27.3(3)垂径定理应用
市北资优九年级分册 第27章 27.3 垂径定理+喻佑文
27.3垂径定理我们知道圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图象，对称轴是直径所在直线．圆的轴对称性给了我们一个直观的认识．如图27.3.1，对于圆内有垂直于弦CD的直径AB，同样也是轴对称图形，在这个图形中，又有怎样的结论存在呢？说明你的理由．图27.3.1∵OC＝CD，AB⊥CD，∴OB平分∠COD，CE＝DE．∴BC＝BD且∠AOC＝∠AOD．∴AC＝AD．我们得到了一个圆的性质定理：垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条孤．【例1】已知：如图27.3.2，圆O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，点E和点F分别是边AC和BC的中点．求证：四边形CEDF是菱形．图27.3.2【分析】由点E和F分别是边AC和BC的中点，可知CE＝DE＝12AC，CF＝DF＝12BC．因此，只要证明AC＝BC即可．证明：CD⊥AB，圆心O在CD上，∴AC＝BC，∴AC＝BC．∵点E和F分别是边AC和BC的中点，∴CE＝DE＝12AC，CF＝DF＝12BC．∴CE＝DE＝CF＝DF．∴四边形CEDF是菱形．【例2】—根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分(如图27.3.3)，此时的水面宽AB为0.6米，污水深(即阴影部分的弓形高)为0.1米．求圆形的下水管道的直径．图27.3.3分析：作半径垂直于AB，运用勾股定理构造方程求解．解：作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，则CD即为弓形髙．∵OC⊥AB，且O为圆心，AD＝12AB．∵AB＝0.6，∴AD＝0.3．设半径为r米，则CA＝OC＝r．∵CD＝0.1，∴CD＝r－0.1．在Rt△OAD中，∵OC⊥AB，∴OD2＋AD2＝OA2．∴(r－0.1)2＋0.32＝r2．解得r＝0.5．所以，圆形的下水管道的直径为1米．例2是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法．这种用代数方法解决几何问题的方法是非常重要的解题方法．练习27.3(1)1．已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O分别相交于点E和点C，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，连接PD．(1)求证：PC＝PD；(2)如果PE的长等于⊙O的半径OC，求证：∠AOC＝3∠2APC．第1题2．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长等于8，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，cos C＝35．求：(1)CD的长；(2)EF的长．第2题3．知图，AB是⊙O的直径，CB是弦，OD⊥CB于E，交BC于D，连接AC．⑴请写出两个不同类型的正确结论；(2)若CB＝8，ED＝2，求⊙O的半径．第3题4．如图，某新城休闲公园有一圆形人工湖，湖中心O处有一喷泉．小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个观测点，在A处测得∠OAB＝a，在AB延长线上的C处测得∠OCB＝β，若sin a＝35，tanβ＝23，BC＝50米．求人工湖的半径．第4题练习27.3(1)答案1．提示：⑴∵OA⊥CD，点O是圆心，④OA平分CD∴PC＝PD．(2)连接OE．∵PE＝OC＝CE，∴∠EPO＝∠EOP．∴∠CEO＝2∠EPO．∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠CEO＝2∠EPO．∴∠AOC＝3∠EPO，即∠AOC＝3∠APC．2．提示：(1)连接AO．∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝12AB＝4．∵AO＝5，∴OD＝3．∴CD＝8．(2)过点O作OH⊥HC于点E，∴CF＝2CH．在Rt△OCH中，∵cos C＝35，OC＝5，∴CH＝3．在Rt△CDE中，∵cos C＝35＝CDDE，CD＝8，CE＝403．∴EF＝CE－CF＝403－6＝223．第2题3．提示：（1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE；②ED＝CD；③∠BED＝90°；④∠BOD＝∠A；⑤AC//GD；⑥AC⊥BC；⑦OE2＋BE2＝OB2；⑧S△ABC＝BC•OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC；等等(2)半径为5．4．人工湖的半径为500米．提示：作OD⊥AB，垂足为点D，∴AD＝BD．在Rt△OAD中，由sin∠OAD＝ODOA＝35．设CD＝3x，则OA＝5x，∴AD＝BD＝4x，∴CD＝4x＋50．在Rt△ODC中，由tan∠OCD＝ODCD＝23，得3450xx＝23，解得x＝100，即OA＝500．即这个人工湖的半径为500米．问题1如果把垂径定理中的“直径垂直于一条弦”与“直径平分这条弦”或“直径平分这条弦所对的两条弧”互换，那么所得的新命题是真命题吗？