第11章(无穷级数)之内容方法

第11章(无穷级数)之内容方法
无穷级数也是高等数学的重要内容，它在自然科学及工程技术中有着重要而广泛的应用。

本章先介绍常数项级数及其收敛问题，然后讨论幂级数及其收敛半径、收敛区间的求法最后讨论函数的幂级数的展开问题。

本章的重点是：常数项级数的基本概念，正项级数的审敛准则；幂级数的审敛准则；泰勒公式、泰勒级数及泰勒展开式。

难点是：正项级数的审敛准则；泰勒展开式。

11-1 常数项级数的基本概念及其主要性质
1．基本概念
级数∑∞=1n n a ；项1a , 2a 通项：n a ；常数项级数：n a 为常数
部分和：S n =∑=n n n a 1;
部分和序列S 1,S 2,…,S n ,…:
级数收敛 ：部分和序列存在有穷极限1,n
n S S a ∞==∑。

级数发散：部分和序列不存在有穷极限。

主要性质 :（1）级数收敛的必要条件是：其通项趋于0。

（2）如果级数收敛且其和为S ，则各项同乘以常数c 所得级数也收敛且其和为 cS 。

（3）设有两个收敛级数其部分和分别为S 和σ，则将它们逐项相加或相减所得的级数也收敛，且其和为 S ±σ。

（4）收敛级数不改变各项顺序而插入括号后所成的级数仍然收敛且其和不变。

（5）一个级数添入或删除有限项并不影响其敛散性。

11-2正项级数及其审敛准则
基本定理 : 正项级数收敛的充分必要条件是其部分和序列上有界。

等比级数：∑-1n aq (a ≠0)
当 q < 1 收敛，当q ≥ 1 时发散。

p 级数： ∑∞
=11n p n 当 p ≤1 时发散,当 p >1 时收敛。

特别地，调和级数∑∞=11n n 发散。

第一比较准则：有两个正项级数 ∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b ，
而且n a n b ≤(n =1,2,) 。

若∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=1n n a 收敛；
若∑∞=1n n a 发散，则∑∞=1n n b 也发散。

第二比较准则：设有两个正项级数∑n a 与∑n
b ， 如果λ=+∞→n n n b a lim （0〈)+∞<λ，
则这两个级数同时收敛，或者同时发散。

达朗贝尔准则(检比法）：设有正项级数∑n
a 。

如果n n a a n 1lim =+∞
→=λ，那么，当 1<λ时级数收敛； 当 1λ>，时，级数发散；
当 1=λ时不能判定敛散性。

11-3任意项级数的敛散性
交错级数：各项正负相间的级数。

莱布尼兹准则：设有交错级数
∑n a 。

如果 (1)
(1) 各项的绝对值单调减； (2) (2) 0lim n n a →∞=。

则交错级数必收敛。

绝对收敛级数：各项取绝对值后得到的正项级数收敛的级数。

条件收敛级数：收敛但不绝对收敛的级数。

绝对收敛准则：绝对收敛级数必收敛。

11-4 幂级数及其性质
函数项级数：各项是x 的函数的级数。

幂级数：0()n n n c x a ∞=-∑(,n c a 是常数)。

和函数（和）：部分和所成函数序列的极限函数。

幂函数的审敛准则：设有幂级数n n n x c ∑∞=0，
如果极限1||lim n n n c R c →+∞+=，那么， 当R x <时，幂级数收敛，而且绝对收敛；
当 R x >时，幂级数发散，其中R 可以是0,也可以是∞。

R 称为收敛半径，x <R 称为收敛区间，简称为敛区。

敛域：敛区并上收敛的端点 x R =- 或x R =。

可见：当R =0 时，敛域只含一点x =0 ；
当R =∞时，敛域为（-+∞∞,）。

幂级数的性质
(1) (1) 设1()(||)n n a x f x x R =<∑,
(2) (2)
2()(||)n n b x g x x R =<∑ 则 ()()()n n a b f x g x ±=±∑ 且12min{,}x R R R <=。

(3) (3) 幂级数的和在敛区内是连续的且可逐项求极限。

(4) (4) 幂级数n n c x ∑的和S(x) 在敛区内的任一点均可导
且有逐项求导公式：
)()('='∑n n x c x S ， 求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

(5) (5) 幂级数n n x c ∑的和()S x 在敛区内可积，
且有逐项求积分公式：
00()x x n n S x c x dx =∑⎰⎰ (x R <) ，
积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

11-5 函数的幂级数展开式
函数f （x ）在x=a 处的泰勒级数：
()f x ~()0()()!n n n f a x a n ∞=-∑
2()()()()()...2!f a f a f a x a x a '''=+-+
-+ 函数()f x 在区间I 可展成泰勒级数：
()f x = ()0()()()
!n n n f a x a x I n ∞=-∈∑。

()f x 在区间I 可展成泰勒级数的条件是：它与泰勒级数的部分和之差趋于零。

泰勒定理：设函数()f x 在x a =的邻域内n +1阶可导，则对位于此邻域内的任一x ，至少存在一点c ，c 在a 与x 之间，使得下述泰勒公式成立：
()()f x f a =+))((a x a f -'+… +n n a x n a f )(!)()(-+1)1()()!1()(++-+n n a x n c f 。

注：当0a =时，泰勒级数、泰勒展开式、泰勒公式分别称为麦克劳林级数、麦克劳林展开式、麦克劳林公式。

几个初等函数的麦克劳林展开式：
1. 1x e x =++!22x +…+!n x n
+… , -+∞<<∞x
2. sin x x =-3521
1...(1)...3!5!(21)!m m x x x m --+-+-+- ,
-+∞<<∞x
3. cos 1x =-2422
1...(1)...2!4!(22)!m m x x x m --+-+-+- ,
-+∞<<∞x
4 ln(1)x x +=-
...)1( (43214)
32+-++-+-n x x x x n n ,x <1
5. (1)1m
x mx +=++ ...!)1)...(1(...!2)1(2++--++-n x n n m m m x m m , x <1
6. 6. 3
2111x x x x +++=-+… (-1<x <1)。