化趋势的是（）
S 四边形 ABCD，则 S 四边形 KPOL
或“═”）．
b． S 四边形 GKLH（填写“＞”“＜”
（2）小瑞又按照图 4 的方式连接矩形 ABCD 对边上的点，则 S 四边形 ANML=
S
．四边形 ABCD
25．（8 分）点 P 的“d 值”定义如下：若点 Q 为圆上任意一点，线段 PQ 长度
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（1）求 m，b 的值；（2）若点 D（3，2）在二次函数 y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求 a 的值；（3）当二次函数 y=ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线 y=﹣x+3 相交于两点时，设左侧
的交点为 P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求 a 的取值范围．
24．（7 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边中点，点 F 为 BC 边中点；点 G，H 为 AB 边三等分点，I，J 为 CD 边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图 2，图 3 所示，那么图 2 中四边形 GKLH 的面积与图 3 中四边形 KPOL 的面积相等吗？
9．y=2（x+1）2（答案不唯一）； 10．x1＞x2； 11．； 12．； 13．∠

北京市通州区九年级(上)期末数学试卷

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学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
1 本次调查的学生共有多少人？扇形统计图中∠α 的度数是多少？ 2 请把条形统计图补充完整； 3学校为举办 2018 年度校园文化艺术节，决定从 A．书法；B．绘画；C．乐器； D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．
请回答：该尺规作图的依据是
．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 68.0 分） 17. 计算：4cos30°+（π-3）0-12-|-1|．
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18. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，OD∥AC．求证：点 D 平分 BC．
19. 如图，在▱ABCD 中，连接 DB，F 是边 BC 上一点，连接 DF 并延长，交 AB 的延长线于 E，且∠EDB=∠A． 1 求证：△BDF∽△BCD； 2 如果 BD=35，BC=9，求 ABBE 的值．
20. 如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E 是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD． 1 求证：四边形 DECO 是矩形； 2 连接 AE 交 BD 于点 F，当∠ADB=30°，DE=2 时，求 AF 的长度．
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21. 如图，直线 y=x+2 与反比例函数 y=kx（k＞0，x＞0）的图象交于点 A（2，m），与 y 轴交于点 B． 1 求 m、k 的值； 2连接 OA，将△AOB 沿射线 BA 方向平移，平移后 A O、、 B 的对应点分别为 A'、O'、B'，当点 O'恰好落在反比例函数 y=kx（k＞0）的图象上时，求点 O'的坐标； 3设点 P 的坐标为（0，n）且 0＜n＜4，过点 P 作平行于 x 轴的直线与直线 y=x+2和反比例函数 y=kx（k＞0）的图象分别交于点 C，D，当 C、D 间距离小于或等于 4 时，直接写出 n 的取值范围．

2024年北京初三九年级上学期数学期末考《圆的综合》

2024年1月九上期末——圆的综合1.【东城】24．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D.过点D 作DE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ．(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若∠BAC =30°，BC =CD 的长．2.【西城】24．如图，AB 是O 的直径，AB BC =，AC 交O 于点D ，点F 在OD 的延长线上且12FAD ABC ∠=∠．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）若8AF =，4DF =，求AC 的长．3.【海淀】25.如图，AB 为半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上，直线CM 与半圆O 相切于点C ，//CM AD .（1）若MCD ∠α=，求COA ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）过点O 作OE CD ⊥交CM 于点E ，交CD 于点F ，若//CD AB ，6AB =，求CE 的长.4.【朝阳】24．如图，AC ，BD 是圆内接四边形ABCD 的对角线，AC ⊥BD 于点E ，BD 平分∠ADC .（1）求∠BAD 的度数；（2）点P 在DB 的延长线上，P A 是该圆的切线.①求证：PC 是该圆的切线；②若PA =AC =3，直接写出PD 的长.5.【石景山】24．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点F 在AC 的延长线上，12CBF BAC ∠=∠．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若5AB =，1tan 2CBF ∠=，求CE 的长．6.【丰台】24．如图，△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，作DE ⊥AC 交AC 于点E ，延长ED 与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若△ABC 为等边三角形，AE=3，求⊙O 半径的长．7.【昌平】24.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 为 AC 的中点，过点D 作⊙O 的切线，交BC 延长线于点P ，连接OD 交AC 于点E .（1）求证：四边形DECP 是矩形；（2）作射线AD 交BC 的延长线于点F ，若tan ∠CAB =43，BC =6，求DF 的长.8.【通州】25．如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF AB ∥交CO 的延长线于点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线；（2）若30A ∠=︒，43AC =，求DF 的长．24题图9.【房山】24.如图,AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且DCB DAC∠=∠，⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，30∠=︒，求AE的长.D10.【大兴】24.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D,过点C作直线CE交OD的延长线于点E,使得∠E=∠B.(1)求证：CE是⊙O的切线.(2)若DE=6,CE=35,求OD的长.11.【门头沟】25.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O切线与AC的延长线交于点E，ED∥BC，连接AD交BC于点F.（1）求证：∠BAD=∠DAE；（2）若AB=6，AD=5，求DF的长.12.【燕山】24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．(1)求证：AF＝AD；(2)若CE＝4，CF＝2，求⊙O的半径．13.【顺义】25．如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，CO的延长线交⊙O于点D，连接AD，BD，过点D作⊙O的切线交AO的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB；（2）若⊙O的半径为3，tan∠ADC＝，求DE的长．14.【密云】24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，连接OC交AB于点E，过点A作OC的平行线交BC延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，AD=6，求线段CD的长．15.【平谷】24.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，连接AC 、AD ，过点A 作⊙O 的切线与∠ADC 的平分线相交于点E ，DE 交AB 于点G ，交AC 于点F ，交⊙O 于点M ，连接AM ．（1）求证：AC=AD ；（2）若22tan =∠AMD ，CD=4，求AF 长．。