(1)如图27.3.4，如果⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，CE＝DE，那么AB⊥CD、BC＝DB吗？∵OC＝OD，CE＝DE，∴AB⊥CD且∠COE＝∠DOE，即∠COB＝∠DOB，∴BC＝DB．图27.3.4(2)．如图27.3.4，如果⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，BC＝DB，那么AB⊥CD，CE＝DE吗？∵BC＝DB，∴∠COB＝∠DOB．∵OC＝CD，∴AB⊥CD，CE＝DE．问题2垂直平分弦的直线一定过圆心吗?在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径．由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上．问题3如图27.3.5，弦CD与弦AB相交于点E．(1)如果CE＝DE，BC＝DB，那么CD与AB垂直吗？图27.3.5 由BC＝DB可知BC＝BD．又因为CE＝DE，则BE垂直平分CD．因为圆心O在CD的垂直平分线上，所以圆心O在直线BE上，即CD⊥AB．(2)如果CD⊥AB，垂足为点E，BC＝DB，那么CE＝DE吗？由BC＝DB可知BC＝BD．又因为CD⊥AB，垂足为点E，所以CE＝DE．进一步，因为圆心O在CD的垂直平分线上，所以圆心O在直线AB上，AB为⊙O的直径．由以上三个问题，我们可以得出：垂径定理的推论1 对于一条直钱“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦(非直径)”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么另外两组关系也成立．【例3】位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图27.3.6所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．图27.3.6分析：由AB＝AC可知AB＝AC，则由垂径定理的推论1可知OA垂直平分BC，则可运用勾股定理求解．解：设圆心为点O，连接OB、OA，OA交线段BC于点D．∵AB＝AC，∴AB＝AC，∴OA⊥BC，且BD＝DC＝12BC＝120．由题意，DA＝5．在Rt△BDO中，OB2＝OD2＋BD2．设OB＝x米，则x2＝(x－5)2＋1202．∴x＝1442.5．即滴水湖的半径为1442.5米．问题4如果一条直径垂直于两条弦呢？此时又有怎样的结论呢？如图27.3.7，AB是⊙O的直径，弦CD与弦EF分别与AB垂直．连接CO、DO、EO、FO．可以得出∠EOA＝∠FOA，∠COB＝∠DOB，则∠EOC＝∠FOD，因此CE＝DF．图27.3.7 由此，我们得到：垂径定理的推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等．【例4】如图27.3.8，⊙O 的半径为R ，弦AB 与弦CD 交于点P ，且AB ⊥CD ，求P A 2＋PB 2＋PC 2＋PD 2的值．图27.3.8分析：因为AB ⊥CD ，所以P A 2＋PB 2＋PC 2＋PD 2＝AD 2＋BC 2．由于AD 与BC 分散在圆中，因此通过作直径DE 并连接AE ，证明AE ＝BC ，将AD 2＋BC 2转化为AD 2＋AE 2．解：过点D 做直径DE ，连接AD 、AE 、ED ，EC 、BC ．∵AB ⊥CD ，∴P A 2＋PD 2＝AD 2，PB 2＋PC 2＝BC 2．∵DE 是⊙O 的直径，∴OC ＝OE ＝OD ，∠ECD ＝90°，同理，∠EAD ＝90°．∴EC ∥AB ，∴BC ＝AE ，∴BC ＝AE ，∴P A 2＋PB 2＋PC 2＋PD 2＝AD 2＋BC 2＝AD 2＋AE 2＝DE 2＝4R 2．练习27.3(2)1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，sin ∠ABC ＝35，⊙O 经过点B 、C ，圆心O 在△ABC 的内部，且到点A 的距离为2，求圆⊙O 的半径．第1题2．如图，在⊙O 中，M 是弧AB 的中点，过点M 的弦MN 交弦AB于点C ，设⊙O 半径为4cm ，MN ＝，OH ⊥MN ，垂足是点H ．求：(1)OH 的长度；(2)∠ACM 的大小．N第2题3．某公园有一圆孤形的拱桥，已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥顶D 到水面AB 的距离DC ＝4米． (1)求水面宽度AB 的大小；(2)当水面上升到EF 时，设EF 交CD 于点G ，且EG ＝3DG ，求水面上升的高度．DCBAE F G第3题。
垂径定理及应用
和你谈谈“垂径定理及应用”我们先来探究一下垂径定理的推导过程：在透明的纸片上面画一个圆O ，作任意一条非直径的弦CD ，再作直径AB 与CD 垂直，交点为P （如图1）．沿着这条直径将圆对折（如图2），我们不难发现：弧AC=弧AD ， 弧BC=弧BD ，CP=DP ，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理是根据圆是特殊轴对称图形得到的．由轴对称图形及轴对称的特征，我们还可以发现：如果一条直线具备①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．这五个条件中的任意两个，不然具备其余的三个，简称“知二推三” ．但注意把“经过圆心平分弦”作为题设时，必须是平分非直径的弦，是因为圆的任意两条直径都相互平分． 垂径定理及其推论能使很多问题轻松获解，下面结合例题加以分析．一、求圆半径、弦长或弦心距的长度例1 小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm ，深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为（ ）A ．10cmB ．14.5cmC ．19.5cmD ．20cm 解析：根据题意抽象出几何图形（如图3），则问题可转化为：“在⊙O 中，AB 是弦，OC 是半径，OC ⊥AB 于点D ，且AB=10cm ，CD=2cm ，求⊙O 的直径” ． 设⊙O 的半径是r ，由垂径定理可得AD=AB 21=5cm ，且OD=OC —CD=r —2． 在Rt △AOD 中，由勾股定理可得222)2(5—r r +=．解得r =7.25．所以⊙O 的直径为14.5cm ．故选B ．练习：1．如图4，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若AC=8，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．23 B ．3 C ．5 D ．62．如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为（ ） 图1 图2 图3 图4 图5A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 二、求相关角的度数例2 如图6，⊙O的半径为5，弦AB=35，则∠AOB= ．解析：过圆心O作OC⊥AB，垂足为C．由垂径定理可得BC=AB21=325，在Rt△BCO中，OC=22BCOB—=22)325(5—=25，∵∠OCB=090，OB=2OC，∴∠OBC=030．又∵OB=OC，∴∠OAC=∠OBC=030，故∠AOB=0180—∠OAC—∠OBC=0120．练习：3．如图7，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC．若∠AOB=046，则∠ADC为（）A．044B．046C．023D．088 4．如图8，已知AB是⊙O的直径（∠ACB=090），弦CD⊥AB，AC=3，BC=1，则∠ABD的度数为．反思：在运用垂径定理解题过程中，常见的一条辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形．这条辅助线的功能并不只局限于产生定理的结论，适当延伸，当我们连接弦的端点和圆心时便形成一个直角三角形，进而通过解此直角三角形求弦长、半径、直径、圆心到弦的距离，甚至还可求一些相关角的度数．因此，应该重视这条辅助线．参考答案：1．B；2．D；3．C；4．060．图6图7 图8。
24.垂径定理的应用PPT课件(人教版)
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 由题设得
AB 7.2,CD
AB 的中点,CD就是拱高.
2.4, HN 1 MN 1.5.
AD
1
AB
1 7.2
2 3.6,
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且
①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
O
A
B
P
2、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
AE=1厘米，EB=5厘米，∠BED=30°，
求CD的长。
D
No 在Rt△OEF中，OE=3-1=2，
∠BED=30°则OF=1
B
Image 又在Rt△DOF中
F OE
A C
DF= OD2 OF2 32 12 2 2
∴CD=2DF= 4 2
2、通过作出弦心距后，可构造直角三角形，然 后用直角三角形的边角关系或勾股定理来求解.
B
AD AB 37.4 18.7,
2
2
R
R-7.2
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2.
垂径定理及其应用
A C
O
D B
O
A
C
E
D
B
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
C D
B
A
O C B
O
随堂练习
挑 战自我
1、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半 径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个 量，就可以求出另外两个量，如图有： ⑴d + h = r
a 2
h d o
a 2 ⑵ r d ( ) 2
E D
E
B
O 340
A
B
D
300
小结
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 2.逆定理： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 3.求圆中求有关线段的长度时,常过圆心作垂直于弦的垂线段，或连结半径等辅 助线，借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
2 2
r
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用 方程的思想来解决问题.
垂径定理的应用
1.如图，一条排水管的截面。已知排水管
的半径为13cm，水面宽AB=24cm。求水 的最大深度.