2021年北京市通州初三(上)期末数学试卷及答案

2021北京通州初三（上）期末数学一、选择题（本题共8分，每小题3分，共24分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意 1．（3分）抛物线2(1)1y x =−−的顶点坐标是( ) A ．(1,1)B ．(1,1)−C ．(1,1)−D ．(1,1)−−2．（3分）如图，PA 为O 切线，连接OP ，OA ．若50A ∠=︒，则POA ∠的度数为( )A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒3．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 是反比例函数4(0)y x x =>图象上的一点，则Rt OAB ∆的面积为()A ．1B ．2C ．3D ．44．（3分）已知一个扇形的弧长为π，半径是3，则这个扇形的面积为( ) A ．πB ．23πC ．32π D ．3π5．（3分）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为1m ．若管道中积水最深处为0.4m ，则水面宽度为( )A ．0.8mB ．1.2mC ．1.6mD ．1.8m6．（3分）古希腊人认为，最美人体是肚脐至足底的长度之比与人体身高之比是0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm ，则此人身高大约为( )A ．160cmB ．170cmC ．180cmD ．190cm7．（3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象对称轴为x h =，且图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ．则下列说法中正确的是( )A ．若7h =，则0a >B ．若5h =，则0a >C ．若4h =，则0a <D ．若6h =，则0a <8．（3分）公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正n 边形，使用刘徽割圆术，得到π的近似值为( )A ．360sin2n n︒⋅ B ．3602sinn n︒⋅ C ．3602sin2n n︒⋅ D ．360sinn n︒⋅ 二、填空题（本题共8分，每小题3分，共24分） 9．（3分）cos 60tan 45︒+︒= ．10．（3分）请写出一个开口向下，且图象经过坐标原点的二次函数的表达式． 11．（3分）如图，A ，B ，C 为O 上的点．若100AOB ∠=︒，则ACB ∠= ．12．（3分）如图，输电塔高41.7m ．在远离高压输电塔100m 的D 处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为θ．已知测角仪高 1.7AD m =，则tan θ= ．13．（3分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别AB ，AC 边上，且//DE BC ，若:2:1AD DB =，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比等于．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(10,0)A ，OB =90B ∠=︒，则点B 坐标为．15．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,2)A a 为双曲线(0)ky k x=>图象上一点．将点A 向左平移3个单位后，该点恰好出现在反比例函数ky x=−图象上，则k 的值为． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(6,0)A ，A 的半径为3，点(,)P x y 为A 上任意一点．则yx的最大值为．三、解答题（共9小题，17-22题每小题5分，23，24题每小题5分，25题8分，共52分） 17．（5分）如图，AD 与BC 交于O 点，A C ∠=∠，4AO =，2CO =，3CD =，求AB 的长．18．（5分）二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：19．（5分）下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，O 及O 上一点P ．求作：过点P 的O 的切线．作法：如图2，①作射线OP ；②以点P 为圆心，PO 为半径作P ，与射线OP 交于另一点B ；③分别以点O ，点B 为圆心，大于PO 长为半径作弧，两弧交射线OP 上方于点D ； ④作直线PD ；则直线PD 即为所求．根据小付设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：PO PB =，DO DB =， (PD OB ∴⊥ )（填推理的依据）．又OP 是O 的半径，PD ∴是O 的切线( )（填推理的依据）． 20．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠与反比例函数(0)my m x=≠的图象交于点(2,3)A −，(1,)B a ．（1）求出反比例函数表达式及a 的值；（2）根据函数图象，直接写出不等式mkx b x+>的解集．21．（5分）如图，在Rt ABC∆中，90B∠=︒．以AB为直径作O，交AC于点D，连接BD．作ACB∠平分线，交BD于点F，交AB于点E．（1）求证：BE BF=．（2）若6AB=，30A∠=︒，求DF的长．22．（5分）有这样一个问题：探究函数214y xx=−−的图象与性质．嘉瑶根据学习函数的经验，对函数214y xx=−−的图象与性质进行了探究．下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：（1）函数214y xx=−−的图象与y轴交点；（填写“有”或“无” )（2）下表是y与x的几组对应值：的值为；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程214x x−=的根约为．（结果精确到0.1)23．（7分）如图，将正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转(090)θθ︒<<︒角，得到正方形BEFG ．连接AG ，分别与BE 、BC 交于点H ，K ，连接EC ，DF ．（1）求BAG ∠的值（用θ表示）；（2）求证：////AG EC DF ．24．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A −，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）求点C 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点(5,4)P −．将点C 向下移动一个单位，得到点D ．若二次函数图象与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围．25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为(2,3)，点Q为图形M上一点．我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．（1）如图，O半径为2，与x轴，分别交于点A，B．①在点P视角下，O的“宽度”为，线段AB的“宽度”为；②点(,0)G m为x轴上一点．若在点P视角下，线段AG的“宽度”为2，求m的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，且半径为(0)r r>，一次函数y x=+x轴，y轴分别交于点D，E．若线段DE上存在点K，使得在点K视角下，C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标x的取值范围．C参考答案一、选择题（本题共8分，每小题3分，共24分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意 1．【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【解答】解：因为2(1)1y x =−−是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为(1,1)−．故选：C ．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．2．【分析】根据切线的性质得到90OPA ∠=︒，根据直角三角形的性质计算则可得到答案．【解答】解：PA 是O 的切线， 90OPA ∴∠=︒， 50A ∠=︒，90905040POA A ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒，故选：B ．【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 3．【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义得出答案．【解答】解：Rt OAB 11||4222S k ∆==⨯=，故选：B ．【点评】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数系数k 的几何意义是得出正确答案的前提． 4．【分析】根据扇形的面积12l r =⋅⋅，计算即可．【解答】解：由题意，13322S ππ=⨯⨯=，故选：C ．【点评】本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型． 5．【分析】过O 作OC AB ⊥于C ，交O 于D ，先由垂径定理得出2AB BC =，90OCB ∠=︒，1OB OD m ==，0.4CD m =，再求出0.6OC OD CD m =−=，然后由勾股定理求出BC ，即可得出AB ．【解答】解：过O 作OC AB ⊥于C ，交O 于D ，连接OB ，如图所示：则2AB BC =，90OCB ∠=︒，1OB OD m ==，0.4CD m =， 0.6()OC OD CD m ∴=−=，0.8()BC m ∴===，2 1.6()AB AC m ∴==，即水面宽度为1.6m ，故选：C ．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出BC 是解决问题的关键． 6．【分析】设此人身高为x cm ，由黄金分割的定义得1050.618x≈，即可解决问题．【解答】解：设此人身高为x cm ，某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm ， ∴1050.618x≈，解得：170x ≈，即此人身高大约为170cm ，故选：B ．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值约为0.618是解题的关键． 7．【分析】利用待定系数法求得a 的值即可判断．【解答】解：二次函数2y ax bx c =++的图象对称轴为x h =， 2bh a∴−=， A 、若7h =，则14b a =−，∴二次函数为214y ax ax c =−+，图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ． ∴131488a c a c −+=⎧⎨−+=⎩，解得105a =−<，故A 错误；B 、若5h =，则10b a =−，∴二次函数为210y ax ax c =−+，图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ． ∴91168a c a c −+=⎧⎨−+=⎩，解得10a =−<，故B 错误；C 、若4h =，则8b a =−，∴二次函数为28y ax ax c =−+，图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ．∴718a c c −+=⎧⎨=⎩，解得10a =>，故C 错误；D 、若6h =，则12b a =−，∴二次函数为212y ax ax c =−+，图象经过点(1,1)A ，(8,8)B ． ∴111328a c a c −+=⎧⎨−+=⎩，解得103a =−<，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求得a 的值是解题的关键． 8．【分析】设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ，圆的直径为d ，则Ldπ≈进而即可解决问题；【解答】解：如图，圆的内接正多边形被半径分成n 个如图所示的等腰三角形，其顶角为360n︒，即360AOB n ︒∠=，作OH AB ⊥于点H ，则3602AOH n︒∠=，设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ，圆的直径为d ，则AO BO r ==，在Rt AOH ∆中，sin AHAOH AO ∠=，即360sin 2AH n r︒=， 360sin2AH r n︒∴=⨯， 36022sin2AB AH r n ︒∴==⨯， 3602sin2L n AB n r n︒∴=⋅=⨯⨯，又2d r =，3602sin3602sin 22n r Ln n dr nπ︒⨯⨯︒∴≈==⋅．故选：A ．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．二、填空题（本题共8分，每小题3分，共24分）9．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：原式11 1.52=+=．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：1sin 302︒=，cos30︒=，tan 30︒=cot 30︒=；sin 452︒=，cos 452︒=，tan 451︒=，cot 451︒=；sin 60︒，1cos602︒=，tan 60︒=cot 60︒=． 10．【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．【解答】解：顶点在坐标原点，∴可设抛物线解析式为2y ax =，图象开口向下，0a ∴<，∴可取1a =−，∴抛物线解析式为2y x =−，故答案为：2y x =−．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =−+中，对称轴为x h =，顶点坐标为(,)h k ．11．【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此即可解决问题．【解答】解：12ACB AOB ∠=∠，100AOB ∠=︒， 50ACB ∴∠=︒，故答案为：50︒；【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【分析】过A 作AC BE ⊥于C ，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：过A 作AC BE ⊥于C ，则 1.7CE AD m ==，100AC DE m ==，41.7BE m =， 1.7AD m =，40BC BE CE m ∴=−=，402tan 1005BC AC θ∴===；故答案为：25．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．13．【分析】根据//DE BC ，即可证得ADE ABC ∆∆∽，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：:2:1AD DB =，:2:3AD AB ∴=，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，ADE ∴∆与ABC ∆的面积是：24()9AD AB =．故答案是：4:9．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．14．【分析】题目中给出了x 轴上的点A 的坐标，且有以OA 为斜边的直角三角形，可以考虑作斜边上的高构造相似三角形来解题．【解答】解：如图，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90ADB ODB ∠=∠=︒，90B ∠=︒，90OBD ABD BAD ∴∠=︒−∠=∠， ∴sin OD OB BAO OB OA==∠2OB =10OA =，sin 2OD OB BAO ∴=⋅∠==．4BD ∴==，∴点B 的坐标为(2,4)．【点评】此题是一道图形与平面直角坐标系的小综合题，解题的关键是构作辅助线构造相似三角形．15．【分析】根据平移的规律求得平移后的点的坐标，然后根据图象上点坐标特征得到22(3)a a =−−，解得a 的值，即可根据2k a =求得k 的值．【解答】解：点(,2)A a 为双曲线(0)k y k x=>图象上一点， 2k a ∴=，点A 向左平移3个单位后得到点(3,2)a −，该点在反比例函数k y x=−图象上， 2(3)k a ∴−=−，2(3)k a ∴=−−，22(3)a a ∴=−−， 32a ∴=， 23k a ∴==，故答案为3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的规律，根据是根据图象上点的坐标特征得到关于a 的方程．16．【分析】如图所示，当直线OP 与圆A 相切时，连接AP ，过P 作PH x ⊥轴于点H ，此时取得最大值，利用切线的性质得到AP 垂直于OP ，在直角三角形AOP 中，根据直角三角形的性质得出30AOP ∠=︒，y x为tan AOP ∠的值，则可得出答案．【解答】解：如图所示，当直线OP 与圆A 相切时，连接AP ，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，此时y x 取得最大值，OP 为A 的切线，AP OP ∴⊥，(6,0)A ，圆半径3AP =．在Rt AOP ∆中，12AP OA =， 30AOP ∴∠=︒，∴tan tan 30y AOP x =∠=︒=，则y x ．．【点评】本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．三、解答题（共9小题，17-22题每小题5分，23，24题每小题5分，25题8分，共52分）17．【分析】由A C ∠=∠，AOB COD ∠=∠可得出AOB COD ∆∆∽，利用相似三角形的性质可得出AB AO CD CO=，代入4AO =，2CO =，3CD =即可求出AB 的长．【解答】解：A C ∠=∠，AOB COD ∠=∠，AOB COD ∴∆∆∽， ∴AB AO CD CO =，即432AB =， 6AB ∴=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．18．【分析】利用表中数据可设交点式(1)(3)y a x x =+−，然后把(0,3)代入求出a 即可．【解答】解：据题意，设(1)(3)y a x x =+−，该函数过点(0,3)，3(01)(03)a ∴=+−1a ∴=−，∴二次函数的表达式223y x x =−++．【点评】本题考查了二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：利用待定系数法求出函数解析式．19．【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可．（2）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图，直线PD 即为所求作．（2）证明：PO PB =，DO DB =，PD OB ∴⊥（垂直平分线的判定），又OP 是O 的半径，PD ∴是O 的切线（经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线）故答案为：垂直平分线的判定，经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查作图−复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）把点(2,3)A −，(1,)B a 代入(0)m y m x =≠即可求得m 、a 的值；（2）由函数的图象即可求得．【解答】解：（1）点(2,3)A −在函数(0)m y m x=≠上， (2)36m ∴=−⨯=−， ∴反比例函数表达式为6y x=−，又点(1,)B a 在函数6y x=−上， ∴661a −==−；（2）由图象可知，不等式m kx b x+>的解集为01x <<或2x <−．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．21．【分析】（1）欲证明BE BE =，只要证明45∠=∠即可．（2）因为DF BD BF =−，只要求出BD ，BF 即可解决问题．【解答】（1）证明：AB 为O 直径，90ADB ∴∠=︒，1390∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒ 2590∴∠+∠=︒， CE 为ACB ∠的角平分线，12∴∠=∠，35∴∠=∠，34∠=∠，45∴∠=∠，BE BF ∴=．（2）解：在Rt ABD ∆中，30A ∠=︒，6AB =，3DB ∴=，在Rt ACB ∆中，030A ∠=，6AB =BC ∴=在Rt BCE ∆中，230∠=︒，BC =，2BE ∴=，2BF ∴=，321DF BD BF ∴=−=−=．【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．【分析】（1）函数214y x x =−−的自变量x 的取值范围为0x ≠；（2）把1x =代入214y x x=−−求出y 的值即可；（3）利用列表、描点、连线画出函数的图象；（4）方程214x x −=的根，实际上就是函数214y x x=−−的图象与x 轴的交点的横坐标，通过图象直观得出相应的x 的值．【解答】解：（1）函数214y x x =−−自变量x 的取值范围为0x ≠， ∴函数214y x x=−−的图象与y 轴无交点；故答案为：无；（2）把1x =代入214y x x=−−得，1144y =−−=−，故答案为：4−；（3）根据列表、描点、连线得出函数214y x x =−−的图象，所画的图象如图所示：（4）通过图象直观得出函数的图象与x 轴交点的横坐标．故答案为： 1.9−或0.3−或2.1．【点评】本题考查函数的图象及其画法，列表、描点、连线是画函数图象的常用方法．23．【分析】（1）由旋转的性质可得90ABC EBG ∠=∠=︒，AB BG =，由等腰三角形的性质可求解；（2）延长AD ，GF 交于点N ，由等腰三角形的性质和外角的性质可得EHA BEC ∠=∠，可证//AG EC ，由等腰三角形的判定可得AN NG =，由相似三角形的性质可得NDF NAG ∠=∠，可证//DF AG ，可得结论【解答】解：（1）将正方形ABCD 绕点B 顺时针旋转(090)θθ︒<<︒角，得到正方形BEFG ，90ABC EBG ∴∠=∠=︒，AB BG BE BC FG AD =====，180(90)4522BAG θθ︒−︒+∴∠==︒−；（2）BE BC =，90EBC θ∠=︒−，452CEB θ∴∠=︒+，454522EHA BAG ABE θθθ∠=∠∠+∠=+︒−=︒+，EHA BEC ∴∠=∠，//AG EC ∴，如图，延长AD ，GF 交于点N ，AB BG =，BAG BGA ∴∠=∠，90BAD BGF ∠=∠=︒，DAG FGA ∴∠=∠，AN GN ∴=，AN AD GN FG ∴−=−，DN NF ∴=，DN NFAN NG =，N N ∠=∠，NDF NAG ∴∆∆∽，NDF NAG ∴∠=∠，//DF AG ∴，////AG EC DF ∴．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．【分析】（1）根据抛物线的对称性求得即可；（2）抛物线的表达式为：2(1)(3)(23)y a x x a x x =+−=−−，即可求解；（3）分四种情况：当0a >时，当0a <时，分别画图结合相关计算可得答案．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A −，(3,0)B ，∴抛物线的对称轴为直线1312x −+==；（2）抛物线与x 轴交于(1,0)−，(3,0)，∴设(1)(3)y a x x =+−，3c a ∴=−，3c y a ∴=−；（3）当0a >时，2(1)(3)(1)4y a x x a x a =+−=−−，∴抛物线的顶点为(1,4)a −，当44a −=−时，1a =，①当1a =时，抛物线与线段PD 有一个交点，即抛物线的顶点，如图1所示；②当01a <<时，抛物线与线段PD 没有交点，如图2，；③当1a >时，抛物线与线段PD 有两个交点，如图3，；当0a <时，将点(5,4)P −代入抛物线(1)(3)y a x x =+−得：4(51)(53)a −=+− 解得，13a =−， ①当13a −时，抛物线与线段PD 只有一个交点，如图4，②当103a −<<时，抛物线与线段PD 没有交点，如图5，；综上所述，当13a −或1a =时，抛物线与线段PD 只有一个交点．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．25．【分析】（1）①根据点P 视角下图形M 的“宽度”，求解即可．②分两种情形：当M 在点A 右侧时，当M 在点A 左侧时，分别求解即可．（2）)因为C 的“宽度”为2，所以1r ．分1r =或1r >，两种情形分别求解即可．【解答】（1）①如图，作直线OP 交O 于E ，F ．4PE PE −=，∴在点P 视角下，O 的“宽度”为4．连接PA ，PB ．3PB =，5PA ==，532PA PB ∴−=−=，∴线段AB 的“宽度”为2，故答案为：4；2．②当M 在点A 右侧时，当6m >时，PM PA >，此时线段AG 的“宽度”大于2，不符合题意，当22m −<<时，2PA PM −<26m ∴．当M 在点A 左侧时，5PA =，7PM =，∴=∴2m =−．综上所述，26m 或2m =−．（2）C 的“宽度”为2，1r ∴．当1r >时，∴点K 出现在C 内部，其轨迹为以点C 为圆心，半径为1的圆．又点K 在线段DE 上．∴该轨迹圆需要与线段DE 有交点．如图21−．当C 在点D 左侧时，C 与DE 相切时，(4,0)C ，如图22−中，当C 在点D 右侧时，经过点D 时，(7,0)C ．综上所述，1r >时，满足条件的C x 为：47C x ．当1r =时，在圆外任何一点的视角下，C 的“宽度”均为2．所以C x 为任意实数．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点P 视角下图形M 的“宽度”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