解：过O点作OD⊥AB于E点，交⊙O 于D点,连接OA。 1 由垂径定理得 AE= AB=12cm 2 A 在Rt△OAE中，
O
A
C
B
求圆中有关线段的长 度时,常借助垂径定理 转化为直角三角形,从 而利用勾股定理来解 决问题.
初中数学 垂径定理的应用有哪些
初中数学垂径定理的应用有哪些
垂径定理是初中数学中一个重要的定理，它有着广泛的应用。
下面我将介绍垂径定理的几个常见应用。
1. 判断垂直关系：
垂径定理可以用于判断两条线段或弦之间是否垂直。
当一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交时，根据垂径定理，与这条线段所得的弦所连接的两个交点连线一定垂直于这条直径。
因此，我们可以通过观察线段和弦的几何关系，利用垂径定理判断它们是否垂直。
2. 求解问题：
垂径定理可以帮助我们求解与垂直关系相关的问题。
例如，已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，我们可以利用垂径定理得到与这条线段所得的弦垂直的弦。
这样，我们可以利用已知的线段和求得的弦，进一步解决几何问题，如计算长度、角度等。
3. 证明几何定理：
垂径定理也可以作为证明其他几何定理的基础。
例如，当我们需要证明某个弦与圆的直径垂直时，可以先证明这条弦与圆的直径的一个端点连线是垂直的，然后应用垂径定理得出结论。
垂径定理的应用可以简化证明过程，使证明更加简洁和直观。
4. 解决实际问题：
垂径定理的应用不仅局限于理论推导，还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在建筑设计中，我们需要确定某个角度的垂线位置，可以利用垂径定理判断垂线与圆的直径的关系。
在地理测量中，我们需要确定某个位置的垂直高度，也可以运用垂径定理来计算。
以上是垂径定理的几个常见应用。
垂径定理通过垂直关系的判断和问题的求解，帮助我们理解和应用几何知识，解决实际问题。
希望以上内容能够满足你对垂径定理应用的了解。
垂径定理的性质及其应用
垂径定理的性质及其应⽤第⼀课时垂直于弦的直径的性质及其应⽤⼀、⽬标要求1、理解圆及其有关概念，知道弧、弦、直径之间的关系。
2、能⽤垂直于弦的直径的性质解决简单的计算问题。
⼆、重难点垂径定理及其推论的相关计算。
三、教学过程⼀、实验活动，提出问题：1、实验：让学⽣⽤⾃⼰的⽅法探究圆的对称性，教师引导学⽣努⼒发现：圆具有轴对称、中⼼对称、旋转不变性.2、提出问题：⽼师引导学⽣观察、分析、发现和提出问题.通过“演⽰实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．⼆、垂径定理及证明：已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂⾜为E．求证：AE=EB，= ，= ．证明：连结OA、OB，则OA=OB．⼜∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，⼜是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，= ，= ．从⽽得到圆的⼀条重要质．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．组织学⽣剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB，= ，= .为了运⽤的⽅便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆⼼；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学⽣记混.三、应⽤和训练例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆⼼O到AB的距离为3cm，求⊙O 的半径．分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，⽽AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．解：略．说明：①学⽣独⽴完成，⽼师指导解题步骤；②应⽤垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦⼼距d、⼸形⾼h关系：r = h+d；r2= d2+ (a/2)2例2、已知：如图，在以O为圆⼼的两个同⼼圆中，⼤圆的弦AB交⼩圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）说明：此题为基础题⽬，对各个层次的学⽣都要求独⽴完成．练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学⽣分析思路，学⽣之间展开评价、交流．指导学⽣归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦⼼距等问题的常⽤⽅法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦⼼距.四、⼩结反思五、课后作业六、反馈信息。
怎样利用垂径定理
怎样利用垂径定理垂径定理是一个被广泛应用于几何学的定理，它指出，任何一条垂线到直线的距离，都等于该直线到它的垂足的距离。