北京市通州区九年级(上)期末数学试卷 (3)

25．（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙A 与 y 轴相切于点
，
与 x 轴相交于 M、N 两点．如果点 M 的坐标为
，求点 N 的坐标．
26．（5 分）根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0 的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数 y=﹣2x2﹣4x；并在下面
最小值叫做线段 a 与线段 b 的距离．
已知 O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是
；
当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离为
；
（2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距
第9页（共9页）
接 BC，若∠A=30°，AB=2 ，则 AC 等于（）
A．4
B．6
C．
D．
10．（3 分）如图 1，AD，BC 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点 P 从点 O 出发
沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果 y 与点 P
运动的时间 x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图 2 所示，那么点 P 的运
的解集．
第6页（共9页）
27．（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D．
（1）动手操作：利用尺规作圆 O，使圆 O 经过点 A、D，且圆心 O 在 AB 上；并标出圆 O 与 AB 的另一个交点 E，与 AC 的另一个交点 F（保留作图痕迹，不写作法）

2023北京通州区初三(上)期末考数学试卷及答案

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北京市通州区九年级数学上学期期末考试试题

九年级上学期期末质量检测数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1．已知b a 32=，则ba的值为（） A ．32B ．23C ．52D ．25 2．函数xy 1=中自变量x 的取值范围是（） A ．1≠xB ．0≠xC ．0>xD ．全体实数3．下列图形中有可能与图（1）相似的是（）A ．B ．C ．D ．图（1）4．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，则sin B 的值为（）A ．34B ．43C ．53D ．545．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AD //BC .那么 AB 与 CD 的数量关系是（） A ． AB = CD B ． AB >CDC ． AB < CDD ．无法确定6．如图，图象对应的函数表达式为（） A ．x y 5=B ．xy 2=BC –1 134 –1 –2 –3 –4 12 3 4OC ．x y 1-= D ．xy 2-= 7．在抛物线2)1(2--=x y 上的一个点是（） A ．（2,3）B ．（-2,3）C ．（1,-5）D ．（0,-2）8．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A 和B 之间的距离，在垂直AB 的方向AC 上确定点C ，如果测得AC =75米，∠ACB =55°，那么A 和B 之间的距离是（）米 A ．︒⋅55sin 75B ．︒⋅55cos 75C ．︒⋅55tan 75D ．︒55tan 759．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数bx ax y +=2的图象经过点A ，B ，C ，则对系数a 和b 判断正确的是（） A ．0,0>>b a B ．0,0<<b a C ．0,0<>b aD ．0,0><b a10．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，AB =8，BE =1.5，将 AD 沿着AD 对折，对折之后的弧称为M ，则点O 与M 所在圆的位置关系为（） A ．点在圆上 B ．点在圆内 C ．点在圆外D ．无法确定二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．计算：cos60°=_______．12．把二次函数322+-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式为__________________．13．如图，A ，B ，C ，D 分别是∠α边上的四个点，且CA ，DB 均垂直于∠α的一条边，如果CA =AB =2,BD =3,那么tan α=_______．14．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 的内心，∠BOC =118°，∠A =_______°. 15．二次函数2312--=x x y 的图象如图所示，那么关于x 的方程02312=--x x 的近似解为___________（精确到0.1）．BB13题图 14题图 15题图16．数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法.小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”.小华的作法如下:第一步：如图1，将残缺的纸片对折，使 AB的端点A与端点B重合，得到图2；第二步：将图2继续对折，使 CB的端点C与端点B重合，得到图3；第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O.老师肯定了他的作法.那么他确定圆心的依据是.三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题57分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：︒-︒+︒60sin45cos30tan32.18．计算：31845sin4)3(0-+-︒+-π.19．已知△ABC，求作△ABC的内切圆.(A)(C)(A)图1图3图3B20．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，连接对角线AC ，EG .求证△ACD ∽△EGH .21．二次函数1)12(22-+++=m x m x y 与x 轴交于A ，B 两个不同的点. （1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时A ，B 两点的坐标.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1+-=x y 与双曲线xky =相交于点A （m ，2）. （1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）过动点P (n ，0)且垂于x 轴的直线与1+-=x y 及双曲线xky =的交点分别为B 和C ,当点B 位于点C 上方时，根据图形，直接写出n 的取值范围________．23．如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点E ，AB =8，∠A =22.5° 求CD 的长.24．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m 米的测角仪，②长为n 米的竹竿，③足够长的皮尺.请你选用．．以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用．．α，β，γ标记，可测量的长度选用．．a ，b ，c ，d 标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）.B（1）你选用的工具为：________（2）画出图形.25．如图，在△ABC 中，F 是AB 上一点，以AF 为直径的⊙O 切BC 于点D ，交AC 于点G ，AC//OD ，OD 与GF 交于点E .（1）求证：BC//GF ；（2）如果tan A =34，AO =a ，请你写出求四边形CGED 面积的思路.26．有这样一个问题：探究函数2221xx y -=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数2221xx y -=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数2221xx y -=的自变量x 的取值范围是；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是（-2，23-），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．BA27．已知：过点A （3，0）直线l 1：y x b =+与直线l 2：x y 2-=交于点B .抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B .（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线c bx ax y ++=2经过点A ，求抛物线的表达式；（3）直线1-=x 分别与直线l 1， l 2交于C ，D 两点，当抛物线c bx ax y ++=2与线段CD 有交点时，求a 的取值范围.28．在等边△ABC 中，E 是边BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），∠AEF =60°，EF 交△ABC 外角平分线CD 于点F .（1）如图1，当点E 是BC 的中点时，请你补全图形，直接写出AECF的值，并判断AE 与EF 的数量关系；（2）当点E 不是BC 的中点时，请你在图（2）中补全图形，判断此时AE 与EF 的数量关系，并证明你的结论.29．在平面直角坐标系xOy 中，若P 和Q 两点关于原点对称，则称点P 与点Q 是一个“和谐点对”，表示为[P ，Q ]，比如[P (1，2)，Q (-1，-2)]是一个“和谐点对”. （1）写出反比例函数1y x=图象上的一个“和谐点对”；（2）已知二次函数2y x mx n =++，①若此函数图象上存在一个和谐点对[A ，B ]，其中点A 的坐标为(2，4)，求m ，n 的值； ②在①的条件下，在y 轴上取一点M (0，b )，当∠AMB 为锐角时，求b 的取值范围.EB图1 B图2答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1. B,2. B,3.C,4.D,5. A ,6.D,7.D,8. C,9.A, 10. B 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.21； 12.2)1(2+-=x y ； 13.21；14.56°；15.4.4,3.4,2.44.1,3.1,2.121=---=x x ；16.弧为轴对称图形；弧的对称轴与圆的对称轴为同一条直线；圆的两条对称轴的交点为圆心.三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．解：︒-︒+︒60sin 45cos 30tan 32.23)22(3332-+⨯=………………………………..(3分) 2123+=………………………………..(2分) 18．解：31845sin 4)3(0-+-︒+-π.13222241-+-⨯+=………………………………..(4分) 3=………………………………..(1分)19．略20．证明：四边形ABCD ∽四边形EFGH∴H D GHCDEH AD ∠=∠=,……………………..(4∴△ADC ∽△EHG ……………………..(1分)21．解：（1）二次函数1)12(22-+++=m x m x y 与x 轴交于A ，B 两个不同的点. ∴0)1(4)12(22>--+=∆m m∴45->m ……………………..(2分)（2）略……………………..(3分)22．解（1）：直线1+-=x y 与双曲线xky =相交于点A （m ，2）. B∴ A （-1，2） ∴xy 2-=……………………..(1分) （2）略……………………..(3分)（3）1,20-<<<n n ……………………..(5分)23．解：连接OC ，则OC =OA =4∠A =22.5°∴∠COE =2∠A =45°……………………..(1分) 直径AB 垂直弦CD 于E∴2245sin =︒⋅=OC CE ……………………..(3分) ∴24=CD ……………………..(5分)24．略25. 证明:（1） ⊙O 切BC 于点D ∴BC OD ⊥ AC//OD∴ ∠C =∠ODB =90°AF 为⊙O 直径∴∠AGF =90°=∠C∴ BC//GF ……………………..(2分)解:（2）①由（1）可知四边形CGED 为矩形②由AF =2AO =2a ，OF =a ,tan A =34,可求GF ,OE ,DE 的长 ③由（1）可得GE =GF 21,进而可求四边形CGED 的面积. ……………..(5分)26．解：（1）0≠x ……………………..(1分) （2）815=m ……………………..(2分) （3）略……………………..(3分) （4）略……………………..(5分)27. 解：（1）l 1：3+=x y ……………………..(1分)BAB (1,-2) ……………………..(2分)（2）设抛物线c bx ax y ++=2的顶点式为k h x a y +-=2)(抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B (1,-2).∴2)1(2--=x a y抛物线c bx ax y ++=2经过点A ∴解得21=a ∴抛物线的表达式为2)1(212--=x y ……………………..(4分)（3）直线1-=x 分别与直线l 1， l 2交于C ，D 两点 ∴C ，D 两点的坐标分别为（-1，2），（-1，-4）当抛物线c bx ax y ++=2过点C 时解得1=a ……………………..(5分) 当抛物线c bx ax y ++=2过点D 时解得21-=a ……………………..(6分) ∴当抛物线c bx ax y ++=2与线段CD 有交点时，a 的取值范围为121≤≤-a 且0≠a .……………………..(7分)28.解：（1）……………………..(1分)33=AE CF ；……………………..(2分) AE 与EF 的数量关系为AE =EF ……………………..(3分)证明：（2）连接AF ，EF 与AC 交于点G .B在等边△ABC 中，CD 是它的外角平分线. ∴∠ACF =60°=∠AEF ，∠AGE =∠FGC ，∴△AGE ∽△FGC ……………………..(5分)∴GF GAGC GE = ∴GF GCGA GE = ∠AGF =∠EGC∴△AGF ∽△EGC ……………………..(6分) ∠AFE =∠ACB=60°， ∴△AEF 为等边三角形∴AE =EF ……………………..(7分)29.解：(1)[P (1,1),Q (-1,-1)]，反比例图象上关于原点对称的两点均可；…………（1分）(2)①∵A (2,4)且A 和B 为和谐点对， ∴B 点坐标为(-2,-4) …………（2分）将A 和B 两点坐标代入y =x 2+mx +n ，可得4+24424m n m n +=⎧⎨-+=-⎩…………（3分）24m n =⎧∴⎨=-⎩…………（4分） ②(ⅰ) M 点在x 轴上方时，若∠AMB 为直角(M 点在x 轴上)，则△ABC 为直角三角形 ∵A (2,4)且A 和B 为和谐点对，∴原点O 在AB 线段上且O 为AB 中点 ∴AB =2OA …………（4分）∵A (2,4)，∴OA =AB =5分）在Rt△ABC 中，∵ O 为AB 中点∴MO =OA =(6分)若∠AMB 为锐角，则b >(7分)(ⅱ) M 点在x 轴下方时，同理可得，b <-综上所述，b 的取值范围为b >b <-.…………(8分)。

2023北京通州区初三(上)期末数学试题及参考答案

图中有相似 ( 不包括全等 ) 三角形有______ 对 .
13. 如图，边长为 1 小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为_____．
的 14. 已知 (−1, y1 ) ， (2, y2 ) 在二次函数 y = x2 − 2x + m 的图像上，比较 y1 ______ y2 ．（填>、<或=）
ABC 相似，满足这样条件的直线共有（）条．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 已知电灯电路两端的电压 U 为 220V ，通过灯泡的电流强度 I (A) 的最大限度不得超过 0.11A ．设选用
灯泡的电阻为 R(Ω) ，下列说法正确的是（）
A. R 至少 2000Ω
B. R 至多 2000Ω
A. 2 ： 3
B. 2：3
C. 4：9
3. 如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠ACB=35°，则∠AOB 的度数是（）
D. 16：81
A. 75°
B. 70°
C. 65°
D. 55°
4. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB 的长为 12 米，AB 与 AC 的夹角为，则高 BC 是（）
距离．
（参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 5 2.24 ）（结果精确到 0.1mm ）
25. 如图 1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为 200 米，两侧距地面高 150 米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为 100 米，图 2 是从实际拱门中
5．考试结束，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）下列各题四个选项中，只有一个符合

北京市通州区九年级(上)期末数学试卷

北京市通州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（3分）已知2a=3b，则的值为（）A．B．C．D．2．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠0C．x＞0D．全体实数3．（3分）下列图形中有可能与图相似的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sin B的值为（）A．B．C．D．5．（3分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．=B．＞C．＜D．无法确定6．（3分）如图，图象对应的函数表达式为（）A．y=5x B．C．D．7．（3分）在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（1，﹣5）D．（0，﹣2）8．（3分）如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC=75米，∠ACB=55°，那么A和B之间的距离是（）米．A．75•sin55°B．75•cos55°C．75•tan55°D．9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A，B，C，则对系数a和b判断正确的是（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＞0 10．（3分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，AB=8，BE=1.5，将沿着AD对折，对折之后的弧称为M，则点O与M所在圆的位置关系为（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．无法确定二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）计算cos60°=．12．（3分）把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为．13．（3分）如图，A，B，C，D分别是∠α边上的四个点，且CA，DB均垂直于∠α的一条边，如果CA=AB=2，BD=3，那么tanα=．14．（3分）如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠BOC=118°，∠A=°．15．（3分）二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，那么关于x的方程x2﹣x ﹣2=0的近似解为（精确到0.1）．16．（3分）数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用折叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：第一步：如图1，将残缺的纸片对折，使的端点A与端点B重合，得到图2；第二步：将图2继续对折，使的端点C与端点B重合，得到图3；第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．18．（5分）计算：（π﹣3）0+4sin45°﹣+|1﹣|．19．（5分）已知△ABC，求作△ABC的内切圆．20．（5分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接对角线AC，EG．求证△ACD∽△EGH．21．（5分）二次函数y=x2+（2m+1）x+m2﹣1与x轴交于A，B两个不同的点．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时A，B两点的坐标．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+1与双曲线y=相交于点A （m，2）．（1）求反比例函数的表达式；（2）画出直线和双曲线的示意图；（3）过动点P（n，0）且垂于x轴的直线与y=﹣x+1及双曲线y=的交点分别为B和C，当点B位于点C上方时，根据图形，直接写出n的取值范围．23．（5分）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB=8，∠A=22.5°，求CD的长．24．（5分）在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．（1）你选用的工具为：；（填序号即可）（2）画出图形．25．（5分）如图，在△ABC中，F是AB上一点，以AF为直径的⊙O切BC于点D，交AC于点G，AC∥OD，OD与GF交于点E．（1）求证：BC∥GF；（2）如果tan A =，AO=a，请你写出求四边形CGED面积的思路．26．（5分）有这样一个问题：探究函数y =x ﹣的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y =x ﹣的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y =x ﹣的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值，求m的值；x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣1﹣1234…y…﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣m…（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是（﹣2，﹣），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．27．（7分）已知：过点A（3，0）直线l1：y=x+b与直线l2：y=﹣2x交于点B．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y=ax2+bx+c经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x=﹣1分别与直线l1，l2交于C，D两点，当抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，求a的取值范围．28．（7分）在等边△ABC中，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），∠AEF=60°，EF交△ABC外角平分线CD于点F．（1）如图1，当点E是BC的中点时，请你补全图形，直接写出的值，并判断AE与EF的数量关系；（2）当点E不是BC的中点时，请你在图（2）中补全图形，判断此时AE与EF 的数量关系，并证明你的结论．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P 与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．（1）写出反比例函数y=图象上的一个“和谐点对”；（2）已知二次函数y=x2+mx+n，①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．北京市通州区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．B；2．B；3．C；4．D；5．A；6．D；7．D；8．C；9．A；10．B；二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．；12．y=（x﹣1）2+2；13．；14．56；15．x1=﹣1.3，x2=4.3；16．轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等；三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．；18．；19．；20．；21．；22．0＜n＜2，n＜﹣1；23．；24．①③；25．；26．x≠0；当x ＞0时，y随x的增大而增大；27．；28．；29．；。