也就是说，任意一条垂线都将其垂足与它与直线相交的点连接起来，而且两个距离也将会相等。
垂径定理在几何图形中是非常有用的。
它能够帮助我们更加准确地分析各种形状。
例如，用垂径定理，我们可以得出三角形的两个棱边长度之和和斜边长度的平方和之间的关系。
通过利用垂径定理，我们可以计算出三角形的斜边长度，从而得出整个三角形的形状大小。
此外，垂径定理还可以用来求解锐角三角形中各边的长度。
根据垂线定理，设有一个锐角三角形，它的一条边长为a，另一条边长为b，两个角分别为α和β，那么a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边的长度。
根据此公式，我们可以得出三角形的三边长度之和以及斜边的长度。
垂径定理还可以用来求解圆的半径，即它的斜线长度。
垂线定理指出，若a为圆的圆心至圆上一点的距离，b为圆的圆心至该点的垂足的距离，那么a^2 + b^2 = r^2，其中r为所求的圆的半径。
也就是说，通过求解圆心至圆上一点的距离以及圆心至圆上一点的垂足的距离，就可以得出所求圆的半径。
另外，垂径定理也可以应用在构造正方形，正方形中若有一条边，它的其他三条边也可以通过垂径定理求出。
比如说，设有一个正方形，它的一条边长为a，它的垂足距离其相交点的距离为b，那么a^2 + b^2= c^2，该公式描述的就是垂径定理。
通过这个公式，我们就可以求出其他三条边的长度。
以上就是垂径定理的应用了。
垂径定理的优点在于，它可以用来很方便地分析各种几何图形的形状和尺寸，这一点是非常实用的。
它还可以用来求解圆或正方形等形状中各边长度之间的关系。
因此，垂径定理是几何学中一个非常有用的定理。
垂径定理的应用课件
若一条直线过圆心且垂直于给定 直径，则该直线被直径分为两段 ，其中一段长度是另一段长度的 两倍。
定理的证明
证明方法一
利用圆的性质和勾股定理进行证 明。
证明方法二
利用相似三角形的性质进行证明。
证明方法三
利用三角形的中线性质进行证明。
定理的重要性
01
在几何学中，垂径定理是基础且 重要的定理之一，广泛应用于解 决与圆和直线相关的问题。
在椭圆中的应用
总结词：推广应用
详细描述：在椭圆中，垂径定理也有其应用。我们可以利用垂径定理找到椭圆的中心和长轴、短轴。这对于解决与椭圆相关 的几何问题非常有帮助，如求面积、周长等。
在其他图形中的应用
总结词：拓展应用
详细描述：除了圆和椭圆，垂径定理还可以应用于其他一些图形中。例如，在抛物线、双曲线等中， 垂径定理可以帮助我们找到与图形中心相关的信息，从而解决一些复杂的几何问题。此外，在一些更 复杂的组合图形中，垂径定理也可以发挥重要作用。
案例三：机械制造中的垂径定理应用
总结词
机械零件的精确性与垂径定理
详细描述
在机械制造中，垂径定理被广泛应用于确定机械零件 的位置和尺寸，以确保机械零件的精确性和稳定性。 通过应用垂径定理，可以计算出零件的最佳位置和尺 寸，从而提高机械设备的效率和精度。
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详细描述
在解决与圆相关的几何问题时，垂径定理与 三角函数经常一起使用。垂径定理可以确定 直径与弦的关系，而三角函数则可以用于计 算角度和弧长等几何量。通过结合这两个知 识点，可以方便地计算出圆上任意两点之间 的角度、弧长等几何量。
与解析几何的结合应用
总结词
解析几何提供了一种用代数方法研究几何的 方法，垂径定理与解析几何的结合，使得几 何问题可以通过代数方法求解。
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
知识卡片-垂径定理的应用
垂径定理的应用能量储备在应用垂径定理与推论进行计算时，通常利用圆的半径r ,弦心距d ，拱高h ，弦长a 这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理r²=d²+（a 2）²及r=d+h 来求有关量。
根据上述公式，在a ，d ，r ，h 这些量中，知道其中任何两个量就可以求出其余两个量。
通关宝典★ 基础方法点方法点：在圆中解决有关弦的问题时，常常过圆心作弦的垂线段，连接圆心和弦的一端点（即为半径）构造直角三角形.例1：已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，则AB ，CD 之间的距离为（ ）A.17 cmB.7 cmC.12 cmD.17 cm 或7 cm解析：（1）当平行弦AB ，CD 在点O 同侧时，如图3310所示，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，并延长OE 交CD 于点F ，则OF ⊥CD.∴ AE ＝12AB ＝12 cm ，CF ＝12CD ＝5 cm. 在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2－AE 2＝132－122＝5（cm ），在Rt △OCF 中，OF ＝OC 2－CF 2＝132－52＝12（cm ），∴EF ＝OF －OE ＝12－5＝7（cm ），即AB ，CD 之间的距离为7 cm .（2）当平行弦AB ，CD 在点O 两侧时，如图3311所示，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，延长EO 交CD 于点F ，则OF ⊥CD .∴ AE ＝12AB ＝12 cm ，CF ＝12CD ＝5 cm. 在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2－AE 2＝132－122＝5（cm ），在Rt △OCF 中，OF ＝OC 2－CF 2＝132－52＝12（cm ），∴ EF ＝OE ＋OF ＝5＋12＝17（cm ），即AB ，CD 之间的距离为17 cm .综上所述，AB，CD之间的距离为7 cm或17 cm. 答案：D。