2024北京通州区初三(上)期末数学试卷和答案

通州区2023-2024学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷参考答案及评分标准2024年1月一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 23π 10. 1211. 4 12. 2 13. R ≥1 14. 50° 15. 6 16. （1）4545，（2）90三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分；第23-26题每题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解：原式=2121422⎛⎫⨯−+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭…………………3分 =52…………………5分 18. 解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，tan A ＝34 ∴AC=8 …………………2分∴AB=10 …………………3分∴cos B = 35BC AB = …………………5分 19. 解：（1）∵二次函数图象经过点（-1，0）和（3，0）∴该二次函数图象的对称轴为直线x ＝1 …………………2分（2）由题意可知：二次函数图象的顶点坐标为（1，-4） …………………3分∴设该二次函数表达式为：()()2140y a x a =−−≠将（3，0）点代入得：440a −=∴1a = …………………4分∴223y x x =−−…………………5分20. 解：在Rt △ADC 中，CD =2，AC=，∴tan ∠CAD＝3CD CA == …………………1分 ∴∠CAD ＝30° …………………2分∵AD 平分∠CAB∴∠CAB ＝2∠CAD =60° …………………3分在Rt △ABC 中，∠B =30°∴AB =2AC= …………………5分21. 解：过点A 作AD ⊥BC 于点D …………………1分∴∠B ＝45°，∠C ＝30°在Rt △ABD 中，AD =BD=200 …………………2分在Rt △ACD 中，CD…………………3分∴CB =200+ …………………4分答：小山两端B ，C之间的距离为(200+米. ………5分22. （1）…………………3分（2）证明：连接AD ，∵点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AD ＝BC ，∴ AD ＝BC ． …………………4分∴ ∠DBA ＝∠CAB （等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）．…………………5分 ∴ BD ∥AC ．23. （1）证明：连结CD …………………1分∵BC 为半圆的直径∴∠BDC ＝90° …………………2分D∴BD ⊥CD∵CA CB =∴点D 为AB 的中点 .………………3分（2）方法一：证明：∵CA CB = ∴∠B ＝∠A∵四边形BCED 为圆内接四边形∴∠AED ＝∠B …………………………………4分∴∠AED ＝∠A …………………………………5分∴AD DE =. …………………………………6分方法二：证明：连结DO ，EO ，∵CA CB =，AD=BD ，∴∠ACD =∠BCD ……………………4分 ∵ 2DOE ACD ∠=∠，2DOB BCD ∠=∠，∴ ∠DOE =∠DOB ．∴∴ BD=DE ．……………………5分 ∵ AD=BD ，∴AD DE =．……………………6分24. 解：（1）∵直线2y kx =+与双曲线6y x =的一个交点是(,3)A m ∴把点(,3)A m 代入6y x=中，得36m =，2m = ……………………1分 ∴把点(2,3)A 代入2y kx =+，得223k +=，12k =. ……………………2分（2）点(6,1)P 或(6,1)−−. ……………………6分25.（1）证明：连结OD∵AB 为⊙O 的直径∴∠ACB=90°∵CD 平分∠ACBEDC O A ED A F D O∴∠ACD=45° ……………………1分∴∠AOD=2∠ACD =90° ……………………2分∵DF ∥AB∴∠AOD+∠ODF =180°∴∠ODF =90°∴直线DF 是⊙O 的切线. ……………………3分（2）解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC =∴4BC =，8AB = ……………………4分∴4OD =∵∠COB =60°又∵DF ∥AB∴∠F =60° ……………………5分在Rt △ODF 中，3==. ……………………6分26. 解：（1）∵()222211y x mx m x m =−+−=−− …………………………1分 ∴抛物线顶点坐标为（m ，-1）． …………………………2分（2）y 1 < y 2． …………………………3分（3）∵抛物线对称轴为直线x ＝m ，∴点（4，y 2）关于对称轴的对称点为（2m -4，y 2），…………………………4分 ∵抛物线开口向上，y 1≤y 2，∴2m -4≤x 1＜4，∴2m -4≤-1，解得m ≤32．………………………………………………………………………6分 27. （1）如图 …………………………1分（2）BE = 2CF ，BE ⊥CF 证明：取AC 中点M ，连结FM ∵F 为AD 中点 ∴FM ∥CD ，12FM CD =数学试卷答案第5页（共5页）∵线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ∴12FM CE = ∵AC = BC ∴1122CM AC CB == ∴CM FMBC EC=…………………………2分 ∵FM ∥CD∴∠FMC +∠DCA =180°∴∠FMC =180°-∠DCA =90°-∠ECA ∵∠BCE =90°-∠ECA∴∠FMC =∠BCE …………………………3分∴△FMC ∽△ECB …………………………4分 ∴BE = 2CF ，∠BEC =∠CFM …………………………5分 ∵DC ⊥CE ∴FM ⊥CE∴∠FCE +∠CFM =90°∴∠FCE +∠BEC =90° …………………………6分 ∴BE ⊥CF . …………………………7分注：方法不唯一，酌情给分 28. 解：（1）P 1N 1，P 2N 2.（2）由题意，可得PN ＝2MN . ∵MN ≤2，∴PN ≤4.如图，当OP =3且点P 在直线x ＝2上时， ∵OH ＝2，∴'PH P H ==结合图形，点P 的纵坐标取值范围为P y （3）11≤≤b −．…………………………………2分…………………………………5分 …………………………………7分。

通州九年级上期末数学试卷

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3.5B. -2.3C. -1.8D. 0.22. 如果一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是（）A. 18cmB. 22cmC. 24cmD. 30cm3. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = 1/xB. y = √xC. y = x^2D. y = |x|4. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，则该方程的两个实数根之和为（）A. 2B. 4C. 6D. 85. 下列各图中，不是全等三角形的是（）A. 图①B. 图②C. 图③D. 图④6. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于y轴的对称点是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（2，3）D.（-2，3）7. 如果sinα = 0.6，那么cosα的值可能是（）A. 0.8B. 0.6C. -0.6D. -0.88. 下列各式中，能化为最简二次根式的是（）A. √18B. √50C. √75D. √819. 下列函数中，y随x增大而减小的函数是（）A. y = 2x + 1B. y = -x^2C. y = x^3D. y = 3/x10. 下列命题中，正确的是（）A. 等腰三角形的两底角相等B. 直角三角形的两个锐角互余C. 平行四边形的对角线互相平分D. 相似三角形的对应边成比例二、填空题（每题4分，共40分）11. 如果a > b > 0，那么a^2 + b^2的值大于（）12. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则该方程的两个实数根之积为（）13. 在直角坐标系中，点A（3，-4）到原点的距离是（）14. 函数y = 2x - 3的图象经过点（）15. 在三角形ABC中，如果∠A = 60°，∠B = 45°，那么∠C的度数是（）16. 下列函数中，y = 2x + 1的图象是（）17. 已知sinα = 0.8，那么cosα的值可能是（）18. 下列各式中，能化为最简二次根式的是（）19. 下列函数中，y = -x^2的图象是（）20. 在直角坐标系中，点P（-3，2）关于x轴的对称点是（）三、解答题（每题20分，共80分）21. （1）已知等腰三角形ABC的底边BC = 6cm，腰AB = AC = 8cm，求三角形ABC的周长。

2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——反比例函数(原卷版)

2023~2024学年北京市九年级上期末数学分类——反比例函数一．反比例函数的性质（共2小题）1．（2024•平谷区）关于反比例函数，下列说法正确的是（）A．图象分布在第一、三象限B．在各自的象限内，y随x的增大而增大C．函数图象关于y轴对称D．图象经过（﹣1，﹣3）2．（2024•顺义区）对于反比例函数，下列说法正确的是（）A．它的图象分布在第二、第四象限B．点（﹣1，4）在它的图象上C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＜0时，y随x的增大而增大二．反比例函数系数k的几何意义（共4小题）3．（2024•平谷区）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为．4．（2023秋•门头沟区期末）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形OAPB的面积为．5．（2023秋•昌平区期末）如图，M为反比例函数的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△AOM的面积为3，则k的值为．6．（2023秋•通州区期末）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形OCEF面积为1，则阴影部分的面积之和为．三．反比例函数图象上点的坐标特征（共5小题）7．（2024•房山区）若点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y28．（2023秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点（3，y1），（7，y2）在反比例函数的图象上，则y1y2（填“＞”“＝”或“＜”）．9．（2023秋•门头沟区期末）若点A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x210．（2023秋•昌平区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点A（x1，1）和B（x2，4）在反比例函数图象上，则下列关系式正确的是（）A．0＜x2＜x1B．0＜x1＜x2C．x1＜x2＜0D．x2＜x1＜0 11．（2024•顺义区）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）在双曲线上，点B（﹣b，a）在双曲线上，则m+n的值为．四．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）12．（2023秋•昌平区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2）在双曲线上，点B在双曲线上，且满足OA⊥OB，连接AB．（1）求双曲线的表达式；（2）若，求k2的值．五．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）13．（2023秋•门头沟区期末）如图，点P（2，1）是反比例函数的图象上的一点．（1）求该反比例函数的表达式；（2）设直线y＝kx与双曲线的两个交点分别为P和P′，当时，直接写出x的取值范围．14．（2023秋•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与双曲线y＝的一个交点是A（m，3）．（1）求m和k的值；（2）设点P是双曲线y＝上一点，直线AP与x轴交于点B．若AB＝3PB，结合图象，直接写出点P 的坐标．15．（2024•平谷区）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A．（1）求k的值；（2）若直线y＝2x+b图象经过点A，求b的值；（3）当x＞3时，都有一次函数y＝2x+b的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值，直接写出b的取值范围．16．（2024•房山区）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线相交于点P（2，m）和点Q．（1）求m的值及点Q的坐标；（2）已知点N（0，n），过点N作平行于x轴的直线交直线y＝x与双曲线分别为点A（x1，y1）和B（x2，y2）．当x1＞x2时，直接写出n的取值范围是．六．反比例函数的应用（共2小题）17．（2023秋•通州区期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在Ω．18．（2023秋•石景山区期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，即，其图象如图所示．（1）求k的值；（2）若用电器的电阻R为6Ω，则电流I为A；（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流I不得超过10A，那么用电器的电阻R应控制的范围是．。