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
垂径定理(第一课时)教案的分析和比较
《§27.3 垂径定理（第一课时）》教案的分析和比较田林中学蔡洁平第一部分：《§27.3 垂径定理（第一课时）》初始教案教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生感受到“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法教学重点：垂径定理的掌握及运用.教学难点：垂径定理的探索和证明教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件教学过程：一、复习引入1、什么叫弦？直径与弦的关系？2、什么叫弧？劣弧、优弧、半圆的关系？3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？4、观察并回答：（1）两条直径的位置关系？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD 平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？（当C D ⊥AB 时）（用课件观察翻折验证）如图，已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为M 。
求证：AE=BE 。
思考：直径CD 两侧相邻的两条弧是否也相等？如何证明？给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径。
并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。
（二）分析垂径定理的条件和结论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式① CD 是直径、AB 是弦① AE=BE②② C D ⊥③2、利用反例、变式图形进一步掌握定理 例1看下列图形，是否能使用垂径定理？AC=BCAD=BD3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。
从而得到垂径定理的变式：① 经过圆心得到 ① 平分弦一条直线具有：② 平分弦所对的劣弧② 垂直于弦 ③ 平分弦所对的优弧（三）例题例2 如图，已知在⊙O 中，（1）弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径（2）弦AB 的长为6厘米，⊙O 的半径为5厘米，求圆心O 到AB 的距离（3）⊙O的半径为10厘米，圆心O 到AB 的距离为6厘米，求弦AB 的长 在例2图形的基础上：变式（1）例3 已知：如图，若以O 为圆心作一个⊙O 的同心圆，交大圆的弦AB 于C ，D 两点。
《垂径定理》课件
垂径定理的证明
1
几何证明
我们可以使用几何方法证明垂径定理，通过绘制图形、构造垂直线段等方法来说 明定理的正确性。
2
代数证明
垂径定理也可以使用代数方法进行证明，通过使用坐标系和向量来推导出定理的 结果。
3
三角证明
三角学中的一些关系可以用来证明垂径定理，例如正弦定理和余弦定理。
垂径定理的拓展
1 平面几何
垂径定理的定义
垂径定理
垂径定理，又称为垂径垂直定理，是指当两条线段相互垂直时，它们的垂径相连的线段也垂 直。
垂径定理的应用
建筑设计
垂径定理在建筑设计中扮演着重 要的角色，帮助工程师确定建筑 物的垂直度和平衡性。
圆的性质
坐Hale Waihona Puke 系垂径定理也可以用来证明圆的性 质，例如切线与半径的垂直关系。
在数学中，垂径定理可以用来证 明两条直线是否垂直，从而确定 坐标系中点和直线的关系。
《垂径定理》PPT课件
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索《垂径定理》。通过这个课件， 我将向你展示垂径定理的定义、应用、证明和拓展，以及实例演示。让我们 开始吧！
问题背景
在几何学中，我们经常遇到求解线段或角问题的情况。垂径定理是一种重要 的几何定理，可以帮助我们解决这些问题。让我们来了解一下问题的背景。
垂径定理可以扩展到三维空间中，用于解决立体几何问题。
2 向量几何
在向量几何中，垂径定理可以扩展到多维空间，用于解决向量的正交性问题。
3 复数几何
在复数几何中，垂径定理可以应用于解决复数平面中点和直线的关系。
实例演示
几何构造
我们将通过实例演示来展示如何 使用垂径定理进行几何构造，解 决实际问题。
垂径定理的应用课件
对垂径定理的回顾与思考
垂径定理是几何学中的一个重要定理，它涉及到圆的性质和证明。在学习过程中 ，我们需要深入理解垂径定理的证明过程和推理逻辑，以便更好地应用它来解决 实际问题。
在回顾过程中，我们需要思考如何将垂径定理应用于实际问题的解决中，并思考 如何通过推理和证明来得出正确的结论。此外，我们还需要思考如何通过实践来 加深对垂径定理的理解和应用。
垂径定理的应用课件
目录
• 垂径定理的介绍 • 垂径定理的应用场景 • 垂径定理的应用实例 • 垂径定理的应用练习题 • 总结与回顾
01 垂径定理的介绍
垂径定理的定义
垂径定理
过圆心作圆的弦的垂线，则垂足 到弦中点的连线与垂线重合。
定理证明
利用圆的性质和三角形的中位线 定理进行证明。
垂径定理的重要性
详细描述
已知一个圆和该圆外的一条直线，我们要证明这条直线是圆的切线。根据垂径定 理，如果一条直线与圆只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。因此，我们 只需要证明这条直线与圆只有一个交点即可证明它是圆的切线。
04 垂径定理的应用练习题
基础练习题
总结词：巩固垂径定理的基本概念和性质。 详细描述 给出一条直线和该直线所通过的圆，判断该直线是否为圆的 垂径，并说明理由。 给定圆的直径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。 已知圆的半径和一条过圆心的线段，求作圆的垂径。
综合练习题
详细描述
总结词：结合其他几何知识，综 合运用垂径定理解决复杂问题。
给定一个圆和该圆上的一条弦， 求作该弦的中垂线，并证明其为 圆的垂径。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的角平分 线。
已知一个三角形和该三角形的一 边的中点，求作该边的垂直平分 线，并证明其为三角形的中线。
垂径定理的应用2PPT教学课件
有什么影响？
基督教产生时的信徒： 贫穷的犹太人和各个国家和民族 的穷人。
因为他们长期遭受苦难，渴望“救世 主”的到来，所以基督教是下层人民 的精神寄托和借以斗争的手段
基督教发展到后来，出现的变化有：
变化一：信徒人数越来越多，而且 许多富人和罗马贵族也加入教会， 并取得了教会的领导权。
课后探究
基督教现在对人们还有无影 响？怎样正确区分“宗教信仰 自由” 的法律规定与“崇尚 科学，反对邪教”之间的界限。
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你能总结出什么规律吗？
C
O
E
A
B
D
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量
中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
封臣向领主宣誓效忠 封君与封臣之间通过
“臣服礼”结成封建主从关系
农民
思考：
为什么说“我的附庸的附庸不是我的附
由于封建等级制度是因土地的层层分封而形 成的，各级封君与封臣之间都互有义务。所以， 封臣即附庸只承认自己直接受封的领主为封主， 而对自己封主的封主却没有臣属关系。所以，中 世纪的西欧出现了“我的附庸的附庸不是我的附 庸”的现象。
A
60D0
B
O ø650
C
独立作业
• P93:习题3.2 1题
第三单元 第二课 欧洲中世纪与基督教文明
•
基督教 圣经 bible
说一说： 你对基督教了解多少？
一、基督教盛行西欧
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练习1： 按图填空：在⊙O中， O （1）若MN⊥AB，MN为直径， 则____，____，____； E A （2）若MN⊥AB，AC=CB， 则____，____，____； N （3）若弧AM=弧BM ，MN为直径， 则____，____，____； （4）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径， 则____，____，____．
D
4、已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C为AB 的中点,OC交AB于D,AB=6cm,CD=1cm.
⌒
求: 半径OA.
A
C
D
B
O
5、已知：在⊙O中，弦AB//CD，且AB=8, CD=6，AB、CD之间的距离为7。 求：⊙O的半径。
6、如图,AB为⊙O的直径,C为圆上一点, 弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P, 当点C在上半圆(不包括A、B)上移动 时 , 点 P（ B ） A.到CD的距离不变 B.位置不变 C.等分DB D.随点C的移动而移动
7、如图所示，在直角三角形ＡＢＯ中， ∠Ｏ为直角，ＡＯ＝６，ＢＯ＝８，以 Ｏ为圆心，ＯＡ为半径作圆，交ＡＢ与 点Ｃ，求ＢＣ的长。
O C B
A
作业：书
P68 11、12、13 评价手册 P35 2、3、5
2 3
B
2、已知：在⊙O 中，弦AB∥CD，AB＜CD ，
直径MN⊥AB，垂足为E，交弦CD于点F。
图中相等的线段有 .
图中相等的劣弧有
.
3、已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R =2，AB= 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R =2，OE=1，求AB、DE 的长.
C
O E A B