2024年北京通州区初三九年级上学期期末数学试题和答案

通州区2023～2024学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷2024年1月一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分．每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．）1．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，则sin A 的值是（）．A ．43B ．45C ．34D ．352．已知O 的半径为6，点P 到圆心O 的距离为4，则点P 在O （）．A ．内B ．上C ．外D ．无法确定3．在平面直角坐标系中，将抛物线22y x =先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（）．A ．()2234y x =-+B ．()2234y x =--C ．()2234y x =++D ．()2234y x =+-4．如图，点A ，B ，C 在O 上，OAB △是等边三角形，则ACB ∠的大小为（）．A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．60︒5．如图，在方格纸中，ABC △和EPD △的顶点均在格点上，要使ABC △∽EPD △，则点P 所在的格点为（）．A ．PB ．PC ．PD ．P6．下列关于二次函数23y x =的说法正确的是（）．A ．它的图象经过点()1,3--B ．它的图象的对称轴是直线3x =C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．当0x =时，y 有最大值为07．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，AE 交BD 于点Q ，若DQE △的面积为9，则AQB △的面积为（）．A ．18B ．27C ．36D ．458．兴趣小组同学借助数学软件探究函数()2axy x b =-的图象，输入了一组a ，b 的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a ，b 的值满足（）．A ．0a <，0b >B ．0a >，0b <C ．0a >，0b >D ．0a <，0b <二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9．若扇形的圆心角为60︒，半径为2，则该扇形的弧长是__________（结果保留π）．10．如图，ABC △的顶点都是正方形网格中的格点，则tan ABC ∠=__________．11．某市开展植树造林活动．如图，在坡度1:i =的山坡AB 上植树，要求相邻两树间的水平距离AC 为米，则斜坡上相邻两树间AB 的坡面距离为__________米．12．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB 长为8米，轮子的半径AO 为5米，则轮子的吃水深度CD 为__________米．13．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A ，那么用电器的可变电阻R 应控制在__________Ω．14．如图，AB 为O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC ，PD 分别与O 相切于点C ，D ，若40CPA ∠=︒，则CAD ∠的度数为__________．15．如图，A ，B 两点在反比例函数()40y x x=>的图象上，分别过点A ，B 向坐标轴作垂线段．若四边形OCEF 面积为1，则阴影部分的面积之和为__________．16．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,0．P 是第一象限内任意一点，连接PO ，PA ．若POA m ∠=︒，PAO n ∠=︒，则我们把,P m n 叫做点P 的“角坐标”．（1）点()2,2的“角坐标”为__________；（2）若点P 到x 轴的距离为2，则m n +的最小值为__________．三、解答题（本题共68分，第17～22题每题5分；第23～26题每题6分；第27～28题每题7分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．22sin 60tan 454cos 60︒-︒+︒．18．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6BC =，3tan 4A =．求AC 的长和cos B 的值．19．已知二次函数几组x 与y 的对应值如下表：x (3)-2-1-134…y…1254-05…（1）写出此二次函数图象的对称轴；（2）求此二次函数的表达式．20．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，2CD =，AC =AB 的长．21．无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的A 处，测得小山两端B ，C 的俯角分别是45︒和30︒，此时无人机距直线BC 的垂直距离是200米，求小山两端B ，C 之间的距离．22．下面是某同学设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，ABC △．求作：直线BD ，使得BD AC ∥．作法：如图2，图1图2①分别作线段AC ，BC 的垂直平分线1l ，2l ，两直线交于点O ；②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；③以点A 为圆心，BC 长为半径作弧，交劣弧 AB 于点D ；④作直线BD ．所以直线BD 就是所求作的直线．根据设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD ，∵点A ，B ，C ，D 在O 上，AD BC =，∴ AD =__________．∴2DBA CAB ∠=∠（）（填推理的依据）．∴BD AC ∥．23．如图，ABC △中，CA CB =，以BC 为直径的半圆与AB 交于点D ，与AC 交于点E ．（1）求证：点D 为AB 的中点；（2）求证：AD DE =．24．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y kx =+与双曲线6y x=的一个交点是(),3A m ．（1）求m 和k 的值；（2）设点P 是双曲线6y x=上一点，直线AP 与x 轴交于点B ．若3AB PB =，结合图象，直接写出点P 的坐标．25．如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF AB ∥交CO 的延长线于点F ．（1）求证：直线DF 是O 的切线；（2）若30A ∠=︒，AC =DF 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线2221y x mx m =-+-上任意两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m 的式子表示）；（2）若12x m =-，25x m =+，则1y ______2y ；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）（3）若对于114x -≤<，24x =，都有12y y ≤，求m 的取值范围．27．如图，ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在AB 的延长线上，取AD 的中点F ，连结CD 、CF ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CE ，连结AE 、BE ．（1）依题意，请补全图形；（2）判断BE 、CF 的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．给出如下定义：过O 外一点P 做直线与O 交于点M 、N ，若M 为线段PN 的中点，则称线段PN 是O 的“外倍线”。

2021-2022学年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京市通州区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题。

（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜0 2．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（）A．B．C．D．3．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（）A．4πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm4．如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°5．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（）A．1B．C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝30°，CD＝2，则AC等于（）A．6B．4C．2D．37．如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（）A．4sin47°米B．4cos47°米C．4tan47°米D．米8．某同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（）A．m1，m4B．m2，m5C．m3，m6D．m2，m4二、填空题。

（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9．如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点A处观测，当量角器的0刻度线AB对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是40°，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于．11．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，那么AC的长为．12．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣4x+1上，那么x1+x2＝．13．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝m．14．如图，过点A（0，4）作平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝于B、C两点，那么线段BC的长是．15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m．16．如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点M．某同学得出以下结论：①DE∥BC；②△ADE∽△ABC；③；④．其中结论正确的是：（只填序号）．三、解答题。

2023-2024学年北京市通州区九年级上学期数学期末学情检测模拟卷合集2套(含解析)

2023-2024学年北京市通州区九年级上册数学期末学情检测模拟卷（A 卷）一、选一选（每小题3分，共30分）1.方程2650x x +-=的左边配成完全平方后所得方程为（）A.2(3)14x += B.2(3)14x -= C.21(6)2x +=D.以上答案都没有对2.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（）A.x 2+130x ﹣1400＝0B.x 2+65x ﹣350＝0C.x 2﹣130x ﹣1400＝0D.x 2﹣65x ﹣350＝03.如罔，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB ′C ′可以由△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到(点B ′与点B 是对应点，点C ′与点C 是对应点)，连接CC ′，则∠CC ′B ′的度数是()．A.45°B.30°C.25°D.15°4.下列图形中，是对称图形的是（）A. B. C. D.5.如图，A,B,C 是⊙O 上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是()A.∠OBA=∠OCAB.四边形OABC内接于⊙OC..AB=2BCD.∠OBA+∠BOC=90°6.在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（）A.与x轴相切，与y轴相切B.与x轴相切，与y轴相离C.与x轴相离，与y轴相切D.与x轴相离，与y轴相离7.某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（）时，游戏对甲乙双方公平．A.3B.4C.5D.68.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，已知AB=12，点C，D在AB上，且AC=DB=2，点P从点C沿线段CD向点D运动（运动到点D停止），以AP、BP为斜边在AB的同侧画等腰Rt△APE和等腰Rt△PBF，连接EF，取EF的中点G，下列说法中正确的有（）①△EFP的外接圆的圆心为点G；②四边形AEFB的面积没有变；③EF的中点G移动的路径长为4；④△EFP的面积的最小值为8．A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1，下列结论：①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③a ＜﹣1；④b 2+8a ＞4ac ．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每小题3分，共18分）11.方程ax 2+x+1=0有两个没有等的实数根，则a 的取值范围是________.12.如图，⊙O 中，弦AB =3，半径BOC 是AB 上一点且AC =1，点P 是⊙O 上一动点，连PC ，则PC 长的最小值是_____．13.将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．14.挂钟分针的长10cm ，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm15.在平面直角坐标系中，二次函数y 1=ax 2+bx+c(a>0)与函数y 2=ax+c 的图像交于A 、B 两点，已知B 点的横坐标为2，当y 1<y 2时，自变量x 的取值范围是____．16.在平面直角坐标系中，将抛物线C 1：y=x 2绕点（1，0）旋转180°后，得到抛物线C 2，定义抛物线C 1和C 2上位于﹣2≤x≤2范围内的部分为图象C 3．若函数y=kx+k ﹣1（k ＞0）的图象与图象C 3有两个交点，则k 的范围是：__．三、解答题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）17.解方程：(3)(1)3--=x x ．18.如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB 1C 1．（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（没有要求写作法）（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．19.课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．（1）本次的样本容量是；其中A类女生有名，D类学生有名；（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；（3）若从被的A类和D类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A类学生辅导D类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．20.已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个没有相等的实数根？（2）若边长为39的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．21.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的利润为y 元．（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？22.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，将ABC ∆绕点C 按照顺时针方向旋转m 度后得到DEC ∆，点D 刚好落在AB 边上．（1）求m 的值；（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．23.如图，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点E，且交⊙O 于点D，F 是BA 延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．（1）求证：FD 是⊙O 的一条切线；（2）若AB=10，AC=8，求DF 的长．24.如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt △OAB 的斜边OA 在x 轴上．P 为线段OB 上﹣动点（没有与O ，B 重合）．过P 点向x 轴作垂线．垂足为C ．以PC 为边在PC 的右侧作正方形PCDM ．OP=t ，OA=3．设过O ，M 两点的抛物线为y=ax 2+bx ．其顶点N （m ，n ）（1）写出t 的取值范围，写出M 的坐标：（，）；（2）用含a ，t 的代数式表示b ；（3）当抛物线开向下，且点M 恰好运动到AB 边上时（如图2）①求t 的值；②若N 在△OAB 的内部及边上，试求a 及m 的取值范围．25.．如图，在平面直角坐标系中，以点C （1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A ，B 两点，点P 在优弧 AB 上．（1）求出A ，B 两点的坐标；（2）试确定A 、B 且以点P 为顶点的抛物线解析式；（3）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若没有存在，请说明理由.2023-2024学年北京市通州区九年级上册数学期末学情检测模拟卷（A 卷）一、选一选（每小题3分，共30分）1.方程2650x x +-=的左边配成完全平方后所得方程为（）A.2(3)14x += B.2(3)14x -= C.21(6)2x +=D.以上答案都没有对【正确答案】A【分析】先变形得到x 2+6x =5，再把方程两边加上9得x 2+6x +9=5+9，然后根据完全平方公式得到（x +3）2=14．【详解】先移项得x 2+6x =5，方程两边加上9得：x 2+6x +9=5+9，所以（x +3）2=14．故选A ．本题考查了配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．2.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（）A.x 2+130x ﹣1400＝0B.x 2+65x ﹣350＝0C.x 2﹣130x ﹣1400＝0D.x 2﹣65x ﹣350＝0【正确答案】B【分析】先用x 表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于x 的方程．【详解】解：由题意可知：挂图的长为()80+2x cm ，宽为()502x cm +，(802)(502)5400x x ∴++=，化简得：x 2+65x ﹣350＝0，故选：B ．本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．3.如罔，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB ′C ′可以由△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到(点B ′与点B 是对应点，点C ′与点C 是对应点)，连接CC ′，则∠CC ′B ′的度数是()．A.45°B.30°C.25°D.15°【正确答案】D【分析】旋转为点A ，C 、C′为对应点，可知AC=AC′，又∠CAC′=90°，根据△CAC′是等腰直角三角形的性质解题．【详解】由旋转的性质可知，AC=AC′，又∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，∴∠CC′A=45°．∵∠CC′B′+∠ACC′=∠AB′C′=∠B=60°，∴∠CC′B′=15°．故选D．4.下列图形中，是对称图形的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形，这个点叫做对称可得答案．【详解】A、没有是对称图形，故此选项错误；B、没有是对称图形，故此选项错误；C、没有是对称图形，故此选项错误；D、是对称图形，故此选项正确；故选D．本题考查了对称图形，解题的关键是掌握对称图形的定义．5.如图，A,B,C是⊙O上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是()A.∠OBA=∠OCAB.四边形OABC内接于⊙OC..AB=2BCD.∠OBA+∠BOC=90°【正确答案】D【详解】试题解析：过O作OD⊥AB于D交O于E，则 AE BE=,1,2AE BE AOE BOE AOB ∴=∠=∠=∠，∵∠AOB =2∠BOC ，∴∠AOE =∠BOE =∠BOC ，∴ AE BEBC ==,∴AE =BE =BC ，∴2BC >AB ，故C 错误；∵OA =OB =OC ，12(180)90OBA AOB BOC ∴∠=-∠=-∠ ，13(180)9022OCA AOC BOC ∠=-∠=-∠ ，∴∠OBA ≠∠OCA ，故A 错误；∵点A ，B ，C 在O 上，而点O 是圆心，∴四边形OABC 没有内接于O ，故B 错误；12BOE BOC AOB ∠=∠=∠ ，90BOE OBA ∠+∠= ，90OBA BOC ∴∠+∠= ，故D 正确；故选D.点睛：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.6.在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（）A.与x 轴相切，与y 轴相切B.与x 轴相切，与y 轴相离C.与x 轴相离，与y 轴相切D.与x 轴相离，与y 轴相离【正确答案】B【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．【详解】∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，则有2＝2，3＞2，∴这个圆与x 轴相切，与y 轴相离．故选B ．本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．7.某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜．则当x=（）时，游戏对甲乙双方公平．A.3B.4C.5D.6【正确答案】B【分析】根据题意表示出摸出是绿球与黑球的概率，令两概率相等求出x的值即可．【详解】解：根据题意得：2x20=20220x x--，即2x=20-x-2x，解得：x=4．故选B．此题考查了游戏的公平性，以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个的概率，概率相等就公平，否则就没有公平．8.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】D【详解】①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b>0，abc<0，故①正确；②当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0（1），当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0，又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0，故②错误；③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，所以4a+2b+c>0，故③正确；④根据对称轴为x=1，可得12b a-=，所以2a+b=0，故④正确；⑤由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2-4ac ＞0，即b 2＞4ac ，故⑤正确；综上可知，正确的有4个，故选D本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．9.如图，已知AB=12，点C ，D 在AB 上，且AC=DB=2，点P 从点C 沿线段CD 向点D 运动（运动到点D 停止），以AP 、BP 为斜边在AB 的同侧画等腰Rt △APE 和等腰Rt △PBF ，连接EF ，取EF 的中点G ，下列说法中正确的有（）①△EFP 的外接圆的圆心为点G ；②四边形AEFB 的面积没有变；③EF 的中点G 移动的路径长为4；④△EFP 的面积的最小值为8．A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】B 【详解】试题解析：如图，分别延长AE 、BF 交于点H .∵等腰Rt △APE 和等腰Rt △PBF ，45,45A FPB B EPA ，∴∠=∠=∠=∠=∴//AH PF ,//BH BE .18090EPF EPA FPB ∠=-∠-∠= ，∴四边形EPFH 为平行四边形，∴EF 与HP 互相平分.∵G 为EF 的中点，∴G 也为PH 中点，即在P 的运动过程中，G 始终为PH 的中点，∴G 的运行轨迹为△HCD 的中位线MN .∵CD =12−2−2=8，∴MN =4，即G 的移动路径长为4.故③EF 的中点G 移动的路径长为4，正确；∵G 为EF 的中点,90EPF ∠= ，∴①△EFP 的外接圆的圆心为点G ，正确.∴①③正确.∵点P 从点C 沿线段CD 向点D 运动(运动到点D 停止),易证90,EPF ∠= 所以四边形面积便是三个直角三角形的面积和,设cp =x ,则四边形面积28124,4x x S -+=∴AP 没有断增大，∴四边形的面积S 也会随之变化，故②错误.④等腰Rt △APE 和等腰Rt △PBF ，90EPF ∠= ，,AP BP ==，当AP =AC =2时,即PE PF ==S △PEF 最小152PE PF =⋅=，故④错误；故选B .10.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1，下列结论：①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③a ＜﹣1；④b 2+8a ＞4ac ．其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】D【分析】根据二次函数的性质逐一进行分析即可【详解】①4a-2b+c ＜0；当x=-2时，y=ax 2+bx+c ，y=4a-2b+c ，由-2＜x 1＜-1，可得y ＜0，故①正确；②2a-b ＜0；已知x=-2b a＞-1，且a ＜0，所以2a-b ＜0，故②正确；③已知抛物线（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜（2），由①知：4a-2b+c ＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c ＜1；联立（1）（3）得：2a-c ＜-4；∵c ＜2，则有a ＜-1，所以③正确④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：244ac b a-＞2，由于a ＜0，所以4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确，故选D ．本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11.方程ax 2+x+1=0有两个没有等的实数根，则a 的取值范围是________.【正确答案】14a <且a≠0【详解】∵方程210ax x ++=有两个没有等的实数根，∴20140a a ≠⎧⎨=->⎩，解得14a <且0a ≠.12.如图，⊙O 中，弦AB =3，半径BOC 是AB 上一点且AC =1，点P 是⊙O 上一动点，连PC ，则PC 长的最小值是_____．【正确答案】1-【详解】试题解析：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OP 、OC ，∵AB =3，∴由垂径定理可知：1322BD AD AB ，===3BO = ，∴由勾股定理可知：32OD =∵AC =1，12CD AD AC ∴=-=，∴由勾股定理可知：OC =1，在△OCP 中，由三角形三边关系可知：PC >OP −OC ，∴当O 、C.P 三点共线时，PC 可取得最小值，此时3 1.PC OP OC =-=3 1.13.将一批数据分成5组，列出频率分布表，其中组与第五组的概率之和是0.2，第二与第四组的概率之和是0.25，那么第三组的概率是_____．【正确答案】0.55【详解】试题分析：根据一组数据总的概率是1，可以得到第三组的概率是多少．解：由题意可得，第三组的概率是：1﹣0.2﹣0.25=0.55，故答案为0.55．14.挂钟分针的长10cm ，45分钟，它的针尖转过的弧长是______cm【正确答案】15π．【详解】试题分析：先求出45分钟分针的针尖转过的圆心角的度数，再根据弧长公式l=180n r π，求得弧长．∵分针60分钟，转过360°，∴45分钟转过270°，则分针的针尖转过的弧长是l=2701015180180n r πππ⨯⨯==（cm ）．考点：弧长的计算．15.在平面直角坐标系中，二次函数y 1=ax 2+bx+c(a>0)与函数y 2=ax+c 的图像交于A 、B 两点，已知B 点的横坐标为2，当y 1<y 2时，自变量x 的取值范围是____．【正确答案】0<x<2【详解】试题解析：x =0时，y =c ，∴两函数图象的交点A 为(0,c )，如图，12y y <时，0<x <2.故答案为0<x <2.16.在平面直角坐标系中，将抛物线C 1：y=x 2绕点（1，0）旋转180°后，得到抛物线C 2，定义抛物线C 1和C 2上位于﹣2≤x≤2范围内的部分为图象C 3．若函数y=kx+k ﹣1（k ＞0）的图象与图象C 3有两个交点，则k 的范围是：__．【正确答案】﹣＜k≤53或13≤k≤﹣+6或k≥15【详解】试题解析：如图,由题意图象2C 的解析式为2(2),y x =--图象3C 是图中两根红线之间的12C C 、上的部分图象.由22x -≤≤,则A (2,4),B (−2,−16),D (2,0).因为函数y =kx +k −1(k >0)的图象与图象3C 有两个交点当直线点A 时,满足条件,4=2k +k −1,解得53k =②当直线与抛物线1C 相切时,由21,y x y kx k ⎧=⎨=+-⎩消去y 得到210x kx k --+=，∵△=0，2440,k k ∴+-=解得222k =-+或222--(舍弃)，观察图象可知当5223k -+<≤时,直线与图象3C 有两个交点.当直线与抛物线2C 相切时,由()221,y x y kx k ⎧=--⎪⎨=+-⎪⎩消去y ,得到2(4)30x k x k --++=，∵△=0，2(4)4(3)0,k k ∴--+=解得642k =-或642+(舍弃)，④当直线点D (2,0)时,0=2k +k −1,解得13k =，观察图象可知,1263k ≤-+时,直线与图象3C 有两个交点．⑤当直线点B (−2,−16)时，−16=−2k +k −1，解得k =15，观察图象可知,15k ≥时,直线与图象3C 有两个交点．综上所述,当523k -+<≤或163k ≤-+或15k ≥时,直线与图象3C 有两个交点．故答案为:523k -+<≤或163k ≤-或15.k ≥三、解答题（17、18、19题各6分，20、21、22题各8分，23、24、25题各10分，共72分）17.解方程：(3)(1)3--=x x ．【正确答案】10x =，24x =．【详解】分析：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．详解：方程化为x 2﹣4x =0，x （x ﹣4）=0，所以x 1=0，x 2=4．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB 1C 1．（1）在正方形网格中，作出△AB 1C 1；（没有要求写作法）（2）设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．【正确答案】（1）作图见解析；（2）图见解析，面积为()29cm 4π.【分析】（1）根据网格图知：AB =4，BC =3，由勾股定理得，AC =5，作B 1A ⊥AB ，且B 1A =AB ，作C 1A ⊥AC 且C 1A =AC ；（2）阴影部分的面积等于扇形ACC 1与△ABC 的面积和减去扇形ABB 1与△AB 1C 1，而△ABC 与△AB 1C 1的面积相等，可得阴影部分的面积等于扇形ACC 1减去扇形ABB 1的面积．【详解】(1)作图如图：(2)线段BC 所扫过的图形如图所示．根据网格图知：AB =4，BC =3，所以AC =5，阴影部分的面积等于扇形ACC 1与△ABC 的面积和减去扇形ABB 1与△AB 1C 1，故阴影部分的面积等于扇形ACC 1减去扇形ABB 1的面积，两个扇形的圆心角都90度,∴线段BC 所扫过的图形的面积()()22219cm 44S AC AB ππ=-=.19.课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，他将结果分为四类：A．，B．良好，C．一般，D．较差，并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图．（1）本次的样本容量是；其中A 类女生有名，D 类学生有名；（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；（3）若从被的A 类和D 类学生中各随机选取一位学生进行“一帮一”辅导学习，即A 类学生辅导D 类学生，请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学中恰好是一位女同学辅导一位男同学的概率．【正确答案】（1）20、2、2；（2）25%，10%，（3）13【分析】（1）根据B 类有6+4=10人，所占的比例是50%，据此即可求得总人数，再求得A 类总人数可得A 类女生人数，由各类别人数之和为总人数可得D 类人数；（2）利用（1）中求得的结果及对应人数除以总人数即为其百分比，补全图形即可得；（3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．【详解】解：（1）本次的学生数=（6+4）÷50%=20（名），则A 类女生有：20×15%-1=2（名），D 类学生有20-（3+10+5）=2（名），故答案为20、2、2；（2）C 类百分比为2+320×=25%，D 类别百分比为220×=10%，补全图形如下：（3）由题意画树形图如下：从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选一位女同学辅导一位男同学的结果共有2种．所以P （一位女同学辅导一位男同学）=21=63．20.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2﹣4=0（1）当m 为何值时，方程有两个没有相等的实数根？（2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值．【正确答案】（1）m ＜174；（2）m=-3【详解】试题分析：（1）根据方程的系数根的判别式，即可得出4170m =+> ，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a b 、，根据根与系数的关系菱形的性质，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据210a b m +=-->，即可确定m 的值．试题解析：(1)∵方程22(21)40x m x m +-+-=有两个没有相等的实数根，22(21)4(4)4170m m m ∴=---=-+> ，解得：17.4m <∴当17.4m <时，方程有两个没有相等的实数根.(2)设方程的两根分别为a 、b ，根据题意得：221, 4.a b m ab m +=-+=-∵2a 、2b 的菱形的两条对角线的长，2222222()2(21)2(4)24939a b a b ab m m m m ∴+=+-=-+--=-+==，解得：m =−3或m =5.∵a >0，b >0，∴a +b =−2m +1>0，∴m =−3.的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m 的值为−3.21.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x 元（x 为正整数），每个月的利润为y 元．（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得利润？的月利润是多少元？【正确答案】（1）65或85；（2）当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．【详解】试题分析：（1）如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，可得量为100﹣2（x ﹣60），量乘以利润即可得到等式[100﹣2（x ﹣60）]（x ﹣40）=2250，解答即可；（2）将（1）中的2250换成y 即可解答．试题解析：解：（1）[100﹣2（x ﹣60）]（x ﹣40）=2250，解得：x 1=65，x 2=85．（2）由题意：y =[100﹣2（x ﹣60）]（x ﹣40）=﹣2x 2+300x ﹣8800；y =﹣2（x ﹣75）2+2450，当x =75时，y 有值为2450元．答：当售价定为75时，每个月可获得利润，的月利润是2450元．点睛：本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后实际选择最优．22.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，将ABC ∆绕点C 按照顺时针方向旋转m 度后得到DEC ∆，点D 刚好落在AB 边上．（1）求m 的值；（2）若F 是DE 的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由．【正确答案】（1）60︒；（2）菱形【分析】（1）由旋转的性质可得出AC CD =，再由三角形的内角和可求出=1809030=60A ︒-︒-︒︒∠，因此可证出ACD △是等边三角形，得到=60ACD ︒∠，即可解决问题；（2）根据题意，证明AD AC =，再证明DF CF AD ==，得到AD DF CF AC ===，即可解决问题．【详解】解：（1）由题意可得：AC CD =∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒∴=1809030=60A ︒-︒-︒︒∠∴ACD △是等边三角形∴=60m ACD ︒=∠（2）∵DAC △为等边三角形∴AD AC=∵2AB AD BD AC =+=∴12AD BD AB ==由题意得：DE AB =，90DCE ACB ∠=∠=︒∵F 是DE 的中点∴1122DF CF DE AB ===∴AD DF CF AC===∴四边形ACFD是菱形本题主要考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，菱形的判定等几何知识点，熟悉掌握旋转变换的性质是解题的关键．23.如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．（1）求证：FD是⊙O的一条切线；（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．【正确答案】（1）证明见解析；（2）20 3．【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案；（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．试题解析：（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD，∴FD∥AC，∵∠AEO=90°，∴∠FDO=90°，∴FD是⊙O的一条切线；(2)∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，∴AE=EC=4，AO=5，∴EO=3，∵AE∥FD，∴△AEO∽△FDO，∴AE EO FD DO=，∴345FD =，解得：FD=203．考点：1．切线的判定；2．垂径定理；3．相似三角形的判定与性质．24.如图1在平面直角坐标系中．等腰Rt △OAB 的斜边OA 在x 轴上．P 为线段OB 上﹣动点（没有与O ，B 重合）．过P 点向x 轴作垂线．垂足为C ．以PC 为边在PC 的右侧作正方形PCDM ．OP=t ，OA=3．设过O ，M 两点的抛物线为y=ax 2+bx ．其顶点N （m ，n ）（1）写出t 的取值范围，写出M 的坐标：（，）；（2）用含a ，t 的代数式表示b ；（3）当抛物线开向下，且点M 恰好运动到AB 边上时（如图2）①求t 的值；②若N 在△OAB 的内部及边上，试求a 及m 的取值范围．【正确答案】（1）0＜t ＜32，M （2t ，t ）；（2）b=142at -；（3）①t=1；②43≤m≤2．【详解】试题分析：试题解析：(1)如图1，∵△OAB 为等腰直角三角形，OA =3，322OB AB ∴===∵P 为线段OB 上−动点(没有与O ,B 重合)，322∴<<302t ∴<<，∵四边形PCDM 为正方形，90PCO ∴∠= ，45POC ∠= ，∴△POC 为等腰直角三角形，OP = ∴PC =OC =t ，∴OD =t +t =2t ，∴M (2t ,t )；(2)把M (2t ,t )代入到2y ax bx =+中得：242t at tb =+，1=4at +2b ，142atb -=(3)①如图2,32,2OB OP ==322PB ∴=-∵//,PM OA PM PBOA OB，∴=3223322t ∴=∴t =1；②由(2)得：141222at b a -==-，即4a =1−2b ，顶点2(,)(0,0)24b b N a b a a--，i )当3022b a ≤-≤时,即12a ≤-时，2,24b b a a -≥-解得34a ，≥-3142a ∴-≤≤-，ii )当3322b a <-≤时,即−1128a <≤-23()24b b a a --≥-，2430b b -+≤，13b ≤≤，151123,244a a ，≤-≤-≤≤-则1124a -<≤-，综上所述：a 的取值为：3144a ，-≤≤-1124b m a a=-=-，得：11441,444(1)am a a m m =-=-=--，31144(1)4m ，-≤≤--∴42.3m ≤≤25.．如图，在平面直角坐标系中，以点C （1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A ，B 两点，点P 在优弧 AB 上．（1）求出A ，B 两点的坐标；（2）试确定A 、B 且以点P 为顶点的抛物线解析式；（3）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若没有存在，请说明理由.【正确答案】（1）(10)A ，(10)B （2）222y x x ∴=-++或2122333y x x =--（3）D，使线段OP与CD互相平分存在(02)【详解】试题分析：（1）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．（2）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P 点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．（3）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．试题解析：（1）如图，作CH⊥AB于点H，连接OA，OB，∵CH=1，半径CB=2∴HB=故A（，0），B（0）．（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），设抛物线解析式y=a（x-1）2+3，把点B（1+0）代入上式，解得a=-1；∴y=-x2+2x+2．（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形∴PC∥OD且PC=OD．∵PC∥y轴，∴点D在y轴上．又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．又D（0，2）满足y=-x2+2x+2，∴点D在抛物线上∴存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．考点：圆的综合题．2023-2024学年北京市通州区九年级上册数学期末学情检测模拟卷（B卷）一、选一选（共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列四个图形中，没有是对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列说法中，正确的是（）A.没有可能发生的概率是0B.打开电视机正在播放动画片，是必然C.随机发生的概率是12D.对“梦想的声音”节目收视率的，宜采用普查3.如图所示,AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠C=40°,则∠D的度数为()A.90°B.100°C.110°D.120°4.函数y=1x中自变量x的取值范围是（）A.x≠1B.x≠0C.x＞0D.全体实数5.如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC,那么弧AB与弧CD的数量关系是（)A.弧AB=弧CDB.弧AB＞弧CDC.弧AB＜弧CDD.无法确定6.在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（）A.（2，3）B.（﹣2，3）C.（1，﹣5）D.（0，﹣2）7.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A.()216x += B.()216x -= C.()229x += D.()229x -=8.如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是（）.A.15°B.20°C.25°D.30°9.如图⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为（）A. B.4C. D.810.如下图，已知原点的抛物线y=ax 2+bx+c（a ≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab >0，②a +b +c ＞0，③当-2＜x ＜0时，y ＜0．正确的个数是（）A .0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在横线上）11.把二次函数y=x 2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k 的形式为_____．12.某楼盘2013年房价为每平方米8100元，两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为________________．13.如图，在矩形ABCD 中，AB =2DA ，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交DC 于点E ，交AD 的延长线于点F ，设DA =2，图中阴影部分的面积为_____．14.数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法．小华对数学老师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心”．小华的作法如下：步：如图1，将残缺的纸片对折，使弧AB的端点A与端点B重合，得到图2；第二步：将图2继续对折，使弧CD的端点C与端点B重合，得到图3；第三步：将对折后的图3打开如图4，两条折痕所在直线的交点即为圆心O．老师肯定了他的作法．那么他确定圆心的依据是_____________________．三、解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．16.车辆润扬大桥收费站时，4个收费通道A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．（1）一辆车此收费站时，选择A通道通过的概率是；（2）求两辆车此收费站时，选择没有同通道通过的概率．四、解答题（共2小题，每小题8分，满分16分）17.尺规作图：已知△ABC，求作△ABC的内切圆．（保留作图痕迹即可）。